Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN I NGUYÊN HÀM Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f  x  xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F  x  gọi nguyên hàm hàm số f  x  K F '  x   f  x  với x  K Kí hiệu:  f  x  dx  F  x   C Định lí: 1) Nếu F  x  nguyên hàm f  x  K với số C , hàm số G  x   F  x   C nguyên hàm f  x  K 2) Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  K nguyên hàm f  x  K có dạng F  x   C , với C số Do F  x   C, C  họ tất nguyên hàm f  x  K Tính chất nguyên hàm    f  x  dx   f  x   f '  x  dx  f  x   C ; d   f  x  dx   f  x  dx  Nếu F(x) có đạo hàm thì:   kf  x  dx  k  f  x  dx với k số khác   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx   d  F ( x)   F ( x)  C  Công thức đổi biến số: Cho y  f  u  u  g  x  Nếu  f ( x)dx  F ( x)  C  f  g ( x)  g '( x)dx   f (u)du  F (u)  C Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f  x  liên tục K có nguyên hàm K Nguyễn Chiến: 0973.514.674 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com BẢNG NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ THƢỜNG GẶP  0dx  C   x dx  x 2  dx  x  C  1 x  C   1  1 dx    C x  x dx  ln x  C  e dx  e  C x 18 x x  a dx   sin xdx   cos x  C  tan x.dx   ln | cos x | C 10  11 cot x.dx  ln | sin x | C 12  cos x dx  tan x  C  sin x dx   cot x  C 14  1  tan x  dx  tan x  C 13 2 15  1  cot x  dx   cot x  C  1 dx  ax  b  a ln ax  b  C ax b e C a a kx b 20  a kx b dx  C k ln a 21  cos  ax  b  dx  sin  ax  b   C a 22  sin  ax  b  dx   cos  ax  b   C a 23  tan  ax  b  dx   ln cos  ax  b   C a 24  cot  ax  b  dx  ln sin  ax  b   C a 1 dx  tan  ax  b   C 25  cos  ax  b  a 1 dx   cot  ax  b   C 26  sin  ax  b  a 27  1  tan  ax  b   dx  tan  ax  b   C a 28  1  cot  ax  b   dx   cot  ax  b   C a 19 ax C ln a  cos xdx  sin x  C  ax  b  16   ax  b  dx   c ,   1 a  1 1 17  dx   C a ax  b  ax  b   e ax b dx  BẢNG NGUYÊN HÀM MỞ RỘNG dx x  arctan  C x a a dx ax  a2  x2  2a ln a  x  C dx 2  x2  a2  ln  x  x  a   C dx x  a2  x2  arcsin a  C dx x  x x2  a2  a arccos a  C  arcsin a dx  x arcsin a  a  x2  a2   C  x x2  a2 a ln x b   ln  ax  b  dx   x  a  ln  ax  b   x  c  sin  ax  b   a ln tan a dx  a  x dx  x a2  x2 a2 x  arcsin  C 2 a Nguyễn Chiến: 0973.514.674 x x a2  x2  C x x a2  x2  C  arccos a dx  x arccos a   arctan a dx  x arctan a  ln  a x x a  arc cot a dx  x arc cot a  ln  a x x dx ax  b C dx ax  b C  sin  ax  b   a ln tan e e ax ax a cos bx dx  sin bx dx   x2   C  x2   C eax  a cos bx  b sin bx  a  b2 eax  a sin bx  b cos bx  a  b2 C C Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN a Đổi biến dạng 1: Nếu  f ( x)  F ( x )  C với u    t  hàm số có đạo hàm :  f (u)du  F (u)  C PHƢƠNG PHÁP CHUNG  Bước 1: Chọn x    t  ,   t  hàm số mà ta chọn thích hợp  Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx   '  t  dt  Bước 3: Biến đổi : f ( x)dx  f   t   '  t  dt  g  t  dt  Bước 4: Khi tính :  f ( x)dx   g (t )dt  G(t )  C * Các dấu hiệu đổi biến thƣờng gặp : Dấu hiệu Cách chọn    Đặt x  a sin t ; với t    ;  x  a cos t ;  2 a2  x2 với t  0;   Đặt x  x2  a2   với t   0;   \   2    Đặt x  a tan t ; với t    ;  x  a cot t  2 a2  x2 ax ax a    ; với t    ;  \ 0 x  sin t cos t  2 a với t   0;   ax ax  x  a  b  x  a  x2 Đặt x  a cos 2t Đặt x  a  (b – a) sin t    Đặt x  a tan t ; với t    ;   2 b Đổi biến dạng 2: Nếu hàm số f  x  liên tục đặt x    t  Trong   t  với đạo hàm (  '  t  hàm số liên tục) ta :  f ( x)dx   f  t   ' t  dt   g (t )dt  G(t )  C Nguyễn Chiến: 0973.514.674 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com PHƢƠNG PHÁP CHUNG  Bước 1: Chọn t    x  Với   x  hàm số mà ta chọn thích hợp  Bước 2: Tính vi phân hai vế : dt   '  t  dt  Bước 3: Biểu thị : f ( x)dx  f   t   '  t  dt  g (t )dt  Bước 4: Khi : I   f ( x)dx   g (t )dt  G(t )  C * Các dấu hiệu đổi biến thƣờng gặp : Dấu hiệu Cách chọn Hàm số mẫu số có t mẫu số  Hàm số : f x;   x   t    x Hàm f  x   a.s inx+b.cosx c.s inx+d.cosx+e Hàm f  x   x  x  t  tan ;  cos     Với : x  a  x  b   x  a  x  b   Đặt : t  x  a  x  b Với x  a  x  b  Đặt : t  x  a   x  b NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục K:  u( x).v '( x)dx  u( x).v( x)   v( x).u '( x)dx  udv  uv   vdu ( với du  u’ x  dx, Hay dv  v’  x  dx ) PHƢƠNG PHÁP CHUNG  Bước 1: Ta biến đổi tích phân ban đầu dạng : I   f ( x)dx   f1 ( x) f ( x)dx   u  f1 ( x) du  f '1 ( x)dx  Bước 2: Đặt :  v  f ( x)dx dv  f ( x)     Bước 3: Khi đó:  u.dv  u.v   v.du Dạng I: sin x    I   P( x) cos x  dx e x    Nguyễn Chiến: 0973.514.674 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến u  P( x)  sin x   Đặt    dv  cos x  dx e x      u '.du  P '( x)dx    cos x     v  sin x    e x     cos x    Vậy I  P( x) sin x  e x     cos x     sin x  P '( x)dx e x    chienmath43@gmail.com Dạng II: I   P( x).ln xdx u  ln x  Đặt  dv  P( x)dx  Dạng III  du  x dx Vậy I  lnx.Q  x    Q( x) dx  x v  P( x)dx  Q( x)   sin x  I   ex   dx cos x  u  e x  Đặt  sin x  dv  cos x  dx    du  e x dx     cos x  v  sin x      cos x   cos x  x Vậy I  e x  e dx -  sin x  sin x   cos x  x Bằng phương pháp tương tự tính   e dx sau thay vào I kết sin x  Nguyễn Chiến: 0973.514.674 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com TÍCH PHÂN CƠNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN b  f ( x)dx  F ( x) b a  F (b)  F (a) a b * Nhận xét: Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu  b f ( x)dx hay a  f (t )dt Tích phân a phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Giả sử cho hai hàm số f ( x) g( x) liên tục K a,b,c ba số thuộc K Khi ta có : a  f ( x)dx  a b  a f ( x)dx    f ( x)dx a b  b a c b a c f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx b b b a a a   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx b b a a  kf ( x)dx  k  f ( x)dx Nếu f ( x)  0, x   a; b : b  f ( x)dx  0x  a; b a b b a a Nếu x   a; b : f ( x)  g ( x)   f ( x)dx   g ( x)dx b Nếu x   a; b Nếu M  f ( x)  N M  b  a    f ( x)dx  N  b  a  a PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I ĐỔI BIẾN a Phƣơng pháp đổi biến số dạng Định lí Nếu 1) Hàm x  u(t ) có đạo hàm liên tục  ;   2) Hàm hợp f (u(t )) xác định  ;   3) u( )  a, u(  )  b b  a  Khi đó: I   f ( x)dx   f (u (t ))u ' (t )dt Nguyễn Chiến: 0973.514.674 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com PHƢƠNG PHÁP CHUNG  Bước 1: Đặt x  u  t   Bước 2: Tính vi phân hai vế : x  u(t )  dx  u '(t )dt xb Đổi cận:  xa  t t  Bước 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo biến t b   a   Vậy: I   f ( x)dx   f u (t ) u '(t )dt   g (t )dt  G(t )   G(  )  G( )  b Phương pháp đổi biến dạng Định lí: Nếu hàm số u  u( x) đơn điệu có đạo hàm liên tục đoạn  a; b cho f ( x)dx  g  u( x)  u '( x)dx  g (u)du thì: b u (b ) a u (a) I   f ( x)dx      g (u )du PHƢƠNG PHÁP CHUNG Bƣớc 1: Đặt u  u( x)  du  u ' ( x)dx xb u  u (b) Bƣớc 2: Đổi cận :  xa u  u (a ) Bƣớc 3: Chuyển tích phân cho sang tích phân theo u b b Vậy: I   f ( x)dx   g u ( x).u '( x)dx  a a u (b )  g (u )du u (a) II TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Định lí Nếu u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục  a; b thì: b b b ' u ( x ) v ( x ) dx  u ( x ) v ( x )  v( x)u ' ( x)dx   a a a b Hay  udv  uv a b a b   vdu a PHƢƠNG PHÁP CHUNG  Bƣớc 1: Viết f ( x)dx dạng udv  uv'dx cách chọn phần thích hợp f ( x) làm u ( x) phần lại dv  v '( x)dx  Bƣớc 2: Tính du  u ' dx v   dv   v '( x)dx  b Bƣớc 3: Tính b  vu '( x)dx uv a a Nguyễn Chiến: 0973.514.674 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com Cách đặt u dv phƣơng pháp tích phân phần Đặt u theo thứ tự ưu tiên: b b  P( x)e dx  P( x) ln xdx x Lốc-đa-mũ-lượng a a b b  P( x) cos xdx e a a x cos xdx u P(x) lnx P(x) ex dv e x dx P(x)dx cosxdx cosxdx Chú ý: Nên chọn u phần f ( x) mà lấy đạo hàm đơn giản, chọn dv  v'dx phần f ( x)dx vi phân hàm số biết có ngun hàm dễ tìm TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN Tích phân hàm hữu tỉ   dx adx Dạng 1: I      ln ax  b a  ax  b a  ax  b   ( với a  )   dx 1   (ax  b) k adx  (ax  b) k 1 Chú ý: Nếu I   k a a(1  k )  (ax  b)  Dạng 2: I      dx  a   ( ax2  bx  c  với x   ;   ) ax  bx  c Xét   b2  4ac + Nếu   : x1  b   b   ; x2  2a 2a  1 1       : ax  bx  c a( x  x1 )( x  x2 ) a( x1  x2 )  x  x1 x  x2    x  x1 1  1 I  ln x  x1  ln x  x2    ln  dx    a( x1  x2 )   x  x1 x  x2  a( x1  x2 ) a( x1  x2 ) x  x2  1  + Nếu   : ax  bx  c a( x  x0 )2    b    tan t  dx   tan t  dt 2  2a 4a a  Dạng 3: I    mx  n dx, ax  bx  c (trong f ( x)   a  0 mx  n liên tục đoạn  ;   ) ax  bx  c Nguyễn Chiến: 0973.514.674  dx dx b       x0   I   2 2a  a  ( x  x0 ) a( x  x0 )   ax  bx  c dx dx + Nếu   I    2   ax  bx  c  b      a  x       2a   4a     Đặt x      Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com +) Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm A B cho: mx  n A(ax  bx  c) ' B A(2ax  b) B     2 ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c ax  bx  c   +) Ta có I      Tích phân  A(2ax  b) dx  A ln ax  bx  c ax  bx  c  Tích phân  mx  n A(2ax  b) B dx   dx   dx 2 ax  bx  c  ax  bx  c  ax  bx  c   ax   dx thuộc dạng  bx  c b P( x) dx với P(x) Q(x) đa thức x Q ( x ) a Tính tích phân I    Nếu bậc P( x) lớn bậc Q( x) dùng phép chia đa thức  Nếu bậc P( x) nhỏ bậc Q( x) xét trường hợp: + Khi Q( x) có nghiệm đơn 1 ,  , ,  n đặt An A1 A2 P( x)     Q( x) x  1 x   x  n + Khi Q( x) có nghiệm đơn vơ nghiệm Q( x)   x     x  px  q  ,   p  4q  đặt P( x) A Bx  C   Q( x) x   x  px  q + Khi Q( x) có nghiệm bội Q( x)  ( x   )( x   )2 với    đặt: A P( x) B C    Q( x) x   x    x   2 Q( x)  ( x   )2 ( x   )3 với    đặt: P( x) A B C D E      3 (x  ) (x   ) (x  ) (x  ) (x   ) (x   ) x Tích phân hàm vơ tỉ b  R( x, f ( x))dx R( x, f ( x)) có dạng: a  +) R  x,   ax     Đặt x  a cos 2t , t  0;  ax   2  +) R x, a  x Đặt x  a sin t x  a cos t  ax  b ax  b  +) R  x, n  Đặt t  n cx  d cx  d   Nguyễn Chiến: 0973.514.674 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến +) R  x, f ( x)   chienmath43@gmail.com (ax  b)  x   x   Với  x   x    '  k  ax  b  Đặt t   x   x   t      ax  b    +) R x, a  x Đặt x  a tan t , t    ;   2 +) R x, x  a Đặt x  +) R  n1   , t   0;   \   cos x 2 a  x ; x ; ; i x Gọi k  BSCNN  n1; n2 ; ; ni  Đặt x  t k n n  a Tích phân dạng : I    ax  bx  c dx  a  0 b  x u   b     2a  du  dx Từ : f(x)=ax  bx  c  a  x       2a  4a     K  2a Khi ta có : * Nếu   0, a   f ( x)  a  u  k   f ( x)  a u  k (1) a  b    * Nếu :    f ( x)  a  x     (2) b 2a    f ( x )  a x  2a  a u  * Nếu :   + Với a  : f ( x)  a  x  x1  x  x2   + Với a  : f ( x)  a  x1  x  x2  x   f ( x)  a  x  x1  x  x2  f ( x)  a (3)  x1  x  x2  x Căn vào phân tích , ta có số cách giải sau :  Phƣơng pháp : * Trường hợp :   0, a   f ( x)  a  u  k   f ( x)  a u  k Khi đặt : ax  bx  c  t  a x  t2  c x  ; dx  tdt  b2 a b2 a bx  c  t  ax     x    t  t0 , x    t  t1  t2  c t  a x  t  a b2 a    a  b    * Trường hợp :    f ( x)  a  x     b 2a    f ( x )  a x  2a  a u  Nguyễn Chiến: 0973.514.674 10 (4) Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com x  x2  182  dx x2  /  183  tgx  e sin x (Dự bị_05)  cosx dx (Dự bị_05) e 184  x ln xdx /2 185 (Dự bị_05) sin 2x  cos2 x  4sin x dx 186  2x   4x  (Dự bị_05) dx (Dự bị_06) 187   x  2 e /2 188  2x (Đề chung_06D) dx (x  1)sin 2xdx (Dự bị_06) 189   x   ln xdx (Dự bị_06) ln5 dx dx x x e  2e  ln3 10 dx 191  x  x 1 190  e 192  193  194  x5  2x3 x 1 x4 x 1  ln8 197  ln x dx x  ln x 196 (Dự bị_06) (Dự bị_06) (CĐ SP_04A) dx   x2  x2 3 195 (Dự bị_06)  (CĐ GTVT_04) (CĐ KTKT_04A) dx dx x  x3 (Dự bị_04) ex  1.e2x dx (Dự bị_04) x.sin xdx (Dự bị_05) ln3 2 198  Nguyễn Chiến: 0973.514.674 53 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com 199  x  xdx (Dự bị_04) e3 200 ln x  x ln x  dx (Dự bị_05) /2  (2x  1)cos 201 xdx (Dự bị_05) THI ĐH 2005 -2008 Bài ĐH, CĐ Khối A – 2005  I sin 2x  sin x  cos x dx KQ: 34 27 Bài ĐH, CĐ Khối B – 2005  sin 2x cos x dx  cos x I KQ: ln  Bài ĐH, CĐ Khối D – 2005    I   e sin x  cos x cos xdx KQ: e   1 Bài Tham khảo 2005 I3 x2 x 1 dx KQ: 141 23,1 10 Bài Tham khảo 2005  I   sin xtgxdx KQ: ln  Bài Tham khảo 2005   I   tgx  e sin x  cos x dx KQ: ln  e  Bài Tham khảo 2005 e I   x ln xdx KQ: e  9 Bài CĐ Khối A, B – 2005 Nguyễn Chiến: 0973.514.674 54 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến I   x x  3dx KQ: chienmath43@gmail.com 8 Bài CĐ Xây Dựng Số – 2005 I x3 3 x 1  x  1 dx KQ: ln3  Bài 10 CĐ GTVT – 2005 I   x  x dx KQ: 105 Bài 11 CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005  3 I   e 3x sin 5xdx 3.e  KQ: 34 Bài 12 CĐ Tài Chính Kế Tốn IV – 2005 I  x  1.x dx KQ: 848 105 Bài 13 CĐ Truyền Hình Khối A – 2005  I  sin x 0  sin 2x dx KQ: ln 2 KQ: 3 18 Bài 14 CĐSP Tp.HCM – 2005 I x 1 dx  2x  Bài 15 CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005 e ln x dx x I KQ:  e Bài 16 CĐSP Vĩnh Long – 2005 I3 x 1 3x  dx KQ: 46 15 Bài 17 CĐ Bến Tre – 2005  cos 3x dx sin x  I Nguyễn Chiến: 0973.514.674 KQ:  3ln 55 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com Bài 18 CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005  sin xdx I sin x  cos x cos x I  ln KQ:  J x sin xdx J sin 2x cos x   Bài 19 CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005 e e2  KQ: I   x ln xdx Bài 20 CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005 2 I  x sin xdx KQ: 2 4 Bài 21 CĐSP Hà Nội – 2005 x  2x  4x  dx x2  I KQ:   Bài 22 CĐ Tài Chính – 2005 xdx I x  1 KQ: KQ:  Bài 23 CĐSP Vĩnh Phúc – 2005 I e x dx  ln x Bài 24 CĐSP Hà Nội – 2005  sin 2004 x  I   2004 dx KQ: 2004 x  cos x sin Bài 25 CĐSP KonTum – 2005  sin x dx  cos x I Nguyễn Chiến: 0973.514.674 KQ: 56 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com NĂM 2006 Bài ĐH, CĐ Khối A – 2006  sin 2x I cos2 x  4sin x dx KQ: Bài Tham khảo 2006 I dx 2x   4x  KQ: ln  12 Bài ĐH, CĐ Khối D – 2006 I    x   e2x dx KQ:  3e2 Bài Tham khảo 2006  I    x  1 sin 2x dx KQ:  1 Bài Tham khảo 2006 I    x   ln x dx KQ:  ln 4 Bài ĐH, CĐ Khối B – 2006 I ln5 e ln3 x dx  2e x  KQ: ln Bài Tham khảo 2006 10 I dx KQ: ln  x  x 1 Bài Tham khảo 2006 I e x  ln x  ln x dx KQ: 10 11 2 3 Bài CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006   I   x ln  x dx KQ: ln  (Đổi biến t   x2 , phần) Bài 10 CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006 Nguyễn Chiến: 0973.514.674 57 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến I ln 1  x  x dx chienmath43@gmail.com KQ: 3ln  ln Bài 11 CĐ Nông Lâm – 2006 I   x x  1dx KQ: 2 1 KQ: ln 2 Bài 12 ĐH Hải Phòng – 2006 x dx  x I Bài 13 CĐ Y Tế – 2006  I sin x  cos x  sin 2x  dx KQ: ln Bài 14 CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006   I   x ln x  dx KQ: 14 ln14  5ln  9 Bài 15 CĐ Sƣ Phạm Hải Dƣơng – 2006  cos2x I  sin x  cos x  3 dx KQ: 32 Bài 16 Hệ CĐ – ĐH Hùng Vƣơng – 2006  I    x  1 cos x dx KQ:  1 Bài 17 CĐ KTKT Đông Du – 2006  cos2x dx  2sin 2x I KQ: ln Bài 18 CĐ Sƣ Phạm Quảng Bình – 2006 I ln2  e2x e 2 x dx KQ:  Bài 19 CĐ Sƣ Phạm Quảng Ngãi – 2006 Nguyễn Chiến: 0973.514.674 58 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com  4sin3 x dx  cos x I KQ: Bài 20 CĐ Sƣ Phạm Trà Vinh – 2006  I x dx cos2 x KQ:   ln 2 Bài 21 CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006 I 3 1 x 3 x 1  x  dx KQ: ln3  Bài 22 CĐ Sƣ Phạm Tiền Giang – 2006 I   x  x dx KQ:  468 Bài 23 CĐ Bến Tre – 2006 e  x3   I    ln x dx x   KQ: 2e3 11  18 KQ: 3 2 Bài 24 I   x 2  x3 dx   Bài 25  12     1 2  I   2x  1 cos xdx KQ:  Bài 26   I   x e x  x  dx KQ: e2  14 Bài 27 CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006  sin3x dx cos3x  I KQ: Không tồn Bài 28 CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006 Nguyễn Chiến: 0973.514.674 59 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến   I   x ln  x2 dx chienmath43@gmail.com KQ: ln  Bài 29 CĐ Xây dựng số – 2006 x x 1 dx x5 I KQ: 32  10 ln 3 KQ: KQ: ln Bài 30 CĐ Xây dựng số – 2006   I   x  cos3 x sin x dx Bài 31 CĐ GTVT III – 2006  cos x dx  2sin x I J    2x   ln  x  1 dx KQ: 24 ln3  14 Bài 32 CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006  I   1  tg8x  dx KQ: 76 105 Bài 33 CĐSP Hƣng Yên - Khối A– 2006 4x  dx x  3x  I KQ: 18ln2  7ln3 Bài 34 CĐSP Hƣng Yên - Khối B– 2006  sin3x  sin3 3x dx  cos3x I KQ:  1  ln Bài 35 CĐSP Hƣng Yên - Khối D1 , M– 2006 e ln x  ln2 x dx x I KQ: 3 3  22   Bài 36 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006  I    cos4 x  sin x  dx Nguyễn Chiến: 0973.514.674 KQ: 60 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com Bài 37 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006  cos2x dx  2sin 2x I KQ: ln KQ: Bài 38 CĐSP Trung Ƣơng – 2006  I   sin x sin 2xdx Bài 39 CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006 I x  x  3 dx KQ : ln  Bài 40 CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006  I   x2 cos xdx KQ: 2 2 Bài 41 CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006 e dx x  ln x I   KQ:  Bài 42 CĐKT Y Tế I – 2006  I  sin x  cos x  sin 2x dx KQ: ln Bài 43 CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006  I  ln  tgx  sin 2x dx KQ: ln 16 Bài 44 CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006  I   sin 2x 1  sin x  dx KQ: 15 Bài 45 CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006 e I ln x x dx Nguyễn Chiến: 0973.514.674 KQ:  e 61 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com Bài 46 CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006 I dx x  2x  2 KQ:  KQ: 46 15 Bài 47 CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006 I x2 3x  dx Bài 48 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006  I x dx cos2 x KQ:   ln 2 Bài 49 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D1 – 2006 I    4x  1 ln x dx KQ: ln  Bài 50 CĐSP Hà Nội Khối D1 – 2006  dx    sin x.sin x     I KQ: ln NĂM 2007 Bài ĐH, CĐ khối A – 2007   Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng: y   e  1 x, y   ex x KQ: e 1 Bài ĐH, CĐ khối B – 2007 Cho hình phẳng H giới hạn đƣờng y  x ln x , y  0, y  e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox KQ:   5e3   27 Bài ĐH, CĐ khối D – 2007 e Tính tích phân I   x3 ln2 x dx Nguyễn Chiến: 0973.514.674 62 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến KQ: chienmath43@gmail.com 5e4  32 Bài Tham khảo khối A – 2007  1 2x  2x  KQ:  ln2 dx Bài Tham khảo khối B – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng y  y  x 1  x  KQ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng y  x2 y   x KQ: x2    ln2  Bài Tham khảo khối B – 2007   Bài Tham khảo khối D – 2007  x  x  1 x 4 dx KQ:  ln2  ln3 Bài Tham khảo khối D – 2007  2  x cos x dx KQ: 2 2 Bài CĐSPTW – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng có phƣơng trình y  x; x  1; x  KQ: Bài 10 CĐ GTVT – 2007   cos3 x dx  sin x KQ: Bài 11 CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007  x2 x1 dx Nguyễn Chiến: 0973.514.674 KQ: 231 10 63 y  x2  ; Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com Bài 12 CĐ Khối A – 2007 1 1 x2 1  1  x  2007 dx KQ: 32008  22008 2008 KQ:  5e3  2 27 KQ: 3 2   384 32 Bài 13 CĐ Cơ khí luyện kim – 2007 e   x ln x  dx Bài 14 CĐSP Vĩnh Phúc – 2007    x sin x  dx Bài 15 CĐ Khối B – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng y  x , y  x  cos2 x , x  , x   KQ:  Bài 16 CĐ Khối D – 2007  x  dx KQ: 2 Bài 17 CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007 dx  x x 2 KQ:   1   12 Bài 18 CĐ Hàng hải – 2007 x x2  1dx KQ: 14 Bài 19 CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007  x e 2x 1   x  dx KQ: 2 31 e  60 Bài 20 CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007  xe x dx KQ: Nguyễn Chiến: 0973.514.674 64 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com NĂM 2008  tan x dx - ĐH, CĐ Khối A – 2008 cos x Bài 1) Tính I =  KQ:   10 ln     sin  x   dx 4  Bài 2) Tính I =  - ĐH, CĐ Khối B – 2008 sin x  1  sin x  cos x   KQ: 43 KQ:  ln 16 ln x dx - ĐH, CĐ Khối D – 2008 x Bài 3) Tính I =  Bài 4) Tính I =   /2 Bài 5) Tính I  xdx 2x  - Dự bị - khối A-2008 sin xdx   4sin x  cos2 x KQ:  12    36  4  KQ:   ln - Dự bị - khối A-2008 ( x  1)dx 4x 1 Bài 6) Tính I   x3dx Bài 7) Tính I    x2   Bài 8) Tính I    x.e2 x  Bài 9) - Dự bị - khối B-2008 - Dự bị - khối B-2008   dx - Dự bị - khối D-2008  x2  x CĐ Khối A, B, D – 2008 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P  : y   x2  x đƣờng thẳng Nguyễn Chiến: 0973.514.674 d : y  x KQ: 65 (đvdt) Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com NĂM 2009  Bài 1) Tính I =  (cos3 x  1) cos xdx - ĐHKA-2009 KQ: Bài 2) Tính I =  ln x  x  1 dx - ĐHKB-2009   KQ: Bài 3) Tính I = e x dx - ĐHKD-2009 1 27 (3  ln ) 16 KQ: ln(e2+e+1) – NĂM 2010 x  e x  x 2e x 0  2e x dx - ĐHKA-2010 Bài 1) Tính I = e Bài 2) Tính I = ln xdx  x(2  ln x) KQ: KQ:   ln - ĐHKB-2010  1 e 3 Bài 3) Tính I = I    x   ln xdx x  1   2e   ln     - ĐHKD-2010 KQ: e2 1 NĂM 2011  Bài 1) Tính I =  x sin x  ( x  1) cos x dx - ĐHKA-2011 x sin x  cos x KQ:     ln    1        x sin x dx cos x Bài 2) Tính I =  Bài 3) Tính I =  4x 1 dx 2x 1  2  ln(2  3) - ĐHKB-2011 KQ:  - ĐHKD-2011 KQ: 34  10 ln KQ: 2  ln  ln 3 NĂM 2012  ln( x  1) dx - KA-2012 x2 Bài 1) Tính tích phân I   Bài 2) Tính tích phân I   Nguyễn Chiến: 0973.514.674 x3 dx - ĐHKB-2012 KQ: x  3x  66  2ln  3ln  Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com 2 / Bài 3) Tính tích phân I   x(1  sin 2x)dx - ĐHKD-2012 KQ: 32  NĂM 2013 x2  Bài 1) Tính tích phân I   ln xdx - ĐHKA-2013 x KQ: ln  2 KQ: 2 1 Bài 2) Tính tích phân I   x  x dx - ĐHKB-2013 Bài 3) ( x  1) dx - ĐHKD-2013 x  Tính tích phân I   KQ:  ln NĂM 2014 Bài 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng cong y  x  x  đƣờng thẳng y  2x  - ĐHKA-2014 KQ: x  3x  Tính tích phân  dx - ĐHKB-2014 x x Bài 2) KQ:  ln3  Bài 3) Tính tích phân I =  (x  1) sin 2xdx - ĐHKD-2014 KQ: NĂM 2015 Bài 1) THPTQG 2015 Tính tích phân I =  ( x - )e x d x KQ:  3e Bài 2) Dự bị THPTQG 2015 Tính tích phân I   x dx x 1 KQ: NĂM 2016   THPTQG 2016 Tính tích phân I   3x x  x  16 dx Nguyễn Chiến: 0973.514.674 67 KQ: 88 ... x Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Ví dụ 1: Tính tích. .. k nguyên ; ; 2 III Dạng 3: I1 =   tan x  dx ; I =   cot x  dx (n  ) n m 1 14 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Diện tích hình phẳng a) Diện tích. .. phương pháp tương tự tính   e dx sau thay vào I kết sin x  Nguyễn Chiến: 0973.514.674 Nguyên hàm tích phân  Nguyễn Chiến chienmath43@gmail.com TÍCH PHÂN CƠNG THỨC TÍNH TÍCH PHÂN b  f ( x)dx