Trường THPT Lấp Vò Ths: Quang Minh – Thùy Trang Chủ đề: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN & ỨNG DỤNG A NGUYÊN HÀM I Bảng nguyên hàm Với a số khác Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp đơn giản thường gặp 1dx  x  C  kdx  kx  C  1 x  x dx     C   1   xdx  ln x  C  x  0 x dx    C  x   x  e dx  e x x ax  a dx  ln a  C   a  1 x  cos xdx  sin x  C  sin xdx   cos x  C  x dx  tan x  C dx   cot x  C sin x dx  x  C  x   x x 1 xa dx  ln  C  a  0 a 2a x  a C  b 1  b  (ax  b) dx   a ax  b  C  x   a  axb e C a a mxn mx  n a dx   C   a  1 m ln a cos ax  b d x  sin  ax  b   C    a sin  ax  b  dx   cos  ax  b   C a 1 dx  tan  ax  b   C cos  ax  b  a ax b dx    1  sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   C  dx  ax  b  C a ax  b 1 b   x   a   xa  ( x  a)( x  b) dx  b  a ln x  b  C  a.b  0  Các công thức lượng giác cần thiết Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa ; * cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a tan  * tan 2   tan  Công thức hạ bậc:  cos 2a  cos 2a * sin2a = * cos2a = 2 Công thức lượng giác 2 * sin   cos   *  tan   cos  Nguyên hàm - Tích phân  1   (1+tan x)dx   cos  (1+cot x)dx  1  ax  b  dx  a  1   1  ax  bdx  a ln ax  b  C  x   a  e C   ax  b   Công thức biến đổi tích thành tổng: * cos a.cos b  cos(a  b)  cos(a  b)  * sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  * sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b)  *  cot  sin  Trường THPT Lấp Vò Ths: Quang Minh – Thùy Trang NHẮC LẠI ĐẠO HÀM Các quy tắc tính đạo hàm: Hàm số Phép tính: Đạo hàm hàm số Hàm số tổng, hiệu: u  v (u  v) '   u  '  v  ' Hàm số tích: u.v  u.v  '   u  '.v   v  '.u  k.u  '  k. u  ' Đặc biệt: v = k (k: số) Hàm số thương: u v '  u  (u )'.v  (v)'.u    v2 v ' (v)' 1     ; (v  0) v v Đặc biệt: u = Các cơng thức tính đạo hàm Đạo hàm hàm số hợp Đạo hàm hàm số C  '  [ u = u(x) ] ' ( x ) '   x – 1 1      x  (u )x'   u – 1.u ' ' 1    x  x u' 1    u u  x   21x  u   2u 'u  sin x  '  cos x  sin u  '  u '.cos u  cos x  '  – sin x  cos u  '  –u '.sin u ' '  tan x  '  cos x  cot x  '   sin x e  '  e  a  '  a ln a x x x x  ln | x | '  x x.ln a II Các tính chất nguyên hàm a)  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx ;  log a | x | '  '  tan u  '   cot u  '   u' sin u  e  '  u '.e  a  '  u '.a ln a u u  ln | u | '  u u u' u  log a | u | '  u' u ln a b)  k f ( x)dx  k  f ( x)dx (k  0) III Các phương pháp tìm nguyên hàm 1) Phương pháp Dựa vào bảng nguyên hàm Ví dụ Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: Nguyên hàm - Tích phân u' cos u Trường THPT Lấp Vò Ths: Quang Minh – Thùy Trang b) f ( x)  a) f ( x)  x( x  1)( x  2) 1 3 x x Giải c) f ( x)  (2 x  3)3 a) F ( x)   f ( x)dx   ( x  3x  x)dx   x 3dx   3x 2dx   xdx x 3x3 x x4    C   x3  x  C 4 x1/ x 2/3 b) F ( x)   f ( x)dx   ( x 1/2  x 1/3 )dx    C  x  x2  C 1/ 2 / x 36 x 54 x c) F ( x)   f ( x)dx   (8x3  36 x  54 x  27)dx     27 x  C  x  12 x3  27 x  C Ví dụ Tìm ngun hàm: x3  3x  x  x  3x  4x  a)  b)  d)  x1.5x dx dx dx dx c)  x 2x 1 2x 1 Giải 2 x  3x  x  1 1 x  a) dx   x     dx   3x  ln x   C x x x  x  4x    b)  dx      dx  x  ln x   C 2x 1 2x 1     c)  x  3x  x2  x 1/  d x    d x   2x 1   x 1   x  ln x 1  C 10 x d)  dx  2 dx  210 dx  C ln10 Ví dụ Tìm ngun hàm: x1 x x a)  sin(2x  1)dx x x ; b)  sin x.cos xdx ; c)  (x  cos2 x)dx ; d)  e3 x4dx Giải a)  sin(2x  1)dx   cos(2 x 1)  C 1 1  b)  sin x.cos xdx   (sin3x  sin x)dx    cos3x  cos x   C   cos3x  cos x 2  x2 1   cos2 x  c) (x  cos2 x)dx   x  d x   x  sin2x  C  2   d)  e3 x4dx  e3 x4  C x2  2x  Ví dụ Tìm ngun hàm F(x) hàm số f ( x)  biết F 1  x Giải x  2x  3 x2  dx   x    dx   x  3ln x  C Ta có F ( x)  f  x  dx  x x       12  2.1  3ln1  C   C  1/ 2 x2 Vậy nguyên hàm cần tìm là: F ( x)   x  3ln x  1/ 2 Ví dụ Tìm ngun hàm F(x) hàm số f ( x)   sin 3x biết F  /   Do F 1  nên Giải Nguyên hàm - Tích phân Trường THPT Lấp Vò Ths: Quang Minh – Thùy Trang Ta có F ( x)   f  x  dx   1  sin3x  dx  x  cos3x  C      Do F    nên  cos  C   C   6 6  Vậy nguyên hàm cần tìm là: F ( x)  x  cos3x  Ví dụ Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x)  3x   4e x biết F 1  x Giải   Ta có F ( x)   f  x  dx    3x   4e x  dx  x3  ln x  4e x  C x   Do F 1  nên  ln  4e  C   C  4e Vậy nguyên hàm cần tìm là: F ( x)  x3  ln x  4e x  4e Bài tập rèn luyện Bài tập Tính nguyên hàm hàm số sau: (sử dụng trực tiếp công thức) x4  x 1 a) f ( x)  x – 3x  b) f ( x)  c) f ( x)  2 x x x 2 ( x  1) d) f ( x)  e) f ( x)  x  x  x f) f ( x)  3 x x x x g) f ( x)  2sin h) f ( x)  tan x i) f ( x)  cos2 x cos x k) f ( x)  l) f ( x)  m) f ( x)  2sin3x cos x 2 sin x.cos x sin x.cos x e x  x x x  n) f ( x)  e e – o) f ( x)  e   p) f ( x)  e3 x1  cos x   Bài tập Tính nguyên hàm hàm số sau (tách mẫu) x2  dx dx a)  b)  c)  dx x 1 x( x  1) ( x  1)(2 x  3) dx dx dx d)  e)  f)  x  x  10 x  6x  x 4 x3 x x dx g)  h)  i)  dx dx x  3x  2 x  3x  ( x  1)(2 x  1) Bài tập Tính nguyên hàm hàm số sau (công thức lượng giác) a)  sin x sin 5x.dx b)  cos x sin 3xdx c)  (tan x  tan x)dx x f)  cos dx g)  sin x.cos xdx h)  sin 3x cos5 xdx i)  dx  sin x  cos x  Bài tập Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: F (1)  a) f ( x)  x3  x  5; b) f ( x)   5cos x; F ( )  d) cos x e)  sin xdx   sin x cos xdx  5x2 ; x x3  e) f (x)= ; x c) f ( x)  g) f ( x)  sin x.cos x; Nguyên hàm - Tích phân x2  ; x F (e)  d) f ( x)  F (2)  f) f ( x)  x x    F 0 3 F (1)  ; F (1)  2 x 3x  x3  ; F (1)  h) f ( x)  x2 Trường THPT Lấp Vò Ths: Quang Minh – Thùy Trang x    k) f ( x)  sin ; F    2 x3  3x3  3x  i) f ( x)  ; F (0)  ( x  1)2 Câu hỏi trắc nghiệm tự luyện Câu Một nguyên hàm F(x) hàm số f ( x)  là: 2x  A F ( x)  ln x   2017 B F ( x)  ln x  C F ( x)    x  5 D F ( x)   Câu Một nguyên hàm F(x) hàm số f ( x)  x3   sin10 là: 4 x x 1  A C B F ( x)  x  ln  cos10    sin10  x 4 2  x Câu Một nguyên hàm F(x) hàm số f ( x)  là: A F ( x)  3x ln B F ( x)  3x1 x 1 C F ( x)  3x D F ( x)   x  5 D F ( x)  3x 3x x 1 Câu Một nguyên hàm F(x) hàm số f ( x)  x   x là: x x x3 A F ( x)   3ln x  B F ( x)   3lnx  x x 3 3 x3 x3 C F ( x)    D F ( x)   3ln x  x x x 3 Câu Một nguyên hàm hàm số f  x   sin x  3x là: 1 B F  x   cos x  x C F  x    cos x  x3 D F  x    cos x  x3 2 A F  x   cos x  x Câu Kết  tan A tan x  x  C xdx là: B tan x   C C cot x  C   D  tan x  C Câu Một nguyên hàm hàm số f ( x)  e2 x là: B 2e2 x 2x A e   Câu Kết e x   x  dx là: xe   1 A 3e x   C B 3e x   C 2x 2x C e x1 2x 1 D 2x e  C 3e x  Câu 10 Nguyên hàm hàm số f(x) = x2 – 3x + C 2x4 D 3e x  C x4 là: x x3 3x x3 3x x3 3x   ln x  C B   C  ln x  C C x3  3x2  ln x  C D  3 x Câu 11 Họ nguyên hàm f ( x)  x  x  1 A F ( x)  x3   x  C B F ( x)  x   C C F ( x)  x3  x  x  C D F ( x)  x3  x  x  C 3 1 Câu 12 Nguyên hàm hàm số f ( x)   là: x x 1 A ln x  ln x2  C B lnx – +C C ln|x| + +C D Kết khác x x Câu 13 Nguyên hàm hàm số f  x   cos3x là: A Nguyên hàm - Tích phân Trường THPT Lấp Vò A Ths: Quang Minh – Thùy Trang sin 3x  C B  sin x  C Câu 14 Nguyên hàm hàm số f ( x)  2e x  C  sin3x  C D 3sin3x  C là: cos x e x C ex + tanx + C D Kết khác ) cos x Câu 15 Nguyên hàm hàm số f(x) = 2x  là: x 3 A x   C B x   C C x2  3ln x2  C D Kết khác x x Câu 16 Trong hàm số sau , hàm số nguyên hàm f ( x)  sin x 1 A 2cos 2x B 2cos 2x C cos x D cos x 2 Câu 17 Trong hàm số sau đây, hàm số nguyên hàm f ( x)  x  3x2  x  1 A 3x2  x  B x  x3  x  x C x  x3  x D 3x2  x  4 Câu 18 Tìm  (cos6 x  cos x)dx là: B ex(2x  A.2ex + tanx + C 1 1 A  sin x  sin x  C B 6sin x  5sin x  C C sin x  sin x  C D 6sin x  sin x  C 6 Câu 19 Nguyên hàm hàm số f ( x)  (1  x) là: A  (1  x)6  C B (1  x)6  C C 5(1  x)6  C D 5(1  x)4  C Câu 20 Nếu  f ( x)dx  e x  sin x  C f ( x) A e x  cos x B e x  cos x C e x  2cos x Câu 21 Một nguyên hàm hàm số: y = cos5x.cosx là: 11  A  sin x  sin x  B cos6x C F(x) = sin6x 26    Câu 22 Kết e x   x  dx là: xe   1 A 3e x   C B 3e x   C C 3e x   C 2x 2x 2x Câu 23 Họ nguyên hàm F(x) hàm số f ( x)  sin x là: 1 sin x  1 sin x  1 cos x  A  x    C B  x    C C  x  C 2  2  2  Câu 24 Họ nguyên hàm F(x) hàm số f ( x)  là: x  4x  x 3 x 1 A ln x  x   C B ln C ln C x 1 x  C D e x  cos x  sin x sin x  D     2   Câu 25 Nguyên hàm hàm số f(x) = x3 ‒ x4  ln x  C A Nguyên hàm - Tích phân x3   2x  C B x D 3e x  C x4 D  x  sin x   C D x 3 ln C x 1  x là: x x4 2x   C C x ln x4   x.ln  C D x ... k  f ( x)dx (k  0) III Các phương pháp tìm nguyên hàm 1) Phương pháp Dựa vào bảng ngun hàm Ví dụ Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: Nguyên hàm - Tích phân u' cos u Trường THPT Lấp Vò Ths: Quang Minh... Kết khác x x Câu 13 Nguyên hàm hàm số f  x   cos3x là: A Nguyên hàm - Tích phân Trường THPT Lấp Vò A Ths: Quang Minh – Thùy Trang sin 3x  C B  sin x  C Câu 14 Nguyên hàm hàm số f ( x)  2e...  1/ 2 x2 Vậy nguyên hàm cần tìm là: F ( x)   x  3ln x  1/ 2 Ví dụ Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x)   sin 3x biết F  /   Do F 1  nên Giải Nguyên hàm - Tích phân Trường THPT Lấp