B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I NGUYEN ĐÌNH THIEN ĐIEM BAT Đ®NG CÚA ÁNH XA ĐA TR± TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN LUắN VN THAC SY TON HOC H NđI, 2013 Bđ GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I NGUYEN ĐÌNH THIEN ĐIEM BAT Đ®NG CÚA ÁNH XA ĐA TR± TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN LU¾N VĂN THAC SY TOÁN HOC Chuyên ngành : TOÁN GIÁI TÍCH Mã so : 60 46 01 02 Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS HÀ ĐÚC VƯeNG LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna T.S Hà Đúc Vưong Tác giá xin bày tó lòng biet ơn sâu sac nhat tói T.S Hà Đúc Vưong, ngưòi đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình hưóng dan đe tác giá hồn thành lu¾n văn Tác giá xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói Phòng Sau đai hoc, thay giáo day cao hoc chun ngành Tốn Giái tích, trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i giúp đõ tác giá suot q trình hoc t¾p hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban bè, ngưòi thân luụn đng viờn, co v, tao moi ieu kiắn thuắn loi cho tác giá q trình hoc t¾p hon thnh luắn H Nđi, thỏng 10 nm 2013 Tác giá Nguyen Đình Thien LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna T.S Hà Đúc Vưong, lu¾n văn Thac sy chun ngành Tốn Giái tích vói đe tài “Điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% khơng gian metric nón” tơi tn làm Các ket q tài li¾u trích dan đưoc chí rõ nguon goc Trong q trình nghiên cúu thnc hi¾n lu¾n văn, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng 10 năm 2013 Tác giá Nguyen Đình Thien Mnc lnc Báng kí hi¾u Má đau KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Không gian metric .6 1.2 Không gian metric Hausdorff .14 1.3 Không gian compact 20 1.4 Không gian đ%nh chuan .23 1.5 Không gian Banach 27 KHƠNG GIAN METRIC NĨN 32 2.1 Đ%nh nghĩa ví du 32 2.2 Sn h®i tu khơng gian metric nón .38 ĐIEM BAT Đ®NG CÚA ÁNH XA ĐA TR± TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN 48 3.1 Các khái ni¾m 48 3.2 Các đ%nh lý điem bat đ®ng 52 Ket lu¾n 64 Tài li¾u tham kháo 65 Báng kí hi¾u N N∗ R R+ C CB(X) X C (X) int(P ) p Q TÔp so tu nhiờn TÔp so tu nhiờn lún hn TÔp so thuc TÔp so thuc dng TÔp so phnc Ho cỏc tÔp khụng rong, úng, b% chÔn cỳa Ho cỏc tÔp compact X TÔp rong Phan cỳa P Quan h¾ thn tu theo nón P Ket thúc chnng minh Má đau Lý chon đe tài Cho X l mđt hop bat kỡ, ỏnh xa T : X → 2X m®t ánh xa đa tr% tù t¾p X vào ho t¾p cna Điem x ∈ X thóa mãn x ∈ Tx đưoc goi điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% T t¾p X Vi¾c nghiên cúu van đe góp phan giái quyet đac lnc hàng loat toán quan Các ket cna vi¾c nghiên cúu lĩnh vnc hình thành nên “Lý thuyet điem bat đ®ng” (fixed point theory) gan lien vói tên tuoi cna nhà tốn hoc lón Banach, Brouwer, Shauder, Tikhonov, Sadovski, Kyfan, Năm 2007, Huang Long Guang Zhang Xian giói thi¾u khái ni¾m khơng gian metric nón bang cách thay t¾p so thnc đ%nh nghĩa metric bói m®t nón đ%nh hưóng khơng gian Banch thnc Các tác giá giúi thiắu cỏc khỏi niắm ve sn hđi tu cna dãy, tính đay đn cna khơng gian Đong thòi tác giá giói thi¾u ket q ve điem bat đ®ng cho lóp ánh xa đơn tr% khơng gian Sau nhieu nhà tốn hoc quan tâm ket ve điem bat đ®ng khơng gian metric nón đưoc cơng bo Năm 2009, Sh Rezapour and R H Haghi công bo ket q ve điem bat đ®ng lóp khơng gian cho ánh xa đa tr% qua báo “fixed point of multifunction on cone metric spaces” Vói mong muon tìm hieu sâu ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% khơng gian metric nón, đưoc sn giúp đõ hưóng dan t¾n tình cna TS Hà Đúc Vưong, manh dan chon đe tài nghiên cúu: “Điem bat đ®ng cúa ánh xa đa tr% khơng gian metric nón” Mnc đích nghiên cNu Tong hop ket ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% khơng gian metric nón Nhi¾m nghiên cNu Nghiên cúu ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% khơng gian metric nón Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu ve “ Khơng gian metric nón điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% lóp khơng gian metric nón” qua hai báo: - Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings (2007) cna Huang Long Guang, Zhang Xian - Fixed point of multifunctions on cone metric spaces (2009) cna Sh Rezapour and R H Haghi Phương pháp nghiên cNu - D%ch, đoc nghiên cúu tài li¾u - Tong hop, phân tích, v¾n dung kien thúc cho muc đích nghiên cúu DN kien đóng góp Đây m®t tong quan ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% khơng gian metric nón Lu¾n văn giúp ngưòi đoc hieu sâu ve khơng gian metric, khơng gian metric nón điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% khơng gian metric nón Lu¾n văn đưoc trình bày gom ba chương Chương trình bày khái ni¾m bán ve khơng gian metric, không gian metric Hausdorff, không gian compact, không gian đ%nh chuan, khơng gian Banach Chương trình bày khái ni¾m ve nón, metric nón, khơng gian metric nón sn h®i tu khơng gian metric nón d (x2n−1, T2x2n−1) = "d (x2n−1, x2n)", vói moi n “ Vì v¾y, vói moi n “ ta có "d (x2n, x2n+1)" = d (x2n, T1x2n) ™ HT2x2n (T1x2n) ™ H (T2x2n−1, T1x2n) − ™ c (d (x2n, T1x2n) + d (x2n−1, T2x2n−1)) ™ c ("d (x2n, x2n+1)" + "d (x2n−1, x2n)") Do đó, "d (x2n, x2n+1)" ™ Cũng có c 1−c "d (x2n−1, x2n)", vói moi n “ "d (x2n−1, x2n)" = d (x2n−1, T2x2n−1) ™ HT1x2n (T2x2n−1) ™ H (T1x2n−2, T2x2n−1) − ™ c ("d (x2n−2, x2n−1)" + "d (x2n−1, x2n)"), vói moi n “ Do "d (x2n−1, x2n)" ™ Đieu chí rang "d (xm, xm+1)" ™ Đ¾t s = c 1−c "d (x2n−2, x2n−1)", vói moi n “ c 1−c c , vói n > m ta có 1− c "d(xn, xm)" ™ "d (xm−1, xm)",vói moi m “ n i=m+ "d(xi, xi−1)" ™ (sn−1 + + sm) "d(x0, x1)" ™ sm "d(x0, x1)" 1− Đieu chí rang s lim n,m→∞ "d(xn, xm)" = V¾y {xn} dãy Cauchy X Vì X khơng gian đay đn nên ∃x∗ ∈ X ∗ cho xn = x lim n→∞ Theo nh¾n xét 3.1.6, ta có − d d (x∗, T2x2n−1) ( x ∗ , T x ∗ ) ™ + HT2x2n (T1 x∗ ) ™ d (x∗, T2x2n−1) + H (T2x2n−1, T1x∗) ™ "d (x∗, x2n)" + c (d1 (x2n−1, T2x2n−1) + d (x∗, T1x∗)), vói moi n “ Do c d ∗ (x d (x2n−1c, − , T1x T2x2n−1) + ∗ ) ™ c = "d 1−c (x2n−1, x2n)" + 1 "d (x∗, x2n)" − c "d (x∗, x2n)", vói moi n “ − c Vì v¾y, d (x∗, T1x∗) = ⇒ x∗ ∈ T1x∗ M¾t khác, tương tn ta có d (x∗, T2x∗) ™ d (x∗, T1x2n) + HT1x2n (T2x∗) ™ d (x∗, T1x2n) + H (T1x2n, T2x∗) ™ "d (x∗, x2n+1)" + c (d1 (x2n, T1x2n) + d1 (x∗, T2x∗)), vói moi n “ Do c ∗ d (x∗, T2x∗) d (x2n, T1x2n) "d (x , x2n+1)" + ™ 1− 1− c c c = "d (x2n+1, "d (x∗, x2n+1)", vói moi n “ 1− 1−c x2n)" + c Vì v¾y, d (x∗, T2x∗) = ⇒ x∗ ∈ T2x∗ V¾y x∗ m®t điem bat đ®ng chung cna T1 T2 Đ%nh lý 3.2.4[10] Cho E không gian Banach thnc, X ⊂ E, X ƒ= ∅ Cho (X, d) khơng gian metric nón đay đn vói hang so chuan tac M = ánh xa đa tr% T1, T2 : X → C(X) hai ánh xa đa tr% thóa mãn H(T1x, T2y) ™ c(d(y, T1x) + d(x, T2y)) vói moi x, y ∈ X, c ∈ (0, ) hang so Khi T1 T2 có m®t điem bat đ®ng chung Chúng minh L¾p lu¾n tương tn chúng minh cna đ%nh lý 3.2.3 cho thay rang ton tai m®t dãy Cauchy {xn} X cho x2n−1 ∈ T1x2n−2, x2n ∈ T2x2n−1 d (x2n−2, T1x2n−2) = "d (x2n−2, x2n−1)" d (x2n−1, T2x2n−1) = "d (x2n−1, x2n)", vói moi n “ Vì the, ∃x∗ ∈ X cho lim xn = x∗ Theo nh¾n xét 3.1.6 ta có n →∞ d (x∗, T1x∗) ™ d (x∗, T2x2n−1) + −1 (T1 x∗ ) HT2x2n ™ d (x∗, T2x2n−1) + H (T2x2n−1, T1x∗) ™ "d (x∗, x2n)" + c (d (x∗, T2x2n−1) + d (x2n−1, T1x∗)) ™ "d (x∗, x2n)" + c "d (x∗, x2n)" + cd1 (x∗, T1x∗) + c "d (x∗, x2n−1)", vói moi n “ Do ∗ ™ ∗ d1 (x , T1x ) 1+c 1− c + c ∗ "d (x∗, x2n)" − "d (x , x2n−1)", c vói moi n “ V¾y d (x∗, T1x∗) = ⇒ x∗ ∈ T1x∗ Ta có d (x∗, T2x∗) ™ d (x∗, T1x2n) + HT1x2n (T2x∗) ™ d (x∗, T1x2n) + H (T1x2n, T2x∗) ™ "d (x∗, x2n+1)" + c (d1 (x∗, T1x2n) + d1 (x2n, T2x∗)) ™ "d (x∗, x2n+1)" + c "d (x∗, x2n+1)" + cd1 (x∗, T2x∗) + c "d (x∗, x2n)", vói moi n “ Do ∗ ∗ 1+c c d (x , T2x ) "d (x∗, x2n)", vói moi n ∗ "d (x , x )" 2n+1 − ™ 1− c “ + c V¾y d (x∗, T2x∗) = x T2x Vắy x l mđt điem bat đ®ng chung cna T1 T2 Ví dn 3.2.5 Cho X = {a1, a2, a3, } t¾p đem đưoc, E = l2, "."2 i P = {xn} ∈ l : xn ≥ 0, ∀n ≥ Đ¾t xi , ∀n ≥ 1, ∀i ≥ n = xi ∈ l2 , ∀i ≥ Ánh xa d : X × X → P xác đ%nh bói i j −3 , vói moi n d (ai, aj ) = |xi − xj| n = ≥ De dàng nh¾n thay (X, d) m®t khơng gian metric nón Trưóc het, ta kiem tra d l mđt metric nún Thắt.vắy, i j − Ta có d (ai, aj ) = |xi − xj| = n ≥ 0, ∀ai, aj ∈ X, |xi − xj| ≥ 0, vói moi i, j ≥ 1, vói moi n ≥ i j d (ai, aj ) = ⇔ − = ⇔ i = j ⇔ = aj j i i j 3 −3 −3 = Ta có d (ai, aj ) = |xi − xj| = |xj − xi| n n = = d (aj, ai), ∀ai, aj ∈ X V¾y d (ai, aj ) = d (aj, ai), ∀ai, aj ∈ X i −3 j i − 3k + 3k − 3j Ta có = d (ai, aj ) = n n |xi − x| = j .3i − 3k.k + j− ≤ n = 3 i k 3i − 3k ≤ − − 3j n + k n + n = |xi − xk| + |xk − xj| = d (ai, ak) k + d (ak, aj ) − j n V¾y d (ai, aj ) ≤ d (ai, ak) + d (ak, aj ), d ∞(ai, T a1 ) = "d (ai, a1)"2 = "xi − x1"2 = i −3 ∀ai, aj, ak X Vắy d l mđt metric nún Khi (X, d) m®t khơng gian metric nón De dng nhắn thay (X, d) l mđt khụng gian metric nón đay đn Xét ánh xa đa tr% T : X → C(X) xác đ%nh bói T a1 = {a1} T = {a1, a2, , ai−1}, vói moi i ≥ Ta có T a1 = T a2 moi i ≥ H (T a1 , T ) = max "x1 − xi−1"2 = ∞ = "d (a1, d (a1, d T ai) , (T a1 , ai−1)"2 = sup b) b∈T.ai 2 i−1 ∞ i =− − − n n n=1 3 n= Ta có d (a1, T ai) = a1 ∈ T Vì the, H (T a1 , T ) ≤ n= (d (a1, T ) +d (ai, T a1 ) ) n2 Giá sú j > i d (b, T aj ) > T = ⊂ T aj sup b∈T Do n H (T ai, T aj ) = sup d (b, T ai) = "d (aj−1, ai−1)" = "xi−1 − xj−1" 2 b∈T aj = ∞ 3j−1 − 3i−1 n=1 n Ta có d (ai, T aj ) = d (aj, Tj ai) = "d (aj, ai−13)"2 = i−1 − ∞ n=1 n2 Vì the H (T ai, T aj ) ≤ (d (ai, T aj ) + d (aj, T ai)) Vì v¾y, T thóa mãn giá thiet cna đ%nh lý 3.2.4 a1 điem bat đ®ng nhat cna T Ket lu¾n Lu¾n văn trỡnh by mđt cỏch hắ thong cỏc khỏi niắm v đ%nh lý không gian metric, không gian Banach Sau moi khái ni¾m chúng tơi đeu có ví du minh hoa Sau chúng tơi trình bày khái ni¾m ve nón, metric nón, khơng gian metric nón sn h®i tu khơng gian metric nón Đong thòi trình bày chi tiet ket q ve điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% khơng gian metric nón Vói pham vi thòi gian kien thúc có han, chac chan lu¾n văn khơng tránh khói nhung thieu sót Kính mong q thay ban góp ý đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tác giá xin chân thành cám ơn! Tài li¾u tham kháo [A] Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Nguyen Phu Hy, 2005, Giái tích hàm, Nhà xuat bán Khoa hoc Ky thuắt H Nđi [2] o Hong Tõn, Nguyen Th% Thanh Hà, 2002, Các đ%nh lý điem bat đ®ng, Nhà xuat bán Đai hoc Sư pham Hà N®i [3] Hồng Tuy, 2003, Hàm thnc giái tích hàm, Nhà xuat bán hoc quoc gia H Nđi [B] Ti liắu tieng Anh [4] K Deimling , 1985, Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag [5] G E Hardy and T D Rogers, 1973, Ageneralization of a fixed point theorem of Reich, Canad Math Bull 16, 201-206 [6] L G Huang and X Zhang , 2007, Cone metric spaces and fixed point theorems of contraction mappings, J Math Anal Appl 332, 14681476 [7] B Ray, 1972, On simultaneous fixed points of multi-valued maps, Monatshefte fur Mathematik 76, 448-454 [8] S Reich, 1972, Kannan’s fixed point theorem, Boll Un Mat 4, – 11 [9] S Reich, 1972, Fixed points of contractive functions, Boll Un Mat Ital 5, 26 – 42 [10] Sh Rezapour and R H Haghi , 2009, Fixed point of multifunctions on cone metric spaces, Numerical Functional Analysis and Optimization 30(7-8), 825-832 [11] B E Rhoades, 1977, A comparison of various definition of contractive mappings, Trans Amer Math Soc 266, 257-270 ... khơng gian metric, không gian metric Hausdorff, không gian compact, không gian đ%nh chuan, khơng gian Banach Chương trình bày khái ni¾m ve nón, metric nón, khơng gian metric nón sn h®i tu khơng gian. .. điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% khơng gian metric nón Lu¾n văn giúp ngưòi đoc hieu sâu ve khơng gian metric, khơng gian metric nón điem bat đ®ng cna ánh xa đa tr% khơng gian metric nón Lu¾n văn đưoc... hi¾u Má đau KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Không gian metric .6 1.2 Không gian metric Hausdorff .14 1.3 Không gian compact 20 1.4 Không gian đ%nh chuan .23 1.5 Không gian Banach