Giáo án đại số 11 Giáo viên: Dương Minh Tiến Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp Tiết 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 A Mục tiêu: Kiến thức: Hs cần nắm vững - Dạng phương trình ( pt ) bậc nhất, bậc hai hàm số lượng giác ( HSLG ), pt bậc sin x cos x - Biết cách biến đổi biểu thức asin x  bcos x - Cách giải pt bậc nhất, bậc hai hslg, pt bậc sin cos - Biết đưa pt lượng giác pt bậc bậc hai hslg Kỹ năng: - Biết nhận dạng giải thành thạo pt bậc nhất, bậc hai hslg pt bậc sin x cos x - Bước đầu biết giải số pt lượng giác cách chuyển vể dạng pt bậc bậc hai hslg Tư thái độ: - Biết quy lạ quen, tích cực sáng tạo việc hình thành kiến thức - Rèn luyện tính cẩn thận, xác, tư vấn đề toán học cách độc lập logic Qua học thấy mối liên hệ chặt chẽ toán học đời sống B Chuẩn bị: Giáo viên: Bảng phụ, thước kẻ, phấn màu, chương trình giả lập máy tính casio fx500MS 570MS Học sinh: Xem trước nhà theo hướng dẫn giáo viên, mang theo máy Casio fx500MS, 570MS máy tính có chức tương tự C Tiến trình dạy: Kiểm tra cũ: Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh cosx  a sinx  a ?1: Công thức nghiệm pt , Phát biểu giảng , tanx  a , cot x  a � ?2: Giải pt 2sin x   cot x   x  450  k3600 2sin x   � , k �� � Ta có: + Biến đổi dạng ptlgcb 0 x  135  k 360 � � + Sử dụng cơng thức nghiệm tìm x Tương tự: cot x   � x  300  k1800, k �� Bài mới: Phương trình bậc hàm số lượng giác Hoạt động 1: Tiếp cận định nghĩa v cch giải pt bậc hslg Hoạt động giáo viên ?1: Nếu đặt hslg ẩn t pt có dạng ?2: Cho số ví dụ pt có dạng at  b  a, b số (a �0) t hslg Giới thiệu ptlg bậc hslg ?3: Cho pr 2cos x   Hãy tìm nghiệm pt ?4: Nêu cách giải pt bậc hslg Nhận xét đánh giá Hoạt động học sinh Thảo luận nhóm Có dạng at  b  Ví dụ: 2sin x   tan x  0 Hoạt động nhóm Ta có: 2cos x   � cos x  2  cos Nghiệm pt x  �  k2 , k�� B1: Chuyển b qua vế phải ( Lưu ý đổi dấu ) B2 : Chia hai vế cho a ( Lưu ý không đổi dấu ) Hoạt động 2: Củng cố kiến thức ptlg bậc hslg Trường THPT Đức Trí 19 Chương I: HSLG & PTLG Giáo án đại số 11 Cho phương trình lượng giác sau (a) 3cot x   (b) tan x   (d) tan x.cot2x  1 (e) sin x  cos x  Hoạt động giáo viên Giáo viên: Dương Minh Tiến (c) 3cos x  (f) sin x  1 Hoạt động học sinh Trao đổi thảo luận Hs trả lời ?1: Pt bậc hslg có đặc điểm Pt pt ptb1 a) 3cot x   � cot x   cot có nghiệm ?2: Giải phương trình 3 x    k , k �� Hướng dẫn hs giải tập + Xác định hệ số a, b b) tan x   � tan x     tan  tan   + Thực qui trình giải có nghiệm x     k , k �� Chẳng hạn: f) sin x  1 � sinx  1� x    k2 , k �� c) 3cos x  � cos x  có nghiệm  Vậy pt có nghiệm x   k2 , k �� x  �arccos  k2 , k ��   * Củng cố dặn dò: ?1: Pt bậc hslg có dạng nào, cho ví dụ nêu cách dạy - Hướng dẫn học sinh giải tập sau a) 2sin 3x  3 b) 3tan 1 2x   - Xem tiếp mục SGK trang 30 giải phương trình sau (a) cos x  sin2x  (b) 4sin xcos xcos2x   12 Tiết 12 Hoạt động 3: Phương trình đưa pt bậc hslg Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Trao đổi thảo luận Khơng phải Cĩ hai cung x 2x Bài 1: Giải pt 4sin xcos xcos2x   12  * ?1: Đây cĩ phải ptb1 hslg ?2: Nhận xét pt cĩ cung ?3: Hãy biến đổi vế trái pt cung cung sử dụng cơng thức nhân đơi ?4: Tìm nghiệm pt Bài 2: Giải pt cos2x  sin x  1  2 ?1: Sử dụng cơng thức nhân đơi cos 2x sin x biến đổi pt ?2: Đưa pt vừa thu dạng pt tích ?3: Cách giải pt A B = ?4: Xác định nghiệm pt Trường THPT Đức Trí Ta cĩ: 4sin xcos xcos2x  2sin2x cos2x  sin4x Khi đĩ: ( * )  sin4x    sin   x  7   Vậy pt cĩ nghiệm x    24  k 24  k , k �� Bài 2:   Ta cĩ: cos2x  sin x  1 1 2sin x  sin x   -sin x 2sin x  1 � sin x  2sin x  1 � Khi đĩ:  2 � � Vậy pt cĩ nghiệm x    6 k2 x  7  k2 , k �� Bài 3: 20 x  k ; Chương I: HSLG & PTLG Giáo án đại số 11 Giáo viên: Dương Minh Tiến Bài 3: Giải pt cos xcos2x  1 sin xsin2x  3 Ta cĩ:  3 � cos xcos2x  sin xsin2x  ?1: Chuyển hslg vế � cos x  2x  cos3x  ?2: Sử dụng cơng thức cộng rút gọn vế trái Vậy: Pt cĩ nghiệm x  k pt Bài 4: ?3 Xác định nghiệm pt �x �k (k ��) Bài 4: Giải pt tan x  3cot x  4 Điều kiện: � �x �  k Khi đĩ:  4 � tan x  1tan x ?1: Điều kiện để pt cĩ nghĩa � tan2 x  � tan x  � Vậy nghiệm pt x  � 3 k , k �� ?2: Đưa hslg ?3: Rút gọn pt xác định nghiệm nĩ Củng cố dặn dò: ?1: Trong pt sau, pt pt bậc hslg cách giải ? (a) 3cos x  (b) tan x   (c) cot x  (b) 2tan x.cot2x 1 (d) tan x  cos x  (b) sin2 x 1 - Làm tập 1, 2b tr 36 + Đưa dạng phương trình lgcb + Áp dụng cơng thức nghiệm ptlgcb tìm nghiệm x - Xem tiếp mục II SGK trang 31 trả lời câu hỏi sau ?1: Dạng phương trình bậc hai hàm số lượng giác ?2: Cách giải phương trình bậc hai hàm số lượng giác Tiết 13, 14 Kiểm tra cũ: Hoạt động giáo viên ?1: Dạng phương trình bậc hàm số lượng giác Cách giải ? ?2: Giải phương trình cos x  2cos x   * Hoạt động học sinh Có dạng at = b Chuyển pt lgcb tìm nghiệm cos x  �  � x   k Ta có:  * � � cos x   (VN ) � Bài mới: Hoạt động 4: Phương trình bậc hai hslg cách giải Hoạt động giáo viên ?1: Nếu đặt t hslg pt pt có dạng a) 3cos2 x  5cos x   ; b) 3sin2 x  5sin x  c)3tan2 x  5tan x   ; Hoạt động học sinh Trao đổi thảo luận Các pt có dạng at2  bt  c   a �0 Là pt bậc hslg d)3cot2 x   Giới thiệu khái niệm ptb2 Đặt ẩn phụ đưa dạng at2  bt  c   a �0 ?2: Cách giải pt bậc hslg ?3: Khi đặt t cos sin có khác với Nếu t = sin t = cos 1�t �1 ta đặt t tan cot Hoạt động 5: Củng cố cách giải Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Thảo luận nhóm Giải pt 3cos x  5cos x    1 Đặt t  sin x , t �1 ?1: Đặt t giá trị Khi (1) trở thành 3t2  5t   có nghiệm Trường THPT Đức Trí 21 Chương I: HSLG & PTLG Giáo án đại số 11 ?2: Tìm nghiệm pt vừa tìm Giáo viên: Dương Minh Tiến t  1, t  23 ?3: Xác định nghiệm t thỏa điều kiện giải pt t  sin x t  sin x Ta có: t  1� sinx  1� x    k2 , k �� �x  arcsin  k2 � t �� , k �� �x    arcsin  k2 � ?4: Kết luận nghiệm pt ban đầu Hs kết luận Hoạt động 6: Phương trình đưa pt bậc hai hslg Hoạt động giáo viên Bài 1: Giải pt 3cos2 6x  8sin3x cos3x    1 ?1: Sử dụng công thức nhân đôi đưa pt cung cung ?2: Dùng công thức lượng giác đưa cung hslg Hoạt động học sinh Thảo luận nhóm Ta có:  1 � 3cos 6x  4sin6x   Mà cos2 6x  sin2 6x    Nên  1 � 1 sin 6x  4sin6x   � 3sin2 6x  4sin6x  1 � sin6x  �� sin6x  � � ?3: Tìm nghiệm pt bậc hai ?4: Xác định nghiệm pt ban đầu ?5: Kết luận nghiệm pt Bài 2: Giải pt 3tan x  6cot x     2 ?1: Xác định điều kiện để pt có nghĩa Hs trình bày giải xác định nghiệm Vậy pt có nghiệm x   12 k ; 1   1  x  arcsin  k x   arcsin  k , k �� Bài 2: 3 6 3 Điều kiện: cos x �0, sin x �0 Khi đó:  2 � 3tan x  1tan x    ?2: Biến đổi cung hslg ?3: Xác nghiệm nghiệm pt bậc hai ?4: Tìm nghiệm pt ban đầu   � 3tan2 x   tan x   Pt có nghiệm tan x  tan x  2 Ta có: tan x  � x    k , k �� tan x  2 � x  arctan 2  k , k �� Củng cố dặn dò: ?1: Trong pt sau, pt pt bậc hai hslg giải pt bậc (a) 3cos2 x  (b) 2tan x  (c)  cot2 x  cot x   (d) 2tan x.cot2 2x 1 (e) cos3 x  cos x  (f) sin2 x 1 + Xác định dạng phương trình bậc theo sin (cos) hay theo tan (cot) + Tiến hành giải theo phương pháp xác định nghiệm ?2: Cách giải pt bậc hai hslg - Xem tiếp mục III SGK trang 35 trả lời câu hỏi sau 2 � a � � b � � 1 (i) Chứng minh � � � 2� � 2� � � a b � � a b � (ii) Ghi lại công thức lượng giác công thức cộng Tiết 15 Kiểm tra cũ: Hoạt động giáo viên Trường THPT Đức Trí 22 Hoạt động học sinh Chương I: HSLG & PTLG Giáo án đại số 11 ?1: Dạng ptb2 hslg Cách giải ? ?2: Sử dụng công thức tổng chứng minh biểu thức sau a) cos x    sin x  cos x b) Giáo viên: Dương Minh Tiến Có dạng at2 + bt + c = Đặt ẩn phụ giải ptb2 theo pp lớp 10  4 sin  x     sin x  cos x  cos x   Ta có:  4 � 2� 2� cos x  sin x � � 2 � � �  sin x  cos x Tương tự chứng minh đẳng thức b Bài mới: Hoạt động 7: Công thức biến đổi asin x  bcos x Hoạt động giáo viên ?1: Hày giải thích asin x  bcos x  � a � b  a2  b2 � sin x  cos x� * � 2 � a2  b2 � a b � 2 � a � � b � ?2: Hãy chứng tỏ � � � � � 2� � 2� a  b a  b � � � � ?3: Nếu đặt a a2  b2  cos (*) tương đương Hoạt động học sinh Trao đổi thảo luận 2 Vì a  b �0 nên ta đặt a2  b2 làm nhân tử chung Hs trình bày Ta có:  * � a2  b2  cos sin x  sin cosx � a2  b2 sin x    Vì cos2  sin2   nên tồn cung  cho b sin  a với biểu thức Vì ? a2  b2 a2  b2 Hoạt động 8: Phương trình dạng asin x  bcos x  c  cos Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh Giới thiệu cách giải Thảo luận nhóm ?1: Sử dụng công thức vừa biến đổi cho vế Ta có: a  b2 sin x     c trái pt ?2: Nhận xét dạng pt vừa tìm nêu Đây ptlg bậc chuyển vế sau giải ptlgcb cách giải Củng cố cách giải Bài 1: Bài 1: Giải pt 3sin3x  cos3x   *  Đây pt bậc sinx, cosx ?1: Hãy dạng pt Ta có: a  , b  1, c  ?2: Xác định hệ số a, b, c pt Khi đó: a2  b2  ?3: Tính a2  b2 biến đổi 3sin3x  cos3x Nên 3sin3x  cos3x  2sin 3x   ?4: Giải pt  Do đó:  * � sin 3x   x  11 36  k 2 2  sin , k �� Bài 2: Ta có:  * � sin x  cosx   � cos x   ?2: Giải ptlg cb Trường THPT Đức Trí  Vậy pt có nghiệm x  5 36 k 2 ?5: Kết luận nghiệm Bài 2: Giải pt 2sin x  2cos x    * ?1: Biến đổi vế trái đưa ptb1   23  2  cos  � 2cos x     � x    �  k2 Chương I: HSLG & PTLG Giáo án đại số 11 ?3: Xác định nghiệm pt ban đầu x   Giáo viên: Dương Minh Tiến Vậy pt có nghiệm x  7 12 k2  k2 , k �� 12 Hoạt động 9: Giải pt 5sin2 x  3cos x   Tiết 16 Hoạt động giáo viên ?1: Nhận dạng phương trình ?2: Đưa pt dạng bậc hai hslg ?3: Xác định nghiệm pt bậc hai theo cos x ?4: Xác định nghiệm pt ban đầu Hoạt động học sinh Phương trình bậc hai hslg Ta có: 5sin2 x  3cos x   � 5cos2 x  3cos x   � cos x  1 �� cos x  ( loại ) � Khi cos x  1� x    k2 , k �� Hs trả lời ?4: Kết luận nghiệm pt 6 Hoạt động 10: Giải pt sin x  cos x  4cos2 2x  * Hoạt động giáo viên ?1: Biến đổi sin6 x  cos6 x dạng A3 + B3 ?2: Khai triển đẳng thức ?3: sin x  cos x  ? ?4: Biến đổi sin4 x  cos4 x dạng  A  B ?5: Áp dụng công thức nhân đôi sin x.cosx  ? ?6: Xác định nghiệm pt Hoạt động học sinh     Ta có: sin6 x  cos6 x  sin2 x  cos2 x  2   sin x  cos x  � �sin x   sin x.cos2 x   cos2 x  � � 2  sin x  sin x.cos x  cos x   sin x  cos x   3sin x.cos x   3sin x.cos x Khi đó:  * � 1 34 sin2 2x  4cos2 2x � 13cos2 2x  1   Vậy pt có nghiệm x  �12 arccos  113  k c x  �1 arccos  k , k �� hoaë 13 Hoạt động 11: Giải pt  14  sin x  cos x  * Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh 1 2cos2x  cos2 2x ?1: Dùng công thức hạ bậc để biến đổi cos x Ta có: cos4 x  cos2x   ?2: Hạ bậc sin x ?3: Biến đổi thu gọn pt ?4: Xác định nghiệm pt ?5: Kết luận  1 cos2x Khi đó:  * � cos2 2x  4cos2x  Mà sin2 x  � cos2x  �� � x    k , k �� cos2 x  -4 loaï i   � Hs trả lời Củng cố dặn dò: ?: Cơng thức biến đổi asin x  bcos x cách giải pt asin x  bcos x  c - Làm tập 2b, SGK tr 36 – 37 + Xác định dạng phương trình + Biến đổi dạng quen thuộc sau dùng phương pháp phù hợp giải tìm nghiệm - Ơn lại kiến thức học chương I chuẩn bị kiến thức để làm kiểm tra tiết + Cách tìm tập xác định hàm số + Phương pháp giải cơng thức nghiệm phương trình lgcb Trường THPT Đức Trí 24 Chương I: HSLG & PTLG Giáo án đại số 11 + Cách giải ptlg thường gặp Tiết 17 Kiểm tra cũ: Giáo viên: Dương Minh Tiến Hoạt động giáo viên ?1: Dạng phương trình bậc sin u cos u Cách giải ? Hoạt động học sinh Có dạng asinx + bcosx = c c Biến đổi sin  x     a  b2 Ta có:  * � sin x  450  ?2: Giải pt 2sin x  2cos x    *  + Xác định a  b + Giải pt tìm nghiệm   sin 450 � x  900  k 3600 �� , k �� x  1800  k 3600 � Bài mới: Hoạt động 1: Giải pt 2cos2 x  3cos x  1 Hoạt động giáo viên ?1: Nhận dạng phương trình ?2: Giải pt 2cos2 x  3cos x  1 ?3: Kết luận nghiệm pt Hoạt động học sinh Đây pt bậc hai hàm số cos x � cos x  cos x  � Ta có: 2cos2 x  3cos x  1 � � Vậy: pt có nghiệm x  �  k2 x  k2 , k �� 2 Hoạt động 2: Giải pt 25sin x  15sin2x  9cos x  25  * Hoạt động giáo viên ?1: Kiểm tra cos x  � x    k có nghiệm pt (*)  ?2: Xét x �  k , cos x  ? ?3: Chia hai vế phương trình (*) cho cos2 x Hoạt động học sinh nnhiê n Ta có:  * � 25sin x  25  Hieå Vậy x    k laứ nghieọm cuỷa pt Khi đó: cos x �0  * � 25sin2 x  30sin xcosx  9cos2 x  25 ?4: Giải pt 30tan x 16  �8 � � 30tan x  16  � x  arctan� � k (k ��) 15� � ?5: Kết luận nghiệm pt ban đầu Vậy pt có nghiệm x    k vaứ x  arctan  k (k ��) 15 Hoạt động 3: Giải pt 2tan x  2cot x    *   Hoạt động giáo viên ?1: Điều kiện phương trình ?2: Áp dụng cơng thức lượng giác biến đổi pt hslg thu gọn ?3: Xác định nghiệm pt Trường THPT Đức Trí Hoạt động học sinh � sin x �0 ۹ x k cos x �0 � Điều kiện � Ta có: 2tan x  1tan x   � 2tan2 x  3tan x     Vậy pt có nghiệm x  arctan  12  k x  arctan2  k , k �� 25 Chương I: HSLG & PTLG Giáo án đại số 11 Giáo viên: Dương Minh Tiến Củng cố dặn dò: ?1: Cơng thức nghiệm phương trình lượng giác ?2: Cách giải phương trình bậc hai hàm số lượng giác - Giải phương trình sau (i) 3cos2 x  2sin x   (ii) 2tan x  3cot x   + Đưa phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác sử dụng công thức 2 sin x  cos x  ; tan x.cot x  + Giải phương trình bậc hai theo phương pháp tìm nghiệm - Ôn lại kiến thức học pt lượng giác chuẩn bị ôn chương kiểm tra tiết + Cách tìm tập xác định hàm số + Phương pháp giải công thức nghiệm phương trình lgcb + Cách giải ptlg thường gặp Tân châu, ngày …… tháng …… năm 2011 TM Tổ trưởng Nguyễn Phương Nam Trường THPT Đức Trí 26 Chương I: HSLG & PTLG