LỜI NĨI ĐẦU Khóa luận trình bày vấn đề ánh xạ Gauss ứng dụng Ứng dụng ánh xạ để nghiên cứu độ cong đa tạp hai chiều E độ cong chính, độ cong trung bình, độ cong Gauss, độ cong đường đặc biệt đa tạp hai chiều Nội dung khóa luận gồm: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Không gian Euclit n chiều số định nghĩa Đa tạp định hướng không gian E n Chương II: Ánh xạ Gauss ứng dụng Ánh xạ Gauss Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss Các vấn đề liên quan đến ánh xạ tiếp xúc ánh xạ Gauss Một số đường đặc biệt mặt Mặt kẻ mặt cực tiểu E Kết luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn cơng lao dạy dỗ thầy cô giáo, đặc biệt hướng dẫn tận tình Thầy giáo- Phó giáo sư- Tiến sĩ Nguyễn Năng Tâm giúp em hồn thành khóa luận Hà Nội, ngày tháng Sinh viên thực Hoàng Thị Thanh Hằng năm MỤC LỤC Nội dung Trang Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1 Không gian Ơclit n chiều số định nghĩa 1.1 Định nghĩa 1.2 Hệ tọa độ trực chuẩn không gian E n 1.3 Tọa độ vectơ, điểm hệ tọa độ trực chuẩn E Đa tạp hai chiều định hướng không gian E n 2.1 Đa tạp hai chiều 2.2 Dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều E 2.3 Tiếp diện pháp tuyến đa tạp hai chiều điểm khơng kì dị n 2.4 Trường vectơ tiếp xúc đa tạp hai chiều E 2.5 Hướng đa tạp hai chiều E n 2.6 Tiêu chuẩn định hướng 2.7 Ánh xạ khả vi hai đa tạp hai chiều E n Chương ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG Ánh xạ Gauss 1.1 Định nghĩa 1.2 Ảnh số đa tạp hai chiều qua ánh xạ Gauss Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss 2.1 Định nghĩa 2.2 Tính chất Ánh xạ tiếp xúc ánh xạ Gauss vấn đề độ cong địa phương đa tạp hai chiều E 3.1.Độ cong chính, phương đa tạp hai chiều S p 6 3.2.Độ cong Gauss độ cong trung bình đa tạp hai chiều S 3.3.Các định nghĩa 3.4.Ví dụ 3.5 Định nghĩa 3.6 Dạng thứ hai đa tạp hai chiều E 3.7 Định lí 10 3.8.Độ cong pháp dạng công thức Ơle, công thức Meusnier 10 Một số đường đặc biệt mặt 12 4.1 Đường khúc 12 4.2 Đường tiệm cận 13 4.3 Cung trắc địa 14 4.4.Liên hệ đường đặc biệt đa tạp hai chiều 16 Giới thiệu mặt kẻ mặt cực tiểu E 16 5.1 Mặt kẻ 16 5.2 Mặt cực tiểu 18 Kết luận 19 Tài liệu tham khảo 20 CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trước tìm hiểu ánh xạ Gauss ứng dụng nó, cần phải nắm số kiến thức Chương nhắc lại số kiến thức n Không gian Ơclit n chiều E số định nghĩa 1.1 Định nghĩa n Không gian Ơclit n chiều E không gian afin liên kết với không gian  n vectơ Ơclit n chiều Ε n Hệ tọa độ trực chuẩn không gian Ơclit E      n Trong E ,tích vơ hướng hai phần tử x, y  kí hiệu x.y Εn      tính theo cơng thức x = x.x x, y Chuẩn phần x  tử  En n n Trong khơng gian E , chọn điểm O Trong không gian Ε , chọn      0 i j  hệ vectơ trực chuẩn {e1 , e2 , ,en } tức ei ej  ei =1 với 1 i=j 1.2 n    i=1, n Khi đó, tập {Ο, e1 ,e , ,en } gọi hệ tọa độ trực chuẩn E Đặc biệt, n =2, n=3 tọa độ gọi hệ tọa độ Đềcác vng góc viết Oxy Oxyz n Tọa độ vectơ, điểm hệ tọa độ trực chuẩn E    n Trong E , cho hệ tọa độ trực chuẩn {Ο, e1 ,e , ,en }   1.3.1 Vớ x Ε n , tồn số (x1, x2, (xi  , cho i=1,n) i …,xn) n    x  x i ei , số (x1, x2,…,xn) gọi hệ tọa tọa độ x 1.3 i=1  độ trực chuẩn chọn Viết  x=(x1 , x2 , ,xn x(x1 , x2 , ,xn ) ) 1.3.2   n n ΟΡΕ Trong hệ tọa độ trực chuẩn E n Với Ρ Ε , chọn giả sử  ΟΡ=(x1 , x , ,xn ) Khi này, ta gọi số (x1, x2,…,xn) tọa độ  điểm P, viết P(x1, x2,…,xn) P=(x1, x2,…,xn) n n n Với Μ,ΝΕ , Μ(x ,x , ,y ), Ν(y , y , ,y ) , tọa độ MN   1 2 n n ΜΝ=(y  x , y x , x ) , y 2.1 n (yi x i )  i=1 Đa tạp hai chiều định hƣớng không gian E Đa tạp hai chiều E n Trong E , cho tập S   Tập S gọi đa tạp hai chiều n E (đơn giản gọi mặt) với pS n có lân cận mở V p E cho V S mảnh hình học Mỗi tham số hố mảnh hình học gọi tham số hóa địa phương S 2.2 Dấu hiệu nhận biết đa tạp hai chiều E 2.2.1 3 n Trong E , cho hệ tọa độ afin (x , x ,…,x ), tập S   Tập n S đa tạp hai chiều E với pS có lân cận V p E hàm số khả vi  hạng  φ (x , x , x ); x y   φ :V R, (x , x , x ) cho x V  φ(x ,x ,x ) đặt φ φ (x , x , x ); (x , x , x )  z  1 φ(p) = a V S = φ (a) Điểm pS , p(x , x , x ) làm cho φ φ φ (x , x , x )= (x , x , x )  (x , gọi điểm kì dị x2 , x ) 0 x y z S 2.2.2 3 Trong E , cho tập S  , tọa độ afin (x , x , x ) Tập S gọi đa tạp hai chiều E với pS có lân cận mở S mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị, cần đổi số tọa độ afin để tham số hóa có dạng 2 n (x , x )  r(x , x )= (x , x ,φ (x , x ), ,φ (x , x )) 2.3 Tiếp diện pháp tuyến đa tạp hai chiều điểm khơng kì dị Trong E , cho đa tạp hai chiều S Tại pS , chọn tham số hóa địa phương   S r: U S, (u,v)  r(u,v) ru' , rv' chúng độc lập Khi đó, tồn tuyến tính Tiếp diện đa tạp S p=r(u,v) 2-phẳng qua r(u,v) có   ' ' không gian vectơ phương ru , rv  Đặc biệt, E tiếp diện mặt phẳng tiếp xúc; đường thẳng qua r(u,v) vuông góc với mặt phẳng tiếp xúc r(u, v) gọi pháp tuyến S p 2.4 Trƣờng vectơ tiếp xúc đa tạp hai chiều E n    n đặt Tp E {(p,α); αΕ } n n Trong E cho đa tạp hai chiều S, pS n gọi không gian vectơ tiếp xúc E p   Với pS TpS {(p, α); α không gian vectơ phương , đặt tiếp diện S p}, TpS gọi không gian vectơ tiếp xúc S p Ánh n xạ Χ: S T E , p X(p) T S gọi trường vectơ tiếp p p xúc S p Khi X  p  ta gọi ánh xạ X trường vectơ pháp tuyến S, lúc T pS  Χ(p) 1 X gọi trường vectơ pháp tuyến đơn vị S Đặc biệt E , S có tham số hóa địa phương    p u  v r: U S, (u,v)  r(u,v) , p = r(u, v), ' ' T S {(p,α) | αr (u, v), r (u, v)}, vectơ pháp tuyến đơn vị S tương thích với tham số hóa r p   xác định n(p) = (n  r)(u, v)  r(u, v);    ' '  r ×r    (u, v) Lúc ta nhận u v  ' ' ru ×rv   ánh xạ khả vi n: S T En , p  n(p), ta gọi ánh xạ trường vectơ pháp p tuyến đơn vị S 2.5 Hƣớng đa tạp hai chiều E n n Cho đa tạp hai chiều S E Giả sử không gian vectơ tiếp xúc TpS S lấy sở (ap, bp) cho tồn tham số hóa địa p thỏa mãn: với u,vV, p = r (u, v) phương r: U S ' hai sở ' {ru , rv} {a p , b p} hướng Khi ta nói S định hướng Kí hiệu Dp hướng TpS xác định sở (ap, bp) Khi S định hướng ta gọi họ D={Dp} hướng S Tham số hóa địa phương S r: U S gọi tham số hóa tương thích với hướng D 2.6 Tiêu chuẩn định hƣớng đƣợc n 2.6.1 Trong E , đa tạp hai chiều định hướng S có họ tham số hóa địa phương { ri : Ui S } S cho S r(Ui )  i ri (Ui ) rj (Uj ) thì điểm chung giao hai tham số hóa địa phương ri rj tương đương bảo tồn hướng 2.6.2 Đa tạp hai chiều S E định hướng S có    trường vectơ pháp tuyến n : S liên tục n(p) p thuộc  0 S En 2.7 Ánh xạ khả vi hai đa tạp hai chiều E n 2.7.1 Định nghĩa h: n Trong E , cho hai đa tạp hai chiều S1 S2 ánh xạ S S Ánh xạ h khả vi h liên tục với tham số hóa địa phương quy nên k(s) 0 N(s).(n  ρ) (s)=0 N(s) (n  ρ)(s) Ta lại có (n  ρ)(s) T(s) , (n  ρ)(s) phương với B(s), hai vectơ trường vectơ đơn vị nên (n  ρ)(s) = ±B(s) hay B(s) trường vectơ song song B’(s)=0 với s hay τ(s).N(s)=0  τ(s)=0 độ xoắn cung ρ cung phẳng thuộc vào tiếp diện S p Ngược lại, cung ρ nằm trêm mặt phẳng tiếp xúc với S dọc ρ (n  ρ)(s)=const (n  ρ)'(s)=0 h(ρ'(s))=0 hay h(ρ'(s)) ρ'(s) k (ρ'(s))=0 Nói cách khác ρ vừa đường khúc vừa đường tiệm cận b) Giả sử ρ vừa đường khúc vừa đường tiền trắc địa, h(ρ'(s)) ρ'(s) kg(s)=0 Tương đương với (n  ρ)' T(s) (T(s)×N(s))(n  ρ)(s)=0 suy B(s) (n  ρ)(s) Lại có T(s) (n  ρ)(s) Do (n  ρ) (s) phương với N(s)=B(s)×T(s) Vì n N hai vectơ đơn vị nên (n  ρ)(s)=N(s) (1), (n  ρ)'(s)T(s) nên N'(s) T(s) hay ( k.T+ τB)(s) T(s) , điều chứng tỏ τ=0 hay cung ρ cung phẳng Nếu gọi P mặt phẳng chứa ρ phương N(s) nằm phương mặt phẳng P, lại (1) nên (n  ρ)(s) nằm phương mặt phẳng P, mặt phẳng P trực giao với S dọc ρ Ngược lại, ρ nằm mặt phẳng trực giao với S dọc ρ ρ cung phẳng độ xoắn 0, hay τ=0, (n  ρ) (s) nên (n  ρ) (s) nằm P phương với N(s ) Do chúng vectơ đơn vị nên ta có (n  ρ)(s) = ±N(s) , từ suy (n  ρ)(s).B(s) = Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức ta có (n  ρ)'(s).B(s)+(n  ρ)(s).B'(s) = Tương đương với (n  ρ)'(s).B(s) (n  ρ)(s).τ(s).N(s)= Kết hợp với τ(s)=0 (n  ρ)'(s).B(s) = hay (n  ρ)'(s) B(s) (*) Mặt khác lại (n  ρ)(s) =1 (n  ρ)(s)(n  ρ)'(s)=0 (n  ρ)(s) (n  ρ)'(s) N(s) (n  ρ)'(s) (**) Từ (*) (**) ta có (n  ρ)'(s) T(s) hay (n  ρ)'(s) ρ'(s) hay h(ρ'(s)) ρ'(s) nên ρ đường khúc Ta lại có độ cong trắc địa kg (s) = (T×N)(n  ρ)(s) = (do (n  ρ)(s)  N(s)) ρ đường tiền trắc địa nên c) Giả sử ρ vừa đường tiệm cận, vừa đường tiền trắc địa S Khi k (ρ'(s))=0 h(ρ'(s)).ρ'(s) = (1) kg (s)=0 (T(s)×N(s))(n  ρ)(s)=0 (2) Từ (2) suy B(s) (n  ρ)(s) , (n  ρ)(s) T(s), N(s) Khi tồn a, cho (n  ρ)(s) = a.T(s)+b.N(s) b  * (n  ρ)'(s) = a.T'(s)+b.( k(s).T(s)+τ(s).B(s)) = a.T'(s) b.k(s).T(s)+b.τ(s).B(s) (3) Từ (1) suy (n  ρ)'(s) T(s) Nhân hai vế (3) với T(s) ta có – b.k(s)=0 Do b 0 nên k(s) =0 Cung song quy E có độ cong cung thẳng Có thể nói ρ nằm đường thẳng Giới thiệu mặt kẻ mặt cực tiểu E 5.1 Mặt kẻ 5.1.1 Định nghĩa Trong E , xét cung quy γ xác định tham số hóa      ρ: J E , u  ρ(u) A : J E3 , u  A(u) ,hàm vectơ (A(u) 0 u J) Xét tập mở U   U={(u, v); u J} với uJ tập {v  , (u, v) U} khoảng   3 Mảnh E xác định r: U E , r(u, v) = ρ(u)+v.A(u) gọi mảnh mặt kẻ E Cung ρ gọi đường chuẩn mặt kẻ Các đường tọa độ u = u0 (không đổi ) gọi đường thẳng sinh mặt kẻ 5.1.2 Ví dụ Mặt phẳng mặt kẻ    Mặt trụ mặt kẻ trường hợp coi A(u) = α0 với uJ  Lúc này, mặt trụ có phương trình tham số r(u, v) = ρ(u)+ v.α , điểm kì dị   mảnh mặt trụ điểm r(u, v) mà ρ'(u) có phương α Mặt nón đỉnh O mảnh mặt kẻ trường hợp đường thẳng sinh   qua điểm O cố định, Oρ(J) , lúc ta coi A(u) = Oρ(u) Mặt tiếp tuyến của cung ρ mặt kẻ đường thẳng sinh   tiếp tuyến đường chuẩn, hay A(u) = ρ'(u) , phương trình tham số  mặt tiếp tuyến r(u, v) = ρ(u)+v.ρ'(u) Các điểm (u, v) mà v =0 điểm kì dị mặt tiếp tuyến r Mặt đinh ốc đứng mặt kẻ có tham số hóa hệ tọa độ trực chuẩn E r: R E , (u, v)  (v.cosu, v.sin u, bu) (b 0) Các đường tọa độ v=v0 v0 0là đường đinh ốc tròn mặt đinh ốc đứng 5.1.3 Đường thắt mặt kẻ a) Định nghĩa Trong E , cho mặt kẻ có phương trình tham số r: U  r(u, v) = ρ(u) +v.A(u) E , β(u) = ρ(u)  φ(u).A(u)    A 1 Khi đó, cung   φ(u) = ρ'(u).A'(u)  gọi đường thắt A (u) mặt kẻ Mỗi điểm β gọi điểm trung tâm mặt kẻ b) Tính chất + Đường thắt β nằm mặt kẻ       +β'.A' = (u) Thật : ta có β'(u)=ρ'(u) φ'(u).A(u)  φ(u).A'(u)              ρ'.A' β'.A' = ρ'.A' φ'.A.A' A.A'=0 φ(u) =  φ.A'.A' 0 A2 +Đường thắt không phụ thuộc vào đường chuẩn +Các điểm kì dị mặt kẻ nằm đường thắt +Tại điểm quy, độ cong Gauss K  p 0 Độ cong Gauss K(p)=0 dọc theo đường sinh qua điểm kì dị đường thắt 5.1.4 Mặt khả triển Trong E , cho mặt kẻ có phương trình tham số  r: U E , r(u, v) = ρ(u)+v.A(u) Mặt kẻ gọi mặt khả triển    det (A, A', ρ') = nói cách khác mặt kẻ mặt khả triển tiếp diện mặt điểm đường thẳng sinh tùy ý S luôn trùng Tại điểm quy mặt khả triển độ cong Gauss K(p)=0, điều điểm quy trường vectơ pháp tuyến nên ánh xạ Weingarten điểm quy 0, K(p)=0 5.2 Mặt cực tiểu 5.2.1 Định nghĩa Trong E , cho đa tạp hai chiều định hướng (mặt ) S Mặt S gọi mặt cực tiểu độ cong trung bình điểm 5.2.2 Ví dụ a) Mặt cực tiểu Enneper Trong E với hệ tọa độ Đề vng góc, mặt cực tiểu Enneper có phương trình tham số :  2 r(u,v) = u u + uv2 ; v v3 + u v; u v    3    ' 2 Theo ta tính đại lượng ru (u,v)=(1 u + v ; 2uv; 2u) ' 2 rv (u,v) = ( 2uv, v +u ; 2v) , hai vectơ độc lập tuyến tính với (u,v) Định hướng mặt trường vectơ pháp tuyến đơn vị ' '  r ×r n = u v Từ ta tính hệ số dạng I II r' ×r ' uv 2 E = (u +v +1) ; F = 0; G = E   " rvv" (u, v) = ruv (u, v) = (2v, 2u, (2u, 0) ,  (u, v) = ( 2u, 2v, 2) , ruu" 2v, 2) từ ta có 4(u2 +v2 )(u2 +v2 +1)+2.(1 (u2 +v2 ) )L= , ms M = 0, N L với 2 2 2 2 ms= (u +v +1) (4u +4v )+[1(u +v ) ] Như tính độ cong trung bình H(p) với p = r(u,v) S dựa vào công thức H(p) = EN+GL 2.FM (EG F( u, ) v) = b) Mặt cực tiểu Scherk Trong E , chọn hệ tọa độ Đề vng góc Oxyz, mặt xác định phương trình ẩn ez.cosx = cosy (cosx.cosy>0) mặt cực tiểu Scherk Chứng minh Trên tập cosx.cosy>0 mặt xác định phương trình ẩn đa tạp hai chiều Thật vậy, đặt φ(x,y,z) = ez.cosx cosy Khi xét φ  z z  (e sinx; sin y; e cos x) Do điều kiện cosx  φ cosy>0 nên φ   y ; z ;x φ    =1 Như vậy,    φ với φ (x, y, z) thuộc tập rank  y ; z  ; x   điểm (x, y, z) x, y, z  {(x, y, x)| cosx.cosy>0} có lân cận mảnh hình học Do S đa tạp hai chiều E Đa tạp hai chiều có độ cong trung bình điểm Thật vậy, z tập {(x, y, x)| cosx.cosy>0} từ e cosx cosy=0 ta suy cosy hay z e = cosx cosy Khi mặt nhận tham số hóa kiểu đồ thị z xác định z = ln cosx cosy  cosy r(x, y) = (x, y, ln ) Khi r(x,y) = (x, y, ln ) cosx cosx   ' ' rx (x, y) = (1; 0; tanx) ry (x, y) = (0; 1; tany) Trường vectơ pháp tuyến đơn vị định hướng mặt Scherk sau : ' '  rx ×ry   (n  r)(x, (t anx; tan y; 1)  tan x y)= ' ' rx ×ry  tan y Ta tính    '' '' '' rxx (x,y) = (0;0;1+tan x), ryy (x, y) = (0;0;0) ,r xy (x, y)= (0;0;(1+tan y)) Từ tính hệ số dạng I II sau : E= 1+ tan x, F= tanx.tany, G=1+ tan2 y  1+tan x L= , M= 0, N= 1+tan2x+tan2 y (1+tan y) 1+tan2x+tan2 y Từ dễ dàng kiểm chứng độ cong trung bình mặt S điểm KẾT LUẬN Khóa luận trình bày ứng dụng ánh xạ Gauss việc nghiên cứu độ cong địa phương đa tạp hai chiều E , tìm hiểu mối liên hệ độ cong địa phương đường đặc biệt đa tạp hai chiều E Đây cố gắng tìm hiểu thân em dựa việc tìm hiểu số sách tham khảo Đặc biệt, hồn thành khóa luận này, em hướng dẫn tận tình thầy giáo- phó giáo sư- tiến sĩ Nguyễn Năng Tâm Em xin chân thành cảm ơn ! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phạm Bình Đơ (2010), Hình Học Vi Phân, NXB Đại học Sư Phạm [2] Đồn Quỳnh (2000), Hình Học Vi Phân, NXB GD, Hà Nội [3] Đoàn Quỳnh (chủ biên), Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang (1993), Bài tập hình học vi phân, NXB GD ... hướng 2.7 Ánh xạ khả vi hai đa tạp hai chiều E n Chương ÁNH XẠ GAUSS VÀ ỨNG DỤNG Ánh xạ Gauss 1.1 Định nghĩa 1.2 Ảnh số đa tạp hai chiều qua ánh xạ Gauss Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss 2.1... 2 a +u   uo mặt đinh ốc ứng mặt cầu S không kể hai điểm cực lấy vô số lần Sau đây, tìm hiểu ứng dụng ánh xạ Gauss, ánh xạ tiếp xúc Ánh xạ ánh xạ đạo hàm ánh xạ Gauss lân cận điểm đa tạp hai... chiều E Ánh xạ tiếp xúc với ánh xạ Gauss 2.1 Định nghĩa Trong E , cho đa tạp hai chiều S định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị n, ánh xạ Gauss S g Ánh xạ tiếp xúc ánh xạ Gauss ánh xạ T g :