LèI CÁM ƠN Lu¾n văn đưoc hồn thành tai Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i dưói sn hưóng dan cna TS Tran Văn Bang Tác giá xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói TS Tran Văn Bang Sn t¾n tình song rat nghiêm túc cna thay suot q trình hoc t¾p làm lu¾n văn giúp tác giá trưóng thành rat nhieu ve cỏch tiep cắn mđt van e múi Cỏm n cỏc thay giáo giáng day chun ngành Tốn Giái tích nhi¾t tình cung cap tri thúc khoa hoc giúp tác giá nâng cao trình đ® tư duy, hồn thành tot q trình hoc t¾p làm lu¾n văn Tác giá xin đưoc cám ơn tói trưòng THPT Vi¾t Trì quan tâm giúp đõ tao moi đieu ki¾n thu¾n loi đe tác giá yên tâm hoc t¾p suot hai năm vùa qua Cuoi cùng, tác giá xin đưoc cám ơn tói gia đình, ban bè giúp đõ, đ®ng viên k%p thòi đe tác giá hon thnh bỏn luắn ny H Nđi, thỏng năm 2011 Tác giá LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Lu¾n văn cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi Trong nghiên cúu lu¾n văn, tơi ke thùa thành khoa hoc cna nhà khoa hoc đong nghi¾p vói sn trân biet ơn Hà N®i, tháng năm 2011 Tác giá Mnc lnc Má đau Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Ve lý thuyet đieu khien toi ưu 1.1.1 H¾ đieu khien 1.1.2 Bài toán đieu khien toi ưu .11 1.1.3 Nguyên lý quy hoach đ®ng 13 1.1.4 Phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman 17 1.1.5 Phương pháp quy hoach đ®ng 20 1.2 Lý thuyet trò chơi vi phân 24 1.3 Nghi¾m nhót cna phương trình Hamilton-Jacobi 30 1.3.1 Khái ni¾m tính chat 30 1.3.2 Nguyên lý cnc tr% nguyên lý so sánh 32 1.3.3 Tính liên tuc Lipschitz cna nghi¾m nhót 35 1.4 Ket lu¾n chương .37 Chương Úng dnng cúa nghi¾m nhát 38 2.1 Úng dung đoi vói lý thuyet đieu khien toi ưu 38 2.1.1 Nghi¾m nhót cna phng trỡnh quy hoach đng 38 2.1.2 ieu kiắn can đn cna đieu khien toi ưu .43 2.2 Úng dung đoi vói lý thuyet trò chơi vi phân 51 2.2.1 Nghi¾m nhót cna phương trỡnh quy hoach đng 2.2.2 ng dung cna nghiắm nhót đe xây dnng phán hoi 51 toi ưu 55 2.2.3 Sn h®i tu cna lưoc đo xap xí bán ròi rac 61 2.3 Ket lu¾n chương .66 Tài li¾u tham kháo 68 Mé ĐAU Lí chon đe tài Lý thuyet nghi¾m nhót cna phương trình Hamilton- Jacobi cap m®t đưoc đe xuat bói M.Crandall P.L Lions tù nhung năm đau cna th¾p ký 80 (xem [7], [3]), mà m®t nhung đ®ng lnc cna đe nghiên cúu phương trình Hamilton - Jacobi - Bellman Nó xuat hi¾n cách tiep c¾n quy hoach đ®ng đoi vói tốn đieu khien toi ưu tat đ%nh Cho đen lý thuyet ve nghi¾m nhót đưoc mó r®ng cho lóp phương trình elliptic - parabolic suy bien cap hai (xem [6]) đưoc úng dung rat nhieu lĩnh vnc khác nhau, đ¾c bi¾t lý thuyet đieu khien toi ưu lý thuyet trò chơi vi phân (xem [4],[5]) Đe nâng cao sn hieu biet ve loai nghi¾m suy r®ng chúng tơi chon đe tài ”Úng dung cna nghi¾m nhót lý thuyet đieu khien toi ưu lý thuyet trò chơi vi phân" Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu khái ni¾m nghi¾m nhót cna phương trình đao hàm riêng, tính chat úng dung có the cna chúng lý thuyet đieu khien toi ưu đ¾c bi¾t lý thuyet trò chơi vi phõn Nhiắm nghiờn cNu Tỡm hieu ve nghi¾m nhót cna phương trình đao hàm riêng cap mđt Tỡm hieu ve lý thuyet ieu khien toi ưu tat đ%nh, đ¾c bi¾t cách tiep c¾n quy hoach đng Tỡm hieu ve lý thuyet trũ chi vi phõn Tỡm ỳng dung cna nghiắm nhút lý thuyet đieu khien toi ưu lý thuyet trò chơi vi phân Đoi tưang pham vi nghiờn cNu Nghiờn cỳu nghiắm nhút cna lúp phương trình Hamilton - Jacobi Bellman bao gom khái niắm, cỏc tớnh chat; cỏch tiep cắn quy hoach đng đoi vói tốn đieu khien toi ưu tat đ%nh • Lý thuyet trò chơi vi phân moi quan h¾ giua đoi tưong Phương pháp nghiên cNu Nghiờn cỳu ti liắu tham khỏo Tong hop, phân tích, h¾ thong lai khái ni¾m, tính chat • Hói ý kien chun gia NhĐng đóng góp cúa đe tài Đe tài trình bày m®t cách tong quan ve úng dung cna nghi¾m nhót đoi vói lý thuyet đieu khien toi ưu tat đ%nh lý thuyet trò chơi vi phân Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 1.1.1 Ve lý thuyet đieu khien toi ưu H¾ đieu khien Trưóc het ta trình by mđt so khỏi niắm v ket quỏ can thiet ve h¾ phương trình vi phân phi tuyen mà muon đieu khien Ta giá thiet rang: hàm f (x, a) vói x ∈ RN , a ∈ A (tương úng đưoc goi bien trang thái bien đieu khien), thóa mãn giá thiet sau: A mđt khụng gian tụ pụ, f : RN ì A RN l mđt hm liờn tuc; f b% chắn B(0, R) × A, vói moi R > 0; (tính b% ch¾n đ%a phương cna f đeu theo bien đieu khien a)  ton tai m®t mơ đun đ%a phương ωf cho |f (y, a) − f (x, a)| ≤ ωf (|x − y|, R),  vói moi x, y ∈ B(0, R) R > (A0) (A1) (A2) 0, (tính liên tuc đeu đ%a phương cna f, đeu theo bien đieu khien a), mơ đun %a phng l mđt hm : R+ ì R+ → R+ cho vói moi R > 0, ω(., R) liên tuc, không giám ω(0, R) = Ta se chn yeu quan tâm tói trưòng hop A ⊂ RM t¾p compac Khi (A1) (A2) h¾ cna (A0) Ta giá thiet (f (x, a) − f (y, a)).(x − y) ≤ L|x − y|2, ∀x, y ∈ RN , a ∈ A; (A3) túc là, ton tai m®t so L ∈ R cho f (x, a) − LI, vói I tốn tú đong nhat, m®t ánh xa đơn đi¾u (khơng tăng) vói moi a Trong lu¾n văn ta chí xét trưòng hop f liên tuc Lipschitz toàn cuc theo bien trang thái, túc |f (x, a) − f (y, a)| ≤ L |x − y| , ∀x, y ∈ RN , a ∈ A Khi đó, tn nhiên f thóa mãn (A3) (A2) Chúng ta quan tâm tói nghi¾m (hay quy đao) cna h¾ phi tuyen y r (t) = f (y(t), a(t)), t > 0, (1.1) y(0) = x vói hàm đieu khien a(.) (goi đieu khien l¾p mó (open loop), khơng phu thu®c vào bien trang thái) thu®c t¾p tat cá đieu khien: A := {α : [0; +∞) → A đo đưoc} (ve hàm đo đưoc tính chat liên quan có the xem [2]) Kí hi¾u yx(., a) = yx(.) nghi¾m cna (1.1) úng vói đieu khien a, theo nghĩa yx(., a) nghiắm cna phng trỡnh tớch phõn t y(t) = x f (y(s), a(s))ds, t > 0 + Như vắy yx(., a) l mđt hm liờn tuc tuyắt oi t¾p compac cna [0, +∞) thóa mãn (1.1) hau khap nơi Các đ%nh lý sau chí sn ton tai nghi¾m tính chat nghi¾m cna phương trình tích phân: y(t) = x + ¸ t f (y(s), a(s))ds (1.2) t0 Đ%nh lý 1.1.1 [Sn ton tai quy đao đ%a phương, [4], Đ%nh lý 5.4] Giá sú ta có giá thiet (A0), (A1), x ∈ RN co đ%nh đ¾t K = Kx := sup{|f (z, a)| : |z − x| ≤ 1, a ∈ A} Khi vói moi t0 ∈ R, a A ton tai mđt nghiắm liờn tnc Lipschitz y cúa (1.2) [t0, t0 + 1/K] Hơn nua |y(t) − x| ≤ K(t − t0),∀t Đ%nh lý 1.1.2 [Sn ton tai quy đao toàn cnc, [4], Đ%nh lý 5.5] Giá sú ta có giá thiet (A0), (A1) (A3) Khi vói moi t0 ∈ R, x ∈ RN , a ∈ A ton tai m®t nghi¾m nhat yx : [0, +∞) → RN cúa (1.2) thóa mãn , |yx(t)| ≤ (|x| + 2K(t − t0))eK(t−t0), ∀t > t0, K := L + supα∈A |f (0, α)| Neu yz nghi¾m thóa mãn đieu ki¾n ban đau yz (t0) = z |yx(t) − yz (t)| ≤ eL(t−t0)|x − z|, ∀t ≥ t0 Hơn nua, ta có |yx(t) − x| ≤ sup|f (x, α)| (eLt L α∈A − 1) Đe xét tính vi cna nghi¾m cna (1.1) theo đieu ki¾n ban đau x, ta nhó lai rang: ma tr¾n nghi¾m bán M (s, t) cna h¾ phương trình vi phân tuyen tính ξr(t) = A(t)ξ(t), t ∈ [t0, t1] (1.3) nghi¾m nhat cna phương trình tích phân ¸ s M (s, t) = A(τ )M (τ, t)dτ, s, t ∈ [t0, t1], t I+ t A(t) l mđt ỏnh xa o oc, b% chắn tù [t0, t1] vào t¾p ma tr¾n vng cap N, I ma tr¾n đơn v% cap N Hơn nua, c®t thú i, mi cna M (., t0), túc mi(s) = M (s, t0)ei nghi¾m cna (1.3) vói du ki¾n ban đau ξ(t0) = ei, túc thóa mãn ¸ s mi(s) = ei A(τ )mi(τ )dτ, s ∈ [t0, t1] t0 + Xét h¾ phương trình vi phân thưòng y r (t) = F (y(t), = x y(t0) t), t ∈ (t0, t1), vói hàm F : RN × [t0, t1] → RN b% chắn trờn cỏc compac v (1.4) vúi moi x, hàm t ›→ F (x, t) đo đưoc; • vói moi t, hàm x ›→ F (x, t) vi liên tuc, nua ma tr¾n Jacobi cna DxF b% chắn trờn K ì [t0, t1] vúi moi t¾p compac K ⊂ RN Nghi¾m cna (1.4) đưoc hieu theo nghĩa tích phân thơng thưòng ký hi¾u S(t, t0, x) = y(t) Khi ta có Đ%nh lý 1.1.3 [[4], Đ%nh lý 5.8] Vói giá thiet nêu trên, goi yˆ(.) = S(., t0 , x0 ) nghi¾m cúa (1.4) vói điem ban đau x = x0 Khi vói moi t ∈ [t0, t1], ánh xa x ›→ S(t, t0, x) vi liờn tnc mđt lõn cắn cỳa x0 Hn nua, ma tr¾n Jacobi cúa tai x0 DxS(t, t0, x0) = M (t, t0), M (., ) ma tr¾n bán cúa h¾ phương trình tuyen tính ξ r (t) = Dx F (yˆ(t), t)ξ(t) Ket cho ta tính vi cna quy đao cna h¾ (1.1), túc nghi¾m cna (1.3) theo v% trí ban đau vói moi đieu khien a ∈ A co đ %nh, túc tính vi cna ánh xa x ›→ yx(t, a) dưói giá thiet (A0)(A3) thêm đieu ki¾n x ›→ f (x, a) vi liên tuc vói moi a ∈ A có ma tr¾n Jacobi b% ch¾n t¾p compac (túc là, ωf (r, R) = LRr (A2)) Trưòng hop (a): neu có m®t dãy cna {xn} nam ∂Ω, tù đieu ki¾n biên cna (2.15) có un(xn) = g(xn) nên theo (2.17) ta có u(x) = g(x) (2.13) đưoc thóa mãn bói u = u Trưòng hop (b): neu trưòng hop (a) khơng xáy ra, túc có m®t dãy cna {xn} nam Ω, the D(un − φ)(xn) = 0, ∆(un − φ)(xn) ≤ Tù phương trình đao hàm riêng (2.15) nh¾n đưoc − ∆φ(xn) + Fn(xn, un(xn), Dφ(xn)) ≤ n cho n → ∞ ta nh¾n đưoc F (x, u(x), Dφ(x)) ≤ V¾y ta có (2.13) vói u = u Chúng minh cho u làm tương tn L¾p lu¾n cna chúng minh có the đưoc dùng m®t cách de dàng đe chúng minh phát bieu sau bao gom cá M¾nh đe 2.2.11 M¾nh đe 2.2.12 trưòng hop đ¾c bi¾t M¾nh đe 2.2.14 [xem [6]] Cho un nghi¾m nhót dưói cúa Fn(x, u, Du, D2u) = u = g ho¾c Ω (2.19) Fn(x, u, Du, D2u) = ∂Ω Fn : Ω × R × RN × S(N ) → R S(N ) t¾p ma tr¾n thnc oi xỳng N ì N %nh ngha nghiắm nhút cúa phương trình cap hai tương tn Đ%nh nghĩa 1.3.1 Giá sú g ∈ C(∂Ω), Fn → F h®i tn đeu t¾p compact, F liên tnc thóa mãn (2.16) The u = lim sup∗ un l mđt nghiắm cỳa n F (x, u, Du, D2u) = Ω F (x, u, Du, D2u) = u = g ho¾c ∂Ω (2.20) Tính chat on đ%nh cna (2.12) đoi vói giói han yeu đ¾c bi¾t huu ích vói đ%nh lý ve sn so sánh nghi¾m cho tốn biên (2.12) sau Đ%nh lý 2.2.15 Cho u1 ∈ USC(Ω) u2 ∈ LSC(Ω) tương úng nghi¾m dưói nghi¾m cúa phương trình u + H(x, Du) = Ω H thóa mãn (2.1) Ω t¾p mó, b% ch¾n vói biên Lipschitz Neu u1 liên tnc tai moi điem cúa ∂Ω u2 thóa mãn u2 ≥ u1 ho¾c u2 + H(x, Du2) ≥ 0trên ∂Ω theo nghĩa nhót, the u1 ≤ u2 Ω Ket lu¾n hồn tồn cho u2 neu u2 liên tnc tai điem thu®c ∂Ω u1 ≤ u2 ho¾c u1 + H(x, Du1) ≤ 0trên ∂Ω De dàng ket hop M¾nh đe 2.2.12 vói Đ%nh lý 2.2.15 đe nh¾n đưoc ket q ve sn hđi tu sau õy oi vúi bi toỏn triắt tiờu đ nhút (2.15) Hắ quỏ 2.2.16 Dúi giỏ thiet cúa M¾nh đe 2.2.12 giá sú thêm F (x, r, p) = r + H(x, p) vói H thóa mãn (2.1), Ω b% ch¾n vói biên Lipschitz Neu ton tai mđt nghiắm v C() cỳa v + H(x.Du) = 0trong Ω v=g the un h®i tn đeu đen v ∂Ω (2.21) Chúng minh Tù M¾nh đe 2.2.12 , u = lim inf un l mđt nghiắm n→∞ ∗ cna (2.12), (2.21) khang đ%nh thú nhat cna Đ%nh lý 2.2.15 cho ta v ≤ u Tương tn, khang đ%nh cuoi cna Đ%nh lý 2.2.15 cho ta u ≤ v Tù u = u = v, khơng khó đe chí rang un h®i tu đeu đen v Lưu ý rang đ%nh lý ve sn h®i tu giá thiet tính compact rat yeu Cu the chuyen qua giói han m®t tốn nhieu kì d% cho phương trình phi tuyen đay đn vói m®t đieu ki¾n ve sn đánh giá tiên nghi¾m xap xí un đeu theo chuan L∞ (thnc te chí can đánh giá theo chuan đ%a phương đn) 2.2.3 SN h®i tn cúa lưac đo xap xí bán rài rac Chúng ta xét lưoc đo Euler vói bưóc h > oi vúi hắ đng lnc oc ieu khien bói hai ngưòi chơi (1.13) sau yn+1 = yn + h.f (yn, an, bn) (DS) y0 = x a := {an} ∈ AN , b := {bn} ∈ BN Chúng ta goi (DS) h¾ đ®ng lnc vói thòi gian ròi rac ta xét tốn chiet khau thòi gian toi thieu nêu Muc 1.2 Chi phí cna trò chơi vói thòi gian ròi rac đưoc cho bói Jh(x, a, b) := − e−h.nh(x,a,b) nh(x, a, b) := min{n ∈ N : yn ∈ T , y nghi¾m cna (DS)} T t¾p đích Chú ý rang mong h.nh(x, a, b) xap xí cho tx(a, b) h nhó, a(t) := a[t/h], b(t) := b[t/h] ([s] kí hi¾u phan ngun cna s) Chúng ta xét trò chơi làm non tai thòi gian nh ngưòi chơi thú nhat chon an biet sn lna chon sap tói bn cna ngưòi chơi thú hai Giá tr% cna trò chơi Vh(x) := inf supJh(x, α[b.], b.), α∈Λ b Λ t¾p chien lưoc ròi rac khơng đ%nh trưóc cna ngưòi chơi thú nhat Λ := {α : B N → AN |bj = ˆbj ⇒ α[b ]j = α[ˆb ]j vói j ≤ n} Trò chơi làm tr®i vói j ≤ n đưoc đ%nh nghĩa bang cách cho loi the ve thơng tin đoi vói ngưòi chơi thú hai thay cho ngưòi chơi thú nhat giá tr% cna trò chơi Uh(x) := supinfJh(x, a., β[a.]), β∈Γ a Γ t¾p chien lưoc ròi rac khơng đ%nh trưóc cna ngưòi chơi thú hai Ngun lý quy hoach đ®ng đoi vói trò chơi làm non sau M¾nh đe 2.2.17 Vói hàm u : RN → R ta đ%nh nghĩa Su(x) := supinf e−hu(x + hf (x, a, b)) + − e−h b∈B a∈A vh (x) = Svh (x) ∀x ∈/ T Khi (2.22) Phương trình (2.22) đóng vai trò phương trình Isaacs cho trò chơi làm non vói thòi gian ròi rac Tương tn có phương trình cna hàm giá tr% uh cna trò chơi làm tr®i Ket q tiep theo mơ tá vh nghi¾m nhat cna (2.22) t¾p B0(RN ) = {u : RN → R b% ch¾n u = T } Bo đe 2.2.18 Ánh xa S : B0(RN ) → B0(RN ) ánh xa co báo ton thú tn Đ¾c bi¾t vh điem bat đ®ng nhat cúa S B0(RN ) Ket q cuoi ve trò chơi vói thòi gian ròi rac cho thay ta có the xây dnng m®t chien lưoc phán hoi toi ưu cho ngưòi chơi thú nhat m®t đieu khien toi ưu cho ngưòi chơi thú hai tù sn hieu biet ve hàm giá tr% vh bang cách giái toán huu han chieu sau vói moi y ∈ RN maxminvh(y + hf (y, a, b)) b∈B a∈A N M¾nh đe 2.2.19 Cho F : R × B → A cho F (y, b) ∈ argminvh(y + hf (y, a, b)) a∈A N Vói bat kỳ dãy b ∈ B x ∈ RN xét dãy {zn[b]} RN xác đ %nh bói zn+1 = zn + hf (zn , F (zn , (2.23) ¯bn ), ¯bn ), z0 = x, goi α∗[b]n := F (zn, bn) Khi α∗ ∈ Λ toi ưu đoi vói điem ban đau x, túc vh(x) = supJh(x, α∗[b], b) b Hơn nua ∗ ∗ vh(x) = Jh(x, α∗[b ], b ) ∗ vói moi b ∈ B N cho ∗ n ∈ G(zn[b ]), ¯b∗ G(y) := argmax minvh(y + hf (y, a, b)) b∈B a∈A Đ%nh lý 2.2.20 Giá sú ta có giá thiet ó Mnc 1.2 Ω := RN \ T b% ch¾n vói biên Lipschitz Neu hàm giá tr% dưói V (tương úng: hàm giá tr% U) cúa trò chơi vi phân liên tnc vh h®i tn đeu đen V (tương úng: uh h®i tn đeu đen U) h → Tù Đ%nh lý 2.2.20 H¾ q 2.2.3 ta có m®t đ%nh nghĩa tương đương cho giá tr% cna trò chơi sau w(x) := limvh(x) = limuh(x) h→0 (2.24) h→0 H¾ q 2.2.21 Giá sú có tat cá giá thiet cúa Đ%nh lý 2.2.20 đieu ki¾n Isaacs (2.10) Khi hai giói han (2.24) bang w = U = V Phác hoa chúng minh cúa Đ%nh lý 2.2.20 Chúng minh dna ý tưóng mơ tá muc 2.2.2 Chúng ta xét giói han yeu dưói cna vh v(x) := lim sup ∗vh(x) h→0 = lim sup vh(y) : < h < δ, y ∈ Ω, |y − x| < δ , δ→0 v(x) := lim inf ∗vh(x) h→0 = lim inf vh(y) : < h < δ, y ∈ Ω, |y − x| < δ δ→0 Chú ý rang ≤ vh ≤ nên ≤ v ≤ v ≤ Ta chúng minh rang v v tương úng nghi¾m dưói nghi¾m cna u + H(x, Du) = Ω u = ho¾c ∂Ω, u + H(x, Du) = (2.25) theo nghĩa cna Đ%nh nghĩa 2.2.9, H(x, p) = minmax{−f (x, a, b).p} b∈B a∈A Tương tn chúng minh cna H¾ q 2.2.16: Vì V nghi¾m cna (2.25) (Đ%nh lý 2.2.1) V = ∂Ω, nên theo Đ%nh lý so sánh 2.2.15 ta có v ≤ V ≤ v Vì v¾y tù v = V = v ta có v, v tương úng nghi¾m dưói, nghi¾m cna (2.25) Tiep theo ta chúng minh vh → v đeu Ω trưòng hop đơn gián hơn, tốn tìm thòi gian toi thieu khơng có chiet khau Chúng minh cho tốn có chiet khau ve bán giong tốn khơng có chiet khau, tính tốn dài Hàm giá tr% wh cna tốn thòi gian ròi rac khơng có chiet khau thóa mãn Ngun lý quy hoach đ®ng sau wh(x) = supinf wh(x + hf (x, a, b)) + h (2.26) b∈B a∈A se chúng minh rang giói han yeu w = lim supwh l h0 mđt nghiắm dúi cna H(x, Du) = Ω (2.27) Lay ϕ ∈ C1(Ω) cho x ∈ Ω m®t điem cnc đai ng¾t cna w − ϕ (trưòng hop x ∈ ∂Ω có the đưoc sú lý tương tn chúng minh cna M¾nh đe 2.2.12) Giá sú đơn gián rang wh núa liên tuc trên, có the áp dung Bo đe 2.2.13 (neu khơng núa liên tuc ta thay the wh bói bao núa liên tuc cna nó) Khi ton tai hn → xn → x cho whn − ϕ có cnc đai tai xn Chúng ta kí hi¾u yn := xn + hnf (xn, a, b), wn := whn Tù (2.26) tính chat cna xn ta nh¾n đưoc inf sup b∈ Ba ∈A ϕ(xn) − ϕ(yn) hn ≤ inf sup b∈B a∈A wn(xn) − wn(yn) hn ≤ Tù tính vi cna ϕ nh¾n đưoc inf sup {Dϕ(xn).f (xn, a, b) + o(hn)} ≤ b∈B a∈A Cuoi cho n → ∞ ta nh¾n đưoc H(x, Dϕ(x)) ≤ 1, chỳng tú w l mđt nghiắm cna (2.27) Mđt cỏch tn nhiên có câu hói: li¾u phán hoi toi ưu vói tốn thòi gian ròi rac đưoc xây dnng M¾nh đe 2.2.19 có gan vói phán hoi toi ưu cna trò chơi vi phân ban đau hay khơng, có h®i tu tói đieu khien toi ưu cna trò chơi hay khơng Đã có m®t so câu trá lòi đoi vói tốn thòi gian vơ han m®t ngưòi chơi dưói nhung giá thiet thích hop Chang han, giá sú cho ah ∈ AN m®t đieu khien toi ưu cna tốn vói thòi gian huu han ròi rac vói bưóc h > điem ban đau x, túc vh(x) = Jh(x, ah), mó r®ng xét đoi vói đieu khien hang tùng khúc ah(.) ∈ A m®t cách tn nhiên h ah(t) := a [t/h ] Khi ah(.) m®t dãy cnc tieu hóa cna tốn thòi gian liên tuc, túc limJ (x, ah(.)) = v(x) h→0 Hơn nua có m®t dãy hn → cho [0, T ], ahn (.) h®i tu yeu∗ L∞ đen m®t ”đieu khien toi ưu” a∗(.) quy đao tương úng yx(., ahn ) h®i tu đeu đen yx(., a∗) vói moi T > 2.3 Ket lu¾n chương Chương trình bày úng dung có the cna nghi¾m nhót lý thuyet đieu khien toi ưu lý thuyet trò chơi vi phân Đoi vói lý thuyet đieu khien toi ưu, đưa úng dung cna nghi¾m nhót vi¾c khac phuc nhung khó khăn cna phương pháp quy hoach đ®ng co đien, đ¾c trưng hóa hàm giá tr% nghi¾m nhót nhat cna tốn biên thích hop Đưa đieu ki¾n can đn đe ton tai đieu khien toi ưu Đoi vói lý thuyet trò chơi vi phân, giói thi¾u úng dung cna nghi¾m nhót đe xây dnng phán hoi toi ưu Đây bưóc quan nhat cna phương pháp quy hoach đ®ng úng dung Đã xây dnng đưoc phán hoi toi ưu cho tùng ngưòi chi oi vúi hắ đng lnc oc ieu khien búi hai ngưòi chơi KET LU¾N Lu¾n văn trình bày kien thúc bán ve nghi¾m nhót cna phương trình Hamilton- Jacobi, lý thuyet đieu khien toi ưu, lý thuyet trò chơi vi phân úng dung cna nghi¾m nhót lý thuyet đieu khien toi ưu lý thuyet trò chơi vi phân Trên só xây dnng kien thúc chuan b%, co gang đưa nhung úng dung có the cna nghi¾m nhót lý thuyet đieu khien toi ưu đ¾c bi¾t lý thuyet trò chơi vi phân Lu¾n văn chí dùng ó nhung tốn mà phương trình quy hoach đ®ng nhung phương trình đao hàm riêng phi tuyen cap m®t (cu the phương trình Hamilton- Jacobi-Benman).Trong moi tình huong cu the chúng tơi thưòng lay tốn chiet khau thòi gian toi thieu làm tốn mau Vói pham vi lu¾n văn thòi gian han che, vi¾c đưa úng dung cna nghi¾m nhót chí dùng ó vi¾c giói thi¾u lý thuyet Vi¾c giái quyet tốn đ¾t thnc te, khoa hoc can đưoc nghiên cúu sâu nua Tài li¾u tham kháo [1] Nguyen Huu Dư (2005), Đieu khien toi ưu h¾ tat đ%nh ngau nhiên, NXB ĐHQG Hà N®i [2] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giái tích hàm, NXB ĐHQG Hà N®i [3] Tran Đúc Vân (2005), Lý thuyet phương trình vi phân đao hàm riêng, NXB ĐHQG Hà N®i [4] M Bardi, I Capuzzo-Dolcetta (1997), Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations, Birkha Boston, Basel, Berlin user, [5] I Capuzzo-Dolcetta, P L Lions (1997), Viscosity solutions and applications (Montecatini, 1995), volume 1660 of Lecture notes in mathematics, Berlin, Springer [6] M.G Crandall, H Ishii and P.L Lions (1992), User’s Guide to Viscosity Solutions of Second Order Partial Differential Equations, Bull A.M.S., 27, 1-67 [7] M.G Crandall and P.L Lions (1983), Viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Trans Amer Math Soc., 277, 1-42 ... lý thuyet đieu khien toi ưu tat đ%nh, đ¾c biắt l cỏch tiep cắn quy hoach đng Tỡm hieu ve lý thuyet trò chơi vi phân • Tìm úng dung cna nghi¾m nhót lý thuyet đieu khien toi ưu lý thuyet trò chơi. .. toi ưu lý thuyet trò chơi vi phân (xem [4],[5]) Đe nâng cao sn hieu biet ve loai nghiắm suy rđng ny chỳng tụi chon đe tài ”Úng dung cna nghi¾m nhót lý thuyet đieu khien toi ưu lý thuyet trò chơi. .. chơi vi phân" Mnc đích nghiên cNu Nghiên cúu khái ni¾m nghi¾m nhót cna phương trình đao hàm riêng, tính chat úng dung có the cna chúng lý thuyet đieu khien toi ưu đ¾c bi¾t lý thuyet trò chơi vi phân