Đang tải... (xem toàn văn)
Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân trong lớp đa thức và phân thức hữu tỷ và một số dạng toán liên quan (Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI TRỌNG QUYẾT ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG LỚP ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI TRỌNG QUYẾT ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG LỚP ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2017 i Mục lục MỞ ĐẦU Chương Đẳng thức bất đẳng thức tích phân 1.1 Các đồng thức tích phân 1.1.1 Tính chất nguyên hàm 1.1.2 Một số tính chất tích phân xác định 1.1.3 Tích phân hàm chẵn lẻ 1.1.4 Tích phân hàm tuần hoàn 1.1.5 Tích phân số dạng với đặc trưng hàm đặc biệt 1.2 Một số bất đẳng thức tích phân phương pháp bất đẳng thức tích phân 1.2.1 Một số bất đẳng thức tích phân 1.2.2 Sử dụng ý nghĩa hình học tích phân 1.2.3 Sử dụng đánh giá hàm dấu tích phân 1.2.4 Phương pháp phân đoạn miền lấy tích phân 1.2.5 Bất đẳng thức Bunhiakovski 2 11 13 13 14 15 17 19 Chương Đẳng thức bất đẳng thức tích phân đa thức 2.1 Một số đẳng thức tích phân đa thức 2.2 Bất đẳng thức tích phân đa thức 2.3 Phương pháp tích phân chứng minh bất đẳng thức 23 23 24 33 Chương Đẳng thức bất đẳng thức tích phân lớp 3.1 Nguyên hàm tích phân hàm phân thức hữu tỷ 3.2 Hữu tỷ hóa tích phân số hàm số vô tỉ 3.3 Hữu tỷ hóa tích phân số hàm lượng giác 3.4 Bất đẳng thức tích phân phân thức thức 38 38 43 49 51 Chương Một số dạng toán liên quan 4.1 Phương pháp tích phân tốn cực trị 4.1.1 Cực trị số biểu thức chứa tích phân 58 58 58 phân ii 4.2 4.1.2 Khảo 4.2.1 4.2.2 Phương pháp tích phân tốn cực trị sát phương trình bất phương trình đa thức Chứng minh tồn nghiệm phương trình Giải phương trình sinh số dạng nguyên hàm 60 69 69 71 KẾT LUẬN 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 Mở đầu Chuyên đề tích phân có vị trí đặc biệt tốn học, đối tượng nghiên cứu trọng tâm giải tích mà cơng cụ đắc lực lý thuyết hàm số ứng dụng liên quan Ngồi ra, thân phép tính tích phân sử dụng nhiều vật lý, thiên văn học, học, y học, giải pháp hữu hiệu mơ hình tốn học cụ thể Trong kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Tốn sinh viên tốn liên quan đến tích phân hay đề cập xem dạng tốn loại khó Lý thuyết tốn tích phân đề cập hầu hết giáo trình giải tích Tuy nhiên, tài liệu hệ thống phép tính tích phân cho lớp hàm đa thức phân thức chuyên đề chọn lọc cho giáo viên học sinh cuối bậc trung học phổ thông sinh viên trường kỹ thuật chưa có nhiều, chưa hệ thống đầy đủ Để đáp ứng cho nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề phép tính tích phân ứng dụng, tác giả chọn đề tài luận văn "Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân lớp đa thức phân thức hữu tỷ số dạng tốn liên quan" nhằm cung cấp số tính chất tích phân hàm biến cho phân loại dạng toán ứng dụng liên quan đến đa thức phân thức Mục đích đề tài luận văn nhằm khảo sát số dạng toán đẳng thức bất đẳng thức chứa tích phân lớp đa thức phân thức hữu tỷ xét số áp dụng toán cực trị, khảo sát phương trình, bất phương trình đa thức phân thức liên quan Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận chương Chương Các đẳng thức bất đẳng thức tích phân Chương Các đẳng thức bất đẳng thức tích phân đa thức Chương Các đẳng thức bất đẳng thức tích phân lớp phân thức Chương Một số dạng toán liên quan Tiếp theo, chương trình bày hệ thống tập, áp dụng giải đề thi Học sinh giỏi Olympic liên quan Chương Đẳng thức bất đẳng thức tích phân 1.1 Các đồng thức tích phân 1.1.1 Tính chất nguyên hàm Ta sử dụng kí hiệu I(a, b) khoảng (a, b), đoạn [a, b] hay nửa khoảng (a, b] [a, b) định nghĩa, định lí, nội dung Định nghĩa 1.1 (xem [1-3]) Cho hàm số f (x) xác định I(a, b) Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm f (x) I(a, b) hàm số F (x) liên tục I(a, b), có đạo hàm điểm x thuộc I(a, b) F (x) = f (x), ∀x ∈ I(a, b) Chú ý 1.1 Trong trường hợp I(a, b) = [a; b], đẳng thức F (a) = f (a), F (b) = f (b) hiểu F (x) − F (a) , x−a x→a F (x) − F (b) F (b) = lim− x−b x→b F (a) = lim+ Định lý 1.1 (Về tồn nguyên hàm) Mọi hàm số liên tục I(a, b) có nguyên hàm I(a, b) Định lý 1.2 1) Nếu hàm số f (x) có ngun hàm F (x) I(a, b) I(a, b) có vơ số ngun hàm 2) Hai nguyên hàm hàm cho I(a, b) sai khác số cộng Từ Định lí 1.2, ta thấy F (x) nguyên hàm hàm số f (x) I(a, b) nguyên hàm f (x) I(a, b) có dạng F (x)+C , với C ∈ R Vậy F (x)+C, C ∈ R họ tất nguyên hàm f (x) I(a, b) Họ tất nguyên hàm f (x) I(a, b) kí hiệu f (x)dx Vậy f (x)dx = F (x) + C, C ∈ R Định lý 1.3 (Tính chất nguyên hàm) = f (x), i) f (x)dx iii) df (x) = f (x) + C ii) d f (x)dx = f (x)dx, Định lý 1.4 (Quy tắc tìm nguyên hàm) i) ii) iii) kf (x)dx = k f (x)dx (k = 0), [f (x) + g(x)]dx = f (x)dx = f (x)dx+ g(x)dx, f [ϕ(t)]ϕ (t)dt, x = ϕ(t) có đạo hàm liên tục iv) Quy tắc lấy nguyên hàm phần udv = uv − vdu, u = u(x), v = v(x) hàm số có đạo hàm liên tục 1.1.2 Một số tính chất tích phân xác định Ta nhắc lại định nghĩa tích phân xác định hàm số Định nghĩa 1.2 Cho hàm số y = f (x) xác định đoạn [a; b] Chia đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ điểm chia xi (i = 0, , n): a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn−1 < xn = b (Mỗi phép chia gọi phép phân hoạch đoạn [a; b], kí hiệu Π.) Đặt ∆xi = xi − xi−1 d(Π) = max ∆xi , ≤ i ≤ n Trên đoạn [xi−1 ; xi ], ta lấy điểm tùy ý ξi (i = 1, , n) lập tổng n σΠ = f (ξi )∆xi (1.1) i=1 Tổng (1.1) gọi tổng tích phân hàm số f (x) ứng với phép phân hoạch Π Nếu giới hạn n f (ξi )∆xi I = lim σΠ = lim d(Π) →0 d(Π) →0 i=1 tồn tại, không phụ thuộc vào phép phân hoạch đoạn [a; b] cách chọn điểm ξi giới hạn gọi tích phân xác định f (x) [a; b] kí hiệu b I= n f (x)dx = lim d(Π) →0 a f (ξi )∆xi i=1 Khi hàm f (x) gọi khả tích đoạn [a; b] Chú ý 1.2 Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào việc lựa chọn biến lấy tích phân: b b f (x)dx = a f (t)dt a Chú ý để tính diện tích "hình thang cong", người ta xấp xỉ phần giới hạn đường cong cho trước nhờ tổng xác định tìm diện tích xác cách thiết lập giới hạn tổng Sau đó, ta tìm giá trị số giới hạn cở sở sử dụng định lí phép tính giới hạn Để ý rằng, f (x) liên tục [a; b] ta có đẳng thức b n max ∆xk →0 b f (xk )∆xk = lim k=1 = F (b) − F (a) f (x)dx = F (x) (1.2) a a F (x) nguyên hàm f (x) Có nhiều đại lượng khác hình học, vật lí, khảo sát phương pháp thể tích, độ dài, diện tích mặt đại lượng vật lí cơng sinh lực biến đổi tác động từ khoảng cách cho trước Trong trường hợp vậy, trình thực phép chia khoảng biến thiên độc lập thành khoảng nhỏ đại lượng xét tính gần tổng tương ứng, giới hạn tổng cho ta giá trị xác đại lượng cần tính dạng tích phân xác định - tính tốn nhờ phép tính Ta thấy chi tiết q trình tính giới hạn tổng thực để tìm diện tích dạng đường cong khơng thiết phải lặp lại để tìm đại lượng tương tự khác Hệ thống kí tự sử dụng phức tạp lặp lặp lại nhiều lần gây trở ngại cho tính tốn Tiếp theo, ta xét số phương pháp sử dụng để tính tích phân xác định Trong thực hành, ta đặc biệt ý đến số lớp hàm khả tích đơn giản dễ nhận biết sau đây: Hàm số y = f (x) liên tục đoạn [a; b] khả tích đoạn Hàm số y = f (x) bị chặn đoạn [a; b] có số hữu hạn điểm gián đoạn khả tích đoạn Hàm số y = f (x) bị chặn đơn điệu đoạn [a; b] khả tích đoạn Nhận xét có mối liên hệ mật thiết tích phân xác định nguyên hàm Định lý 1.5 (Về tính khả tích hàm số) Nếu hàm số f (x) liên tục đoạn [a, b] khả tích đoạn [a, b] Định lý 1.6 Nếu f (x) g(x) liên tục đoạn [a,b] f (x) ≤ g(x) với x thuộc [a, b] b b f (x)dx ≤ a g(x)dx a Dấu xảy f (x) = g(x) Định lý 1.7 (Phép cộng tích phân) b b b g(x)dx = f (x)dx + a a [f (x) + g(x)]dx a Định lý 1.8 (Phép trừ tích phân) b b f (x)dx − b [f (x) − g(x)]dx g(x)dx = a a a Định lý 1.9 (Phép nhân tích phân với số) b k b f (x)dx = a kf (x)dx a Định lý 1.10 (Công thức đảo cận) a b f (x)dx = − f (x)dx a b a f (x)dx = a Định lý 1.11 (Công thức tách cận) b c f (x)dx = a b f (x)dx, c ∈ [a, b] f (x)dx + a c Định lý 1.12 (Công thức đổi biến số) Cho hàm số y = f (x) liên tục đoạn [a, b] hàm số x = g(t) khả vi liên tục đoạn [m, M ] g(t) = a; max g(t) = t∈[m,M ] t∈[m,M ] b; g(m) = a, g(M ) = b Khi ta có b M f (x)dx = a f (g(t)).g (t)dt m Định lý 1.13 (Cơng thức tích phân phần) Giả sử hàm số u(x), v(x) khả vi liên tục [a, b], b b b − u(x)v (x)dx = u(x)v(x) v(x)u (x)dx a a a Định lý 1.14 (Công thức Newton-Leibnitz) Nếu hàm số f (x) liên tục đoạn [a; b] F (x) ngun hàm đoạn đó, b b = F (b) − F (a) f (x)dx = F (x) a a Từ Định lí 1.14, ta thấy việc tính tích phân xác định trở thành đơn giản xác định biểu thức nguyên hàm tương ứng dạng Để tính tích phân xác định hàm số f (x) đoạn [a; b] ta thường tìm ngun hàm F (x) dùng cơng thức Newton-Leibnitz Trong nhiều tốn việc tìm ngun hàm phức tạp khó khăn chí khơng tìm ngun hàm dạng Vì vậy, nhu cầu tính tích phân xác định chưa tường minh nguyên hàm tương ứng toán cần khảo sát chi tiết Trong trường hợp đó, biết dựa vào tính chất đặc biệt hàm dấu tích phân biến đổi thích hợp, ta tính số dạng tích phân xác định 1.1.3 Tích phân hàm chẵn lẻ Tính chất 1.1 Nếu hàm số y = f (x) lẻ, liên tục [−a; a], với a > a I= f (x)dx = −a ... TRỌNG QUYẾT ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN TRONG LỚP ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... Chương Đẳng thức bất đẳng thức tích phân đa thức 2.1 Một số đẳng thức tích phân đa thức 2.2 Bất đẳng thức tích phân đa thức 2.3 Phương pháp tích phân chứng minh bất. .. tính tích phân ứng dụng, tác giả chọn đề tài luận văn "Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân lớp đa thức phân thức hữu tỷ số dạng toán liên quan" nhằm cung cấp số tính chất tích phân hàm biến cho phân