PHẦN I - MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Hoạt động giải tốn hoạt động mà thơng qua giải tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng pháp, hoạt động toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến Tốn học Do đòi hỏi ngƣời thầy giáo - ngƣời giữ vai trò chủ đạo hoạt động dạy học phải có phƣơng pháp dạy học thích hợp nhằm nâng cao hiệu trình nhận thức học sinh, đáp ứng yêu cầu mục tiêu dạy học Để góp phần làm đƣợc điều đó, giáo viên cần lựa chọn kiến thức bản, trọng tâm học, xây dựng hệ thống câu hỏi, tập củng cố kiến thức, đƣa học sinh vào tình có vấn đề Hình học phân mơn có tính hệ thống chặt chẽ, có tính lơgic tính trừu tƣợng hóa cao so với phân mơn khác Tốn học, nói hình học phân mơn khó mơn Tốn nhiều học sinh, đặc biệt phần hình học khơng gian lớp 11, có chƣơng “Quan hệ vng góc” Về mặt lí thuyết, định nghĩa tính chất phân mơn hình học rõ ràng, ngắn gọn, xác Tuy nhiên để làm tập học sinh lúng túng, ngộ nhận Vì cần đƣa cho học sinh tập vận dụng để giúp học sinh củng cố lí thuyết, rèn luyện kĩ năng, sáng tạo sở điều biết Vì lí mà em chọn đề tài : “Khai thác tập chủ đề “Quan hệ vng góc” (Hình học 11)” 1.2 Mục tiêu - nhiệm vụ nghiên cứu 1.2.1 Mục tiêu nghiên cứu - Nghiên cứu lí luận chung tập toán học - Nghiên cứu chủ đề quan hệ vng góc hình học khơng gian lớp 11 THPT - Khai thác tập chủ đề “Quan hệ vng góc” 1.2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lí luận nhằm xây dựng hệ thống tập phục vụ giảng dạy chƣơng " Quan hệ vng góc" hình học khơng gian lớp 11 THPT PHẦN II – NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ Sở Lí LUậN 2.1.1 Bài tập tốn học Bài tập tốn học có vai trò quan trọng mơn Tốn Điều tập có vai trò giá mang hoạt động học sinh Thơng qua giải tập, học sinh phải thực hoạt động định bao gồm nhận dạng thể định nghĩa, định lí, quy tắc hay phƣơng pháp, hoạt động Toán học phức hợp, hoạt động trí tuệ phổ biến Tốn học Hoạt động học sinh liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung phƣơng pháp dạy học, vai trò tập toán học đƣợc thể ba bình diện này: Thứ nhất, bình diện mục tiêu dạy học, tập toán học trƣờng phổ thông giá mang hoạt động mà việc thực hoạt động thể mức độ đạt mục tiêu Mặt khác, tập thể chức khác hƣớng đến việc thực mục tiêu dạy học mơn Tốn, cụ thể là: + Hình thành củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo khâu khác trình dạy học, kể kĩ ứng dụng Toán học vào thực tiễn + Phát triển lực trí tuệ: Rèn luyện hoạt động tƣ duy, hình thành phẩm chất trí tuệ + Bồi dƣỡng giới quan vật biện chứng, hình thành phẩm chất đạo đức ngƣời lao động Thứ hai, bình diện nội dung dạy học, tập Toán học giá mang hoạt động liên hệ với nội dung định, phƣơng tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho tri thức đƣợc trình bày phần lí thuyết Thứ ba, bình diện phƣơng pháp dạy học, tập toán học giá mang hoạt động để ngƣời học kiến tạo tri thức định sở thực mục tiêu dạy học khác Khai thác tốt tập nhƣ góp phần tổ chức cho học sinh học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo đƣợc thực độc lập giao lƣu Trong thực tiễn dạy học, tập sử dụng với dụng ý khác phƣơng pháp dạy học: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố kiểm tra,…Đặc biệt mặt kiểm tra, tập phƣơng tiện để đánh giá mức độ, kết dạy học, khả làm việc độc lập trình độ phát triển học sinh,… 2.1.2 Vai trò, ý nghĩa tập tốn 2.1.2.1 Củng cố kiến thức cho học sinh Trong thực tế, mơt tập tốn học chứa đựng nhiều kiến thức khái niệm toán học kết luận tốn học Khi giải tập đòi hỏi ta phải phân tích kiện tập, huy động kiến thức cho đề kiến thức biết có liên quan đến tập, tổng hợp lại để đề kiến thức Và nhƣ kiến thức đƣợc tìm lại kiến thức biết trƣớc đƣợc phân tích, tổng hợp lại để đề kiến thức Cuối đến đƣợc lời giải tập Nhƣ vậy, giải tập tốn học khơng kiến thức có tập, mà hệ thống kiến thức liên quan tới tập đƣợc củng cố qua lại nhiều lần 2.1.2.2 Rèn luyện phát triển tư cho học sinh Đặc điểm bật mơn tốn mơn khoa học suy diễn, đƣợc xây dựng phƣơng pháp tiên đề Do vậy, lời giải tập toán học hệ thống hữu hạn thao tác có thứ tự chặt chẽ để đến mục đích rõ rệt Vì giải tập có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta lực sử dụng suy luận lơgic : Suy luận có đúng, suy luận theo quy tắc suy diễn Chúng ta biết khơng có phƣơng pháp chung để giải đƣợc tập tốn học Mỗi tập có hình, vẻ khác nhau, muốn tìm đƣợc lời giải tập phải biết phân tích, phải biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ với vấn đề tƣơng tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá Nhƣ vậy, qua việc giải tập toán học, lực tƣ sáng tạo đƣợc rèn luyện phát triển 2.1.2.3 Rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức toán học cho học sinh Một yêu cầu việc nắm vững kiến thức môn khoa học hiểu, nhớ vận dụng kiến thức mơn khoa học vào việc giải nhiệm vụ đặt ra, tức giải đƣợc tập đặt lĩnh vực khoa học Trong dạy học khái niệm toán học: Bài tập toán học đƣợc sử dụng để tổ chức gây tình nhằm dẫn dắt học sinh đến định nghĩa khái niệm, tập đƣợc sử dụng để làm ví dụ phản ví dụ minh họa cho khái niệm; Bài tập toán học đƣợc sử dụng để luyện tập, củng cố, vận dụng khái niệm Trong dạy học định lý tốn học: Bài tập tốn học sử dụng để tổ chức gây tình dẫn dắt học sinh phát triển nội dung định lí tốn học; Bài tập sử dụng để học sinh tập vận dụng định lý, đặc biệt việc tổ chức hƣớng dẫn hoc sinh tập tìm lời giải cho tập bản, có nhiều ứng dụng phần hay chƣơng mơn học Trong luyện tập tốn học: Bài tập tốn học phƣơng tiện chủ yếu tiết luyện tập, ơn tập Trong đó, giáo viên phải xây dựng đƣợc hệ thống tập có liên quan chặt chẽ với nhau, nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức hình thành số kĩ 2.1.2.4 Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học Điểm tính cách ngƣời : Mọi hoạt động có mục đích rõ ràng giải tập ta ln có định hƣớng mục đích rõ rệt, việc giải tập góp phần tích cực vào việc rèn luyện lực hoạt động ngƣời Để giải tập tập khó, ngƣời giải phải vƣợt qua nhiều khó khăn, phải kiên trì, nhẫn nại nhiều phải tâm lớn giải đƣợc tập Hoạt động giải tập nhân tố chủ yếu trình hình thành phát triển nhân cách ngƣời 2.1.3 Phƣơng pháp tìm lời giải tập tốn học 2.1.3.1 Phương pháp xuôi Xuất phát từ giả thiết tập toán học đƣợc lấy làm tiền đề Bằng suy luận hợp lơgic tìm hệ lơgic tiền đề Tiếp tục chọn lọc để lấy hệ gần gũi với kết luận tập làm tiền đề Lại suy luận hợp lơgic tìm hệ hợp lôgic gần gũi với kết luận Cứ tiếp tục q trình tìm đƣợc hệ lôgic trùng với kết luận tập tốn học Khi ta tìm đƣợc lời giải cho tập Phƣơng pháp đƣợc mô tả theo sơ đồ sau: A C  X B D  (trong A,C giả thiết, X kết luận) 2.1.3.2 Phương pháp ngược Đó q trình xuất phát từ kết luận tập Bằng suy luận hợp lơgic ngƣợc lên để tìm tiền đề logic kết luận Tiếp tục, chọn lọc để lấy tiền đề gần gũi với giả thiết kết luận Quá trình đƣợc tiếp diễn ta tìm đƣợc tiền đề lôgic trùng với giả thiết tập, ta đƣợc lời giải tập Phƣơng pháp đƣợc mô tả theo sơ đồ sau: C A X    D B (trong A,C giả thiết, X kết luận) 2.1.3.3 Ví dụ Ta cần chứng minh mệnh đề sau : “ Nếu tứ diện ABCD ta có AB AC A BD ta có AD H C CD X D BC” Giải: + Dùng phƣơng pháp ngƣợc B Hình Muốn chứng minh ADBC, ta cần tìm đƣợc điểm X cho AX  BC và DX BC Nếu gọi H trực tâm tam giác ABC ta có AH BC Ta thử xem DH có vng góc với BC hay khơng? Chú ý CH AB theo giả thiết CD AB DH AB; BH AC theo gỉa thiết BD AC, DH AC Từ suy DH  BC, từ ta có mệnh đề đƣợc chứng minh + Dùng phƣơng pháp xuôi Gọi H trực tâm cửa tam giác ABC, ta có DH AC, ngồi theo giả thiết BD AC, DH AC Ta lại có CD AB theo giả thiết CD AB, DH AB DH AC DH AB nên DH BC Ta lại AH BC, AD BC + Kết hợp hai phƣơng pháp Thông thƣờng để giải đựoc tập, ta phải kết hợp hai phƣơnng pháp xuôi ngƣợc 2.1.4 Phƣơng pháp chung để giải tập toán học Dựa tƣ tƣởng tổng quát với gợi ý chi tiết Pôlya (1975) cách thức giải tập toán học đƣợc kiểm nghiệm thực tiễn, ta có phƣơng pháp chung để giải tập tốn học nhƣ sau: - Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề + Phát biểu đề dƣới dạng thức khác để hiểu rõ nội dung tập + Phân biệt cho phải tìm, phải chứng minh + Có thể dùng cơng thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề - Bƣớc 2: Cách tìm lời giải + Tìm tòi, phát cách giải nhờ suy nghĩ có tính chất tìm đốn: biến đổi cho, biến đổi phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cho phải tìm với tri thức biết, liên hệ tập cần giải với tập cũ tƣơng tự, trƣờng hợp riêng, tập tổng quát hay tập có liên quan, sử dụng phƣơng pháp đặc thù với dạng toán nhƣ chứng minh phản chứng, quy nạp tốn học, tốn dựng hình, tốn quỹ tích v.v, + Kiểm tra lời giải cách xem lại kĩ bƣớc thực đặc biệt hóa kết tìm đƣợc đối chiếu kết với số tri thức có liên quan, + Tìm tòi cách giải khác, so sánh chúng để chọn đƣợc cách giải hợp lí - Bƣớc 3: Trình bày lời giải Từ cách giải đƣợc phát hiện, xếp việc phải làm thành chƣơng trình gồm bƣớc theo trình tự thích hợp thực bƣớc - Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải + Nghiên cứu khả ứng dụng kết lời giải + Nghiên cứu giải tập tƣơng tự, mở rộng hay lật ngƣợc vấn đề Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD, SA (ABCD), ABCD hình vng, AE SB, AF  SD Chứng minh: SC (AEF) Giải: + Bƣớc 1: Tìm hiểu nội dung đề bài: Giả thiết: Cho hình chóp S.ABCD, SA mp(ABCD), ABCD hình S vng, AE SB, AF SD Kết luận: SC mp (AEF) F + Bƣớc 2: Sơ đồ phân tích tìm lời giải : D SC mp(AEF)  SC AE  AE mp(SBC)  (Giả thiết) C E SC AF  AF mp(SBC)  BC mp(SAB) A B Hình  BC AB BC SA  (Giả thiết)  SA mp(ABCD) + Bƣớc 3: Trình bày lời giải: ( Bằng phƣơng pháp chứng minh phân tích lên) Ta có : Mà AE SC (1) Hồn tồn tƣơng tự ta có SC AF (2) Từ (1) (2) ta có SC (AEF) + Bƣớc 4: Nghiên cứu sâu lời giải 2.1.5 Các cách khai thác tập toán 2.1.5.1 Cấu tạo tập toán : gồm có ba phận: - Những cho - Cái phải tìm - Các mối quan hệ Sơ đồ mối tƣơng quan ba phận tập toán ba phận phép Bài tập tính giải 2.1.5.2 Cái cho Thành phần Cái phải tìm Kết Quan hệ Các phƣơng pháp giải Ph ép tín h gi ải Khai thác tập sở tập có 2.1.5.2.1 Các tập tƣơng tự với tập giải - Sau học sinh giải xong tập, giáo viên dựa vào tập mà nghĩ tập tƣơng tự với tập vừa giải Giáo viên lập đề toán theo kiểu b Gọi M trung điểm BC MA = MC’ ( a Hình 16 ) nên M thuộc mặt phẳng trung trực  AC’ Tƣơng tự, ta chứng minh đƣợc N, P, Q, R, S có tính chất (N, P, Q, R, S lần lƣợt trung điểm CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B.) Vậy thiết diện hình lập phƣơng bị cắt  a 2 MNPQRS Dễ thấy tam giác có cạnh Từ ta tính đựoc diện tích thiết diện :  S  2 a 6 3  4 a 2   Bài tập 25/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 111: Cho hai mặt phẳng vng góc (P) (Q) có giao tuyến  Lấy A, B thuộc  lấy C  P  , D cho AC AB, BD  Q  AB AB AC BD Xác định thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng  góc với CD Tính diện tích thiết diện AB AC BD a Giải: ( Hình 17) a Gọi I trung điểm BC AI BC 59 đI qua điểm A vuông Do BD ( ABC) nên AI CD ( định lí ba đƣờng vng góc) Trong mặt phẳng (CDB) ,kẻ IJ vng góc với CD ( J CD ) mặt phẳng (AIJ) mặt phẳng D Q  thiết diện phải tìm tam giác AIJ   I Dễ thấy AIJ tam giác vuông I A Vậy S J  AI.IJ AI B J C P a Ta có AI  BC  Hình 17 a a a2 Vậy S   AIJ 2 12 Bài tập 10/Sgk Hình học 11/ Trang 114: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a gọi O tâm hình vng ABCD a Tính độ dài đoạn thẳng SO b Gọi M trung điểm đoạn SC chứng minh hai mặt phẳng (MBD) SAC vng góc với a a2 IJ CI CI S c Tính độ dài đoạn OM tính góc C M hai mặt phẳng (MBD) D (ABCD) Giải: ( Hình 18) AC BD a Ta có : a  AO   IJ DB  DBCD a CD O a 2 B A 2a2  SO a SA2  AO2  a  Hình 18 b Vì cạnh bên cạnh đáy a nên tam giác SBC SDC tam SC giác đều.M trung DM SC SC MBD; 60 điểm SC BM Mà SC SAC MBD SAC  (đpcm) a c Vì BM đƣờng cao tam giác cạnh a BM  Trong tam giác vng OMH ta có: OM  MB2  OB2  2a a 3a 4 AC BD BD SAC Lại thấy : phẳng (MBD) ; mà BD giao tuyến mặt SO AC  mặt phẳng (ABCD) nên góc MOC góc hai mặt phẳng (MBD) (ABCD) SC Trong tam giác vng OSC có : OM MS MC  2 a  MOC tam giác vuông cân M OC 45 Bài tập 24/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 111: cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SA (ABCD), SA x Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) (SDC) tạo với góc góc Giải: ( Hình 19) hai Gọi O giao điểm AC BD đƣờng thẳng Trong mặt phẳng (SAC) kẻ O O1 vng góc với SC, dễ thấy mặt phẳng (B O1 D) vng góc với SC Vậy góc hai mặt phẳng (SBC) (SDC) 61 B O1 D O1 Mặt khác O O1 BD, O O1 60 < OC mà S O1 A OC = OB nên BO O 450 D O B C Tƣơng tự 0 DO O 45 , BO D 90 tức 1 Nhƣ vậy, hai mặt phẳng (SBC) (SDC) tạo với góc  BO1 D  120 Hình 19   BO1O 60 0 60 ( v BO cân O1 ) ì 1D  BO OO1 tan 60 SA  BO OO1 Ta lại có OO1 OC sin OCO1 OC sin ACS OC SC SA 3.OC 3.SA Nhƣ BO OO1 SC SC  BO  x2  2a2  3.x x a  Vậy x = a hai mặt phẳng (SBC) (SDC) tạo với góc 60 Bài tập 34/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 118: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật AB 2a, BC a Các cạnh bên hình chóp a a Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy (ABCD) b Gọi E F lần lƣợt trung điểm cạnh AB CD; K điểm thuộc đƣờng thẳng AD Chứng minh khoảng cách hai đƣờng thẳng EF SK khơng phụ thuộc vào K, tính khoảng cách theo a Giải: ( Hình 20) a V SA SB SC ì  SD a nên hình chiếu điểm S mặt phẳng (ABCD) điểm H mà HA HB HC HD Do ABCD hình chữ nhật nên H giao điểm AC BD Khoảng cách S từ S đến mặt phẳng (ABCD) SH Ta có: J 62 F D I K C H A E B 2 AC SH SA  2 AB BC = 2a  2 2 4a a 3a = 2a  4 Tức SH a Hình 20 b Vì EF = AD nên EF // (SAD), mặt khác SK nằm mặt phẳng (SAD) nên khoảng cách EF SK khoảng cách EF mặt phẳng (SAD), khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SAD) Vậy khoảng cách EF SK không phụ thuộc vào vị trí điểm K đƣờng thẳng AD Tính d(EF; SK): Gọi O trung điểm AD, kẻ đƣờng cao HJ tam giác vng SHI HI (SAD) , d(H; (SAD)) = HJ Ta có: HJ.SI SH.HI 2 2 SI SA AI  a 2a  7a Từ HJ  SH.HI SI a 2.a a  a 21 Nhƣ vậy, khoảng cách EF SK khơng phụ thuộc vào vị trí điểm K đƣờng thẳng AD a 21 Bài tập 5/Sgk Hình học 11/ Trang 119: 63 Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ a Chứng minh B’D vng góc với mặt phẳng (BA’C’) 64 b Tính khoảng cách hai mặt phẳng (BA’C’) (ACD’) c Tính khoảng cách hai đƣờng thẳng BC’ CD’ Giải: ( Hình 21) A' B AB ' lại AD ( ABB ' A') AD A' B a Vì ABB’A’ hình vng nên thấy B C A' B ADB 'A' B DB ' (1) Do A’B’C’D’ hình vng A D A 'C ' B ' D ', DD ' ( A' B 'C ' D ') DD ' A'C ' A 'C ' (DB ' D ') A 'C ' B ' D Từ (1) (2) suy K (2) H B’ B ' D ( A'C ' B) A’ b Gọi H K lần lƣợt giao điểm B’D với mặt phẳng (BA’C’) mặt phẳng (ACD’) Ta chứng minh đƣợc ( D’ Hình 21 B ' D (BA'C ') (BA'C ') / /( ACD ') DK ( ACD ') Dễ thấy C’ B ' H (BA'C ') AC AD ' CD ' a giả sử DK ( ACD)  DK a DK  Tƣơng tự ta có cạn h DA hình DC 1 DD  ' a B'H  lập phƣơng DK 1    a 1a a2 a2  a) Mà B ' D a  HK B ' a a a 3 3 D DK a Vậy khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (BA’C’) HK a c Vì BC ' (BA'C ') CD ' ( ACD ') , bên canh ( ACD ') / / suy (BA'C ') khoảng cách từ BC’ đến CD’ khoảng cách (ACD’) (BA’C’) a 3 Bài tập 35/Sgk nâng cao Hình học 11/ Trang 118: Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC BD, AD  BC đƣờng vng góc chung AB CD đƣờng thẳng nối chung điểm AB CD Điều ngƣợc lại có khơng? Giải:  AC BD, AD BC nên tam giác ACD tam giác BDC, từ Vì hai trung tuyến tƣơng ứng AJ BJ (ở J trung điểm CD) Gọi I trung điểm AB ta có JI AB Tƣơng tự nhƣ ta có JI CD Vậy IJ đƣờng vng góc chung AB CD Điều ngƣợc lại kết luận nêu toán đúng, tức JI AB , JI  CD AC BD, AD BC Thậy vậy, JI AB , I trung điểm AB nên AJ BJ Mặt khác: CD 2 2 AC AD 2AJ  CD 2 2 BC BD 2BJ  Từ ta có 2 2 AC AD BC BD (1) : Tƣơng tự ta có : CB2 CA2 DB2 (2)  DA Từ (1) (2) ta suy AC BD 2 2 AD BC BC DA , tức DA BC từ (1) ta có PHầN III : KếT LUậN Hoạt động giải tập toán gắn liền với trình học tập, tìm hiểu tiếp thu kiến thức học sinh trình học mơn Tốn Hình học khơng gian phân mơn mang tính trừu tƣợng hố cao u cầu học sinh cần phải nắm kiến thức lí thuyết nhƣ kĩ giải tập để vận dụng vào việc giải tập Đối với hầu hết học sinh hình học khơng gian phân mơn khó, học sinh gặp nhiều khó khăn trình làm tập Việc đƣa hình học khơng gian vào chƣơng trình tốn phổ thơng khơng thể thiếu đƣợc Nó giúp cho học sinh thấy đƣợc mối quan hệ phần tử vật có hình ảnh thật Học phân mơn giúp cho học sinh phát triển trí tuệ, tƣ lơ gíc suy luận chặt chẽ có trí tƣởng tƣợng khơng gian phong phú Nhằm góp phần để đạt đƣợc mục tiêu Luận văn bƣớc đầu nghiên cứu : - Cơ sở lí luận toán, tập toán học - Nội dung kiến thức chƣơng “Quan hệ vuông góc” - Khai thác tập chƣơng “Quan hệ vng góc” Qua q trình nghiên cứu đề tài em lĩnh hội đƣợc nhiều kiến thức chƣơng trình tốn PTTH nói chung đặc biệt em đƣợc nghiên cứu quan hệ vng góc hình học khơng gian lớp 11 Trong thời gian tới sau em cố gắng để nghiên cứu sâu nội dung Do sinh viên nên kinh nghiệm giảng dạy thực tế ít, chƣa nắm bắt hết đƣợc kĩ giảng dạy ngƣời giáo viên khả nhận thức thực tế học sinh nên đề tài em khơng tránh khỏi thiếu sót Em kính mong nhận đƣợc đóng góp thầy giáo để em vững bƣớc đƣờng ngƣời giáo viên nghiệp trồng ngƣời Em xin chân thành cảm ơn ! Tài liệu tham khảo [1].Trần Thị Vân Anh - 2009 - Phƣơng pháp giải tốn tự luận hình học khơng gian - NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2].Nguyễn Mộng Hy - 2007 - Hình học 11 - NXB Giáo dục [3].Nguyễn Mộng Hy – 2009 - Bài tập hình học 11- NXB Giáo dục [4].Lê Đức Hồng – 2007 - Để học tốt hình học nâng cao 11 - NXB Hà Nội [5].Nguyễn Bá Kim; Vũ Duy Thụy – 1994 - Phƣơng pháp dạy học môn tốn NXB Giáo dục [6].Đồn Quỳnh - 2009 - Hình học 11 nâng cao - NXB Giáo dục [7].Đoàn Quỳnh – 2009 - Bài tập hình học 11 nâng cao - NXB Giáo dục [8].Phạm Đình Thực – 1999 - Phƣơng pháp sáng tác đề đề toán tiểu học - NXB Giáo dục ... có kĩ khai thác đề toán tƣơng tự với đề tốn cho mà phải khai thác tốn hồn tồn dựa số cách thức sau: + Khai thác đề tập từ nội dung thực tế định trƣớc + Khai thác đề tập từ việc ráp nối tập toán... chủ đề "Quan hệ vng góc" (Hình học 11) 2.1.6.1 Nội dung chương trình Chƣơng: Vectơ khơng gian Quan hệ vng góc khơng gian Bài Vectơ không gian ( tiết ) 21 Bài Hai đƣờng thẳng vng góc ( tiết ) Bài. .. Kết Quan hệ Các phƣơng pháp giải Ph ép tín h gi ải Khai thác tập sở tập có 2.1.5.2.1 Các tập tƣơng tự với tập giải - Sau học sinh giải xong tập, giáo viên dựa vào tập mà nghĩ tập tƣơng tự với tập