Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán phần nguyên hàm,logarit tham khảo
CHUYÊN ĐỀ - NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ VÀ HÀM LƠGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Ngun hàm vơ tỉ: Với α ≠ −1 thì: α ∫ x dx = xα +1 u α +1 + C ; ∫ u α u '.dx = +C α +1 α +1 Các biến đổi: chia tách, thêm bớt, khai triển, nhân chia lượng liên hợp, mũ phân số m n a m = a n ,… Các dạng tích phân vơ tỉ: b ∫ a b ∫ a dx : nhân hợp liên hiệp (trục mẫu) px + q + px + r x−k dx : trục tử x+k b dx ∫ ( x + m) ( x + n) : Đặt t = x+m + x+n a b ∫ a px x +m dx : Đặt u = x + m b ∫ k − x dx : Đặt x = k sin t k cos t a b ∫ a x +m :Đặt t = x + x2 + m b ∫ x + mdx : Đặt u = x + m , dv = dx a b ∫ (αx + β ) a dx px + qx + r : Đặt t = αx+ β ) ∫ R ( x, k − x dx : Đặt x = k sin t k cos t ∫ R ( x, k + x dx : Đặt x = k tan t k cot t b a b a ) http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang ) ∫ R ( x, b a b ∫ R x; k k sin t cos t x − k dx : Đặt x = αx + β γ x +δ n a αx+ β ÷dx : Đặt t = n γ x +δ ∫ R ( x, ( x − α ) ( β − x ) ) dx : Đặt x = α + ( β − α ) sin b t a ) ∫ R ( x, b px + qx + r dx : Đặt a px + qx + r = t + x p px + qx + r = t − x r Nguyên hàm mũ lôgarit: ∫ e dx = e x x ∫ e u ' dx = e +c u ax ∫ a dx = ln a + c u +c au ∫ a u '.dx = ln a + c ( a > 0, a ≠ 1) x u Các dạng tích phân phần: b ∫ P ( x ) e αx dx : Đặt u = P ( x ) , dv = eα x dx a b ∫x α ln xdx : Đặt u = ln x, dv = xα dx a b ∫e αx sin β xdx : Đặt u = eα x , dv = sin β xdx a b ∫e αx cos β xdx : Đặt u = eα x , dv = cos β xdx a CÁC BÀI TỐN Bài tốn 8.1: Tính a) ∫( ) x + x dx b) ∫ x( ) x − x + dx Hướng dẫn giải 12 32 34 x + x dx = ∫ x + x ÷dx = x + x + C a) ∫( b) ∫ x( 3 ) 56 116 74 32 x − x + dx = ∫ x − x + x ÷dx = x − x + x + C 11 ) http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang Bài tốn 8.2: Tính a) − ÷dx x x x x+ x ∫ x dx ∫ b) Hướng dẫn giải − x x+ x dx = ∫ + x ÷dx = x − +C a) ∫ x x x − 1 − ÷dx = ∫ − x ÷dx = x − x + C b) ∫ x x x Bài toán 8.3: Tính a) I = ∫ dx x+3− x−4 b) J = ∫ dx , a ≠ 0, b ≠ c ax + b + ax + c Hướng dẫn giải 7∫ a) I = = b) J = ( ) x + + x − dx = 3 ( x + 3) + ( x − ) + C 21 b−c ∫ = 1 + ( x − ) dx x + ( ) ÷ ∫ ( a ( b − c) ) ax + b − ax + c dx ( ( ax + b ) Bài tốn 8.4: Tính a) E = ∫ − ( ax + c ) ) +C x + x −4 + 2dx b) F = ∫ xdx x+2 Hướng dẫn giải 1 + x −2 ) dx = ∫ x + ÷dx = x − + C x x a) E = ∫ (x b) F = x+2−2 − − ( x + ) dx = − 3( x + 2) + C dx = x + x + ( ) ( ) ÷ ∫ x+2 ∫ Bài toán 8.5: Tính: a) A = ∫ ( x − 3) x − 3dx b) B = ∫ − x dx Hướng dẫn giải http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang a) Đổi biến: Đặt t = x − ⇒ x = t + ⇒ dx = 2t.dt A = ∫ ( 2t + 3) dt = ∫ ( 2t + 3t ) dt = t + 2t + C = ( x − 3) ( x − 1) + C 5 b) Đặt t = − x ⇒ x = ( − t ) ⇒ dx = −2 ( − t ) dt Q = 2∫ t −1 1 dt = ∫ 1 − ÷dt t t = ( t − ln t ) + C = −2 Bài tốn 8.6: Tính: a) ∫ ( ( ) x + ln − x + C dx x 1+ x ) b) ∫ x2 + dx Hướng dẫn giải a) Đặt t = + x ⇒ x = t − ⇒ dx = 2t.dt ∫ 1+ x t dt dx = 2∫ = 1 + ÷dt x t −1 t −1 = ∫ dt + ∫ − ÷dt = 2t + ln t − − ln t + + C t −1 t +1 = + x + ln 1+ x −1 +C 1+ x +1 b) Đặt t = + x ⇒ x = t − ⇒ dx = 2t.dt ∫ 1+ x t dt dx = 2∫ = 1 + ÷dt x t −1 t −1 = ∫ dt + ∫ − ÷dt = 2t + ln t − − ln t + + C t −1 t +1 = + x + ln b) Đặt t = x + 1+ x −1 +C 1+ x +1 x + ⇒ dt = 1 + ÷dx ⇒ x2 + x dx x2 + = dt t http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang ∫ dx x +9 =∫ dt = ln t + C = ln x + x + + C t 7/3 ∫ Bài toán 8.7: Tính: a) K = x +1 dx 3x + b) L = ∫ dx x +1 − x −1 Hướng dẫn giải t3 −1 a) Đặt t = x + ⇒ x = ⇒ dx = t dt 3 t = Khi x = t = 1, x = K = ∫ ( t + 2t ) dt = 31 b) L = ∫ 22 ( t5 t3 46 + ÷ = 15 15 3 1 7−3 + 2 x + + x − dx = ( x + 1) + ( x − 1) ÷ = 3 1 ) a Bài tốn 8.8: Tính: a) A = ∫ a /2 a − x dx 2 b) B = ∫ dx a − x2 Hướng dẫn giải a) Đặt x = a sin t với − π π ≤ t ≤ dx = a cos t 2 Khi x = t = 0, x = a t = A=a π /2 ∫ cos t cos tdt = a π /2 ∫ π a2 cos tdt = 2 π /2 ∫ ( + cos 2t ) dt π /2 a sin 2t π a2 = t + = ÷ 2 0 b) Đặt x = a sin t với − π π < t < dx = a cos tdt 2 Khi x = t = 0; x = B= π /6 ∫ a cos tdt = a cos t π /6 a π t = π ∫ dt = http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang b Bài tốn 8.9: Tính: a) C = b dx ∫ x +b ∫ b) D = x + b dx Hướng dẫn giải a) Đặt t = x + C= b + 2b ∫ b x + b ⇒ dt = 1 + dt = ln t t b + 2b b ( = ln + ( b b) D = ∫ x + bdx = x + x + b b =b 2− ∫ x2 + b − b x +b b b − nên D = 2 0 b − ∫ x2 + b b x +b dx = = dt t dx x +b ( dx b − ln + 2 + x2 dx x4 ∫ x +b x2 dx = b − D + b ∫ Bài tốn 8.10: Tính: a) K = ) b dx ) b ∫ ÷dx ⇒ x2 + b x b) L = ∫ 1/2 (x ) + 1) dx x x4 + Hướng dẫn giải t a) Đặt x = ⇒ dx = 1/2 −1 dt t2 K = − ∫ t + t dt = − b) L= ∫ 1/2 1 5 2 + t d + t = − − 2 ( ) ( ) ÷ ∫1 3 1/2 1 x dx = dx− ÷ ∫ x 1/2 1 x2 + x − + ÷ x x 1+ 2 1 13 + = ln x − + x − ÷ + ÷ = ln ÷ x x 13 − 1/2 ∫ Bài toán 8.11: Tính: a) A = x − x dx b) B = ∫ x − x dx Hướng dẫn giải http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang π π ≤ t ≤ ÷ ⇒ dx = cot dt 2 a) Đặt x = sin t − Khi x = t = 0, x = t = A= π /2 ∫ = π /2 ∫ sin t cos tdt = 2 π π /2 ∫ sin 2tdt π /2 − cos 4t sin 4t π = t − ÷ = 8 0 16 b) Đặt t = − x ⇒ x = − t ⇒ xdx = −tdt Khi x = t = 1, x = t = B = ∫ ( 1− t ) 2 t7 t ( −t ) dt = ∫ ( t − 2t + 1) t dt = − t + t ÷ = 105 7 2 Bài tốn 8.12: Tính: a) I = a/ x dx ∫ b) x2 + x + J= ∫ xdx a2 + x2 + (a + x2 ) Hướng dẫn giải 1 x + x + = x + ÷ + , ( x + x + 1) ' = x + 2 a) Ta có 1 3 + B ( x + 1) + C Đặt x = A x + ÷ + ÷ ÷ Đồng A = 1, B = −2, C = − nên 1 2x + 1 I = ∫ x + ÷ + − − 2 1 1 x+ ÷ + x+ ÷ + 2 2 ÷ ÷ ÷dx ÷ ÷ 2x + = x + x + − ln x + + x + x + ÷÷ http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang = 3 −1 − ln 1 + ÷ 3 a/ xdx ∫ b) J = a2 + x2 + a2 + x2 xdx 2 Đặt t = + a + x ⇒ dt = J= a +1 ( dt = t t ∫ a +1 ) a +1 a +1 =2 a2 + x2 ( 2a + − a + 4096 Bài tốn 8.13: Tính: a) K = ∫ 128 ⇒ xdx = ( t − 1) dt xdx x2 − x ) b) L = ∫ dx x2 − 5x + Hướng dẫn giải a) Đặt x = t12 dt = 12t 11dt Khi x = 128 t = 2, x = 4096 t = t14 t4 K = 12 ∫ dt = 12 ∫ t + t + ÷dt t −1 t −1 2 t10 t = 12 + + ln t − ÷ 10 5 b) Đặt t = 2 464 − 31 = 12 + ln ÷ 5 −1 x−2 + x−3 1 x − + x − ⇒ dt + ÷dx x − 2 x − 1 ⇒ dt = + ÷dx ⇒ x −2 x −3 L=∫ 2+ dx ( x − ) ( x − 3) : 2dt ∫ t = ln t +1 dx ( x − ) ( x − 3) 2+ +1 = ln = 2dt t 2+ +1 Bài tốn 8.14: Tính: a) A = ∫ ( x + 1) dx x2 + 2x + 1/2 b) B = ∫ (x dx − 1) x + Hướng dẫn giải http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 1 dt ⇒ x = − ⇒ dx = − x +1 t t a) Đặt t = 1/2 dt A=−∫ Đặt u = t + t + ⇒ t2 +1 Do A = − dt t2 +1 = du u ( ( 1+ ) /2 1+ du ( 1+ ) /2 = − ( ln u ) 1+ = ln u 1+ ∫ 1+ ) 2t 2dx ⇒ dt = b) Đặt t = x + ⇒ x = 1− t ( x2 + 2) x2 + 2 3/2 3/2 dt D= ∫ = 3t − t −1 = ln ÷ t + ÷ 1 − ÷dt −1 t +1 ∫ t 3/2 = 2 ln ( ) 6) − 12 ( 23 − Bài toán 8.15: Tính: a) I n = ∫ (1+ x ) n n 1+ x n ∫ dx n b) J n = x − xdx Hướng dẫn giải a) I n = ∫ (1+ x ) n = 1 + xn − xn n + xn dx = ∫ 1 − ∫ xd n + xn 0 n + xn x n + xn dx − ∫ xn (1+ x ) n n + xn dx xn − dx ÷ ∫ n n n (1+ x ) 1+ x 1 xn xn = n +∫ dx − ∫ dx = n n n n ( + xn ) n + xn (1+ x ) 1+ x b) u = x n , dv = − xdx n −1 Khi du = nx dx, v = − Jn = − x ( 1− x ) 3 ( 1− x) 2n n −1 + x ( x − 1) − xdx ∫0 http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang = 0+ Vậy J n = 2n 2n J n −1 ( J n−1 − J n ) ⇒ J n = 2n + 2n ( n − 1) 2n +1.n ! J = 2n + 2n + 3.5 ( 2n + 3) x Bài tốn 8.16: Tìm hàm số f số thực a > thỏa mãn điều kiện: ∫ a f ( t) dt + = x với x > t2 Hướng dẫn giải Gọi F ( t ) nguyên hàm hàm số f ( t) t2 Theo định nghĩa tích phân, ta có với x > F ( x) − F ( a) + = x Cho x = a ta a = F ( x ) − F ( ) + = x nên F ' ( x ) = f ( x) 1 ⇒ = ⇒ f ( x ) = x3 x x x Bài tốn 8.17: Tính: a) x x ∫ ( − ) dx b) ∫ x ( − 5− x ) 3x dx Hướng dẫn giải a) ∫( x −3 ) x 4x 6x 9x dx = ∫ ( − 2.6 + ) dx = −2 + +C ln ln ln x x x x b) ∫ x ( − 5− x ) 3x 5 x x ÷ −1 3x 3 −x dx = ∫ x = ∫ ÷ − ÷dx = + +C ÷ ln 3 ln ∫ sin x Bài tốn 8.18: Tính: a) e cos xdx b) ∫e x dx − e− x Hướng dẫn giải a) ∫e sin x cos xdx = ∫ esin x d ( sin x ) = esin x + C t x b) Đặt t = e x dt = e dx ⇒ dx = dt http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 10 ∫ ln xdx = x ln x − ∫ x x dx = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C b) Đặt u = ln x, v ' = ∫ x ⇒ u ' = , v = x Ta có: x 32 12 32 32 x ln xdx = x ln x − ∫ x dx = x ln x − x + C 3 Bài tốn 8.22: Tính: a) ∫ ( ln x ) x dx b) ∫ x ln x dx 1+ x Hướng dẫn giải a) ∫ ( ln x ) x dx = ∫ ( ln x ) d ( ln x ) = ln x + C x2 x ,v = , du = xdx Khi du = b) Đặt u = ln x(1+ x) 1+ x ∫ x ln x x2 x x dx = ln − ∫ dx 1+ x 1+ x 1+ x x2 x x2 x 1 = ln + ∫ − 1÷dx = ln + ln + x − x + C 1+ x 1+ x 1+ x 2 Bài tốn 8.23: Tìm ngun hàm a) I = x ln ( x ) dx b) J = x cos ( x ) dx ∫ ∫ Hướng dẫn giải a) Đặt u = ln ( x ) , dv = x dx Khi du = Ta có: I = x4 dx, v = x x ln ( x ) x ln ( x ) x x3 − ∫ dx = − +C 4 16 b) Đặt u = x , dv = cos ( x ) dx Khi du = xdx, v = − sin ( x ) x sin ( x ) Ta có: J = − ∫ x sin ( x ) dx Đặt u = x, dv = sin ( x ) dx Khi du = dx, v = cos ( x ) : http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 12 ∫ x sin ( x ) dx = − x cos ( x ) cos ( x ) x cos ( x ) sin ( x ) +∫ dx = + +C 2 x sin ( x ) x cos ( x ) sin ( x ) nên J = + − +C 2 Bài tốn 8.24: Tính: a) I = sin ( ln x ) dx x b) J = e ( cos x + x sin x ) dx ∫ ∫ Hướng dẫn giải a) Đặt u = ln x x = eu nên dx = eu du A = ∫ sin u.eu du = ∫ sin ud ( eu ) = sin u.eu − ∫ cos u.eu du = sin u.eu − ∫ cos u.d ( eu ) = sin u.eu − cos u.eu − ∫ sin u.eu du Từ suy A = x ( sin ( ln x ) − cos ( ln x ) ) + C b) Đặt u = e x , dv = cos x Khi du = xe x dx, v = sin x 2 x x x ∫ e cos xdx = e sin x − ∫ xe sin xdx 2 x x nên J = e ( cos x + x sin x ) = e sin x + C ∫ 2 Bài tốn 8.25: Tính: a) K = ∫( x + x + 1) e dx b) L = x ∫( x + ) e x dx Hướng dẫn giải x a) Đặt u = x + x + 1, dv = e x dx Khi du = ( x + 1) dx, v = e K = ( x + x + 1) e 21 x 1 − ∫ ( x + 1) e dx = 3e − − ∫ ( x + 1) e x dx x 0 Đặt tiếp u = x + 1, dv = dx K = ( e − 1) b) Đặt u = x + 2, dv = e x dx Khi du = x dx, v = e x L = e ( x + ) − 3∫ x 2e x dx x 0 Dùng tích phân phần lần L = http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 13 ln Bài toán 8.26: Tính: a) A = ∫ ln dx e −1 x b) B = ∫ xe x ( 1+ x) dx Hướng dẫn giải x a) Đặt u = x + x + 1, dv = e x dx Khi du = ( x + 1) dx, v = e 1 0 K = ( x + x + 1) e x − ∫ ( x + 1) e x dx = 3e − − ∫ ( x + 1) e x dx Đặt tiếp u = x + 1, dv = dx K = ( e − 1) b) Đặt u = x + 2, dv = e x dx Khi du = x dx, v = e x L = e ( x + ) − 3∫ x 2e x dx x 0 Dùng tích phân phần lần L = ln Bài tốn 8.26: Tính: a) A = ∫ ln dx e −1 x b) B = xe x ∫ ( 1+ x) dx Hướng dẫn giải x x a) Đặt t = e − ⇒ e = t + ⇒ dx = A= ∫t 2tdt t2 +1 π dt Đặt t = tan u B = +1 1 ex ex dx − ∫ dx + x + x ) 0 ( b) B = ∫ −e x 1 e x e ex =∫ dx − +∫ dx ÷ = − 1+ x 0 1+ x ÷ 1+ x π ∫ π ∫ 2x Bài toán 8.27: Tính: a) e cos xdx b) J = e sin xdx x Hướng dẫn giải a) Đặt u = cos x, dv = e x , du = − sin x, v = e x π π 0 I = cos x.e x + ∫ e x sin xdx = −1 − eπ + ∫ sin xd ( e x ) π http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 14 = −1 − e + ( sin x.e π x ) π π − ∫ e x cos xdx = −1 − eπ − I 0 Do I = −1 − eπ ⇒ I = − + eπ π π π 1 2x 2x 2x b) J = ∫ ( − cos x ) d ( ) = e ( − cos x ) − ∫ e sin xdx 40 20 Dùng phần lần liên tiếp J = 2π ( e − 1) Bài toán 8.28: Tính a) I = 1 3x dx x −x + x+ x + x − ÷e dx ∫0.5 x b) J = ∫ Hướng dẫn giải a) I = ∫e x+ x dx + 0,5 Đặt u = e x+ x 1 x+ ∫0,5 x − x ÷ e x dx 1 x+ x , dv = dx Khi du = x − x ÷e dx, v = x 2 x+ x+ Ta có: ∫ x − ÷e x dx = xe x x 0,5 Suy I = xe x+ x 0,5 − ∫e x+ x dx 0,5 0,5 = e 2,5 1 3− x dx J + E = ∫ dx = b) Xét E = ∫ x −x + 0 1 3x − 3− x 1 dx = ln ( 3x + 3− x ) = ln J − E = ∫ x −x +3 ln ln 3 0 Do đó: J = 1 5 ln ÷ 1 + ln 3 Bài tốn 8.29: Tính: a) A = ∫ −1 − x2 dx + 2x ∫ x b) B = x e sin xdx Hướng dẫn giải http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 15 a) A = ∫ −1 1 − x2 − x2 dx + ∫ dx + 2x + 2x 0 ∫ Đặt x = −t −1 Do A = ∫ (1+ ) − x2 x 1+ 1 − x2 2t − t 2x − x2 dx = ∫ dt = ∫ dx + 2x + 2t + 2x 0 Đặt x = sin t A = x dx = ∫ − x dx π b) Đặt u = x sin x, dv = e x dx B = e x sin x − ∫ e x ( x sin x + x cos x ) dx x 0 1 = e sin1 − ∫ xe sin xdx − ∫ x 2e x cos xdx x 0 Từ tính B = e sin1 dx Bài tốn 8.30: Tính a) I = ∫ x −1 ( e + 1) ( x + 1) b) J = π sin x ∫−π 3x + dx Hướng dẫn giải a) Đặt x = −t dx = − dt Khi x = −1 ⇒ t = 1, x = −1 ⇒ t = −1 1 dx dt et I = = − = Ta có ∫−1 ( e x + 1) ( x + 1) ∫1 ( e−t + 1) ( t + 1) −∫1 ( et + 1) ( t + 1) dt ex I=∫ x dx −1 ( e + 1) ( x + 1) nên I = I + I = ∫t −1 dt π π = Vậy I = +1 −π b) Đặt x = −t dx = − dt nên: π J =−∫ π π sin t 3x.sin x dt = ∫ dx x 1 + −π +1 3t π π Do J = ∫ sin xdx = ∫ ( + cos x ) dx ⇒ J = −π −π http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 16 ∫ ( ) ∫ Bài tốn 8.31: Tính a) A = ln x − x dx b) B = x ln xdx 2 Hướng dẫn giải 3 2x −1 dx = 3ln − 2ln − ∫ + a) A = x ln ( x − x ) − ∫ ÷dx = 3ln − 2 x −1 x −1 2 b) Đặt u = ln x, dv = x dx Khi du = dx , v = x6 x 2 x ln x x dx 32 B= − = ln − ÷ ∫ 1 e e ∫ Bài toán 8.32: Tính a) C = x ln xdx b) D = ∫( x − x + 1) ln xdx Hướng dẫn giải a) Đặt u = ln x, dv = xdx Khi du = 2ln x dx, v = x x e e e x2 e2 C = ln x ÷ − ∫ x ln xdx = − ∫ x ln xdx 1 Đặt u = ln x, dv = xdx Khi du = e e dx x2 ,v = x e x2 e2 e2 − x ln xdx = ln x − xdx = − e − ⇒ C = ( ) ∫1 2 ∫1 4 ( ) b) Đặt u = ln x, dv = x − x + dx thì: e e x3 x x3 x 1 D = − + x ÷ln x − ∫ − + x ÷ dx x 1 = e x2 x e3 e 2e3 e 31 − + e − ∫ − + 1÷dx = − + 3 36 1 e Bài tốn 8.33: Tính: a) I = ∫ + ln x ln x dx b) J = ∫ dx x x Hướng dẫn giải http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 17 e a) I = ∫ ( + ln x ) ∫ b) J = ln xd e ( x) = ( = 4ln − ( ) d ( + ln x ) = ( + ln x ) = 2 − ( x) x ln x ) 4 − 2∫ dx x = ( ln − 1) Bài tốn 8.34: Tính: a) A = π /2 ∫ cos x ln ( sin x ) dx ∫ b) B = ln π /4 x −1 dx x +1 Hướng dẫn giải a) A = π /2 π /2 ∫ ln ( sin x ) d ( sin x ) = sin x.ln ( sin x ) π /4 π /4 − π /2 ∫ cos xdx π /4 π /2 2 2− = ln − sin x = ln − 4 π /4 3 x −1 2x b) B = x ln ÷ − ∫ dx = 3ln − 6ln x +1 2 x −1 Bài tốn 8.35: Tính: a) C = + ln x ∫ ( x + 1) dx b) D = ∫ ( x ln x + x + x2 + ) dx Hướng dẫn giải 3 3 + ln x dx −1 +∫ a) C = ∫ ( + ln x ) d ÷= − x + 1 x ( x + 1) x +1 3 + ln 3 dx 1 27 =− + + ∫ dx − ∫ = + ln ÷ 1x x +1 16 ) ( x b) Đặt u = ln x + x + , dv = ( D = x + 1.ln x + x + 2 ) x +1 thì: − ∫ dx = 2ln − Bài tốn 8.36: Tính: e a) I = ∫ ( + x ) ln x + dx + x ln x b) I = ∫ x + 2ln x ( x + 1) dx http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 18 Hướng dẫn giải e ∫ a) Ta có I = ( + x ) ln x + dx = e ( + x ln x ) + ( + ln x ) dx ∫ + x ln x e + x ln x e e + ln x + ln x e = ∫ dx + ∫ dx = x + ∫ dx = ( e − 1) + J + x ln x + x ln x 1 e + ln x ∫ + x ln x dx Tính J = Đặt t = + x ln x ⇒ dt = ( + ln x ) dx Khi x = t = , x = e t = + e nên J = 1+ e ∫ b) I = dt 1+ e = ln t = ln ( + e ) nên I = ( e − 1) + ln ( + e ) t x + 2ln x ∫ ( x + 1) 1 2ln x dx = ∫ − + ÷dx 3 ( x + 1) ( x + 1) ÷ ( x + 1) 2 2 1 ln x ln x =− + + dx = + ∫1 ( x + 1) 12 ∫1 ( x + 1) dx x + 1 ( x + 1) 2 Tính J = ln x ∫ ( x + 1) dx Đặt u = ln x, dv = J =− dx ( x + 1) ln x ( x + 1) + Khi du = dx 1 ,v = − x ( x + 1) 2 dx ln 1 = − + − − ÷dx ∫1 x ( x + 1) 18 ∫1 x x + ( x + 1) ÷ ln x ln =− + ln + + ln − ÷ ÷ =− 18 x + x + 18 =− ln + ln − 18 12 Suy I = ln ln + 2 − + ln − ÷ = ln − − 12 72 18 12 http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 19 ln Bài tốn 8.37: Tính: a) I = ∫ x dx x e + e− x + b) I = + xe x ∫0 x + x + 1dx Hướng dẫn giải ln a) Ta có I = x dx = x e + e− x + ∫ Đặt u = x, dv = ∫ ( e x + 1) dx dx Khi du = dx, v = − ex + ( e + 1) x ln ln ∫ xe x ex x + Ta có: I = − x e +1 Tính J = ln ln ∫ dx ln = + x e +1 ln ∫e dx +1 x dx dt Đặt e x = t x = ln t ⇒ dx = x e +1 t Khi x = ⇒ t = 1; x = ln ⇒ t = 2 2 dt 1 J =∫ = ∫ − ÷dt = ln t − ln t + 1 t t + 1) t t + ( = 2ln − ln nên I = ln − ln 1 1 −2 xe x xe x I = dx + dx = + dx = + b) Ta có ∫0 ( x + 1) ∫0 ( x + 1) ∫0 ( x + 1) dx x + ∫0 ( x + 1) Tính xe x ∫ ( x + 1) xe x x dx Đặt u = xe , dv = x Khi du = ( x + 1) e dx; v = − 1 dx ( x + 1) x +1 xe x −1 dx = − − Ta có: ∫ ( x + 1) e x dx ∫ x +1 0 x +1 ( x + 1) xe x 1 e e e = − + ∫ e x dx = − + e x dx = − 2 Thay vào ta I = e 2 Bài toán 8.38: Chứng minh F ( x ) nguyên hàm f ( x ) : http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 20 ) ( a) F ( x ) = ln x + + x + C ; f ( x ) = + x2 x π + ÷ + C; f ( x ) = cos x 2 4 b) F ( x ) = ln tan Hướng dẫn giải a) b) F '( x ) = F '( x ) = = 1+ x x2 + = x + x2 + x +1 ⇒ đpcm 1 x π x π 2cos + ÷ tan + ÷ 2 4 2 4 1 = = π cos x x π x π 2cos + ÷sin + ÷ sin x + ÷ 2 2 4 2 4 Bài toán 8.39: Tìm cực đại cực tiểu hàm số f ( x ) = e2 x ∫ t ln tdt ex Hướng dẫn giải Gọi F ( t ) nguyên hàm hàm số t ln t ( 0; +∞ ) ( ) ( ) f ' ( x ) = F ' ( e ) 2e − F ' ( e ) e 2x x Ta có: f ( x ) = F e − F e , suy ra: 2x 2x x x = xe x − xe x = xe x ( 4e x − 1) f ' ( x ) = ⇔ x = ∨ x = − ln Lập BBT f đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = − ln ∫ n x * Bài toán 8.40: Đặt I n = x e dx, n ∉ ¥ Tính I theo I n −1 với n ≥ Suy I Hướng dẫn giải I n = ∫ x n d ( ex ) = x n e x − n ∫ x n −1e x dx = x n e x − nI n−1 x x x x Do I = x e − 3I , I = x e − I1 , I1 = xe dx = e ( x − 1) + C ∫ ( ) x nên I = e x − 3x + x − + C http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 21 ∫ n x Bài toán 8.41: Cho I n = x e dx Tính I n theo I n −1 Hướng dẫn giải In = ∫ x d ( e n x ) = ( x e ) n x 1 − n ∫ x n −1e x dx = e − nI n −1 0 e Bài toán 8.42: Cho J n = ∫ ( ln x ) n e n +1 dx Chứng minh J n−1 ≤ J n ≤ Hướng dẫn giải J n = x ( ln x ) n e e − n ∫ ( ln x ) n −1 = e − nJ n −1 Với ≤ x ≤ e ⇒ ≤ ln x ≤ ⇒ J n +1 ≤ J n Do J n = e − nJ n −1 ≤ e − nJ n ⇒ ( n + 1) J n ≤ e ⇒ đpcm Bài tốn 8.43: Tính tích phân ∫ x2 − b) I = ∫ ln xdx x a) I = x − x dx Hướng dẫn giải 1 1 1/2 1/2 a) I = ∫ x − x dx = − ∫ ( − x ) d ( − x ) = − ∫ u du 20 22 2 = ( ) 1/2 1 u du (đặt u = ( − x ) ) = u 3/2 = 2 − ∫ 21 3 1 b) I = x2 − ∫1 x ln xdx Đặt t = ln x ⇒ dx = dt , x = et , t ( 1) = 0, t ( ) = ln ⇒ I = x ln ∫ t(e t − e − t ) dt Đặt u = t ⇒ du = dt , dv = et − e − t , chọn v = et + e − t ⇒ I = t ( et + e −t ) − ln ln ∫ (e t + e −t ) dt = 5ln − http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 22 Cách khác: Đặt u = ln x ⇒ du = dv = dx x x2 − 1 dx = 1 − ÷dx ⇒ v = x + x x x 2 2 1 dx 1 ⇒ I = x + ÷ln x − ∫ x + ÷ = ln − ∫ 1 + ÷dx = ln − x − ÷ x x x x x 1 1 1 1 = ln − − ÷ = ln − 2 2 BÀI LUYỆN TẬP Bài toán 8.1: Chứng minh F ( x ) nguyên hàm f ( x ) : a) F ( x ) = x ln x − x; f ( x ) = ln x b) F ( x ) = ln tan x + C; f ( x ) = sin x Hướng dẫn a) Dùng định nghĩa công thức đạo hàm b) Dùng định nghĩa công thức ( ln u ) ' = ∫ Bài tập 8.2: Tính: a) A = x − x dx u' u b) P = ∫ x x2 + dx Hướng dẫn a) Đổi biến t = − x Kết − 2 − x ( ) +C 3 b) Kết ( x + ) + C Bài tập 8.3: Tính a) ∫ ( dx x 1+ x ) b) ∫ 2x xdx − + x2 − Hướng dẫn a) Đổi biến t = + x Kết − +C 1+ x http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 23 b) Kết ln ) ( x2 − + 2 x2 − + +C Bài tập 8.4: Tính a) I = ∫ + x dx b) I = ∫ + 2x x2 + + 2x2 + x + x2 + dx Hướng dẫn a) Dùng nguyên hàm phần Kết ) ( ln x + + x + x + x + C ( 1 b) Kết x + x + 2 Bài tập 8.5: Tính: a) I = ∫ ) ( x −1+ x3dx ) x + + 2ln x + x + + + C b) J = − x2 ∫ x5 + x3 x2 + dx Hướng dẫn a) Đổi biến t = − x Kết b) Kết 16 −3 3 26 1 dx x + x +1 1+ Bài tập 8.6: Tính: a) C = ∫ b) D = ∫ x 3dx x + x2 + Hướng dẫn a) Trục thức mẫu Kết b) Kết D = ( ( − − ln + )) 2 −1 15 Bài tập 8.7: Tính a) ∫ x e dx x 12 x dx b) ∫ x 16 − x Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần lần liên tiếp ( ) x Kết x − x + 12 x − 24 x + 24 e + C http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 24 x − 3x ln x +C ( ln − ln 3) + 3x b) Kết Bài tập 8.8: Tính: a) ) ln ( sin x ) ∫ cos x dx b) ∫ ln x + + x dx ( Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần Kết tan x.ln ( sin x ) − x + C ) ( 2 b) Kết x ln x + + x − + x + C ∫ Bài tập 8.9: Tính a) I = x ln 1− x dx 1+ x e b) J = ln x dx x ∫ Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần 1− x 1+ x x ln + ln − x+C 1+ x 1− x Kết b) Kết − e Bài tập 8.10: Tính: a) I = π /2 ∫ (e sin x + cos x ) cos xdx b) J = π /2 ∫e 3x sin xdx Hướng dẫn a) Tách tích phân dùng đổi biến, tích phân phần Kết e + π −1 3π b) Kết 3.e + 34 ∫ ( ) Bài tập 8.11: Tính: a) I = ln x + dx e b) J = ∫ ( ln x ) dx Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần Kết ln − + π b) Kết e − http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 25 Bài tập 8.12: Tính: e + ÷ln xdx b) J = ∫ x + 3ln x −x a) I = ∫ ( x + 1) e dx Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần Kết − e b) Tách tích phân dùng đổi biến, tích phân phần Kết 62 27 http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận nhiều tài liệu hay Trang 26 ... x dx x 0 Đặt ti p u = x + 1, dv = dx K = ( e − 1) b) Đặt u = x + 2, dv = e x dx Khi du = x dx, v = e x L = e ( x + ) − 3∫ x 2e x dx x 0 Dùng tích phân phần lần L = http://tailieugiangday.com... dx x 12 x dx b) ∫ x 16 − x Hướng dẫn a) Dùng tích phân phần lần liên ti p ( ) x Kết x − x + 12 x − 24 x + 24 e + C http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy... ln b) Đặt t = x + 1+ x −1 +C 1+ x +1 x + ⇒ dt = 1 + ÷dx ⇒ x2 + x dx x2 + = dt t http://tailieugiangday.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải truy cập trang website để nhận