www.VNMATH.com Chuong PHHONG TRÍNH HÇ PHCONG TRÍNH TRONG DÃY SÉÍ M.J PliUong fririfi soi pfiơn f izyeri fíiih i fim sơ’hong 2.2 He phHong t r i s h vai p h â o tuyen tinh vâi he nô“hong 2.8 Phu:org t r i s h sai p h â n tuyéú tirem uôi me sô“bién tliiên S.4 Pli u:ang tr í nh sai p l i â n dqng pliâ n f izri fírih dói h só“fil mg Tun t i n h liố mot sơ“ pIsUO trlrsh sai phârs Php:ang trlrsli sai p h â n chú:a tham biêrs £ Mot sô“dpmg phHorsg t r i s h sai phârs pitt tuyêh d ri biet DÕy sô“ri EuyêÉ dôi cán phép tio h sô“Doc Dôy sô’c hityéri dôi cán d i i lUctng trursg bí rsh 10 fim bang tririh trorig dãy sô“uâi ri p bién f 11 Mot sơ‘ tốn liên quan dêri dqreg truy hot dfe biet Phuong trinh sai phãn tun tính vói he so hàng Duói day ta trinh bay mot so phuong trinh, he phuong trinh sai phan co ban va phuong phap giai chung (khong neu cźch chńng minh) Phuong trinh sai phãn tuyén tính càp mot Ph C0tig trính sai phán tuyé“n tính cap mot phuong trinh sai phán dang dó o, h, et cãc hang so, ri, Ding /q bieu thúc cúa ri cho trc fim uq thồ mãn diéu kien 121 www.VNMATH com Càc phép tn tréii dày só“ Giài phuong trình dac trimg c + b = de tìm Khi dó u, = q ‘ hang( sér), dó q duoc xàc dinh = biet Bàilàtoàn Xàc dinh so hang tong quàt cùa crip so nhàn, biet rang so hang dau tièn bing cóng bói bang Còcli giài Ta có Phuong trình dac trung có nghiem C Vày uq c2‘ Tip u, suy ri = Do uq = “ ' Dang kim uq thồ dieu kien dó /q da thúc theo ri, Giài phuong trình dac trimg a,5 b — — ta tìm ducic À Ta có uq = ù, u dó ùq nghiem tong qt cùa phuong trình thuan nhàt ri u,+, + ò.u, — u, nghiem rieng tùy y cùa phuong trình khong thuàn nhat nuq+, +buq — Vày ù, = q à“, q hang so se ducic xàc dinh sau Ta xàc dinh u, nhu sau : a) Neu uq da thùc bàc b) Neu = u, = ri Sq Vól pq da thùc bac vói Jq Thay u., vào phuong trình, dong nhat càc he sér, ta tinh duoc càc he so c Bài toàn kim uq thồ man diéu kien 122 www.VNMATH.com Cóc phćp tn tren daty só“ Cócłs giń i Phuong trinh da)c trimg z — = có nghi6m z — Ta có uq = ńq + uj , dó ńq = c 1‘ = c, u j = rr(on + ó) Thay u j vao phuong trinh, ta dupc Vói rr = 1, ta (» + i)(•(rr + i) + tJ = =(ôằ + r) + 2.3s + h — Vói rr, = 2, ta du9c So + dupc ó = Suy O = 1, = —1 Do dó uq = rr(rr, — 1) Ta có uq = ńq + u \ = c + rr.(rr, — 1) Ci u, = nen = c + 1(1 — 1) V y uq = + rr,(rr, — 1), hay u_ = rr,' + Dang jim uq thoż man dieu kien Uj = O, 77, Z ‘ Ph u:ang p hóp gińi Giái phuong trinh dãc trung nÀ + õ = de tim A Ta có uq = úq + uj, dó úq = cÃ", c hãng so chua dunn xác dinh, uj duoc xác dinh nhu sau : a) Neu À Ji thi uj = A;i ‘ b) Neu = ¿i thi uj = Aug" Thay uj vào phuong trinh, dong nhát he so tính dupc he só cúa uj Biet u „ Iii h thúc up = úq + uj, tính duoc c Bńi tn jim uq thor man dieu kien Cóclì gi‹ii Phuong trình drac trifng À — = có nghiem = Ta có uq = ùq -i- u ,Àtrong dó ùq = c.3‘ u = e.2‘ Thay u = e.2" vào phuong trình, ta thu dimc rr.2‘+' 12 www.VNMATH com Cåc phep tổn tren däy sư“ Dang Tim ng thổ män dieu kien dư / rp’ +[u = /,+/„ n u,=a ou e*’ ladathuctheo n vara - Ta có uq = ùq + u j + thuàn nhiit onde, + òuq = thuàn nhlit nude, + òuq = khòng thuàn nhàt euro, + uj‘, dó ùq nghiem tong qt cùa phuoi trình , u j mot nghiem rièng cùa phuong trìi khóng J q , u\‘ nghiem riéng bàt ky cùa phuoi trình 6uq = /,q Bäi tộn jim ng, biet «, = 1, u,„ = 2«,+n?+2.2’, » c k’ C‹icf i gi‹ii Phuong trinh da) c trimg — = cö = 2 ng = Og -I- uj + uj’, dö Og = c 2‘, uj u, + c, u j ‘ =TaAn nghiem + 2" Thay uj väo phiiong trlnh uq+, = 2uq + n,', ta diicic o(n + 1)' + ö(n + 1) + c = 2n 2+ 2hn -I- 2c + u,' Cho ii = 1, ta duoc 2o — c = Cho n = 2, ta dupc o — ö — c = o = 3, ta duoc 2o + 2h + c —9 Suy n —1, —2, —3 Cl c VI = — ,' — , — Thay uj’ vio phuong trinh uq+, = 2uq + 2.2‘, ta duoc A(n, + 1)2“+' — 2A 2‘ + 2A( -1- 1) = 2A + A— — 2.2‘ Do dö ng = c.2‘+(—r.‘ —W, =3) + 3s.2“ Ta cö u, = nen = 2c — + 3• 124 www.VNMATH.com C!òc phép tn trén dày só“ 2.1.2 Phuong trình sai phàn tuyén tinh càp hai Phitong trinh sai phän tuye!n ttnh cÖp hai lä phuong trinh sai phän dang u = ci, u3 = ¿i, euro -1- ò dó c, b, c, v, p càc hang so, e truóc -I- cupa = pq , ri C N‘, gg bieu thùc chùa ri cho Dang kim uq thoà dièu kien R p Op t Ot Giài phuong trình dàc trimg ' -I- óÀ -1- c — 0, tìm a) Neu À hai nghiem thuc khàc uq — —vaA B duoc xic dyih biet •a • dó A • B , b) Neu A 2là nghiem thtrc kép, à, = = uq = (A + B n.) 5", dó A B duoc xàc dinh biet u u c) Neu nghiem ph ùc, = z + ip, ta dàt Lùc dó A = r(cos ‹,ri -I- i sin ‹,ri) uq = r ‘ ( A cos n‹p + B sin n‹p), dó A B duoc xàc dinh biet *a *z U Bài tồn kim uq , biet Cóch giòi Phuong trình drac trimg + = có càc nghiem phùc 125 www.VNMATH.com Cóc phép tồn trén dóy só“ Ta có = cos + i sin Suy Tacó A B sin B A + B O = 2, (1 2r " có Ket hpp (1) (2) ta duoc he phuong trình nghiem = —A + B - ( sin — Dang Tìm uq , biet rang If j = O, uQ = , O1Iq+} + òIIq + ctlq j = Jq 72 > , dó e, 0, fg da thtic theo ri cho trc Giài phuong trình drac trimg + c = dé tìm Ta có uq = ùq + + u) dó n nghiem tong quàt cùa phuong trinh thuàn nhàt nude, + òuq c q-, = uj met nghiem riéng tùy ) cùa phuong trình khóng thn nh °° + + ò° + += — = f• 0) (f • www.VNMATH com Cóc phép toón trén dày só“ Theo Dang ta tìm dupc fiq , dó he s6 A B chua duoc xàc dinh, uj drac xàc dinh nhu sau : a) Neu à1 u j da thùc cung bàc vói fg b) Neu = nghiem don uj = agg, pq da thùc bàc vói J» c) Neu — nghiem kép uj = ri'.pq , pq da thùc bàc vói fg Thay uj vào phcong trình, dong nhàt càc he so, tinh duoc càc he so cùa uq Biet by *z tÌÌ he thlÌC Itp = ùq + u j tinh duoc A, B Bài toàn Xàc dinh u „ biet rang Cóch giòi Phtrong trình drac trimg ' — 2à + = có nghiem kép À — + ) có , = ( A +—Bn) A +i — Bn IIvà+uj1, ?2 2.2 = 1, tti =dó0,ùq Uq+ 2Un1"+ =Itn= uq Ta = ùqU+{ uj Thay uj vào phuong trình, ta duoc (n 1)' o(• + i) + °) — 2•'(n• + ư) (n, — i)' °(*— i) + ư] = • i Oho duoc Cho nu,== 2,1,tataduoc b) 8(2o — 2(o + +h)(n= m 3o + h = 2h = 9(3o4(2n + h)+— + 6) h) — w 12n Ket hpp (3) vä (4), ta duoc he phuong trinh cư nghiem 6' Vày Do dó Ta có =i = B A+ = A+ B= 127 (3 ) (4 ) www.VNMATH com Càc pliép tồn trén d òy só“ Giài he (5) (6), ta dupc A— — 4, B— — 11 — Dang Giài phunng trình dac trung À c = 0, tìm Ta cóà.ri, = ùq + uj, dó ùq duoc tìm nhu dang 1, he so A & chua duo ‘“ xàc dinh, u,q duoc xàc dinh nhu sau : Thay uj vào phuong trình, dùng phuong phàp dong nhat càc he so se tinh duc he so k Biet u › •2 tit he thuc uq = ùq -1- uq tinh duoc A, B Bài toàn kim uq , biet rang Cóch giòi Phaong trình dàc trimg À' — 2à + = có nghiem kép À = Ta có uq = fiq + uq dó ùq = ( A + Bn) I — — A + Bn uq = t- 2“ Thay u, vào phuong trình, ta duoc t 2“" — 2t-.2“ + t-.2“' = 2.2‘ = t- www.VNMATH com Càc phép tn trén dày só“ c = 0 = A + 2B + 24 Tu dó, ta duoc A — — ,B— — —13 Vày = — 13 , + 2“+' Dang dé ri , /p da thùc theo ri, pq = vp,‘ Ta có nq = u, + uq" dó ùq nghiem tong quàt cùa phuong thuan ùq nhat o,uq+, + boy trình cuq = 0, uq nghiem riéng y cùa phuong = /q , u,‘ nghiem rieng tùy y trình thuàn nhat o,uq+ + òuq + khòng cùa+ co cuq phUnng trình khong thuan nhat + Aq n— = v uug+ Bài toàn kim up, biet rang Cócfi gińi Giai phuong trinh dac trimg —1, Ta co 22 — = 0, ta duoc dó ùq = A (— I)‘ + B 3‘, ug — ne, + ò, u” = k 2‘ Thay uq uq‘ vào phuong trình uq+ — 2uq — 3u — = ri, ta dupc e(ri + 1) + ò — 2(e.ri, + ò) — o(ri — 1) -I- ò] = ri m (4n -1- 1)a, — 4(e — ò) = 12 www.VNMATH com Càc pliép tồn trèn dóy só“ Do dó Thay uq‘ vào phuong trình uq+ — 2uq — 3uq = 2“, ta duoc k,.2“+ — k 2“ — k, “ ' = 2“ w k, — Do dó n+ -2.2’ = l —3 Ta có — A + 3B = 17 9B — Giài he phiinng trình (7) (8), ta duoc Vày 48 ' _25 B— — 2¿ + 48 Da n g 3- kim u,, biet rang Pltifcriig pha“p giòi Giài phuong trình dac + À + c = tìm 12’ www.VNMATH.com Cóc phép tốn trén dáy só“ Ta có uq = ùq + uq , dó ùq nghiem tong quàt cùa phuong trình thuan nhat, xàc dinh nhu ò dang 1, càc he so B chua duoc xàc dinh, Thay uq vào phuong trình, dong nhat càc he so, tinh duoc k Tù he thùc uq = ùq + u j =2 ta tinh duoc A B B i toán ii j i m uq, biet rang Cách g iá i Ci’u’i phuong trính dac trimg 2— 22 = 0, ta duoc nghiem kép Ta có uq = úq + ug, dó Thay u våo phuong trinh uq+ — 2uq -I- uq— = sin n., ta thu duoc k, con(n.+ I) I, sin(n — -l I) — 2(k, n,+I, sin n.) +k cos(n, — 1) -I- / sin(n — 1) = sin ii, wk,(con(n 2/ sin n, 1) + cos(ii — 1)) + / sin(n + 1) -1- sin(n, — 1)] — 2k, cos n, — m2k cos n cos — 2k cos n + 2/ sin n cos — 2/ sin n = sin n W / cos u.(cos 1) + 2f sin n,(cos 1) = sin n, S i cos — nen k — — 2(cos m k (cos — 1) cos n + 2/(cos — 1) ——I) sin n = i i sin n vá / dó up = úq + uq = A + Bn Do + 2(cos — Vay uq = 1) 2(cos — Ta có 1) sin = + 2(cos — 1) sin — cos — sin Giái he phuong trinh (9) =vá 2(10), ta dtioc — 2(1 — cos 1) 13 — A + 2B (10 ) www.VNMATH.com Càc phép toón trèn dày só“ B— — — sin -F 2cosl-F s n Z — 2(1 - cosi) Vày nen " sin — cos — sin —2(1 — cos(— sin + cos + sin — 2) ii, — sin n, 1) 2.1.3 Phiiong trình sai phàn tuyén tinh càp ba Phitong trtnh sai phán tuyé “n tính cap ba phuong trính sai phin dang dó a, b, c, d, a, càc hang so, Jq bieu thuc cùa u Q, ri c trrróc Phuong trình sai phàn tuyen tinh càp ba ln giài duoc phuong trình b ba ln giài duoc Nghiem tong qt cùa phuong trình sai phàn tuyen tinh c ba có dang uq = ùq -t- uj, dó uq nghiem rieng cùa phuong trình tinh khóng thuan nhatpùq nghiem tong quàt cùa phiiong trình tuyen tinh thu nhat a) Xét phrrong trình dac trung (i) Neu (2) có ba nghiem thuc À9 , à3 phàn biet (ii) Neu (2) có mót nghiem thuc bòi mót nghiem don ( = À *• — ( i + (iii) À3) z *)*? + Qh * ' Neu (2) có mót nghiem thuc bai (à, — À3 = www.VNMATH.com Còc phép tn trén dày só“ Vày nén B— — — sin -F 2cosl Ts n — 2(1 — cosi) _ sin — cos — sin — + (— sin + cos + sin — 2)a, “ — sin n, 2(1 — cos 1) 2.1.3 Phuong trình sai phàn tuyen tinh càp ba Phu:Orig trinh sai phàn tuyè“n tinh cap ba phuong trình sai phln dang dó ri, ò, c, d, a, càc hang so, e /q bieu thùc cùa n Q, c truóc Phuong trình sai phàn tuyen tfnh cap ba ln giài duoc phuong trình f ba ln giài duoc Nghiem tong quàt cùa phuong trình sai phàn tuyen tinh c ba có dang uq = fiq + uq, dó uq nghiém rièng cùa phuong trình tinh khóng thuan nhat ùq nghiem tong quàt cùa phuong trình tuyen tình thu nhàt a) Xét phuong trình dac trung (i) Neu (2) có ba nghiem thpc 3phàn biet (ii) Neu (2) có mót nghiem thuc bói mòt nghiem don ( À (iii) Neu (2) có mot nghiem thuc boi (À, = 132 ›= 3) www.VNMATH.com Cóc phép tn trén dóy só“ (iv) Néu (2) có mót nghiem thuc A hai nghiem phùc lien hpp >„ = r(così iisin p ) b) Gpi u j mót nghiem riéng cùa (1) *Xét f z da thùc cùa n Ta có Neu u j da thiic bbc vói ff, Neu — (nghiem don) u j = ri.pq , pq da thiic bàc vói f p , Néu = (boi 2) Uj = •'-s• 9• da thùc bbc vói ff, Neu = (boi 3) u j = ri,'.pq , pq da thùc bac vói f p *Xét fp — — vg‘ (hàm mu) Ta có - Neu u j = k n.y‘ Neu nghiem don = u j = k q ‘ - Neu nghiem boi À = ¿i (bói s) u j = k n’.p“ Bà i tồn Tìm zq biet rang Cócfi g i ò i Xét phuong trinh dac trimg +2 11a — = 0, hay (à — 1)'(à — 5) — Phuong trình có ba nghiem thuc ly »• = •i + ci-• + ••-5‘Cho n, = 1, n = 2, n = vä giåi he phuong trinh tao thånh, ta dupc C 1'3 ' 16' "16 3(n — 1) 16 + www.VNMATH.com Các phép toân dãy sơ! hay flài tốn Cho dãy so nguyên {ap) thoá mán diéu kien ’4 Chúng minh rãng tón tai hang so nguyên M cho só M + 4oq+,uq déu nhíing só phuong Cócfi giái Dãt Suy 2.2 He phirong trình sai phàn tuyén tinh vói he so hàng Trong muc ta chù yeu xét he phuong trình sai phàn dang Ph 'orgpháp gi ài Trong (l), thay n bõi ri + 1, ta nhàn duoc 134 www.VNMATH.com Cåc phep toån tren döy sö“ Suy zq+s — (p -1- s)zq+, —-I (ps — qr):cq — — 0, dö =i = n Tii (1), ta 1ai cö z = pz, + qp, = po + 96 Nhu vay ta dvpc phuong trinh sai phän tuyån tinh cäp hai thuän nhät Uj = O, T9 = pt2 -{- qb, fl?q+ j — (p -)- S)Xp + (pS — qr)Xg ) = 0, 71 > Giåi phuong trinh nå y ta tim dupc zq Thay zq våo (i), ta tim ditcic pq Bäi toån jim rg, pq, biet (2) C‹icf i jimi Trong (2), thay n böi n + 1, ta cư Suy Tii (2), ta có z3 = 4.z , — 2p = — = Ta thu duoc phuong trình bàc hai thuan nhàt Giåi phiiong trinh nåy, ta dupc nghiem zq2" thii nhät ciia (2), ta cö V y nghiem ciia he phuong trinh 135 Thay zq våo phuong trinh ... + b = de tìm Khi dó u, = q ‘ hang( sér), dó q duoc xàc dinh = biet Bàilàtoàn Xàc dinh so hang tong quàt cùa crip so nhàn, biet rang so hang dau tièn bing cóng bói bang Còcli giài Ta có Phuong... phàn tun tinh càp hai Phitong trinh sai phän tuye!n ttnh cÖp hai lä phuong trinh sai phän dang u = ci, u3 = ¿i, euro -1 - ò dó c, b, c, v, p càc hang so, e truóc -I- cupa = pq , ri C N‘, gg bieu thùc... B— — — sin -F 2cosl-F s n Z — 2(1 - cosi) Vày nen " sin — cos — sin —2(1 — cos(— sin + cos + sin — 2) ii, — sin n, 1) 2.1.3 Phiiong trình sai phàn tuyén tinh càp ba Phitong trtnh sai phán tuyé