LèI CÁM ƠN Khóa lu¾n cna em đưoc hồn thành vói sn giúp đõ chí báo cna thay to Giái tích, khoa Tốn cna trưòng Đai hoc sư pham Hà N®i Nhân d%p này, em xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói thay to Giái tích, khoa Tốn, đ¾c bi¾t thay Tran Văn Bang ngưòi trnc tiep hưóng dan em q trình thu th¾p tài li¾u, nghiên cỳu v hon thiắn e ti H Nđi, thỏng năm 2012 Sinh viên Hoàng Th% Nhung LèI CAM ĐOAN Khóa lu¾n cna em đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan cna thay Tran Văn Bang vói sn co gang cna bán thân Trong suot trình nghiên cúu v thnc hiắn khúa luắn em cú tham khỏo mđt so ti liắu cna mđt so tỏc giỏ (ó nờu muc tài li¾u tham kháo) Em xin cam đoan nhung ket q khóa lu¾n tot nghi¾p ket nghiên cúu cna bán thân em, không trùng vói ket cna tác giá khác Neu sai em xin hon ton ch%u trỏch nhiắm H Nđi, thỏng năm 2012 Sinh viên Hoàng Th% Nhung Mnc lnc LèI Mé ĐAU Chương KIEN THÚC CHUAN B± .5 1.1 Đ® đo Lebesgue 1.1.1 M®t so khái ni¾m 1.1.2 Đ® đo Lebesgue R 1.2 Tích phân Lebesgue 1.2.1 Đ%nh nghĩa 1.2.2 Các tính chat sơ cap 1.2.3 Chuyen qua giói han dưói dau tích phân .10 1.3 Không gian Lp .10 1.3.1 Đ%nh nghĩa tính chat bán cna không gian Lp .10 1.3.2 Khơng gian đoi ngau cna Lp (Ω) vói ≤ p ≤ ∞ .11 1.3.3 Tính ch¾p sn quy hóa 12 1.3.4 Dãy hóa 13 1.3.5 Tiêu chuan compact manh Lp .13 Chương KHÔNG GIAN SOBOLEV CÁC HÀM M®T BIEN 15 2.1 Đ®ng lnc 15 2.2 Không gian Sobolev W1,p (I) 17 1,p 2.3 Không gian W0 .36 1,p 2.4 Không gian đoi ngau cna W (I) 38 2.5 Nghi¾m yeu cna tốn biên đoi vói phương trình vi phân thưòng 40 KET LU¾N .53 TÀI LIfiU THAM KHÁO 54 LèI Mé ĐAU Toán hoc m®t mơn khoa hoc gan lien vói thnc tien Sn phát trien cna toán hoc đưoc đánh dau bang nhung úng dung cna vào tốn thnc tien The giói tn nhiên xã h®i ln bien đoi khơng gian theo thòi gian Nói cách khác, nhung đ¾c trưng cna đoi tưong khoa hoc hàm khơng gian, thòi gian nhung yeu to khỏc Do vắy viắc nghiờn cỳu quỏ trỡnh đng cna tn nhiờn cng nh xó hđi thũng dan en viắc kháo sát m®t hay nhieu phương trình vi phân thưòng phương trình đao hàm riêng m®t đai lưong nghiên cúu đưoc đ%nh lưong hóa bang đai lưong tốn hoc Vào nhung năm đau th¾p kí 30 cna the kí XX, vi¾n sĩ Tốn hoc ngưòi Nga Sobolev ó ó giúi thiắu mđt lúp khụng gian hàm đưoc sú dung r®ng rãi lý thuyet phương trình đao hàm riêng nói chung, phương trình vi phân thưòng nói riêng khơng gian Sobolev Tù tró có nhieu khơng gian khác nua phuc vu cho sn phát trien cna lý thuyet phương trình vi tích phân Là sinh viên năm cuoi b¾c đai hoc, đe bưóc đau làm quen vói nghiên cúu khoa hoc mong muon hieu biet thêm ve sn phát trien cna Tốn hoc em lna chon đe tài: “Khơng gian Sobolev cỏc hm mđt bien lm khúa luắn tot nghi¾p Ngồi phan mó đau, ket lu¾n, tài li¾u tham kháo, khóa lu¾n tot nghi¾p gom hai chương: Chương 1: Kien thúc chuan b% Chương 2: Không gian Sobolev hm mđt bien Chng ny trỡnh by khỏi niắm Khụng gian Sobolev hàm m®t bien, tính chat bán cna khơng gian úng dung viắc nghiờn cỳu mđt so bi toỏn biờn oi vúi phương trình vi phân thưòng cap hai theo phương pháp bien phân Trong suot trình nghiên cúu em nh¾n đưoc sn t¾n tình giúp đõ cna thay to Giái tích – Khoa Tốn cna trưòng hoc s pham H Nđi 2, ắc biắt l thay Tran Văn Bang M®t lan nua em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac nhat tói thay Em rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien quý báu cna thay cô ban sinh viên đe đe tài đưoc hồn thi¾n Em xin chân thành cám ơn! Chương KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Đ® đo Lebesgue 1.1.1 M®t so khái ni¾m a) Đai so σ - đai so t¾p hap %nh ngha 1.1 Cho X l mđt tựy ý khỏc rong Mđt lúp C cỏc cna X oc goi l mđt so hop neu thóa mãn tính chat sau: i) X ∈ C, ii) X ∈ C ⇒ AC ∈ C, iii) A, B ∈ C ⇒ A ∪ B ∈ C Neu hop huu han đieu ki¾n iii) đưoc thay bói đem đưoc tùy ý C đưoc goi - so hop Cho A l mđt lóp t¾p cna X Khi ln ton tai C (A) đai so (tương úng σ - đai so) nhó nhat t¾p cna X chúa A goi đai so (σ - đai so) sinh bói A Ví dn: Trong khơng gian Metric X, goi T ho tat cá t¾p mó (hay tôpô) X σ - đai so C (T ) đưoc goi σ - đai so Borel t¾p cna X Moi thuđc C (T ) oc goi l mđt Borel Ta thũng kớ hiắu C (T ) B (X) b) Hàm c®ng tính Đ%nh ngha 1.2 Hm xỏc %nh trờn M, cỏc cna X, goi l cđng tớnh neu nú thóa mãn: i) µ (φ) = 0, ii) A, B ∈ M, A∩B = φ, A∪B ∈ M ⇒ µ (A ∪ B) = µ (A)+µ (B) Ngồi neu đieu ki¾n ii) đưoc thay bói S∞ n= iii) ∀An ⊂ M, An ∈ M, An ∩ Am = φ ∀n ƒ= m Ta có µ S∞ = n=1 A n ∞ n= µ (An) µ đưoc goi σ - c®ng tính Neu ii) đưoc thay bói iv) ∀A ∈ M, An ⊂ M, A S An ∞ n= ⊂ Ta có µ (A) ≤ ∞ n= µ (An) µ đưoc goi σ - dưói c®ng tính 1.1.2 Đ® đo Lebesgue R Goi gian ∆ đưòng thang R l mđt hop iem cú mđt cỏc dang sau: (a, b) , [a, b] , (a, b] , [a, b) , (−∞, +∞) , (−∞, a) , (−∞, a] , (a, +∞) , [a, +∞) Goi C lóp tat cá t¾p hop cna R có the bieu dien thành hop cna m®t so huu han gian ròi n [ C= P:P= ∆i, ∆i ∩ ∆j = φ (i ƒ= j) , i=1 ∆i nhung gian, n m®t so tn nhiên tùy ý Ta có C m®t đai so * Vói moi gian ∆ đ¾t  |b − a| |∆| =  +∞ Khi ∀P ∈ C ⇒ P = neu ∆ gian vói đau mút a, b neu ∆ gian vô han n S n i=1 i=1 ∆i, ∆i ∩∆j = φ (i ƒ= j) Đ¾t m (P ) = ∆i| Ta có m m®t đ® đo C | * Vói A ⊂ R Xác đ%nh hàm t¾p hop: ∞ ∞ [ µ∗ (A) = m Pi ⊃ A, Pi ∈ C i=1 inf (Pi) : i=1 S∞ ∞ ∗ hoắc tng ng (A) = i= |i| : i= ∆i ⊃ A, ∆i khống mó 1 inf Khi ú l mđt đ o ngoi trờn R, tỳc l l hm khụng õm - dúi cđng tớnh trờn ho tat cỏ cỏc cna R Theo Đ%nh lý Caratheodory (xem [4], trang 91) cỏm sinh mđt đ o trờn mđt σ - đai so L Đ® đo đưoc goi l đ o Lebesgue trờn R Moi A L oc goi l mđt o oc Lebesgue hay đơn gián L - đo đưoc Hơn nua ta có: + Moi t¾p Borel đeu t¾p L - o oc + l đ o - huu han + l đ o n + A L - đo đưoc chí A có bieu dien A = B\N ho¾c A = B N Trong ú B l mđt hop Borel v N l mđt hop cú đ o %nh lý 1.1 Mđt hop N R cú đ® đo chí vói moi ε > cú the tỡm oc mđt hắ (huu han hay đem đưoc) khoáng ∆k phú S N có đ® dài tong c®ng nhó ε ∆k ⊃ N, |∆k| < ε ... .13 Chương KHÔNG GIAN SOBOLEV CÁC HÀM M®T BIEN 15 2.1 Đ®ng lnc 15 2.2 Không gian Sobolev W1,p (I) 17 1,p 2.3 Không gian W0 .36 1,p 2.4 Không gian đoi ngau cna... Các tính chat sơ cap 1.2.3 Chuyen qua giói han dưói dau tích phân .10 1.3 Không gian Lp .10 1.3.1 Đ%nh nghĩa tính chat bán cna khơng gian Lp .10 1.3.2 Không gian. .. tien The giói tn nhiên xã h®i ln bien đoi khơng gian theo thòi gian Nói cách khác, nhung đ¾c trưng cna đoi tưong khoa hoc hàm khơng gian, thòi gian nhung yeu to khác Do v¾y vi¾c nghiên cúu trình