SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)  a + 2018 a − 2018  a + − Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức P =  ÷ a −1 ÷  a+ a +1  a Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x + y = y ≠ z Chứng minh đẳng thức ( y+( x+ ) z) x− z y− ( x+ y− z ) , x+ y≠ z 2 = x− z y− z Câu (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên abcd cho abcd + abc + ab + a = 4321 ( m − )x + y = Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình  ( m tham số x, y ẩn số)  x + 2y = Tìm tất giá trị ngun m để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y số nguyên Câu (2,0 điểm) Giải phương trình − x + + x = Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB = 12cm, AC = 16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Câu (2,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc ·BAD = 500 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh rằng: MB.DN = BH AD b) Tính số đo góc ·MON Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn (O) cố định hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn ( O ) Gọi A điểm thay đổi đường tròn (O) (điểm A khơng trùng với điểm B C), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường tròn (O) điểm H ln nằm đường tròn cố định 1 Câu (2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện + + ≤ Chứng minh a b c 1 + + ≤ rằng: 5a + 2ab + 2b 5b + 2bc + 2c 5c + 2ca + 2a Câu 10 (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy -Hết Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………………… Số báo danh:…….………… https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm nêu cách giải với ý bản, thí sinh làm không theo cách nêu hướng dẫn chấm cho đủ số điểm phần thang điểm quy định 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm phải thống thực với tất giám khảo 3) Điểm tồn tính đến 0,25 điểm Sau cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết 4) Với hình học học sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm phần II) Đáp án thang điểm:  a + 2018 a − 2018  a + − Câu 1(2,0 điểm).Rút gọn biểu thức P =  ÷ ÷ a a − a + a +   Nội dung trình bày a > Điều kiện:  a ≠ Điểm 0,5 0,5  a + 2018  a +1 a − 2018 − Khi đó: P =   ( a − )( a + )  a  ( a + 1) = ( a + 2018 )( a − ) − ( a − 2018 )( a + ) a + ( a + )2 ( a − ) a 0,5 = 2.2017 a a + 2017 = a −1 ( a + 1) ( a −1) a 0,5 Câu 2(2,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y,z thỏa mãn x + y = y ≠ z Chứng minh đẳng thức ) z) x− z y− x+ = x− z 2 2 ) , x+ y≠ z x− z y− z Nội dung trình bày x+ y− z ) = ( x + y − z) − y+( y − z) ( x + y − z) −x+( ( x +2 y − z)( x − z) +( x − z) = (2 x + y − z)( y − z) +( y − z) ( x − z)(2 x +2 y −2 z) = ( y − z)(2 x +2 y −2 z) Ta có: ( y+( ( y+( x+ ( ) z) x− z y− Điểm 0,5 0,5 = x− z y− z https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn 0,5 0,5 Câu 3(2,0 điểm).Tìm số tự nhiên abcd cho abcd + abc + ab + a = 4321 Nội dung trình bày ( 1) Ta có: abcd + abc + ab + a = 4321 ⇔ 1111a + 111b + 11c + d = 4321 Vì a,b,c,d ∈¥ ≤ a ≤ 9,0 ≤ b,c,d ≤ nên 3214 ≤ 1111a ≤ 4321 ⇒ a = Thay vào (1) ta được: 111b + 11c + d = 988 ( ) Điểm 0,5 0,25 0,25 Lập luận tương tự ta có: 880 ≤ 111b ≤ 988 0,25 ⇒ b = Thay vào (2) ta được: 11c + d = 100 0,25 0,25 Mà 91 ≤ 11c ≤ 100 ⇒ c = d = 0,25 Vậy abcd = 3891 ( m − )x + y = Câu 4(2,0 điểm).Cho hệ phương trình  ( m tham số x, y ẩn số) x + y =  m Tìm tất giá trị ngun để hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) x, y số nguyên Nội dung trình bày Điểm 0,25 Từ phương trình thứ hai ta có: x = − y vào phương trình thứ được: ( m − 1)( − y ) + y = ⇔ ( 2m − )y = 2m − (3) Hệ có nghiệm x, y số nguyên ⇔ ( ) có nghiệm y số nguyên 2m − Với m ∈ ¢ ⇒ 2m − ≠ ⇒ ( ) có nghiệm y = 2m − = 1− 2m −  2m − = y ∈¢ ⇔   2m − = −1 m = ⇔ m = Vậy có giá trị m thoả mãn 1; Câu 5(2,0 điểm).Giải phương trình − x + + x = Nội dung trình bày 1 − x ≥ ⇔ −4 ≤ x ≤ ( * ) 4 + x ≥ Điều kiện xác định  0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 0,25 Với điều kiện (*), phương trình cho tương đương với: + − x + x = 0,25 ( − x) ( + x) = ⇔ ( − x) ( + x) = 0,25 ⇔ x + 3x = ⇔ x ( x + 3) = 0,25 0,25 x = ⇔  x = −3 0,25 ⇔ Đối chiếu với điều kiện (*) ta x = 0; x = −3 https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn 0,25 0,25 Câu 6(2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB = 12cm, AC = 16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC , M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Nội dung trình bày Điểm 0,5 Ta có BC = AB + AC = 20cm Gọi E giao điểm BI với AC 0,25 AE EC AE + EC = = = Theo tính chất đường phân giác ta có: AB BC AB + BC 0,25 BC ⇒ EC = = 10cm ∆ ICE = ∆ICM ( c − g − c ) do: EC = MC = 10 ; ·ICE = ·ICM ; IC chung 0,25 Ta có 0,25 Suy ra: ·IEC = ·IMC ⇒ ·IEA = ·IMB 0,25 Mặt khác ·IBM = ·IBA ⇒ hai tam giác IBM , ABE đồng dạng 0,25 ⇒ ·BIM = ·BAE = 90 ⇒ BI ⊥ MI Câu 7(2,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc ·BAD = 500 , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh MB.DN = BH AD b) Tính số đo góc ·MON 2 Nội dung trình bày · a)Ta có ·MBH = ·ADN ,MHB = ·AND ∆MBH ∽ ∆ ADN https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn Điểm 0,25 0,25 0,25 MB BH = AD DN ⇒ MB.DN = BH AD ( ) ⇒ 0,25 BH OB = ⇒ DO.OB = BH AD ( ) DO AD MB OB = Từ (1) (2) ta có: MB.DN = DO.OB ⇒ DO DN Ta lại có: ·MBO = 1800 − ·CBD = 180 − ·CDB = ·ODN nên ∆ MBO ∽ ∆ODN ⇒ ·OMB = ·NOD 0 Từ suy ra: ·MON = 180 − ·MOB + ·NOD = 180 − ·MOB + ·OMB b) Ta có: ∆OHB ∽ ∆ AOD ⇒ ( ) ( 0,25 0,25 0,25 ) 0,25 = 1800 − ·OBC = 1150 Câu (2,0 điểm).Cho đường tròn ( O ) cố định hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn ( O ) Gọi A điểm thay đổi đường tròn ( O ) ( A khơng trùng với B C), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng vng góc với đường thẳng AB, cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường tròn ( O ) điểm H ln nằm đường tròn cố định Nội dung trình bày Gọi D trung điểm đoạn BC, tam giác BOC, AOC tam giác cân O nên OD ⊥ BC ,OM ⊥ AC Ta có: ·ODC = ·OMC = 90 ⇒ Bốn điểm O, D, C, M nằm đường tròn ( I ) có tâm Icố định, đường kính OC cố định Gọi E điểm đối xứng với D qua tâm I, E cố định DE đường kính đường tròn ( I ) Nếu H ≠ E,H ≠ B - Với M ≡ E ⇒ ·BHE = 900 - Với M ≠ E , DM P BH ⇒ ·DMH = 90 Khi ·DME = ·DMH = 900 ⇒ H ,M ,E thẳng hàng Suy ·BHE = 90 Vậy ta có: ·BHE = 90 H ≡ E H ≡ B H thuộc đường tròn đường kính BE cố định https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn Điểm 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 9(2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện minh rằng: 5a + 2ab + 2b + + 5b + 2bc + 2c 5c + 2ca + 2a Nội dung trình bày 1 1 Với ∀x, y,z > ta có : x + y + z ≥ 3 xyz , + + ≥ 3 x y z xyz 2 2 2 ≤ 1 + + ≤ Chứng a b c  1 1 ⇒ ( x + y + z )  + + ÷≥ x y z 1 1 1 ⇒ ≤  + + ÷ x+ y+z 9x y z Đẳng thức xảy x = y = z Ta có: 5a + 2ab + 2b = ( 2a + b )2 + ( a − b )2 ≥ ( 2a + b )2 Điểm 0,25 0,5 11 1 ≤  + + ÷ 2 2a + b  a a b  5a + 2ab + 2b Đẳng thức xảy a = b 1 1 1 1 ≤ ≤  + + ÷ Tương tự: 2 2b + c  b b c  5b + 2bc + 2c Đẳng thức xảy b = c 1 11 1 ≤ ≤  + + ÷ 5c + 2ca + 2a 2c + a  c c a  Đẳng thức xảy c = a 1 13 3 + + ≤  + + ÷ Vậy 5a + 2ab + 2b 5b + 2bc + 2c 5c + 2ca + 2a  a b c  0,25 1 1 1 ≤  + + ÷≤ 3a b c 0,25 ⇒ ≤ Đẳng thức xảy rakhi a = b = c = Vậy bất đẳng thức chứng minh https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn 0,25 0,25 0,25 Câu 10 (2,0 điểm).Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy Nội dung trình bày Giả sử hình vng ABCD có cạnh a ( a>0) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi d đường thẳng 2018 đường thẳng cho thỏa mãn u cầu tốn Khơng tính tổng quát, giả sử d cắt đoạn thẳng AD, MP, BC S, E, K cho SCDSK = 3S ABKS Điểm 0,5 Từ SCDSK = 3S ABKS ta suy được: DS + CK = ( AS + BK ) ⇔ a − AS + a − BK = ( AS + BK ) ⇔ AS + BK = a ⇔ EM = a suy E cố định d qua E 0,25 a Lập luận tương tự ta có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải qua bốn điểm cố định E, F, G, H Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải có  2018  + = 505 đường thẳng qua bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa    505 đường thẳng đồng quy 0,25 Lấy F, H đoạn NQ G đoạn MP cho FN = GP = HQ = https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn 0,5 0,5 ... Nếu H ≠ E,H ≠ B - Với M ≡ E ⇒ ·BHE = 90 0 - Với M ≠ E , DM P BH ⇒ ·DMH = 90 Khi ·DME = ·DMH = 90 0 ⇒ H ,M ,E thẳng hàng Suy ·BHE = 90 Vậy ta ln có: ·BHE = 90 H ≡ E H ≡ B H thuộc đường tròn đường... 4321 Vì a,b,c,d ∈¥ ≤ a ≤ 9, 0 ≤ b,c,d ≤ nên 3214 ≤ 1111a ≤ 4321 ⇒ a = Thay vào (1) ta được: 111b + 11c + d = 98 8 ( ) Điểm 0,5 0,25 0,25 Lập luận tương tự ta có: 880 ≤ 111b ≤ 98 8 0,25 ⇒ b = Thay...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017 – 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Hướng dẫn chấm