www.VNMATH.com ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 M C : TO N - : P H N CHUN CHO T T TH SINH C Cho hàm số y = −x + 3x + 3mx −1 (1) , với m tham số thực 20 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến khoảng (0; + ∞ ) C Giải phương trình 1+ tan x = 2 sin 10  x+ π   C 10 Giải h phương trình C Tính tích phân I = 10 4 x −1 − y +2=y (x, y ∈ R)  C x +1 +  ∫  2 x + 2x( y −1) + y − y +1 = x −1 x ln x dx Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, ABC = 30 , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Câu 10 Cho số thực dương a, b, c (a + c)(b + c) = 4c 32a P= Tìm (b + 3c) 32b + 3 giá − thỏa mãn điều ki n a +b (a + 3c) trị nhỏ biểu thức c P H N RIÊN : Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A T eo c ươ C g t rì C ẩ 7.a Trong mặt phẳng với h tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng d : 2x + y + = A(−4;8) Gọi M điểm đối xứng B qua C, N hình chiếu vng góc B đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N(5;-4) C ∆: 8.a Trong không gian với h x − y +1 z + = −3 = tọa độ Oxyz, cho đường thẳng điểm A(1;7;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A −2 vng góc với ∆ Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ cho AM = 30 C 9.a Gọi S tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân b i t chọn từ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để số chọn số chẵn B T C eo c ươ g t rì 7.b N g cao Trong mặt phẳng với h tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y = Đường tròn (C) có bán kính R = 10 cắt ∆ hai điểm A B cho AB = Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường tròn (C) C 8.b Trong không gian với h (P): 2x + 3y + z −11 = mặt cầu (S) : x +y tọa độ Oxyz, cho mặt +z phẳng − 2x + 4y − 2z − = Chứng minh (P) tiếp xúc với (S) Tìm tọa độ tiếp điểm (P) (S) C 9.b Cho số phức z = 1+ 3i Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực phần ảo số phức w = (1+ i)z BÀI I I www.VNMATH.com Câu 1: a) m= 0, hàm số thành : y = -x + 3x -1 Tập xác định R y’ = -3x + 6x; y’ = ⇔ x = hay x = 2; y(0) = -1; y(2) = lim y = +∞ lim y = −∞ x→−∞ x→+∞ x −∞ y’ − y 0 + +∞ − +∞ -1 −∞ Hàm số nghịch biến (−∞; 0) ; (2; +∞); hàm số đồng biến (0; 2) Hàm số đạt cực tiểu x = 0; y(0) =-1; hàm số đạt cực đại x = 2; y(2) = y" = -6x + 6; y” = ⇔ x = Điểm uốn I (1; 1) y Đồ thị : x -1 2 b y’ = -3x + 6x+3m, y’ = ⇔ m= x − 2x =g(x) u cầu tốn ⇔ y’ ≤ 0,∀x ∈(0; +∞) ⇔ m ≤ x − 2x ∀x ∈(0; +∞) ⇔ m ≤ (x x>0 ) ( − 2x ,∀x ∈ 0; +∞ ) ⇔ m ≤ −1 = g (1) Câu : 1+tanx=2(sinx+cosx) ⇔ cosx+sinx = 2(sinx+cosx)cosx (hiển nhiên cosx=0 không nghi m) ⇔ sinx+cosx=0 hay cosx = ⇔ x=− π ⇔ tanx=-1 hay cosx = + k4π hay x = ± π + k 2π , k ∈ 2 x + 2( y −1) x + y − y +1 = ⇔ ( x + y −1) − 4y = ⇔ y = ( x + y −1) (*) Câu : Đk x ≥ Vậy: y ≥ x +1 + 4 x −1 − y +2=y ⇔ t +1 + Đặt f(t) = x +1 + ( y +1) +1 + ( y +1) −1(**) x −1 = t −1 f đồng biến [1, +∞) Nên (**) ⇔ f(x) = f(y + 1) ⇔ x = y + Thế vào (*) ta có : 4y = (y + y) = y + 2y + y ⇔   y=0→x=1 ⇔ y +y=4  y)y = +(1;2 0) Vậy (x; hay (x; y) = (2; 1)  y=0 (vì g(y) = y + 2y + y đồng biến [0, +∞)  y=1 Cách khác : x + 2( y −1) x + y − y +1 = ⇒ x = -y + +2 y ⇒ x = -y + ±2 y x ≥ 4 www.VNMATH.com Đặt u = x – ≥ v = y ≥ 0, ta u+2+ t+2+ Xét hàm số f(t) = Câu : I = x ∫ −1 u = v+2+ t tăng [0; +∞) ⇒ f(u) = f(v) ⇒ u = v ⇒ x – = y v ln xdx x2 4 ln dx Đặt t=lnx ⇒ ( ) = ln t = dt, x = e ,t(1) = 0,t Đặt u=t ⇒ du = dt, dv = e t −e −t , chọn v = e t +e ⇒I = ∫ t (e ⇒I = t(e +e )  x −1 = ln − t +e −t )dt = dx = (1− ∫1 (1+ x x ) dt dx Cách khác : Đặt u = ln x ⇒ du = dv = ∫ (e − −t ln − ln −t −e −t ln t t x )dx ⇒ v = x + )dx =x ln −(x − ) = ⇒I= x ln −(2x− )1 = 1  ln x x  x+  ln 2− 2 ∫1 −1 (x + dx ) x x 2 a Câu Gọi H trung điểm BC SH ⊥ (ABC) SH = S Ta có tam giác ABC nửa tam giác nên BC=a, AC = a a , AB = C 2 V= 1 1aa 3 a3   3 22 HI=a/4, SH = =  a 2 a H , Gọi I trung điểm AB 16 B a Đặt x = a 52 +1  b ;y= b +1  c  x +   a   ⇒ HK =   2 13  c  y y+3 x+3 3      x +   + −  y x2 + y2 − x +y  S + 3S − 2P  =8 3S + P +  − 2(3 − S )  =  S 3S++3S (3 − S) +  S  − S  a 52 3 (x + 1)(y + 1) = ⇔ S + P = P = – S c  ≥8   a =   c  x      y +  P = 32 = + a  2a = HK Câu Gỉa thiết ⇔ A Vẽ HK ⊥ SI HK ⊥ (SAB), ta có Vậy d(C, SAB)= 2HK = I − www.VNMATH.com + 5S −  = 8 S 2S +12  P’ = (S – 1) – S  S  S −1  −    = 8 − S = (S −1) − ,S≥2 2 > 0, ∀S ≥ ⇒ P = P (2) = – 2 Dấu “=” xảy chẳng hạn x = y = Câu 7a C(t;-2t-5) Gọi I trung điểm AC, suy I  −4 + t −2t +  ;    2 Ta có: IC = IA , suy t =1 Tọa độ C(1;-7) B điểm đối xứng N qua AC Dễ dàng tìm B(-4;-7) Câu 8a Ptmp (P) ⊥ ∆ có pháp vectơ (-3; -2; 1) Vậy ptmp (P) : -3(x – 1) – 2(y – 7) + z – = ⇔ 3x + 2y – z – 14 = M thuộc ∆ ⇔ M (6 -3t; -1 – 2t; -2 + t) 2 YCBT ⇔ (5 – 3t) + (-8 – 2t) + (-5 + t) = 120 ⇔ 14t – 8t – = ⇔ t = hay t = − Vậy tọa độ điểm M (3; -3; -1) hay ( 51 ;− ;− 17 ) 7 Câu 9a Số cách gọi số tự nhiên gồm chữ số phân b i t số chẵn: 3.6.5=90 Số phần tử S 90 Số cách gọi số tự nhiên gồm chữ số phân b i t là: 5.6.7=210 Xác suất để chọn số tự nhiên phân bi t số chẵn từ số cho 90 : 210 =3/7 B T eo c ươ g t rì N g cao M Câu 7b A Cos(AIH) = IH Vậy MH = MI – IH = IA = ⇒ IH = H ; với M ∈ Oy (0; y) MI ⊥ AB ⇒ MI : x + y + c = ; M (0;-c) I B c MH = d (M; ∆) = ⇒ c = hay c =-8 =4 I (t; -t – 8) hay (t; -t + 8) t+t+8 d (I; ∆) = = = IH ⇔ t = -3 hay t = -5 + Với t = -3 ⇒ I (-3; -5); t = -5 ⇒ I (-5; -3) 2 2 ⇒ Pt đường tròn cần tìm : (x + 3) + (y + 5) = 10 hay (x + 5) + (y + 3) = 10 Câu 8b (S) có tâm I (1; -2; 1) R = 14 2(1) + 3(−2) +1−11 Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) : Vậy (P) tiếp xúc với (S) = 14 14 = R Pt (d) qua I ⊥ ∆ : x −1 = y + z −1 = , T ∈ (d) ⇒ T (1 + 2t; 3t – 2; + t) T ∈ (P) ⇒ t = Vậy T (3; ; 2) Câu 9b r = 1+ = 2; tgϕ = ⇒ dạng lượng giác z z = 2(cos π , chọn ϕ = + i sin π ) π 3 www.VNMATH.com π 5 ⇒ z = 32(cos ⇒ w = 32(1 + i) ( 5π + i sin −i Vậy phần thực w : 32( ) = 32( 2 3− i ) = 32( +2 + 2 ) ) + 32i( −2 ) phần ảo 32( − ) ) 2 ... y + c = ; M (0;-c) I B c MH = d (M; ∆) = ⇒ c = hay c =-8 =4 I (t; -t – 8) hay (t; -t + 8) t+t+8 d (I; ∆) = = = IH ⇔ t = -3 hay t = -5 + Với t = -3 ⇒ I (-3 ; -5 ); t = -5 ⇒ I (-5 ; -3 ) 2 2 ⇒ Pt đường... : -3 (x – 1) – 2(y – 7) + z – = ⇔ 3x + 2y – z – 14 = M thuộc ∆ ⇔ M (6 -3 t; -1 – 2t; -2 + t) 2 YCBT ⇔ (5 – 3t) + (-8 – 2t) + (-5 + t) = 120 ⇔ 14t – 8t – = ⇔ t = hay t = − Vậy tọa độ điểm M (3; -3 ;... C(t ;-2 t-5) Gọi I trung điểm AC, suy I  −4 + t −2t +  ;    2 Ta có: IC = IA , suy t =1 Tọa độ C(1 ;-7 ) B điểm đối xứng N qua AC Dễ dàng tìm B (-4 ;-7 ) Câu 8a Ptmp (P) ⊥ ∆ có pháp vectơ (-3 ; -2 ;