Giáo án giải tích 12 TÍCH PHÂN I Mục tiêu: - Kiến thức:1 Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong; định nghĩa tích phân Tính chất tích phân Các phương pháp tính tích phân ( đổi biến số, tích phân phần ) - Kỹ năng: Nắm định nghĩa tích phân, vận dụng thành thạo tính chất và hai phương pháp tính tích phân Hiểu ý nghĩa hình học tích phân - Thái đơ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo hướng dẫn Gv, động, sáng tạo trình tiếp cận tri thức mới, thấy nhu cầu cần học tích phân - Tư duy: Hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trình suy nghĩ II Phương pháp: Đàm thoại gợi mở,đan xen hoạt động nhóm III Chuẩn bị của GV và HS IV Nôi dung và tiến trình lên lớp: NỘI DUNG I KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN Diện tích hình thang cong: 5O5 Cho hs tiến hành hoạt động sgk x HOẠT ĐỘNG CỦA HS Hoạt động1: tiếp cận khái niệm tích phân Hãy nhắc lại cơng thức tính diện tích hình thang yy O HOẠT DỘNG CỦA GV TG 20’ Sh thang = (Đ + đ).h Thảo luận nhóm để tính diện tích S hình T t = Độ dài đáy lớn f(5) Độ dài đáy nhỏ f(1) Giáo án giải tích 12 Chiếu cao – = + Tính diện tích S(t) hình T t  [1; 5] Để c/m S(t) là nguyên hàm f(t) cần làm ? Cần c/m S’(t) = f(t) y = f(x) = 2x +1 f(1) = ; f(5) = 11 S   f (5)  f (1) (5  1) 28 S(t) = t2 + t – ;t  [1; 5] S’(t) = 2t + Nên S(t) là nguyên hàm f(t) = 2t + S  S (5)  S (1) 28  28 Định nghĩa hình thang cong: “Cho hàm số y = f(x) liên tục, không đổi dấu đoạn [a ; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a ; x = b gọi là hình thang cong (H47a, SGK, trang 102)” Định nghĩa tích phân : Giới thiệu với Hs nội dung định nghĩa thang cong Gv giới thiệu cho Hs vd (SGK, trang 102 , 103, 104) để Hs hiểu rõ việc tính diện tích hình thang cong Nắm định nghĩa hình thang cong Định nghĩa tích phân : 20’ Hoạt động : Cho HS tiến hành HĐ2 sgk  Định nghĩa tích phân Ta còn kí hiệu b F ( x) a F (b)  F (a) Thảo luận nhóm để chứng minh F(b) – F(a) = G(b) – G(a) Ví F(x) và G(x) là hai nguyên hàm f(x)  F ( x )  G ( x ) C  F (b )  F (a ) (G (b )  C )  (G (a )  C ) G (b )  G (a ) Giáo án giải tích 12 “Cho f(x) là hàm số liên tục đoạn [a; b] Giả sử F(x) là nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] Hiệu số F(b) – F(a) gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [a; b]) hàm số f(x), ký hiệu: b f ( x) dx � a Vậy: b f ( x)dx F ( x) b a F (b)  F (a ) a Chú ý: a = b a > b: ta qui ước : a b a a a b f ( x) dx  0; � f ( x) dx   � f ( x ) dx � 2 Hãy tính 3 x dx ; t dt Tính 3 x dx ; 2 3 VD2: a) 3 x dx  x 2  7  3 x e dx ; t dt t d t b) e t dt l nt e ln e  ln 1  1 Nhận xét: Giới thiệu nhận xét sgk b + f ( x ) dx � phụ thuộc vào 20’ a hàm f, cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t + Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm đoạn [a; b] Hãy cho biết ý nghĩa hình học tích phân Giáo án giải tích 12 b f ( x) dx � là diện tích S hình a thang giới hạn đồ thị f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b (H 47a, trang 102) II CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN + Tính chất 1: b b a a Rút nhận xét kf ( x) dx  k � f ( x) dx � Giới thiệu tính chất 1, 2, sgk + Tính chất 2: b b b a a a 20’ [f ( x) �g ( x)] dx  � f ( x) dx �� g ( x) dx � + Tính chất 3: b c b a a c f ( x) dx  � f ( x ) dx  � f ( x ) dx (a  c  b) � HĐ3: T/C1: b kf ( x )dx kF ( x ) b a Ghi nhận tính chất 1, 2, kF (b )  kF (a ) Hoạt động : a Hãy chứng minh tính k[ F (b )  F (a )] kF ( x ) a k f ( x )dxchất 1, b b a   VD3: tính x  x dx , Kết : 35 VD4: tính Tiến hành HĐ3 Giáo án giải tích 12 2  2  cos x dx  sin x dx 2 Giới thiệu vd3 Giới thiệu vd4 = sin x dx 2     sin x dx  sin x dx     0     sin xdx   0 2  = -= sin x dx     III PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số: a) Phương pháp đổi biến số dạng Định lí (sgk) – cos2x =? Hãy cho biết dấu hàm số y = sinx /[0; 2 ] Từ định nghĩa giá trị tuyệt  a , nêìna 0  - a, nêìua 0 đối a  Hãy bỏ dấutri tuyệt đối sin x f ( x )dx a  Đặt x =  ( t )  dx  ' ( t )dt  Khi x = a  t =  x = b t =   b  f ( x )dx f  (t ) ' (t )dt a 1 dx VD5 Tính   x + Đặt x tan t , -    t   dx  dt 2 cos t + x =  t = Tiến hành giải VD4 – cos2x = 2sin2x x sinx +  2 -0 Vậy  sin x , nêìu0 x  sin x   - sinx, nêìu x 2 b Quy tắc tính Tiến hành giải VD3 Giới thiệu định lí sgk trang 108 Giải thích định lí Hướng dẫn rút quy tắc tính tích phân bằng đổi biến Đọc , hiểu định lí Nghe hiểu nhiệm vụ , cùng gv tìm quy tắc tính tích phân Giáo án giải tích 12 x =1  t =   1  x  dt  dx    dt  2  tan x cos t (2 x  1) dx HĐ4 : a) �  Đưa ví dụ   4 x  x  dx Ta có + tan2t =  4x3  13   x  x    0 cos t nên đặt x tan t Hãy áp dụng quy tắc giải vd5 Giải vd5 theo gợi ý giáo viên b) u = 2x +  du 2dx (2x + 1)2dx = u du c) u(0)=1, u(1) = 3 u3 I= u dx  21  13 b) Phương pháp đổi biến số dạng b Quy tắc tính f ( x )dx a  Đặt t = v(x)  dt = v’(x)dx  x = a  t = v(a) x = b  t = v(b) b  v(b) f ( x )dx  g(t )dt a v(a ) Hoạt động :Cho (2 x  1) dx I= � a/ Hãy tính I bằng cách khai triển (2x + 1)2 b/ Đặt u = 2x + Biến Tiến hành HĐ4 Giáo án giải tích 12 đổi (2x + 1)2dx thành g(u)du  VD6 Tính sin x cos xdx  (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + u (1) Đặt u = sinx; Kq: VD7 tính x 1  x  c/ Tính: �g (u) du và so u (0) sánh với kết câu a dx ; Kq: 16 Phương pháp tính tích phân phần: Định lí Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] b b a a u = 2x + ; du = u’dx = 2dx Từ kết HĐ4 hãy rút quy tắc tính tích phân u ( x)v ' ( x ) dx  (u ( x )v ( x)) ba  � u ' ( x)v ( x) dx � b b a a u dv  uv ba  � v du Hay � VD8 Tính  Hoạt động nhóm đưa quy tắc x sin xdx ; Đặt  Yêu cầu hs dựa vào quy tắc giải vd6, u x    dv sin xdx Kq: 1 VD Tính ln x x dx Giáo án giải tích 12   u ln x Đặt  dv  dx   x2  1 e   du  x dx  ; Kq:  v  x  Hoạt động : ( x  1)e a/ Hãy tính � Tiến hành giải vd6, x dx bằng phương pháp nguyên hàm phần b/ Từ đó, hãy tính: ( x  1)e � x dx Thảo ḷn nhóm để:  định lí ( x  1)e x dx bằng + Tính � Giới thiệu cho Hs vd 8, phương pháp nguyên hàm phần Chia hs nhóm giải vd8, ( x  1)e x dx + Tính: � Tiến hành hoạt động nhóm Trình bày lời giải Nhận xét Củng cố: ( 3’) Củng cố lại kiến thức đã học bài Giáo án giải tích 12 LUYỆN TẬP VỀ TÍCH PHÂN I Mục tiêu: - Kiến thức:1 Khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong; định nghĩa tích phân Tính chất tích phân Các phương pháp tính tích phân ( đổi biến số, tích phân phần ) - Kỹ năng: Nắm định nghĩa tích phân, vận dụng thành thạo tính chất và hai phương pháp tính tích phân Hiểu ý nghĩa hình học tích phân - Thái đơ: Tích cực xây dựng bài, chủ động chiếm lĩnh kiến thức theo hướng dẫn Gv, động, sáng tạo trình tiếp cận tri thức mới, thấy nhu cầu cần học tích phân - Tư duy: Hình thành tư logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trình suy nghĩ II Phương pháp: Đàm thoại gợi mở,đan xen hoạt động nhoùm III Ch̉n bị của GV và HS IV Nội dung và tiến trình lên lớp: NỘI DUNG Tính tích phân sau : a)  b) � � ; sin �  x � dx �4 � � Yêu cầu hs lên bảng trình bày Đáp án:a/ �(1  x) dx ;  HOẠT DỘNG CỦA GV  (1  x ) =  3 10 ( 33  1) HOẠT ĐỘNG CỦA HS HS suy nghĩ lên bảng trình bày TG Giáo án giải tích 12 c) dx ; x( x  1) � 2 2  ln x  ln( x  1)  ln 2 2 1  1 dx   dx  b/ x( x  1) x 1 1 x 2 x( x  1) dx ; � d)   3x dx e) � ; ( x  1)2  c/ sin   x dx cos   x  0 d/ 4  4 0 2 x( x  1) dx ( x  x  x )dx   0 34 �sin 3x cos5xdx f)    Tính tích phân sau : HS suy nghĩ lên bảng trình bày a)  x dx ; � b)   sin � xdx ; ln 2x1 c)  e x e 1 dx ;  sin 2x cos2 xdx d) � Yêu cầu hs lên bảng trình bày Đáp án:a/ Giáo án giải tích 12 2 a ) 1  x dx  (1  x )dx  ( x  1)dx 0 1 2  x  x     x   x  1    1   20 b) sin xdx  (1  cos x )dx     1  ( x  sin x )  2 Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính : a) � (1  u  x  1); d x (đặt x)2 �1  x d x (đặt e (1  x) �1  xex d x (đặt  �a2  x2 d x 1    cos x  cos x  0 16 4 0 Yêu cầu hs lên bảng trình bày u   xex ) ; d)  Đáp án: (a > 0) (đặt x  a sin t) ; HS suy nghĩ lên 1 sin x cos xdx  sin xdx  sin 4bảng xdx trình bày  20 40  x a  1   e x 1  x  e ln 21  ln  e  e  e 0 e   x  sin t) ; c) ln d) b) ln e x 1  dx  e x 1 dx  e  x dx c)  x e 0 ln x2 ln a)  x2 1  x  dx đặt u = x+1  du dx x =  u 1 x =  u 4 Giáo án giải tích 12  x2 1  x  u  2u  dx   du = = u2 b)  1 x dx đặt x = sint  dx cos tdt  x   sin t  cos t x =  sint =  t =  x =  sint =  t = Khi  Sử dụng phương pháp tích phân phần, hãy tính : a) ( x  1)sin xdx ; � x ln xdx ; �   a)  � ln(1  x)dx ; 1  x   x2 dx 1  x  u  2u  dx   du = = u2 (x � x =  u 1 d) x2 đặt u = x+1  du dx (1  cos 2t )dt 2 x =  u 4 1 1  ( t  sin 2t ) 2 b) c) x dx  cos tdt     e  1  x  2x  1)e dx b)  1 x dx đặt x = sint  dx cos tdt Giáo án giải tích 12  x   sin t  cos t x =  sint =  t = x =  sint =  t =  Khi    12  x dx  cos tdt  (1  cos 2t )dt 20  1  ( t  sin 2t ) 2   Yêu cầu hs lên bảng trình bày Đáp án:  HS suy nghĩ lên bảng trình bày a) A = ( x  1) sin xdx  Tính tích phân sau : (1  a) � 3x)2 dx ; b)  u x 1   dv sin xdx Đặt    A =   x  1 cos x  cos xdx =  x 1 dx � x2  ; =2 c)  du dx   v  cos x ln(1  x) � x2 e b) B = dx x ln xdx   u ln x  Đặt  dv  x dx     du  x dx Kq: B=   v x  Giáo án giải tích 12 e  9  u ln( x  1)  dv dx c) ln( x  1)dx Đặt    du    x 1  v  x Kq: 2ln2 - 1 x d) ( x  x  1)e dx Đặt  u x2  2x   x  dv e dx Kq: - Yêu cầu hs lên bảng trình bày Đáp án: a) 1  x  dx Đặt u = 1+ 3x  du 3dx +x=0  u=1 +x=1  u=4 1  x  dx  u du  u  31 15 b) 2 4 15 x 1   dx  x  dx x  1   x HS suy nghĩ lên bảng trình bày Giáo án giải tích 12  x2 2   ln( x  1)    ln  0 ln(1  x ) dx x2 c)   u ln(1  x )  Đặt  Kq: ln dx  dv  x Củng cố: ( 3’) Củng cố lại kiến thức đã học bài