Khóa luận tốt nghiệp Vũ Thị Lịch Lớp K32DToán Khóa luận tốt nghiệp Trườngưđạiưhọcưsưưphạmưhàưnộiư2ư Khoaư:ưToán *************** Vũưthịưlịch Dànưvàưđạiưsốưboole Khóaưluậnưtốtưnghiệpưđạiưhọc Chuyênưngànhư:ưĐạiưsố Ngườiưhướngưdẫnưkhoaưhọc ThạcưsĩưHàưThịưThuưHiền hàưnộiư-2010 Vũ Thị Lịch Lớp K32DToán lời cảm ơn Trong thời gian học tập khoa Toán trờng ĐHSPHN đợc dạy dỗ, bảo tận tình thầy, cô giáo em tiếp thu đợc nhiều tri thức khoa học, kinh nghiệm phơng pháp học tập mới, bớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Trớc bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em nhận đợc giúp đỡ, động viên thầy cô bạn bè khoa Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể thầy, cô bạn khoa Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô, thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, ngời hớng dẫn tận tình để giúp em hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Lịch lời cam đoan Khóa luận em đợc hoàn thành dới hớng dẫn cô, thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền với cố gắng thân.Trong trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo tài liệu số tác giả (có nêu mục tài liệu tham khảo ) Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Lịch mục lục Phần mở đầu Trang Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phơng pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận phần nội dung Chơng Quan hệ thứ tự 1.1 nghĩa quan hệ thứ tự Định 1.2 trội trực tiếp Trội 1.3 đồ Hasse Biểu 1.4 phần tử cực trị Các 10 1.5 chặn dới Chặn 12 1.6 hệ thứ tự toàn phần Quan 12 1.7 quan hệ thứ tự Bài tập 13 Chơng Dàn 17 2.1 nghĩa dàn quan hệ thứ tự dàn Định 17 2.2 vỊ dµn Bµi tËp 19 2.3 Dµn 21 2.4 dàn Bài tập 24 2.5 cấu Đồng 25 2.6 đồng cấu Bài tập 28 Chơng Đại số Boole 30 3.1 nghĩa Đại số Boole ví dụ Định 30 3.2 Boole dàn Đại số 31 3.3 Boole Đại số 33 3.4 Đại số Boole Bài tập 34 Chơng Đồng cấu Đại số Boole hữu hạn 35 4.1 cấu Đồng 35 4.2 Boole hữu hạn Đại số 36 4.3 trận Ma 39 4.4 đồng cấu Đại số Boole hữu hạn Chơng Hàm Boole Bài tập 40 41 5.1 nghĩa hàm Boole ví dụ Định 41 5.2 Boole hàm Boole Đại số 42 5.3 thu gọn dạng tối tiểu Dạng 45 5.4 hàm Boole Bµi tËp 45 KÕt ln 48 Tµi liƯu tham khảo 49 phần mở đầu 1.Lý chọn đề tài Đại số học ngành chiếm vị trí quan trọng KH Toán học Nó góp phần thúc đẩy phát triển Toán học đại Ngày nhu cầu học hỏi sinh viên khoa Toán, thầy cô giáo dạy Toán nhiều ngời khác quan tâm đến Toán học nói chung môn Đại Số nói riêng, ngày gia tăng nhằm nâng cao hiểu biết mình.Với mong muốn tìm hiểu sâu môn này, dới góc độ sinh viên s phạm Toán phạm vi khóa luận tốt nghiệp với giúp đỡ cô giáo, thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền, em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết đề tài : Dàn Đại số Boole George Boole (1815-1864) De Morgan (1806-1871) sáng lập ngành Logic Toán ®éc lËp víi TriÕt häc Sau ®ã Boole ®· dµnh nhiều công sức cho tác phẩm chủ yếu Các định luật t xuất năm 1854, nguồn gốc đại số Boole ngày Trong đề tài này, em tập trung vào trình bày vấn đề về: Quan hƯ thø tù, Dµn (mét tiỊn cÊu tróc cđa đại số Boole), đại số Boole 2.Mục đích nghiên cứu Quá trình thực đề tài giúp em bớc đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu đại số học, đặc biệt tìm hiểu sâu Dàn đại số Boole 3.Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài đợc nghiên cứu nhằm sâu khai thác làm bật đặc trng Dàn đại số Boole 4.Phơng pháp nghiên cứu Đề tài đợc hoàn thành dựa kết hợp phơng pháp : - Nghiên cứu lý luận - Phân tích -Tổng hợp - Đánh giá 5.Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gåm ch¬ng: Ch¬ng Quan hƯ thø tù Ch¬ng Dàn Chơng Đại số Boole Chơng Đồng cấu đại số Boole hữu hạn Chơng Hàm Boole Trong suốt trình nghiên cứu đợc cô, thạc sĩ Hà Thị Thu Hiền bảo giúp đỡ tận tình em hoàn thành khóa luận Một lần cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Em mong thầy, cô giáo bạn sinh viên khoa đóng góp ý kiến để đề tài đợc hoàn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên 1 1 1 ii) f1 ( X1, X )  X1 X , f2 ( X1 , X )  X1  X , f3 ( X1 , X )  X1  X 2, f4 ( X1, X )  X  X hàm Boole có bảng chân giá trị X1 X f1 f 1 1 1 0 0 1 1 0 0 2 f f 5.2 Đại số Boole hàm Boole Trên F n ta trang bị hai phÐp to¸n ,  nh sau: ( f  g )(a)  f (a)  g(a);( f  g)(a)  f (a)  g (a), f , g  F n, a  B n Khi ®ã ta cã định lí sau đây: Định lí Cho F n tập tất hàm Boole n biến với , hai phép toán F n , ta cã: i) (F n , ,  ) lµ đại số Boole ii) Quan hệ thứ tự đại số Boole quan hệ thông thờng hàm số iii) Fn Bù f f đợc xác định f (a) f (a), a  Bn bëi: Chøng minh: Ta dƠ dµng suy chøng minh chØ cÇn lu ý r»ng: PhÇn tư lín hàm đồng 1, phần tử nhỏ hàm đồng Với f,g Fn f  g nÕu vµ chØ nÕu f  g=f hay f(a) g(a)=f(a), với a Bn điều còng cã nghÜa lµ f (a)  g (a), a B n Ta cần tìm tập nguyên tử F n Với a B n ta xÐt hµm: 1, x=a  a (x) = F n 0, x  a ThÊy  a f< a f(a)< a (a) =1 f=0, a nguyên tử F n Dễ thấy nguyên tử F điểm n hàm khác Vậy tập nguyên tư cđa F n lµ E={ n a a  B } Vì E B n nên ta cã hƯ qu¶ sau: n n HƯ qu¶ Số phần tử tập hàm Boole n biến Định nghĩa Các nguyên tử đại số Boole F n hàm Boole đợc gọi từ tối tiểu F n Nh hệ định lí Stone, ta có định lí sau: Định lí Mỗi hàm Boole f đợc viết dới dạng f= T1  T2   Tl ,T1 ,T2 , ,Tl tất từ tối tiểu đợc trội f Sự phân tích không kể đến thứ tự Ta thấy rằng: Nếu a nguyên tử, hay gọi từ tối a f  g tiĨu, th× tõ ta sÏ rót hai hàm a , hàm lại phải là a hàm Điều có a phân tích thành tuyển hàm thực nghĩa Vấn đề lại ta cần dạng tích hàm mà viết a Nhận xét rằng: Hàm Boole n biÕn cã d¹ng f(X) víi X   X1 , X , , X n  , X i biến độc lập B Xét hµm i , i ( X )  X i , i  1, n; i , i ( X )  X i  1 X i n  i: B  B (x1, x2 , , xn ) xi Ta gọi Xi ; từ Xi từ đơn, thấy F n có tất 2n từ đơn Định lí Mỗi từ tèi tiĨu  a  b1b2 bn ®ã:  a , a  a1 , a2 , , an Bn đợc viết dới dạng: Xi ,  , i=1,2,…,n bi  Xi ,  Chøng minh: NhËn xÐt r»ng: X i (a)   1, bi  X i bi (a)  X i (a)   1 , bi  X i nh vËy b i (a)=1 Do ®ã  b1, b2 , , bn  (a)=1 B©y giê gi¶ sư c  (c1, c2 , , cn )  a  (a1 , a2 , , an ), i :  ci Khi ®ã ta cã: X i (c)  ci  0, bi  X i bi (c)  Xi (c)  ci  0, bi  X i Tãm l¹i b i (c) =0 VËy lµ: (b1 , b2 , , bn )(c)  Tõ chøng minh trªn ta  a  b1b2 bn rót NÕu c¸c  i  B th× ta kÝ hiƯu: Xi , i  X i = i Xi , i  Khi ta có định lí sau đây: Định lí Mỗi f Fn viết đợc dới dạng f=  X  (*) 1 X X  n n 5.3 Dạng thu gọn dạng tối tiểu Ta biết hàm Boole đa thức biến Boole, tạo nên phép toán: , ,- (tích, tuyển, phủ định) Tên gọi :  lµ cỉng OR  lµ cỉng AND - cổng NOT Các vấn đề đặt là: (1)Hãy tìm cách biểu diễn (*) với cổng OR (gọi dạng chuẩn tắc thu gọn) (2)Hãy tìm dạng (*) cho cổng OR AND Các vấn đề đợc giải thuật toán: KARNAUGH, Quine-McCluskey mà ta tham khảo nhiều sách toán rời rạc 5.4 Bài tập Bài Chứng minh r»ng mét hµm Boole biÕn f ( X , X , X )  X1 X  X1 X  X nhËn gi¸ trị X3 ba biến nhận giá trị ? hai Giải (  ) Gi¶ sư f ( X , X , X )  X1 X  X1 X X X3 nhận giá trị Dùng phơng pháp phản chứng: Giả sử ngợc lại, hai ba biến nhận giá trị Không giảm tổng quát ta giả sử : X1 0, X   X1 X  0; X1 X  0; X X   f ( X1 , X , X )  X X  X1 X  X X    Điều giả sử sai Vậy Ýt nhÊt hai ba biÕn X1 , X , X nhận giá trị ( ) Giả sử hai ba biến nhận giá trị + Nếu có hai biến nhận giá trị không giảm tổng quát ta giả sử : X1  1, X  1, X   X1 X  1, X1 X  0, X X   f ( X1 , X , X )  X X  X X  X X  1   + Nếu ba biến nhận giá trị tøc lµ: X1  X  X  th× ta cã: f ( X , X , X )  X1 X  X X  X X =1 VËy mét hµm Boole ba biÕn f ( X1, X , X )  X1 X  X1 X X X3 nhận giá trị vµ chØ Ýt nhÊt hai ba biến nhận giá trị Bài Trong F n tìm hàm có trội trực tiếp hàm ? Hãy biểu diễn hàm qua X1, X , , biÕn ? Xn Gi¶ i ? Hãy cho kết đối ngẫu định lí Ta biết rằng, F n tập tất hàm Boole n biến từ nên hàm Boole nµy lµ B  B , mµ n B={0,1} hàm f đồng Khi đó, hµm cã tréi trùc tiÕp lµ hµm lµ hµm ®ång nhÊt Do ®ã, ta cã thĨ biĨu diƠn hàm f đồng Các hàm đợc biểu diÔn nh sau: f ( X1, X , , X n )  X1 X  X X   X1 X n Theo định lí Mỗi f Fn viết đợc dới d¹ng  2 f   X 1X Do đó, kết đối ngẫu định lí là: Mỗi f Fn viết đợc dới d¹ng :  2 f   X 1X .X n n  .X n n KÕt luận Khóa luận Dàn đại số Boole nghiên cứu tổng quan vấn đề: + Quan hƯ thø tù + Dµn (mét tiỊn cÊu tróc cđa đại số Boole) + Đại số Boole Qua khóa luận thân em không đợc lĩnh hội thêm tri thức Đại số học mà có đợc hiểu biết định nghiên cứu khoa học Việc nghiên cứu sâu Dàn đại số Boole góp phần bổ sung thêm kết quan trọng vào lí thuyết Đại số học, môn có tầm quan trọng Toán học lí thuyết Toán học ứng dụng Do thời gian nghiên cứu có hạn khả thân hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót định Vì em mong đợc đóng góp ý kiến thầy, cô giáo bạn sinh viên khoa để đề tài đợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Vũ Thị Lịch Tài liệu tham khảo 1.Bùi Huy Hiền (1996), Bài tập đại số đại cơng, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội 2.Hoàng Xuân Sính (1972), Đại số đại cơng, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội 3.Dơng Quốc Việt (2008), Một số cấu trúc đại số đại, Nhà xuất ĐHSP, Hà Nội ... 3.2 Boole dàn Đại số 31 3.3 Boole Đại số 33 3.4 Đại số Boole Bài tập 34 Chơng Đồng cấu Đại số Boole hữu hạn 35 4.1 cấu Đồng 35 4.2 Boole hữu hạn Đại số 36 4.3 trận Ma 39 4.4 đồng cấu Đại số Boole. .. Chơng Dàn 17 2.1 nghĩa dàn quan hệ thứ tự dàn Định 17 2.2 vỊ dµn Bµi tËp 19 2.3 Dµn 21 2.4 dàn Bài tập 24 2.5 cấu Đồng 25 2.6 đồng cấu Bài tập 28 Chơng Đại số Boole 30 3.1 nghĩa Đại số Boole. .. xuất năm 1854, nguồn gốc đại số Boole ngày Trong đề tài này, em tập trung vào trình bày vấn đề về: Quan hƯ thø tù, Dµn (mét tiỊn cÊu tróc cđa đại số Boole) , đại số Boole 2.Mục đích nghiên cứu