Một bài toán tìm giá trị nhỏ nhất Tác giả: luxipe đưa lên lúc: 13:38:48 Ngày 18-01-2008 Trong giờ luyện tập, tôi gặp một bài toán như sau: "Cho . Tìm GTNN của " Đối với dân chuyên Toán và có thể nhiều bạn khác nữa, bài toán này tương đối dễ. Còn đối với tôi không phải dân chuyên Toán, việc giải và mở rộng bài toán này đã đưa đến nhiều kết quả thú vị. Trước hết ta xem xét lời giải của bài toán trên: Cộng 2 BĐT trên ta có . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi Tuy nhiên vấn đề đặt ra là tại sao nghĩ ra được số để thêm vào BĐT? Để giải quyết vấn đề này, sử dụng ý tưởng dùng BĐT như trên, nhưng tôi sẽ thêm vào 1 số nào đó: Cộng hai BĐT trên ta có: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: Giả sử đã tồn tại \alpha để dấu "=" xảy ra, khi đó . Thay vào F được GTNN của F là đạt được khi . Như vậy việc đưa số vào áp dụng BĐT là hoàn toàn có cơ sở. Từ đó tôi đã nâng bài toán lên với hệ số các số hạng là các số dương: "Cho . Tìm GTNN của " Mục tiêu của chúng ta là dùng BĐT Cô-si sao cho khi cộng 2 BĐT vào, ta có vế trái là 2F cộng với 1 số hạng nào đó, còn vế phải chứa biểu thức đã cho trong giả thiết. Rõ ràng việc đặt số đơn lẻ sẽ không đưa đến kết quả mà phải biến đổi số hạng cộng vào mỗi BĐT Cách đặt số hạng cộng vào này giúp triệt tiêu được c bên vế trái, nhân thêm được hệ số a vào vế phải. Ta tiếp tục cộng 2 BĐT: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Khi đó . Giả sử đã có thỏa mãn dấu "=", tức là: (1) Khi đó theo (1) tìm được GTNN của F là Lần này, tôi phát triển bài toán theo hướng tăng dần số mũ. Để tránh phức tạp, tôi cho các hệ số bằng 1. "Cho . Tìm GTNN của " Áp dụng BĐT Cô-si cho 4 số dương: Cộng 2 BĐT: . Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: . Khi đó (2). Giả sử tồn tại để dấu bằng xảy ra, vậy thì: . Thay vào (2) ta có , đạt được khi x = y = Không dừng lại ở việc phát triển hệ số, tôi nâng bài toán lên với số mũ, số ẩn, tôi tìm được lời giải cho các bài toán sau Bài toán 1: "Cho . Tìm GTNN của " Áp dụng BĐT Cô-si: Cộng 3 BĐT vào: Dáu "=" xảy ra khi và chỉ khi: . Khi đó . Giả sử tồn tại thỏa mãn dấu "=", khi đó: . Khi đó đạt được khi Bài toán 2: "Cho . Tìm GTNN của " Áp dụng BĐT Cô-si: Cộng 3 BĐT vào: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi . Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thu được kết quả: Đạt được khi . Bài toán 3: "Cho . Tìm GTNN của " Áp dụng BĐT Cô-si cho n số hạng: (m số hạng , (n - m) số hạng ) (m số hạng , (n - m) số hạng ) Cộng 2 BĐT: Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thu được kết quả: Đạt được khi Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT Tác giả: minhbka đưa lên lúc: 14:09:13 Ngày 09-11-2007 1.Biến đổi tương đương : khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức . Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng : Giải: , bất đẳng thức này đúng do giả thiết Đẳng thức xảy ra 2.Đưa về hàm số : khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn : và . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Giải: Từ giả thiết . Ta có : Đặt với ; có P là hàm nghịch biến trong đoạn ( đạt khi hoặc ). ( đạt khi ). 3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán Ví dụ 1: Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng: Giải: Do giả thiết (đpcm) Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta đều có: Giải: bất đẳng thức cần chứng minh đúng với . Với , đpcm (1) Ta có : ( đpcm). Ví dụ 3: Cho . Chứng minh: Giải: Dấu “ ” xảy ra hoặc 2 trong 3 số bằng 1, số còn lại bằng 0 4.Sử dụng tam thức bậc 2: Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi u, v thỏa mãn điều kiện , ta luôn có: Giải: - Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng. - Nếu thì với và đpcm Vế trái (1) là tam thức bậc 2 với nên (1) đúng ( đpcm) 5.Phương pháp quy nạp: Ví dụ: Chứng minh rằng với thì Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài toán trên. Giải: Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau đây: Với . Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n): - Với ( do . - Giả sử khẳng định đúng với , ta sẽ chứng minh khẳng định cũng đúng với . Do khẳng định đúng với Vì Mà vế phải bằng Vậy khẳng định đúng với (còn tiếp) . . mà phải biến đổi số hạng cộng vào mỗi BĐT Cách đặt số hạng cộng vào này giúp tri t tiêu được c bên vế trái, nhân thêm được hệ số a vào vế phải. Ta tiếp tục. "=", tức là: (1) Khi đó theo (1) tìm được GTNN của F là Lần này, tôi phát tri n bài toán theo hướng tăng dần số mũ. Để tránh phức tạp, tôi cho các hệ