BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu 1.(2,0 điểm) Cho hàm số y = ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút 2x − x +1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp điểm có hoành độ x = Câu 2.(1,0 điểm) a) Cho góc α thỏa mãn: π tan α < α < π sin α = Tính A = + tan α b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1 + i ) z + (3 − i ) z = − 6i Tính mơđun z Câu 3.(0,5 điểm) Giải phương trình: log ( x + 2) = − log x Câu 4.(1,0 điểm) Giải bất phương trình: x2 + x + x − ≥ 3( x − x − 2) Câu 5.(1,0 điểm) Tính tích phân: I = ∫ (2 x + ln x) dx Câu 6.(1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AC = 2a, ACB = 30o , Hình chiếu vng góc H đỉnh S mặt đáy trung điểm cạnh AC SH = 2a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) Câu 7.(1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác OAB có đỉnh A B thuộc đường thẳng ∆ : x + y − 12 = điểm K (6; 6) tâm đường tròn bàng tiếp góc O Gọi C điểm nằm ∆ cho AC = AO điểm C, B nằm khác phía so với điểm A Biết điểm C có hồnh độ 24 , tìm tọa độ đỉnh A, B Câu 8.(1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0) B (1; 1; − 1) Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) đoạn thẳng AB phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P) Câu 9.(0,5 điểm) Hai thí sinh A B tham gia buổi thi vấn đáp Cán hỏi thi đưa cho thí sinh câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, đựng 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, phong bì đựng câu hỏi; thí sinh chọn phong bì số để xác định câu hỏi thi Biết 10 câu hỏi thi dành cho thí sinh nhau, tính xác suất để câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn giống Câu 10.(1,0 điểm) Xét số thực x Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P= 3( x + x + 1) + 1 + 2 x + (3 − ) x + - HẾT - 2 x + (3 + )x + BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn: TỐN CÂU Câu (2,0 điểm) ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (1,0 điểm) Tập xác định: D = » \ {−1} ● Giới hạn tiệm cận: lim + y = − ∞ , lim − y = + ∞ ; lim y = lim y = ● x → ( −1) x → −∞ x → ( −1) 0,25 x → +∞ Suy ra, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x = − tiệm cận ngang đường thẳng y = ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y' = > ∀x ∈ D ( x + 1) 0,25 Suy ra, hàm số đồng biến khoảng ( − ∞ ; − 1) ( −1; + ∞ ) - Cực trị: Hàm số cho khơng có cực trị Lưu ý: Cho phép thí sinh khơng nêu kết luận cực trị hàm số - Bảng biến thiên: x –∞ + y' y ● +∞ –1 +∞ 0,25 + –∞ Đồ thị (C): y −1 O ½ −1 0,25 x b) (1,0 điểm) Tung độ y0 tiếp điểm là: y0 = y (1) = 0,25 0,25 ( x − 1) + ; 0,25 Suy hệ số góc k tiếp tuyến là: k = y '(1) = Do đó, phương trình tiếp tuyến là: y = x− 4 a) (0,5 điểm) Câu (1,0 điểm) Ta có: A = tan α = tan α.cos α = sin α.cos α = cos α + tan α hay y = 0,25 (1) 0,25 16 cos α = − sin α = −   = 25 5 π Vì α ∈  ; π  nên cos α < Do đó, từ (2) suy cos α = − 2  12 Thế (3) vào (1), ta A = − 25 b) (0,5 điểm) (2) 0,25 (3) Đặt z = a + bi, ( a , b ∈ » ); z = a − bi Do đó, kí hiệu (∗) hệ thức cho đề bài, ta có: (∗) ⇔ (1 + i )( a + bi ) + (3 − i )( a − bi ) = − 6i ⇔ (4a − 2b − 2) + (6 − 2b)i = ⇔ { { 4a − 2b − = a=2 ⇔ b = − 2b = Do | z | = Câu (0,5 điểm) 0,25 0,25 2 + = 13 Điều kiện xác định: x > (1) ● Với điều kiện đó, ký hiệu (2) phương trình cho, ta có: (2) ⇔ log ( x + 2) + log x = ⇔ log ( x ( x + 2)) = log 3 ● 0,25 ⇔ x + x − = ⇔ x = (do (1)) 0,25 ● Điều kiện xác định: x ≥ + Câu đó, ký hiệu (2) bất phương trình cho, ta có: (1,0 điểm) ● Với điều kiện (2) ⇔ x + x − + x ( x + 1)( x − 2) ≥ 3( x − x − 2) ⇔ ⇔ (1) 0,25 x ( x − 2)( x + 1) ≥ x ( x − 2) − 2( x + 1) ( x ( x − 2) − ( x + 1) Do với x thỏa mãn (1), ta có (3) ⇔ )( x ( x − 2) + x ( x − 2) + ) ( x + 1) ≤ (3) 0,50 ( x + 1) > nên x( x − 2) ≤ ( x + 1) ⇔ x − 6x − ≤ ⇔ − 13 ≤ x ≤ + 13 (4) Kết hợp (1) (4), ta tập nghiệm bất phương trình cho là: 1 + ; + 13    0,25 2 Câu I = x d x + Ta có: ∫ ∫ ln xdx (1,0 điểm) 0,25 (1) 2 Đặt I1 = ∫ x dx I = ∫ ln xdx Ta có: 1 0,25 15 I1 = x = 2 2 I = x.ln x − ∫ xd(lnx) = ln − ∫ dx = ln − x = ln − 2 1 0,50 13 V ậ y I = I1 + I = + ln 2 Câu (1,0 điểm) AC = a SH ⊥ mp(ABC) Xét ∆v ABC, ta có: BC = AC cos ACB = a.cos 30o = 3a Theo giả thiết, HA = HC = 0,25 1 AC.BC.sin ACB = 2a 3a.sin 30o = a 2 1 6a3 Vậy VS ABC = SH S ABC = 2a a = 3 Vì CA = 2HA nên d(C, (SAB)) = 2d(H, (SAB)) (1) Gọi N trung điểm AB, ta có HN đường trung bình ∆ABC Do HN // BC Suy AB ⊥ HN Lại có AB ⊥ SH nên AB ⊥ mp(SHN) Do mp(SAB) ⊥ mp(SHN) Mà SN giao tuyến hai mặt phẳng vừa nêu, nên mp(SHN), hạ HK ⊥ SN, ta có HK ⊥ mp(SAB) Vì d(H, (SAB)) = HK Kết hợp với (1), suy d(C, (SAB)) = 2HK (2) Do S ABC = Vì SH ⊥ mp(ABC) nên SH ⊥ HN Xét ∆v SHN, ta có: 1 1 = + = + 2 HK SH HN 2a HN 3a Vì HN đường trung bình ∆ABC nên HN = BC = 2 1 11 66a Do = + = Suy HK = HK 2a 3a 6a 11 Thế (3) vào (2), ta d ( C , ( SAB ) ) = 66a 11 0,25 0,25 0,25 (3) Câu (1,0 điểm) Trên ∆, lấy điểm D cho BD = BO D, A nằm khác phía so với B Gọi E giao điểm đường thẳng KA OC; gọi F giao điểm đường thẳng KB OD Vì K tâm đường tròn bàng tiếp góc O ∆OAB nên KE phân giác góc OAC Mà OAC tam giác cân A (do AO = AC, theo gt) nên suy KE đường trung trực OC Do E trung điểm OC KC = KO Xét tương tự KF, ta có F trung điểm OD KD = KO Suy ∆CKD cân K Do đó, hạ KH ⊥ ∆, ta có H trung điểm CD Như vậy: + A giao ∆ đường trung trực d1 đoạn thẳng OC; (1) + B giao ∆ đường trung trực d đoạn thẳng OD, với D điểm đối (2) xứng C qua H H hình chiếu vng góc K ∆ 24 (gt) nên gọi y0 tung độ C, ta có: Vì C ∈ ∆ có hồnh độ x0 = 24 12 + y0 − 12 = Suy y0 = − 5 6  12 Từ đó, trung điểm E OC có tọa độ  ; −  đường thẳng OC có 5  phương trình: x + y = Suy phương trình d1 là: x − y − = Do đó, theo (1), tọa độ A nghiệm hệ phương trình: x + y − 12 = x − y − = { Giải hệ trên, ta A = (3; 0) 0,50 0,25 Gọi d đường thẳng qua K(6; 6) vuông góc với ∆, ta có phương trình d là: x − y + = Từ đây, H giao điểm ∆ d nên tọa độ H nghiệm hệ phương trình: x + y − 12 = 3x − y + = {  12   12 36  Giải hệ trên, ta H =  ;  Suy D =  − ;  5   5   18  Do đó, trung điểm F OD có tọa độ  − ;  đường thẳng OD có  5 phương trình: x + y = Suy phương trình d là: x − y + 12 = Do đó, theo (2), tọa độ B nghiệm hệ phương trình: x + y − 12 = x − y + 12 = 0,25 { Giải hệ trên, ta B = (0; 4) Câu 1 3 Gọi M trung điểm AB, ta có M =  ; ; −  (1,0 điểm) 2 2 Vì (P) mặt phẳng trung trực AB nên (P) qua M AB = (−1; 1; − 1) vectơ pháp tuyến (P) 3  1 1   Suy ra, phương trình (P) là: (−1)  x −  +  y −  + (−1)  z +  = 2  2 2   hay: x − y + z − = Ta có d (O , ( P)) = | −1| 22 + (−2)2 + 22 = Do đó, phương trình mặt cầu tâm O, tiếp xúc với (P) là: x + y + z = 0,25 0,25 0,25 12 0,25 hay 12 x + 12 y + 12 z − = Câu Không gian mẫu Ω tập hợp gồm tất cặp hai câu hỏi, mà vị trí (0,5 điểm) thứ cặp câu hỏi thí sinh A chọn vị trí thứ hai cặp câu hỏi thí sinh B chọn Vì A B có C10 cách chọn câu hỏi từ 10 câu hỏi thi nên theo quy ( ) 0,25 tắc nhân, ta có n(Ω) = C10 Kí hiệu X biến cố “bộ câu hỏi A chọn câu hỏi B chọn giống nhau” Vì với cách chọn câu hỏi A, B có cách chọn câu hỏi 3 giống A nên n ( Ω X ) = C10 = C10 Vì P ( X ) = n (Ω X ) n( Ω) = C10 10 (C ) = 1 = C10 120 0,25 Câu 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, với số thực x, xét điểm A( x ; x + 1) , (1,0 điểm)   1 1 B  ; −  C  − ; −  2 2   OA OB OC Khi đó, ta có P = + + , a = BC, b = CA c = AB a b c 0,25 Gọi G trọng tâm ∆ABC, ta có: OA.GA OB.GB OC.GC  OA.GA OB.GB OC.GC  P= + + =  + + , a.GA b.GB c.GC  a.ma b.mb c.mc  ma , mb mc tương ứng độ dài đường trung tuyến xuất phát từ A, B, C ∆ABC 0,25 Theo bất đẳng thức Cô si cho hai số thực khơng âm, ta có a.ma = 3a 2b + 2c − a 2 2 2 a + b2 + c 3a + 2b + 2c − a ≤ = 2 3 a2 + b2 + c a2 + b2 + c2 Bằng cách tương tự, ta có: b.mb ≤ c.mc ≤ 3 ( ) ( Suy P ≥ ) 3 ( OA.GA + OB.GB + OC.GC ) a + b2 + c 0,25 (1) Ta có: OA.GA + OB.GB + OC.GC ≥ OA.GA + OB.GB + OC.GC (2) OA.GA + OB.GB + OC.GC = OG + GA GA + OG + GB GB + OG + GC GC ( ) ( ( ) ( ) ) = OG GA + GB + GC + GA2 + GB + GC a2 + b2 + c2 ma + mb2 + mc2 = Từ (1), (2) (3), suy P ≥ = ( ) Hơn nữa, kiểm tra trực tiếp ta thấy P = x = Vậy P = 0,25 (3) ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI MINH HỌA - KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Mơn: TỐN CÂU Câu (2,0 điểm) ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (1,0 điểm) Tập xác định:... thị hàm số có tiệm cận đứng đường thẳng x = − tiệm cận ngang đường thẳng y = ● Sự biến thi n: - Chiều biến thi n: y' = > ∀x ∈ D ( x + 1) 0,25 Suy ra, hàm số đồng biến khoảng ( − ∞ ; − 1) ( −1;... Câu (1,0 điểm) Trên ∆, lấy điểm D cho BD = BO D, A nằm khác phía so với B Gọi E giao điểm đường thẳng KA OC; gọi F giao điểm đường thẳng KB OD Vì K tâm đường tròn bàng tiếp góc O ∆OAB nên KE phân