Đang tải... (xem toàn văn)
Chuyên đề đại số tổ hợp, xác suất, nhị thức niu tơn bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 Chuyên đề đại số tổ hợp, xác suất, nhị thức niu tơn bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 Chuyên đề đại số tổ hợp, xác suất, nhị thức niu tơn bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11 Chuyên đề đại số tổ hợp, xác suất, nhị thức niu tơn bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11
BÀI TẬP ĐẠI SỐ TỔ HỢP XÁC SUẤT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 11 Năm 2017-2018 Câu Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm K ∈ {1;2;…;n} cho số tập gồm K phần tử A lớn nhất? Trang Hướng dẫn giải Số tập gồm phần tử từ n phần tử A : Cn tập Số tập gồm phần tử từ n phần tử A : Cn tập Theo đề bài, ta có: Cn4 20Cn2 n! n! � 20 (n 4)!4! (n 2)!2! � (n 3)(n 2) 240 n 18(n) � �� n 13(l ) � Gọi K số phần tử có số tập lớn A( �K �18, K ��) Khi đó : K giá trị lớn � C18K �C18K 1 � ��K C18 �C18K 1 � 18! � 18! �(18 K )! K ! �(18 K 1)!( K 1)! � �� 18! � 18! � � �(18 K )! K ! (18 K 1)!( K 1)! � � � �(18 K ) ( K 1) �� �1 � � �K 19 K 17 19 � ۣ K 2 �K 9 Câu Cho k số tự nhiên thỏa mãn Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Ta có : (1 x)5 (1 x) 2011 (1 x) 2016 2 3 4 5 Đặt M (1 x ) C5 C5 x C5 x C5 x C5 x C5 x k 2011 2011 N (1 x )2011 C2011 C2011 x C2011 x C2011 x k C2011 x k 2016 2011 P (1 x) 2016 C2016 C2016 x C2016 x C2016 x k C2016 x mà P=M.N nên phần tử thứ k P có dạng: k k k 1 k 1 k k 5 C2016 x k C50C2011 x k C51 xC2011 x C55 x 5C2011 x k k 1 k k 5 k C50C2011 x k C51C2011 x C55C2011 x Chọn x=1 ta có điều phải chứng minh Câu Gọi A tập hợp số tự nhiên có chín chữ số đơi khác nhau.Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số đó chia hết cho Hướng dẫn giải Gọi phần tử A có dạng : a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 a9 Trang a1 �0 nên có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí từ a2 � a9 : A9 cách chọn Vậy n(A)= A9 Giả sử gọi B 0;1; 2; ;9 có tổng 10 phần tử 45M3 Nên muốn tạo thành số có chữ số vả chia hết cho 3, ta cần loại phần tử bội Như vậy, ta sẽ có tập : B \{0}, B \{3}, B \{6}, B \{9} TH1: Chọn tập B \{0} để tạo số : Ta còn chữ số để xếp vào vị trí a1 � a9 : 9! cách Câu TH2: Chọn ba tập : B \ {3}, B \ {6}, B \{9} : cách a1 �0 : có cách ( loại phần tử bội 3) Còn chữ số xếp vào vị trí còn lại : 8! cách Số cách chọn phần tử thuộc A chia hết cho là: 9! 3.8.8! 9! 3.8.8! 11 Vậy xác suất cần tỉm : A98 27 Gọi A tập hợp số tự nhiên có tám chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên thuộc vào tập A Tính xác suất để chọn số thuộc A số đó chia hết cho Hướng dẫn giải Gọi phần tử A có dạng : a1a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a1 �0 nên có cách chọn Chọn chữ số còn lại xếp vào vị trí từ a2 � a8 : A9 cách chọn Vậy n(A)= 9A9 Giả sử gọi B 0;1; 2; ;9 có tổng 10 phần tử 45M9 Nên muốn tạo thành số có chữ số vả chia hết cho 3, ta cần loại phần tử có tổng bội Như vậy, ta sẽ có tập : B \{0;9}, B \{1;8}, B \{2;7}, B \{3;6}, B \{4;5} TH1: Chọn tập B \ {0;3} để tạo số : Ta còn chữ số để xếp vào vị trí a1 � a8 : 8! cách TH2: Chọn bốn tập : B \ {1;8}, B \{2; 7}, B \ {3;6}, B \ {4;5} : cách a1 �0 : có cách ( loại phần tử có tổng bội 9) Còn chữ số xếp vào vị trí còn lại : 7! cách Số cách chọn phần tử thuộc A chia hết cho là: 8! 4.7.7! 8! 4.7.7! Vậy xác suất cần tỉm : A97 Câu Người ta dùng 18 sách bao gồm sách Toán, sách Lý sách Hóa (các sách loại giống nhau) để làm phần thưởng cho học sinh A,B,C,D,E,F,G,H,I, học sinh nhận sách khác thể loại (khơng tính thứ tự sách) Tính xác suất để hai học sinh A B nhận phần thưởng giống Hướng dẫn giải Để học sinh nhận sách thể loại khác nhau, ta chia phần thưởng thảnh ba loại : ( Toán-Lý) ; ( Toán- Hóa) ; ( Lý- Hóa) Gọi x,y,z ( x, y , z ��) số học sinh nhận giải thưởng ( Toán-Lý) ; ( Toán- Hóa) ; ( Lý- Hóa) Khi đó, ta có hệ sau : Trang �x y �x � � �x z � �y �y z �z � � Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho học sinh : Chọn bạn bạn để nhận ( Toán-Lý) : C9 cách Chọn bạn bạn còn lại để nhận (Toán-Hóa) : C5 cách bạn còn lại chỉ có cách phát thưởng ( Lý-Hóa) Vậy n() C9 C5 Gọi S biến cố “ hai học sinh A B có phần thưởng giống nhau” TH1 : A B nhận ( Tốn-Lý) Vì A B nhận quà nên ( Toán-Lý) còn lại phần Ta chọn bạn bạn để nhận : C72 cách Chọn bạn bạn còn lại để nhận ( Toán-Hóa) : C5 cách bạn còn lại chỉ có cách phát thưởng ( Lý-Hóa) Vậy có C7 C5 cách để A B củng nhận ( Toán-Lý) TH2: A B nhận ( Toán-Hóa) Lập luận tượng tự, ta : C7 C6 cách TH3 : A B nhận ( Lý-Hóa) có C7 cách 4 Vậy có C7 C5 + C7 C6 + C7 Câu Câu C72C53 C71C64 C74 P( S ) C94C53 18 Cho tập hợp A={1,2,3,4,.,20} Tính xác suất để ba số chọn không có số tự nhiên liên tiếp Hướng dẫn giải Số cách chọn ba số đôi khác từ A : n() C20 TH1 : Ta chọn số có chữ số tự nhiên liên tiếp : Chọn phần tử A \{19; 20} : 18 cách chọn Với phần tử chọn, ta lấy hai phần tử liền kề bên phải : cách chọn Vậy có 18 cách chọn phần tử liên tiếp TH2 : Chọn ba số có đúng hai chữ số liên tiếp : Chọn hai phần tử {1;19}: cách Với cách chọn phần tử trên, ta có cách chọn phần tử liền sau đó Chọn phần tử thứ ba không liên tiếp với phần tử chọn : 17 cách ( phải bỏ phần tử liển sau phần tử thứ ) Chọn phần tử tập {2;3;4;.;18} : 17 cách Với cách chọn trên, ta có cách chọn phần tử thứ hai liền sau nó Để chọn phần tử thứ không liên tiếp, ta cần bỏ phần tử liền trước phần tử liền sau phần tử : 16 cách Vậy có 17.2+17.6 cách chọn phần tử có đúng hai chữ số liên tiếp C20 18 17.2 17.16 68 P C20 95 Có 1650 học sinh xếp thành 22 hàng 75 cột Biết với hai cột bất kì, số cặp học sinh hàng giới tính khơng vượt q 11 Chứng minh số học sinh nam không vượt 920 người Hướng dẫn giải Trang Gọi số học sinh nam hàng thứ i Vì có 75 cột nên số học sinh nữ hàng thứ i 75 Số cặp học sinh hàng củng giới tính : Chọn nam số nam hàng : Cai cách Chọn nữ số nữ hàng : C75ai cách Chọn bạn học sinh hàng : C75 Theo đề bài, ta có : 22 � C i 1 22 C752 ai �11C752 22 � � 75ai �30525 � � 2ai 75 �1650 i 1 i 1 Theo Cauchy-Swatch : Câu Câu 22 22 191 1650 �22 � (2 a 75) � 22 (2 a 75) 36300 � 921 � � � i i � � i 1 i 1 �i 1 � Trong giải cờ vua gồm nam nữ vận động viên Mỗi vận động viên phải chơi hai ván với động viên còn lại Cho biết có vận động viên nữ cho biết số ván vận động viên chơi với số ván họ chơi với hai vận động viên nữ 66 Hỏi có vận động viên tham gia giải số ván tất cả vận động viên chơi? Hướng dẫn giải Gọi n số vận động viên nam tham gia ( n �2, n ��) Chọn số n VĐV nam để đấu ván với : 2Cn cách Số ván VĐV nam đấu với VĐV nữ : 4n Theo đề bài, ta có : n 11(n) � 2n ! 2Cn2 4n 66 � 4n 66 � (n 1)n 4n 66 � � n 6(l ) (n 2)!2! � Vậy số VĐV tham gia giải : 11+2=13 người Số ván vận động viên chơi với : 2C11 4.11 156 ván Cho tập hợp A có 20 phần tử Hỏi có tập hợp A mà số phần tử số chẵn ? Hướng dẫn giải Gọi S số tập hợp có số phần tử số chẵn 20 C20 C20 C20 S= C20 Ta xét : 2 3 20 (1 x ) 20 C20 C20 x C20 x C20 x C20 2 3 (1 x) 20 C20 C20 x C20 x C20 x C2020 Chọn x=1, ta : 220 C200 C20 C20 C20 C2020 C20 C20 C202 C20 C2020 � 220 2C202 2C204 2C2020 Câu 10 � 219 C202 C20 C2020 Cho n điểm P1 , P2 , P3 , , Pn ( n 4) nằm đường tròn Tìm số cách tô màu n điểm màu cho điểm kề tô màu khác Hướng dẫn giải Gọi an số cách tô màu n điểm thỏa mãn Giả sử có vòng tròn n+1 điểm tô màu theo yêu cầu TH1 : Điểm điểm n khác màu Trang Bỏ điểm n+1, ta có an cách Ngược lại, thêm điểm n+1, ta có lựa chọn màu cho nó Vậy có 3.an cách tô màu vòng tròn n+1 điểm theo TH1 TH2: điểm điểm n màu : Bỏ điểm n+1 hợp hai điểm n : an 1 cách Ngược lại, có vòng tròn n-1 điểm tô màu Ta tách điểm làm hai, thêm điểm n+1 vào Khi đó nó có lựa chọn màu, : 4an 1 cách Từ hai TH nêu trên, ta có : an1 3an 4an 1 ( với a5 5! ) Câu 11 Một bảng vng kích thước 3x3 gọi bảng “ 2015- hoàn thiện” tất cả ô nó điền số nguyên không âm ( không thiết phân biệt ) cho tổng số hàng cột đều 2015 Hỏi có tất cả bảng “ 2015- hoàn thiện” cho số nhỏ số đường chéo nằm vị trí tâm bảng ? ( Đường chéo bảng vng đường nối vng góc bên trái với ô vuông góc bên phải ) Hướng dẫn giải Gọi số học sinh ban đầu 2n Un số cách chọn số bạn xếp thành hàng ngang thỏa mãn yêu cầu tóan Ta bỏ bạn học sinh đầu hàng, còn 2n-1 người Gọi Vn số cách chọn số bạn từ 2n-1 người đó thỏa mãn yêu cầu tóan Xét số cách chọn từ 2n người n n TH1: Bạn vị trí chọn.Khi đó bạn vị trí 2,3 khơng chọn Vậy có Vn -1+ cách chọn ( Thêm cách không chọn cả từ 2n-1 bạn) TH2: Bạn vị trí chọn Tương tự có Vn -1+ cách chọn TH3:Cả bạn vị trí khơng chọn Khi đó có Un-1 cách Vậy ta có Un= Un-1+2 Vn -1+ (1) Xét số cách chọn từ 2n-1 bạn × n n TH1: Bạn vị trí chọn.khi đó bạn vị trí khơng chọn Vậy có Vn-1 +1 cách TH2: Bạn vị trí khơng chọn Có Un-1 cách Vậy ta có Vn = Vn-1 +1 + Un-1 (2) Từ (1) (2) ta tìm Un+1 = Un+Un-1+2 Với n=50 ta có số cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán Câu 12 Cho tập X= {1,2,3,.2015}, xét tất cả tập X, tập hợp có phần tử Trong tập hợp ta chọn số bé Tính trung bình cộng số chọn Hướng dẫn giải Xét X= {1,2,3.n} tập gồm r phần tử X Các tập hợp X có phần tử chọn 1,2.n– r + 1.Cách cấu tạo tập hợp sau: Trang Lấy A X {1}, A có r – phần tử ( bỏ ), {1} �A tập hợp có r phần tử đó r 1 số phần tử bé Vậy có: Cn 1 tập có phần tử có phần tử nhỏ Tương tự ta có: r 1 + Cn tập có r phần tử có phần tử bé r 1 + Cn ( n r 1) tập có r phần tử có phần tử bé n – r + Trung bình cộng số chọn : P 1Cnr11 2Cnr12 (n r 1)Cnr1(nr 1) Cnr Ta chứng minh: r 1 r 1 r 1 r 1Cn1 2Cn2 ( n r 1)Cn( nr 1) Cn � 1C r 1 r 1 n 1 2Cn 2 nr 11 (n r 1)Cnr1(nr 1) r r r 1 mà Cn 1 Cn Cn ta được: n 1 r Cn Cnr11 r 1 1 Cnr Cnr1 Cnr1 Cnr (n r ) Crr1 Crr Cnr Cnr1 Cnr2 Crr1 Crr Cnr11 2015 2016 1 Có số tự nhiên chữ số khác tửng đôi một, đó chữ số đứng liền hai số ? Hướng dẫn giải Gọi số cần tìm có dạng : a1a2 a3 a4 a5 a6 a7 Vậy trung bình cộng số chọn : Câu 13 Vì số cần tìm có số {1;2;3} nên ta chỉ cần chọn số để điền vào vị trí: C7 cách Hốn đởi vị trí số chọn với cụm { 1;2;3} : 5! cách Hốn đởi vị trí số cụm {1;2;3} : 2! cách Trong số tạo thành có TH số đứng đầu : a1 có cách Chọn số để điền vào vị trí : C6 cách Hốn đởi vị trí cụm{1;2;3} số vừa chọn : 4! cách Hốn đởi vị trí số số cụm {1;2;3}: 2! cách Vậy số chữ số thỏa mãn yêu cầu toán : 2!5!C7 2!4!C6 =7440 số Câu 14 Có 2012 thỏ nhốt 1006 chuồng, chuồng có đúng hai Sau ngày người ta lại thay đởi vị trí thỏ cho không có hai thỏ nằm chung chuồng ngày trước đó lại nằm chung chuồng thêm lần Hỏi có tối đa ngày làm vậy? Câu 15 Cho n điểm mặt phẳng, với n > 4, số đó không có ba điểm thẳng hàng ( n 3)(n 4) chứng minh có tứ gác lồi tạo thành có đỉnh nằm số n điểm cho 2 n 20 Câu 16 Cho nhị thức (1 x) n , biết C n 1 C n 1 C n 1 2 , (n nguyên dương) Tìm số hạng có hệ số lớn nhị thức? 2n Câu 17 Tìm hệ số x7 khai triển đa thức 3x đó n số nguyên dương thỏa k n 1 mãn: C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 C2 n 1 1024 ( Cn số tổ hợp chập k n phần tử) Câu 18 Từ số 1, 2, 3, 4, có thể lập số tự nhiên có chữ số, đó chữ số có mặt đúng lần, chữ số còn lại có mặt không lần Trong số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho Trang Câu 19 Trên bảng ô vuông 3x3, người ta đặt số viên sỏi cho ô vuông có không viên sỏi Với cách đặt ta cho tương ứng với số điểm tổng số : hàng, cột, đường chéo chứa số lẻ viên sỏi đó Bảng không có sỏi ứng với điểm a) Tồn tại hay không cách đặt sỏi cho bảng khơng có sỏi số điểm tương ứng với cách đặt đó b) Chứng minh số cách đặt sỏi với điểm số số chẵn số cách đặt sỏi với điểm số số lẻ Hướng dẫn giải a) Giả sử khơng có sỏi điểm số cách đặt Như hàng, cột hai đường chéo đều có số lẻ viên sỏi Gọi a, b, c, d số sỏi hình vẽ, a, b, c, d � 0,1 Khi đó ô đối xứng với a, b, c, d qua tâm sẽ có số sỏi tương ứng a ', b ', c ', d' cho a a ' b b' c c' d d' a b c d Từ đó a b c a ' b ' c ' suy hai tổng a b c hoặc a ' b ' c ' số chẵn Khi đó dòng thứ hoặc dòng thứ ba có tổng số sỏi số chẵn, mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Vậy không tồn tại cách đặt sỏi thỏa mãn điều kiện toán b) Ta gọi hai cách đặt sỏi liên hợp với ô bên trái chúng có số sỏi khác lại tương ứng có số sỏi a b c f e d a’ b c g h i f d g h i ( B) (B’) Như vậy, cách đặt sỏi chia thành từng cặp đôi liên hợp với Xét hai cách đặt liên hợp với (B) (B’) Tổng số sỏi dòng 1, cột đường chéo cả hai bảng đơi khác về tính chẵn lẻ Các dòng, cột đường chéo còn lại hai bảng có số sỏi Do đó điểm số ( B) (B’) khác đơn vị, suy số điểm ( B) (B’) có tính chẵn lẻ khác Vậy hai cách đặt liên hợp với nhau, cách xếp có điểm số chẵn, cách đặt còn lại có điểm số số lẻ suy điều phải chứng minh Câu 20 Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác từ chữ số Tính tởng chữ số lập Câu 21 k k2 k 1 Giải phương trình: C14 C14 2C14 Trang Câu 22 Cho tập hợp X có 2016 phần tử Chọn 64 tập X , X ,., X 64 tập X (mỗi tập đều chứa nhiều 1008 phần tử) Chứng minh tồn tại tập A X có số phần tử không vượt Xi mà A ǹ� , với i 1,64 Câu 23 Những hình vng kích thước 7�7 tơ hai màu Chứng minh tồn tại 21 hình chữ nhật với đỉnh màu cạnh song song với cạnh hình vng Hướng dẫn giải Ta cho màu tô trắng đen Lấy hàng bất kỳ, ta giả sử tồn tại k ô đen – k ô 2 trắng Khi đó tồn tại Ck + C7- k = k - k + 21 �9 Cặp ô màu Vậy tồn tại 7.9 = 63 cặp ô màu hàng Tiếp theo tồn tại C7 = 21 cặp cột Suy tồn tại 21.2 = 42 tổ hợp màu cặp cột Với tổ hợp i = 1;24 , giả sử tồn tại ji cặp tổ hợp, tồn tại ji – hình chữ nhật cho tở hợp Vì tởng ji 63 nên tồn tại 42 �( ji - 1) �63 - 42 = 21 i=1 Vậy tồn tại 21 hình chữ nhật thỏa mãn yêu cầu toán Câu 24 Cho tập hợp A 1; 2; ; 2013 Cần phải loại khỏi A phần tử để tập hợp còn lại có tính chất: Khơng phần tử tích hai phần tử khác Hướng dẫn giải {2;3; ;44} Loại khỏi A tập hợp , tập có 43 phần tử Khi đó tập còn lại {1; 45; 46; ; 2012; 2013} Rõ ràng tập thỏa mãn yêu cầu: Không có phần tử tích hai phần tử khác Ta sẽ chứng minh mọi cách tách khỏi A tập hợp có nhiều 42 phần tử đều không thỏa mãn yêu cầu đề 0.5 đ Thật xét ba sau (43 ba): 2, 87, 2.87 3, 86, 3.86 4, 85, 4.85 ………… 44, 45, 44.45 Xét hàm số f ( x) x(89 x) với �x �44 Ta có f '( x) 89 x 0, 2 �x �44 Vậy f hàm đồng biến �x �44 Suy f (2) f (3) f (44) � 2.87 3.86 44.45 Dễ thấy 44 45 46 87 2.87 3.86 44.45 Vì 44.45 1980 2013 nên toàn phần tử 43 ba đều khác đều nằm tập hợp A Vì ta tách khỏi A tối đa 42 phần tử, nên phần còn lại A (sau tách) phải có ba nói Vậy mọi cách tách không thỏa mãn yêu cầu đầu 2.0 đ Kết luận: Số phần tử cần tách khỏi A 43 phần tử Trang Câu 25 Cho 51 điểm phân biệt nằm hình vng ABCD có cạnh 5, đó không có không có điểm thẳng hàng Vẽ đường tròn có bán kính có tâm 51 điểm Chứng minh tồn tại điểm số 51 điểm nói cho chúng đều thuộc phần giao hình tròn có tâm điểm đó Hướng dẫn giải * Chia hình vng ABCD thành 25 hình vng đơn vị ( có cạnh 1) Theo nguyên lý Dirichlet, có hình vng đơn vị chứa khơng điểm * Mặt khác, khoảng cách hai điểm hình vng đơn vị khơng vượt * Gọi I1, I2, I3 điểm nằm hình vng đợ vị đó Vẽ đường tròn có tâm I1, I2, I3 có bán kính điểm I1, I2, I3 đều thuộc giao cả hình tròn ( Đpcm) Câu 26 Cho 2013 điểm đường thẳng, tô điểm màu màu xanh, đỏ, vàng (mỗi viên bi chỉ tô màu) Có cách tô khác cho không có điểm liên tiếp màu Hướng dẫn giải Gọi số cách tô màu thỏa mãn cho n () điểm (bài toán ta n 2013 ) Ta sẽ tính theo , xét hai bi cuối có hai trường hợp xảy ra: +Nếu hai bi cuối màu bi thứ n khác màu bi cuối +Nếu hai bi cuối khác màu bi thứ n tơ Từ đó sinh hai số đặc trưng số cách tô n bi mà hai bi cuối màu, số cách tô màu n bi mà hai bi cuối khác màu cả hai thỏa mãn bi liên tiếp khác màu Ta có: Sn 1 M n Pn , Pn 1 2S n ; M n 1 Pn Thế Sn 1 Pn 1 Sn 4Sn Sn 1 Vậy ta có hệ thức truy hồi: S n 1 S n 1 Sn 2 Bây ta tính S3 , S thấy S3 27 24 , S 4! 12 49 Phương trình đặc trưng n n X X có nghiệm là: x1 13, x2 13 Công thức xác định S n ax1 bx2 � 24 13 23 a � � a (3 13)3 b(3 13) 24 � 13(3 13)3 � �� với a, b thỏa mãn: � a (3 13) b(3 13) 49 � 24 13 23 � b � � 13(3 13) Sau đó cho n 2013 ta kết quả toán Câu 27 Đối với giá trị n �� , tìm số k lớn thỏa mãn tập hợp gồm n phần tử có thể chọn k tập khác cho hai tập đều có giao khác rỗng Hướng dẫn giải Số tập X 2n Giả sử chọn 2n1 tập X có giao khác rỗng Ta chia tập X thành 2n1 cặp tạo tập X phần bù tập đó X Có 2n1 cặp, chọn 2n1 tập từ 2n1 cặp nên theo nguyên lý Dirichlet phải có tập thuộc cặp, đó giao nó rỗng Điều chứng tỏ chọn lớn hoặc 2n1 tập cho giao hai tập chúng khác rỗng Trang 10 Đặt b1 a1 , b2 a2 m, , bi i 1 m, , bk ak k 1 m Vì �a1 a2 ak �n; a j m, 1 �j i �k nên �b1 b2 bk �n k 1 m Suy tập B b1 , b2 , , bk tập có k phần tử tập 1, 2, , n k 1 m Gọi Y tập tất cả tập có k phần tử tập hợp 1, 2, , n k 1 m Khi đó ánh xạ f : X �Y Aa B Khi đó f song ánh Thật X ,A1 ● f đơn ánh: Vì với A1 , A2 ι�ι A2 B1 , B2 Y , B1 f A1 B2 f A2 ● f toàn ánh: Giả sử B b1 , b2 , , bk �Y Đặt A b1 , b2 m, , bk k 1 m a1 , a2 , , ak Ta có 1 bi1 im bi i 1 m �m nên A �X f A B k Vì ta có X Y Cn k 1 m Câu 103 Cho tập hợp A 0, 1, 2, , 2006 Một tập T A gọi tập “ ngoan ngoãn” với x , y �T (có thể x y ) x y �T Tìm tập “ ngoan ngoãn” lớn khác A Tìm tập “ ngoan ngỗn” bé 2002 �T 2005 �T Câu 104 Trên mặt phẳng có 25 điểm, không có điểm chúng thẳng hàng Tìm số màu k nhỏ cho ta có thể tô màu tất cả đoạn thẳng nối hai điểm mặt phẳng k màu ( đoạn thẳng tô đúng màu) cạnh tam giác tạo điểm chúng tô đúng hai màu Hướng dẫn giải Dùng định lí Ramsey chứng minh được: Tơ màu cạnh đồ thị đỉnh) màu cách tùy ý ln có ( đồ thị đầy đủ 17 có ba cạnh màu ( sách về đồ thị đều trình bày chứng minh, học sinh phải chứng minh lại) Khi đó Ta chứng minh: màu ta có thể tô cạnh Thật vậy, chia 25 điểm thành tập hợp điểm thỏa mãn Trong lấy đỉnh ngũ giác đều Cạnh ngũ giác tô màu đường chéo nó tô màu Sau đó tập hợp nhóm coi đỉnh ngũ giác thực hiện việc tô màu nối đoạn thẳng theo cách tương tự với màu còn lại Ta chứng minh cách tô màu thỏa mãn tốn Câu 105 Tìm số hoán vị (a1, a2, …, a2009) (1, 2, 3, …, 2009) thỏa mãn tính chất: tồn tại đúng chỉ số i � 1, 2,3, , 2008 cho > ai+1 Hướng dẫn giải Câu 106 Cho bảng ô vuông có 100 100 ô vuông , ô đều điền dấu + Ta thực hiện phép biến đởi sau: đởi dấu tồn hàng hoặc cột bảng ( dấu + thành dấu - , dấu Trang 40 thành dấu +) Hỏi sau số lần thực hiện phép biến đổi bảng có thể có đúng 98 dấu - không? Hướng dẫn giải Giả sử sau số lần biến đổi bảng có đúng 98 dấu Gọi xi số lần đổi dấu hàng thứ i ( i = 1, ,100 , tính từ xuống) Gọi yj số lần đổi dấu cột thứ j ( j = 1, ,100 , tính từ trái sang phải) Gọi m số lẻ số x1; x2 ; ; x100 n số lẻ số y1; y2 ; ; y100 Ta có m , n 0,1,2 100 Ta có số lượng dấu - bảng m(100-n) + n( 100-m) = 100m +100n - 2mm Bảng có đúng 98 dấu - nên ta có 100m +100n - 2mm = 98 m 50 (n 50) 50 m 50 n 50 43.57 (*) m 50 n 50 57 mà 57 số nguyên tố nên m-50 57 hoặc n-50 57 Ta có m-50 , n-50 50; 49; .;49;50 nên m-50 = hoặc n-50 = mâu thuẫn với (*) Vậy bảng có đúng 98 dấu Câu 107 Một ngân hàng câu hỏi Toán có 30 câu hỏi khác gồm: câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ Từ ngân hàng lập đề thi gồm câu hỏi khác Tính xác suất để cho đề chọn thiết phải có đủ cả loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ khơng 2? Hướng dẫn giải Số đề thi thỏa mãn u cầu tốn là: 56875 Tởng số đề thi có thể có là: 142506 625 Xác suất cần tìm là: P 1566 Câu 108 Xếp 10 học sinh ngồi quanh bàn tròn Ngân hàng đề có tất cả loại đề thi Hỏi có cách phát đề cho học sinh cho không có học sinh ngồi cạnh có đề thi? Hướng dẫn giải Gọi S n số cách phát đề cho học sinh cho không có học sinh ngồi cạnh có đề thi Cố định học sinh làm vị trí học sinh bên tay phải học sinh đó vị trí thứ 2, thứ 3,…, thứ n.( học sinh vị trí thứ n ngồi cạnh học sinh vị trí thứ nhất) (1 điểm) Ta thấy: Nếu học sinh vị trí thứ học sinh vị trí thứ n-1 có đề thi khác sẽ có cách phát đề cho học sinh vị trí thứ n Nếu học sinh vị trí thứ học sinh vị trí thứ n-1 có đề thi giống có cách phát đề cho học sinh vị trí thứ n Do đó ta có hệ thức: Sn 3Sn 1 4Sn 2 n �4 Sử dụng phương pháp sai phân để tính S n Xét phương trình đặc trưng: x 3x x 1 � �� x4 � � S n a(1) n b4 n Trang 41 Do S2 5.4 20, S3 5.4.3 60 Ta có: a 16b 20 a4 � � �� � a 64b 60 b 1 � � Vậy Sn 1 n � S10 410 n Câu 109 Điền 29 số nguyên dương vào ô vuông bảng x cách sau: Cho phép thay đởi vị trí số bảng theo quy tắc: Mỗi lần, lấy số nằm ô kề với ô trống chuyển số đó sang ô trống Hỏi cách thực hiện liên tiếp số hữu hạn lần phép chuyển số nói bảng số ban đầu ta có thể nhận bảng số sau đó hay không? 10 11 12 14 16 17 18 19 Bảng 20 21 22 24 26 27 28 29 9 10 11 12 14 16 Bảng 17 218 19 20 21 22 24 Hướng dẫn giải Giả sử nhờ phép chuyển số theo qui tắc đề bài, từ Bảng ta có thể nhận Bảng (*) Ta coi ô trống bảng ô điển số Với bảng số nhận trình chuyển số, ta liệt kê tất cả số bảng theo thứ tự từ hàng xuống hàng hàng từ trái qua phải Khi đó ứng với bảng số ta sẽ có hoán vị 30 số tự nhiên Và đó, điều giả sử (*) tương đương với: Từ hoán vị (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, , 9, 10, 11, 12, 0, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29) (gọi hoán vị a) có thể nhận hoán vị (29, 2, 3, 4, ,11 12, 0, 13, 14, 15, .27, 28, 1) (gọi hoán vị b) nhờ việc thực hiện liên tiếp số hữu hạn lần phép đởi chỗ hai số hốn vị theo qui tắc: Mỗi lần, lấy hai số hoán vị đởi vị trí số đó cho số liền kề với số đó (1) +) Giả sử (a1, a2, a3, ……, a30) hoán vị 30 số tự nhiên Ta gọi cặp số ; a j cặp số ngược hoán vị vừa nêu a j i j Dễ thấy, sau lần thực hiện phép đổi chỗ hai số kề hoán vị (a1, a2, a3, ……, a30) số cặp số ngược hốn vị đó sẽ tăng hoặc giảm đơn vị +) Khi chuyển chỗ hai số n ( n 1 tùy ý) hoán vị, tức chuyển liên tiếp qua n số kề với nó chuyển n liên tiếp qua n – số kề với nó, nghĩa chuyển 2n – (một số lẻ lần) hai số kề nhau, đó cặp số ngược hoán vị đó sẽ tăng hoặc giảm số lẻ đơn vị (2) +) Ta có: Số cặp số ngược của hoán vị a 12 số cặp số ngược hoán vị b 67 Từ đó, kết hợp với (2), suy từ hoán vị a ta chỉ có thể nhận hoán vị b sau số lẻ lần thực hiện phép đổi chỗ hai số đó Điều cho thấy, từ Bảng ta nhận Bảng số lần đổi chỗ hai số hai ô đó phải số lẻ (3) +) Tô màu tất cả ô vuông bảng x hai màu xanh, đỏ cho hai ô kề có màu khác Sau lần đổi chỗ hai số hai ô kề nhau, đó có số ô trống, theo cột hay theo hàng số chuyển từ có màu sang có màu Và số bảng số bảng nằm hai ô màu nên từ bảng ta chỉ nhận bảng sau số chẵn lần đổi chỗ hai số hai ô kề nhau, đó có số Điều mâu thuẫn với (3) Trang 42 mâu thuẫn đó cho thấy: Từ Bảng ta nhận Bảng nhờ số hữu hạn lần đổi chỗ hai ô kề nhau, đó có số ô trống, theo quy Câu 110 Cho số 1;2;3 1) Chúng ta thực hiện phép biến đổi số sau: thay hai số chúng, ví dụ a b, a b a b Hỏi có thể nhận số sau: a1;b1;c1 thỏa mãn a1 b1 c1 10 sau thực hiện hữu hạn phép biến đổi từ số ban đầu 1;2;3 ? 2) Nếu chúng ta thực hiện phép biến đổi số sau: thay hai số chúng, ví ab ab Hỏi có thể nhận số 28;4;2014 sau thực hiện 2 hữu hạn phép biến đổi từ số ban đầu 1;2;3 dụ a b, Hướng dẫn giải Ta thực hiện theo cấu hình sau 1;2;3 � 3; 1;3 � 3;2; 4 � 3;2; 4 � 7;2; 1 a1;b1;c1 Dễ thấy: a1 b1 c1 10 Trong mọi cấu hình ta ln có: Tởng bình phương số khơng đởi Lại có: 12 2 32 �282 42 2014 Vậy câu trả lời phủ định Ta có: M 3 m Ta chỉ với mọi số nguyên dương m , ta có: 23 M3m Với m , khẳng định đúng Giả sử khẳng định đúng với m nguyên dương đó, tức tồn tại k nguyên dương cho m 23 k.3m Ta có: m 1 23 3m.k 1 33m.k 32m 1.k 3m1.k 3m1.t với t số nguyên dương đó Như vậy, khẳng định chứng minh Câu 111 Mỗi điểm mặt phẳng tô hai màu xanh hoặc đỏ Chứng minh tồn tại tam giác mà ba đỉnh trọng tâm màu Hướng dẫn giải Lấy điểm tùy ý cho không có điểm thẳng hàng mặt phẳng Khi đó chỉ dùng hai màu để tô điểm nên theo nguyên lý Dirichlet phải tồn tại ba điểm số đó màu Giả sử đó điểm A, B, C màu đỏ Gọi G trọng tâm tam giác ABC Nếu G có màu đỏ ta tam giác có đỉnh trọng tâm màu đỏ Nếu G có màu xanh Kéo dài GA, GB, GC đoạn AA', BB', CC' cho AA'=3GA, BB'=3GB, CC'=3GC Gọi M, N, P tương ứng trung điểm BC, CA, AB AA'=3GA=6GM, suy AA'=2AM Tương tự BB'=2BN, CC'=2CP Do đó tam giác A'BC, B'CA, C'AB tương ứng nhận A, B, C làm trọng tâm Mặt khác ta có tam giác ABC, A'B'C' có trọng tâm G Có hai trường hợp có thể xảy a) Nếu A', B', C' có màu xanh, đó tam giác A'B'C' trọng tâm G có màu xanh b) Nếu điểm A', B', C' màu đỏ Không giảm tổng quát, giả sử A' đỏ Khi đó tam giác A'BC trọng tâm A có màu đỏ Trang 43 A' A N P G B C M C' B' Câu 112 Các số nguyên dương 1, 2,3, , 2014 xếp hàng theo thứ tự đó Ta thực hiện quy tắc đổi chỗ số sau: số k ta đởi k số theo thứ tự ngược lại Chứng minh sau số hữu hạn lần thực hiện quy tắc số sẽ xuất hiện vị trí Hướng dẫn giải Giả sử k ,1 �k �2014 số lớn xuất hiện vị trí tất cả q trình đởi chỗ Giả sử số k xuất hiện lần thứ h Khi đó lần thực hiện sau lần thứ h số k sẽ giữ ngun vị trí Trong q trình đởi chỗ sau đó ta gọi k1 số lớn xuất hiện vị trí Giả sử số k1 xuất hiện lần thứ h1 Khi đó sau lần thứ h1 số k1 sẽ giữ nguyên vị trí,… tiếp tục sau số hữu hạn bước phải dừng lại Khi không thực hiện việc thực hiện quy tắc đổi chỗ tốn tức số vị trí sẽ số Bài toán chứng minh Câu 113 Trong hội nghị, đại biểu bắt tay đại biểu khác Người ta đếm tất cả 97 lần bắt tay Hỏi hội nghị đó có tối đa đại biểu Hướng dẫn giải Gọi n số đại biểu Ta xây dựng đồ thị G với đỉnh đại biểu, còn hai đỉnh nối với cạnh chỉ hai đại biểu tương ứng hai đỉnh đó bắt tay với Khi đó đồ thị G có 97 cạnh Theo bổ đề bắt tay, đồ thị, tổng số bậc đỉnh hai lần số cạnh, đó 97x2 � 6n n 32 Vậy hội nghị có tối đa 32 đại biểu Câu 114 Gọi a1a2 an với � 2;0 xâu có độ dài n Gọi xâu 20 xâu OLIMPIC hai phần tử liên thứ tự đó xâu có độ dài n cho ( ví dụ xâu 2220022 có độ dài đó có xâu OLIMPIC) Xét xâu có độ dài 30 chứa k xâu OLIMPIC, biết có C31 xâu Tìm k? Hướng dẫn giải Gọi H số xâu chứa toàn số có độ dài lớn hay Trang 44 Gọi K số xâu chứa toàn số có độ dài lớn hay Ta có trường hợp sau: Trường hợp HKHKHK…HK (*) ( có k xâu loại H, k xâu loại K) Trường hợp HKHKHK…HKH ( có k+ xâu loại H, k xâu loại K) Trường hợp KHKHK…KHK ( có k xâu loại H, k+1 xâu loại K) Trường hợp KHKHK…KHKH( có k+1 xâu loại H, k+1 xâu loại K) Xét trường hợp Gọi x1 số phần tử xâu H ( H vị trí (*)) , x1 �1 Gọi x2 số phần tử xâu K ( K vị trí thứ hai (*)) , x2 �1 … Gọi x2k số phần tử xâu K ( K vị trí cuối (*)) , x2 k �1 Ta có : x1 x2 x2 k 30 Theo toán chia kẹo Euler : Số xâu có độ dài 30 chứa k xâu OLIMPIC trường hợp k 1 C29 Tương tự ta có trường hợp còn lại kết hợp với quy tắc cộng ta có : C292 k 1 C292 k C292 k C292 k 1 C319 2k � � C312 k 1 C319 � � �k 31 (2 k 1) � Vậy k=4 Câu 115 Cho khai triển: (1 x x x x 2010 ) 2011 a0 a1 x a2 x a3 x a4042110 x 4042110 Tính tởng a0 a2 a4 a4042110 Hướng dẫn giải Thay x=1 Câu 116 Từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5 lập số tự nhiên có ba chữ số đôi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy số không chia hết cho Hướng dẫn giải Từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5 lập số có ba chữ số đôi khác Lấy ngẫu nhiên số vừa lập Tính xác suất để lấy số khơng chia hết cho + Tìm số có ba chữ số khác lập từ tập E 0,1, 2, 3, 4,5 Số cần tìm có dạng abc Chọn a E , a có cách Chọn số còn lại E \ a xếp vào hai vị trí b, c có A5 cách Vậy có A5 100 (số) + Tính số lập chia hết cho Số cần tìm có dạng abc , a b c M3 Xét tập gồm phần tử tập E 0,1, 2,3, 4, 5 , ta thấy chỉ có tập sau thoả mãn điều kiện tổng chữ số chia hết cho là: A1 0,1, 2 , A 0,1, 5 , A 0, 2, 4 , A 0, 4,5 A 1, 2,3 , A 1, 3,5 , A 2,3, 4 , A8 3, 4,5 Khi a, b, c �A1 , A2 , A3 , A4 trường hợp lập số thoả mãn yêu cầu Khi a, b, c �A5 ; A6 ; A7 ; A8 trường hợp lập số thoả mãn yêu cầu Vậy có 4.4 4.6 40 (số) Suy số không chia hết cho 100 40 60 (số) Trang 45 60 0, 100 Câu 117 Tìm tất cả số tự nhiên n cho mặt phẳng tồn tại n đường thẳng mà mổi đường thẳng cắt đúng 2014 đường khác Hướng dẫn giải Xét n đường mặt phẳng, mà mổi đường thẳng cắt đúng 2014 đường khác Nếu a đường thẳng n đường có đúng k đường song song với nó (0 ≤ k < n) Cho b đường thẳng cắt a, đó b cắt tất cả đường không song song với a b với số giao điểm số giao điểm a với đường thẳng đó đồng thời b cắt đường thẳng song song với a mà mổi đường thẳng cắt đúng 2014 đường khác Suy có đúng k đường song song với b Vậy n đường chia thành S nhóm, mổi nhóm gồm k + đường thẳng song song với => Số giao điểm đường với đường khác (k+1)(S 1) = 2014 Xác suất cần tính P Mà 2014 = 2.19.53 k + ước nguyên dương 2014 => k + �{1; 2; 19; 53; 38; 106; 1007; 2014} n = (k + 1)S = 2014 + (k + 1) => n �{2015; 2016; 2033; 2067; 2120; 2510; 3021; 4028} Câu 118 Với số nguyên dương m, kí hiệu C(m) số nguyên dương k lớn cho tồn tại tâp S gồm m số nguyên dương để số nguyên chạy từ đến k hoặc thuộc S hoặc tổng hai phần tử thuộc S (hai phần tử không thiết phân biệt) Chứng minh: m( m 6) m(m 3) �C ( m) � Hướng dẫn giải Trước tiên ta tính thử vài giá trị ban đầu C(m) để cảm nhận toán Dễ thấy: C(1)=2; C(2)=4; C(3)=8 Nhận xét: Việc tính C(m) quy về việc đếm số phần tử tập A xác định bởi: A S �( S S ) ; S S x y | x, y �S m(m 3) +) Chứng minh: C (m) � | A |� | S | | S S |� | S | | S | C|2S | | S | (| S | 3) m(m 3) 2 Chú ý : Để đánh giá số phần tử tập S+S ta chia hai trường hợp x trùng y x khác y Rõ ràng {1;2;3; ;k} tập A nên ta đpcm m( m 6) �C ( m) +) Chứng minh: Ta sẽ chỉ tập B cho với mọi số nguyên chạy từ đến m(m+6)/4 hoặc thuộc B hoặc tổng hai số (không thiết phân biệt) thuộc S(m) Khi đó C(m)>=m(m+6)/4 Xét hai trường hợp sau: TH1: m = 2n Xét tập B(m) = {1; 2; 3; ; n; 2n+1; 3n+2; ; (n+1)n+n} gồm m phần tử dễ thấy tập B �( B B ) chứa dãy số liên tiếp từ đến (n+1)n + 2n rõ ràng (n+1)n + 2n = 2n(2n+6)/4 Trang 46 TH2: m = 2n+1 Khi đó ta xây dựng tập B(m)={1;2;3; ; n+1;2n+3;3n+5; ;(n+1)n+2n+1}gồm m phần tử tập B �( B B ) chứa dãy số liên tiếp từ đến (n+1)n+3n+2 rõ ràng (n+1)n+3n+2 > (2n+1)(2n+7)/4 Từ hai TH ta đpcm Câu 119 Gọi X tập hợp số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp X Tính xác suất để số chọn chứa đúng ba chữ số lẻ Hướng dẫn giải Gọi X tập hợp số tự nhiên gồm sáu chữ số đôi khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp X Tính xác suất để số chọn chứa đúng ba chữ số lẻ Số phần tử không gian mẫu: n A9 Gọi A biến cố số có đúng ba chữ số lẻ Ta có: Số cách chọn chữ số lẻ từ 1,3,5,7,9 C5 Số cách chọn chữ số chẵn từ 2,4,6,8 C4 Số số có chữ số lập từ chữ số là: 6! Từ đó suy ra: n A C5 C4 6! 3 n A C53 C43 6! 30 Vậy xác suất biến cố A là: P A n A96 63 Câu 120 Quần đảo Hoàng Sa có loài chim bồ câu sinh sống, loài mang màu sắc khác , loài màu xám có 133 con, loài màu nâu 155 loài màu xanh có 177 Giả sử cứhai bồ câu khác màu gặp chúng đồng thời đởi sang màu thứ ba hai bồ câu màu gặp chúng giữ ngun khơng đởi màu Có xảy tình trạng tất cả lồi chim bồ câu sống đảo trở thành màu hay không? Hướng dẫn giải Khi chia số 133; 155; 177 cho số dư là:1; 2; Ta xét: Nếu bồ câu xám gặp bồ câu nâu, chúng đồng thời đởi thành màu xanh Khi đó ta có 132 xám, 154 nâu, 179 xanh Những số dư 132; 154; 179 cho tương ứng 0;1 2, nghĩa lại gặp lại đầy đủ số dư có Nếu bồ câu xám gặp bồ câu màu xanh chúng đồng thời đởi sang màu nâu Khi đó ta có 132 bồ câu xám, 157 bồ câu nâu, 176 bồ câu xanh Lấy số chia cho cho số dư tương ứng 0,1 2, nghĩa lại gặp cả khả số dư Nếu bồ câu nâu bồ câu xanh gặp nhau, chúng đởi thành màu xám Khi đó có 135 bồ câu xám, 154 câu nâu 176 câu xanh Số dư củ bồ câu chia cho tương ứng 0,1và 2, có đầy đủ số dư chia cho Bất biến dù thay đởi mầu số dư sô lượng bồ câu chia cho đều có đầy đủ 0,1,2 Số lượng tất cả thằn lằn đảo 133+ 155+ 177= 465 số chia hết cho Nếu tất cả bồ câu đều màu số dư số lượng bồ câu màu xám, nâu đỏ chia cho tương ứng 0,0,0 Điều vơ lý số dư phải có đầy đủ số dư chia cho Như câu trả lời Trang 47 Câu 121 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập số có chữ số khác đó có ba chữ số chẵn ba chữ số lẻ Trong số có số mà chữ số xếp theo thứ tự tăng dần Hướng dẫn giải Có số lẻ số chẵn từ chín số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Suy có C5 cách chọn số lẻ từ năm số 1, 3, 5, 7, có C4 cách chọn số chẵn từ bốn số 2, 4, 6, Cứ ba chữ số lẻ ghép với ba chữ số chẵn ta tập gồm phần tử Theo quy tắc nhân có C43 C53 cách chọn tập hợp mà tập có số chẵn số lẻ từ số Ứng với tập có 6! cách xếp thứ tự phần tử cách xếp thứ tự đó ta số thỏa mãn toán 3 Do đó theo quy tắc nhân có C4 C5 6! = 28800 số có chữ số khác gồm chữ số chẵn chữ số lẻ từ số 3 * Có C4 C5 tập hợp gồm ba chữ số lẻ ba chữ số chẵn Ứng với tập có cách xếp phần tử theo thứ tự tăng dần 3 Do đó tập hợp tương ứng với số Vậy có C4 C5 = 40 số thỏa mãn Câu 122 Có 1000 học sinh gồm 499 học sinh nam 501 học sinh nữ xếp thành 10 hàng dọc, hàng 100 học sinh Người ta muốn chọn từ 1000 học sinh nhóm học sinh, đó số học sinh nữ chọn lẻ thoả mãn điều kiện sau đây: học sinh chọn từ hàng khác có cặp học sinh có thứ tự đứng hàng (tính từ người đứng hàng đó) Chứng minh số cách chọn nhóm số lẻ Hướng dẫn giải Gọi nhóm học sinh lấy từ hai hàng thỏa mãn yêu cầu toán đội Đặt S = { | đội}, O = {S| có số lẻ học sinh nữ}, E = {S| có số chẵn học sinh nữ} Ta cần chứng minh | O | lẻ Với tập A S, ta định nghĩa f ( A) �g ( ) , đó g () số học sinh nữ �A Vì OE = OE = S nên f ( S ) f (O) f ( E ) Hơn f ( E ) chẵn, suy f ( S ) �f (O) (mod 2) Mặt khác, xét học sinh nữ Để tạo thành đội, học sinh có thể bắt cặp với học sinh khác hàng 99 cách, sau đó tìm học sinh khác hàng khác cách Suy ra, học sinh nữ thành viên 99.9 = 891 đội Có nghĩa học sinh nữ tính 891 lần f ( S ) Vì ta có 501 học sinh nữ nên f ( S ) �891.501 �1 (mod 2) | O | (mod 2) Suy Vì O chứa số số lẻ học sinh nữ nên f (O) � | O |�f (O) �f ( S ) �1 (mod 2) Như số cách chọn đội số lẻ Câu 123 Trên mặt phẳng, kẻ vô hạn ô vuông (dạng bàn cờ) ô vuông điền hai số hoặc cho hình chữ nhật có kích thước 2x3 có đúng hai ô điền số Xét hình chữ nhật có kích thước 2016x2017 Tính tởng số có ô nó Hướng dẫn giải Trang 48 Thật vậy, giả sử tồn tại hình chữ nhật có kích thước 1x3 có số có số khác Khơng tính tởng qt ta giả sử đó hình chữ nhật AKHD kích thước 1x3 có đúng hai điền số (nếu khơng khơng có ô chứa số ba ô điền số mọi hình chữ nhật có kich thước 2x3 có đúng ô điền số 1) Có thể cho coi hai ô chứa số AKHD ô ô (Nếu khác lập luận tương tự) Xét hình chữ nhật BFNA có kích thước 2x3 � nó có đúng hai ô chứa số � ô 1,2,4,5 điền số Xét hình chữ nhật BCHK, từ giả thiết ô 1,2,4,5 đều điền số nên ô 3,6 phải điền số Xét hình chữ nhật ECDM kích thước 2x3, ta thấy ô 3,6,8 điền số nên dẫn đến mâu thuẫn Trường hợp AKHD không có ô điền số 1, lập luận tương tự ta dẫn đến mâu thuẫn Vậy giả thiết phản chứng sai hay ta có điều phải chứng minh Vì 2016=3x672 nên hình chữ nhật kich thước 2016x2017 chia thành 672x2017 hình chữ nhật có kích thước 1x3 Vậy tởng số điền hình chữ nhật là: 672.2017=1355424 Câu 124 Tô số từ đến 2017 màu khác cho không có hai số màu chia hết cho Cần màu ? Hướng dẫn giải Thật vậy, với 11 màu khác mà ta gọi màu 1, màu 2,…, màu 11, xét cách tô màu sau: Số tô màu Các số tô màu Các số từ đến tô màu Các số từ đến 15 tô màu Các số từ 16 đến 31 tô màu Các số từ 32 đến 63 tô màu Các số từ 64 đến 127 tô màu Các số từ 128 đến 255 tô màu Các số từ 256 đến 511 tô màu Các số từ 512 đến 1023 tô màu 10 Các số từ 1024 đến 2017 tô màu 11 Dễ thấy cách tô màu thỏa mãn không có hai số màu chia hết cho Vậy cần 11 màu Câu 125 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập số tự nhiên mà số nầy chữ số không lặp lại Hướng dẫn giải Đếm số tự nhiên có chữ số, chữ số, … ,7 chữ số tìm tổng Câu 126 Cho m, n �3 hai số nguyên dương Trong bảng kích thước m �n có dán k (mỗi ô có nhiều sao) Ta thực hiện công việc có hình �3 hoặc �2 Trang 49 mà có ngơi ta sẽ dán thêm ngơi vào còn lại Tìm giá trị nhỏ k cho ban đầu bảng có k ngơi sau hữu hạn bước thực hiện việc dán thêm mọi bảng đều có Hướng dẫn giải Ta chứng minh giá trị nhỏ k m+n Sau lần thực hiện thuật tốn hình �2 với ngơi hình thành Nếu ban đầu khơng có hình �2 với ngơi sau bước thực hiện sẽ có hai hình �2 với đầy đủ ngơi hình thành Do đó sau mn-k bước thực hiện sẽ có mn-k+1 hình �2 với ngơi hình thành hoặc có hình �2 với ngơi có ban đầu mn-k hình �2 có đủ hình thành Mặt khác, tồn tại đúng (m-1)(n-1) hình �2 bảng, đó m 1 n 1 �mn k Từ đó k �m n Hình vẽ sau ví dụ k= m+n * * * * * * * * * * Câu 127 Trên bàn cờ 10 x 10 người ta viết số từ đến 100 Mỗi hàng chọn số lớn thứ ba Chứng minh tồn tại hàng có tổng số hàng đó nhỏ tổng số lớn thứ ba chọn Hướng dẫn giải Sắp xếp thứ tự 10 số lớn thứ ba hàng a1 a2 a10 Ta thấy tối đa 20 số có thể lớn a1 (là số lớn thứ thứ hai hàng) Vì a1 �80 Tương tự có tối đa 28 số có thể lớn a2 Vì a2 �72 Từ đó a1 a2 a10 �80 72 a10 a10 a10 8a10 180 Trong đó, tổng số hàng chứa a10 không lớn 100 99 a10 a10 1 a10 8a10 171 Do 8a10 171 8a10 180 nên hàng chứa a10 hàng thỏa mãn yêu cầu Câu 128 Một ngân hàng câu hỏi Toán có 30 câu hỏi khác gồm: câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ Từ ngân hàng lập đề thi gồm câu hỏi khác Tính xác suất để cho đề chọn thiết phải có đủ cả loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ khơng 2? Hướng dẫn giải Số đề thi thỏa mãn u cầu tốn là: 56875 Tởng số đề thi có thể có là: 142506 625 Xác suất cần tìm là: P 1566 Câu 129 Cho 100 số tự nhiên không lớn 100 có tổng 200 Chứng minh từ số đó có thể chọn số có tởng 100 Hướng dẫn giải Trang 50 Câu 130 Một túi đựng 11 viên bi kích thước khác về màu sắc gồm: viên bi xanh, viên bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên tính xác suất để: a Lấy viên bi màu b Lấy viên bi khác màu Hướng dẫn giải Mỗi cách lấy ngẫu nhiên viên bi từ 11 viên bi tổ hợp chập 11 viên bi Do đó : N( ) = C11 Gọi A biến cố lấy viên bi xanh, B biến cố lấy viên bi đỏ N(A) = C N(B) = C7 C24 C72 21 Do đó : P(A) = , P(B) = C11 55 C11 55 Biến cố lấy viên bi màu C = A �B , A, B biến cố xung khắc nên: P(C) 27 = P(A �B) P(A) P(B) 55 b) Biến cố lấy viên bi khác màu C 27 28 Từ đó ta có: P(C) P(C) 55 55 Câu 131 Có cách phân tích thành tích số nguyên dương, biêt cách phân tích mà nhân tử chỉ khác về thứ tự chỉ tính lần? Hướng dẫn giải Có cách phân tích thành tích số nguyên dương, biêt cách phân tích mà nhân tử chỉ khác về thứ tự chỉ tính lần? Xét phân tích với Với , có từ đó chọn cách chọn số , để (1 điểm) Vậy số cách chọn số cách chọn 10+9+ +1 = 55 cách 55.55 cách Bây giờ, ta sẽ tính số cách phân tích bị trùng +) TH1: thừa số nhau: (1 điểm) +) TH2: thừa số nhau: (a ; b) # (3 ; 3) Khi đó a {0; 1; 2; 3; 4} ; b {0; 1; 2; 3; } (a ; b) # (3 ; 3) → số cặp (a; b) 5.5 – =24, 24 cặp cho ta 24 cách phân tích thỏa mãn yêu cầu Tuy nhiên, cặp sẽ cho lần đếm trình đếm mà ta vừa nêu (1 điểm) +) TH3: cả thừa số khác nhau, phân tích bị đếm trùng 3!=6 lần Trang 51 Vậy số cách phân tích là: cách (1 điểm) Trong đề khơng có câu - về dãy số, không nghiên cứu câu phù hợp Câu 132 Hội khỏe Phù Đổng năm 2014 có tổ chức thi đấu môn thể thao chạy 100m, nhẩy xa, nhẩy cao, bắn cung quy định điều kiện cho đội tham gia sau: Mỗi vận động viên đội chỉ thi đấu môn thể thao Mỗi đội có thể lựa chọn số vận động viên cho môn tùy ý (nhưng tổng số vận động viên đúng 20) Tại lễ khai mạc, đội xếp thành hàng dọc, vận động viên chạy 100m cầm cờ đỏ đứng đầu, đến vận động viên nhảy xa cầm cờ vàng đến vận động viên nhảy cao cầm cờ xanh cuối vận động viên bắn cung cầm cờ tím Giả sử số đội tham dự đủ lớn, hỏi có thể có tối đa loại hàng dọc (phân biệt theo độ dài màu hàng) Hướng dẫn giải Bài giải theo phương pháp song ánh để tính số phần tử tập hợp kết hợp với kỹ thuật dùng dãy nhị phân �a, b, c, d �20 � để chỉ số a b c d 20 � Ta thấy hàng sẽ tương ứng với số (a, b, c, d) với � lượng vận động viên thi đấu môn chạy 100m, nhẩy xa, nhẩy cao, bắn cung tương ứng Với 4 723 4 48 số ta đặt tương ứng với dãy nhị phân 101 101 101 { { { { Dễ thấy tương a ứng đó song ánh có C 23 b c dãy nhị phân khác đó có tối đa d C 23 1771 loại hàng dọc khác Câu 133 Cho p số nguyên tố lẻ Tìm số tập X tập {1;2; ;2p} biết X chứa đúng p phần tử tổng tất cả phẩn tử X chia hết cho p Hướng dẫn giải Đặt A {c �{1;2; ;2 p}: x p} � A C2 p p Và Aj =={x A : S ( x) j (mod p)} với j 0,1,2, , p Vì A A0 �A1 � �Ap 1 Ai �A j � i �j nên: A A0 A1 Ap 1 Xét đa thức: P ( x ) x p 1 x p 2 x , đa thức có p nghiệm phức { , , , p 1} p Và x p có p nghiệm phức phân biệt: , ,2 , , p 1 , p , nên ta có: p x �( x k ) p k 1 Suy ra: 2p p p k 1 k 1 k 1 �( x k ) �( x k ).�( x pk ) �p � k k �( x )�( x ) � ( x k ) � ( x p 1) � k 1 k 1 �k 1 � p p Trang 52 So sánh hẹ số x p vế đẳng thức: p �( x k ) ( x p 1) k 1 ta có: (1) p � S ( x) 2 x�A Do p lẻ p 1 S ( x ) k x �Ak ta có: �A k 0 k k Do x nghiệm đa thức: Q ( x) p 1 �A k 1 Vì x nghiệm đa thức: P ( x ) x k x k A0 p 1 x p2 x nên A1 A2 Ap 1 A0 � A0 � A0 A1 A2 Ap 1 A0 p C2pp p A 2 p số tập thỏa mãn toán Câu 134 Một quân cờ di chuyển bàn cờ 2016�2016 theo ba cách: lên ô, sang bên phải ô, xuống về bên trái ô Hỏi quân cờ có thể qua tất cả ô, ô đúng lần quay lại ô kề bên phải ô xuất phát không? Hướng dẫn giải Sau bước, tổng thứ tự hàng cột chứa quân cờ hoặc giảm hoặc tăng lên Như vậy, xét theo modulo tổng tăng bước Do có 20162 - bước, kết thúc ô kề bên phải ô xuất phát tổng tăng đơn vị Do đó, 20162 - chia hết cho Vậy quân cờ qua tất cả ô, ô đúng lần quay lại ô kề bên phải ô xuất phát n Chứng minh hệ thức : �k (C k 1 ) nC2nn11 k n Hướng dẫn giải Ta sẽ giải toán sau hai cách “Có n nhà vật lí n nhà toán học tham gia Hội nghị khoa học Hỏi có cách chọn nhóm làm việc gồm n người, đó có nhà vật lí làm nhóm trưởng” Cách 1: Chọn nhóm trưởng vật lí, sau đó chọn n-1 thành viên còn lại từ 2n -1 người còn lại +) Chọn nhóm trưởng nhà vật lí có n cách n 1 +) Ứng với cách chọn nhóm trưởng có C2 n 1 cách chọn n -1 thành viên 2n -1 thành viên còn lại n 1 Áp dụng quy tắc nhân có tất cả nC2 n 1 cách chọn nhóm n người thỏa mãn toán (1) Cách 2: Chọn k nhà vật lý, chọn nhóm trưởng nhà vật lý sau đó chọn n-k nhà toán học với k = 1, 2, …, n Với giá trị k cố định : k +) Chọn k nhà vật lí n nhà vật lí có Cn cách +) Ứng với cách chọn k nhà vật lí có k cách chọn nhóm trưởng nhà vật lí Trang 53 n k k +) Ứng với cách chọn k nhà vật lí nhóm trưởng vật lí có Cn Cn cách chọn n k nhà toán học n nhà toán học Áp dụng quy tắc nhân có tất cả k Cnk n Cho k chạy từ đến n ta tất cả cách �k (C k 1 k n ) cách chọn nhóm n người thỏa mãn toán (2) n Từ (1) (2) suy �k (C k 1 ) nC2nn11 (đpcm) k n Câu 135 Các số nguyên dương 1, 2,3, , 2014 xếp hàng theo thứ tự đó Ta thực hiện quy tắc đổi chỗ số sau: số k ta đởi k số theo thứ tự ngược lại Chứng minh sau số hữu hạn lần thực hiện quy tắc số sẽ xuất hiện vị trí Hướng dẫn giải Giả sử k ,1 �k �2014 số lớn xuất hiện vị trí tất cả q trình đởi chỗ Giả sử số k xuất hiện lần thứ h Khi đó lần thực hiện sau lần thứ h số k sẽ giữ ngun vị trí Trong q trình đởi chỗ sau đó ta gọi k1 số lớn xuất hiện vị trí Giả sử số k1 xuất hiện lần thứ h1 Khi đó sau lần thứ h1 số k1 sẽ giữ ngun vị trí,… tiếp tục sau số hữu hạn bước phải dừng lại Khi không thực hiện việc thực hiện quy tắc đởi chỗ tốn tức số vị trí sẽ số Bài toán chứng minh Trang 54 ... 2 011 Hệ số x 2 011 vế phải 2010 2 011 C2 011 a2 011 C2 011 a2010 C2 011 a2009 C2 011 a2008 C2 011 a1 C2 011 a0 Từ đó ta có đẳng thức 2010 2 011 C2 011 a2 011 C2 011 a2010 C2 011 a2009... a110 x110 (2) 11 k � Hệ số x11 vế trái C11 11 11 k 11 k k � VP (2) � C11 x 1 � a0 a1x a2 x a110 x110 � �k 0 � 11 � Hệ số x vế phải C110 a0 C11 a1 C112 a2 C113... C11 a10 C11 a11 11 Hướng dẫn giải 11 Xét x �1 từ khai triển nhân hai vế với x 1 ta có: x 11 1 x 1 11 11 11 a VT (2) �C11k x11k 1 k 0 a1 x a2 x a110