Khóa luận tốt nghiệp Trƣờng đại học sƣ phạm hà nội Khoa Toán Dƣơng Văn Cƣờng Khai thác tập tốn phần cơng thức biến đổi lƣợng giác tang cotang KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên Ngành: Phương pháp dạy học toán Người hướng dẫn khoa học ThS Nguyễn Văn Hà hà nội - 2010 GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà SV: Dương Văn Cường LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, thầy giáo khoa Tốn thầy giáo tổ mơn phƣơng pháp tận tình giúp đỡ em trình học tập trƣờng tạo điều kiện cho em thực khoá luận tốt nghiệp Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn Hà, ngƣời tận tình hƣớng dẫn, bảo em trình học tập, nghiên cứu hồn thành khố luận Trong q trình nghiên cứu, khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Kính mong nhận đƣợc đóng góp ý kiến thầy giáo bạn để đề tài đƣợc hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Dƣơng Văn Cƣờng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Những số liệu kết khố luận hoàn toàn trung thực Đề tài chƣa đƣợc cơng bố cơng trình khoa học Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Dƣơng Văn Cƣờng MỤC LỤC trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài……………………………………………… …….4 Mục đích nghiên cứu……………………………….………… …….4 Nhiệm vụ nghiên cứu………………………… ………… ….…… Phƣơng pháp nghiên cứu…………………………………… …….…5 Cấu trúc khoá luận……………………………………… …… … NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN A Bài toán lời giải toán Khái niệm…………………………………… …….……… Vại trò, ý nghĩa tập toán học…………… …6 Phân loại toán…………………………………… .8 Phƣơng pháp giải tốn…………………………… ….9 B Nội dung chƣơng trình lƣợng giác trung học phổ thông……… … 12 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC A Các kiến thức bản………………………………………… … 13 B Các dạng tập………………………………………………… 20 Dạng 1: Tính giá trị lƣợng giác góc biết giá trị giá trị lƣợng giác góc liên quan tới góc đó…… ….….20 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức………………………….…… … 29 Dạng 3: Rút gọn biểu thức tính giá trị biểu thức…………… 36 Dạng 4: Phƣơng trình lƣợng giác………………………………… 40 Dạng 5: Nhận dạng tam giác……………………………… …… 57 Dạng 6: Tích phân……………………………………… …………63 C Bài tập luyện tập………………………………………… …………71 KẾT LUẬN ………………………………………………….… … ….89 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………….………90 PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nhƣ khoa học khác, lƣợng giác xuất phát từ nhu cầu đời sống Trong nhà trƣờng phổ thông, lƣợng giác chiếm thời lƣợng tƣơng đối lớn việc giảng dạy học tập môn tốn, có lƣợng kiến thức lớn, có tính hệ thống, chặt chẽ, logic cao Đặc biệt phần cơng thức lƣợng giác Nó có mặt hầu hết phân mơn tốn: Hình học, đại số, giải tích,… Và ln đƣợc coi nội dung trọng tâm mơn Tốn nhà trƣờng phổ thơng Thực tế thời gian học tập nhà trƣờng phổ thông nhƣ đại học, cho thấy: làm tập liên quan tới hàm số lƣợng giác có đƣợc lời giải cho tốn, nhiên lời giải nhiều quanh co, vòng Nguyên nhân ngƣời làm tốn khơng nắm vững cơng thức biến đổi lƣợng giác, nhìn nhận vấn đề khơng đƣợc thống Với tốn nói chung tốn lƣợng giác nói riêng có nhiều cách giải khác nhau, phƣơng pháp tổng hợp, phƣơng pháp vectơ Trong có phần lớn tốn đại số giải tích giải cách lƣợng giác hoá, ta đƣợc cách giải ngắn gọn, dễ hiểu cho tốn Vì vậy, kì thi ln toán liên quan tới lƣợng giác, công thức biến đổi lƣợng giác Xuất phát từ say mê thân, ham muốn học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu sâu lƣợng giác, với mong muốn có đƣợc kiến thức vững lƣợng giác để chuẩn bị cho việc giảng dạy sau trƣờng, với động viên khích lệ thầy giáo Nguyễn Văn Hà mà em chọn đề tài : “Khai thác tập tốn phần cơng thức lƣợng giác tang cotang” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu chủ yếu đề tài là: - Giúp cho học sinh hệ thống tốt dạng tập lƣợng giác, đặc biệt dạng tập liên quan tới hai công thức biến đổi lƣợng giác tang cotang - Nghiên cứu sâu lƣợng giác để có đƣợc kiến thức tốt lƣợng giác, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên Nhiệm vụ nghiên cứu Đề tài nghiên cứu với nhiệm vụ: - Nghiên cứu lý luận chung + Bài toán lời giải tốn + Nội dung chƣơng trình lƣợng giác trƣờng phổ thơng - Hệ thống hóa phƣơng pháp giải dạng tập liên quan tới hai công thức biến đổi lƣợng giác tang cotang, dƣới dạng nâng cao nhằm phục vụ cho việc giảng dạy: “Lƣợng giác cho học sinh phổ thông” Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu lý luận: Dựa vào tài liệu sẵn có, thành tựu nhân loại lĩnh vực khác để vận dụng vào phƣơng pháp dạy học môn Toán - Phƣơng pháp quan sát điều tra: Là phƣơng pháp quan sát vật tƣợng để thu lƣợm số liệu, cụ thể đặc trƣng cho trình diễn biến tƣợng - Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Thực chất đánh giá khái quát kinh nghiệm, từ phát vấn đề cần nghiên cứu, khám phá mối liên hệ có tính quy luật tƣợng giáo dục - Phƣơng pháp thực nghiệm giáo dục: Cho phép ta tạo nên tác động giáo dục, từ xác định đánh giá kết tác động Cấu trúc khố luận Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung, bao gồm chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lý luận Chƣơng 2: Ứng dụng dạy học Phần 3: Kết luận PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN A BÀI TOÁN VÀ LỜI GIẢI CỦA BÀI TOÁN Khái niệm Theo G.POLYA: Bài toán việc đặt cần thiết tìm kiếm mơt cách có ý thức phƣơng tiện thích hợp để đạt đến mục đích định trông thấy rõ ràng, nhƣng đạt đƣơc Từ định nghĩa khái quát G.POLYA cho ta thấy: Bài tốn đòi hỏi phải đạt tới mục đích Nhƣ tốn đồng với số quan niệm khác toán nhƣ: đề toán, tập… Bài tập tốn có u cầu đặt cho ngƣời học nhằm đạt đƣợc mục đích dạy học Vai trò, ý nghĩa tập toán học a Củng cố kiến thức cho học sinh Trong thực tế toán chứa đựng nhiều kiến thức khái niệm toán học kết luận toán học Khi giải toán đòi hỏi ta phải phân tích kiện toán, huy động kiến thức cho đề tốn kiến thức biết khác có liên quan đến toán, tổng hợp lại để đề kiến thức nữa… Cuối cùng, đến đƣợc lời giải toán Nhƣ giải tốn khơng kiến thức có tốn mà hệ thống kiến thức liên quan tới toán đƣợc củng cố qua lại nhiều b Rèn luyện phát triển tƣ cho học sinh Đặc điểm bật mơn tốn mơn khoa học suy diễn, đƣợc xây dựng phƣơng pháp tiên đề Do lời giải toán hệ thống hữu hạn thao tác có thứ tự chặt chẽ để đến mục đích rõ rệt Vì giải tốn có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta lực sử dụng phép suy luận hợp logic: suy luận có đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn… Chúng ta biết khơng thể có phƣơng pháp chung để giải đƣợc toán t 3t2 4 0 (t 1)(t 4t  4) 0 t 1 (t 1)(t 2) 0   t 2  tan x cot x 1 cot 2x     tan x cot x 2x 1 cot  1 kπ 2 x  arccot   2x arccot kπ  k  2 ,    (2) (đều thoả mãn  π kπ   2x x   π  kπ   điều kiện (*)) - Vậy, với m  phƣơng trình (1) có hai họ nghiệm là: 1 kπ x  arccot  2 π kπ x   , với k  b Với nghiệm t phƣơng trình (2) ta có phƣơng trình: tan x cot x t - Mặt khác,  (3) cot2x t   π  x  0; 2x  0; π    nên từ (3) ta có với nghiệm t    x  (1) (**) π 0;   2 - Số nghiệm (2) số giao điểm đƣờng thẳng y m (song song (2) ta có đƣợc nghiệm với trục hoành), với đồ thị hàm số y t 3t2 -Xét hàm số y t + Ta có:  3t y' 3t 6t  t 0 y' 0    t 2 + Bảng biến thiên: t  y’ +   +  y  4 * Từ bảng biến thiên từ nhận xét (**) ta có: Với m 0  π m  phƣơng trình (1) có nghiệm thuộc 0; 4 ;    2 Với m 0 m 4 phƣơng trình (1) có hai nghiệm thuộc  π  0; ;   2   π  4 m 0 phƣơng trình (1) có ba nghiệm thuộc 0; Với    Bài 13 Chứng minh tam giác ABC có: C C acot bcot atanA  BtanB 2 ABC tam giác cân Lời giải: Ta có: acot C C bcot atanA  BtanB 2  π π A B  A B acot  bcot    atanA  btanB 2    2     A B A B atan btan  atanA btanB B 0    A A B a tan tanA b tan  tanB 0     2      2RsinA sin A cos B A B B  2RsinB cosA sin cos A B 0 A cosB 2 sinA  A B A  sinB  0 sin sin B  tanB  tanA0 2   A B cosB cosB  cos  A B sin 0    tanA 0 tanB  A B A B π - Với sin thì: Vì  ,  π A B nên ta có 0    π  2 2 2  A B 0 tam giác ABC cân đỉnh C A B2 - Với tanB tanA 0thì: nên ta có B  tam A, B π A giác ABC cân đỉnh C * Nhƣ vậy, tam giác ABC có: ABC tam giác cân Bài 14 Tính tích phân 0 acot C C bcot atanA  BtanB 2 x 1dx Lời giải: π π   t   ; , suy ra: Đặt x tant , với   2   dt cos2t (1  dx  tan t)dt π x 0 t 0, x 1 t  Khi đó, ta có π π π π d(sint) 4 4 costdt x      1dx  tan2t  dt  dt  (1 sin2t)2 cos2t cos t cos t với 0 ra: với Khi đó: 2 0 x 1dx du   2 (1 u )   1 2   (1 u)  1   (1 u) 2  1    du u u    (1  u) (1 u)  2 du  2 d(1 u) d(1 u) 1      4u)2 (1  4u)2 (1   0 2 1 1  ln   u 4(1  u) 4(1  u) 0 u  2u2   2      ln(3 u 1   1  u π t 0 x 0, 2t  x  Đặt u sint , suy 0  ln u   du   1 u u   2)  Vậy  0  x 1dx 2   ln(3  4   2)  Bài 15 (ĐH Thái Nguyên_2001-2002) 1+ Tính tích phân I  Lời giải: * Ta có  x 1 dx x x 1  1+ 5 1+  2 1+ 1 1x dx  I  x x 1  1 2 dx   x 1  x2 * Đặt t x  , suy x với x 1 t 1  0, x  x  1 d x    t 1 dt t 1π π   t tanu, u   ; , suy + Đặt    2 t 0 u 0, t 1 u π π π  π π 4 d(tanu) cos u π I  Do  du   du u   tan u 0 0 cos u * Vậy π I  Bài 16 (ĐH Giao Thông Vận Tải _2001-2002) π   x   x   * Khi đó, ta có: I   với  x  1 Tính I 5cos x 4sinx  (cos x sinx) dx Lời giải: Đặt π t  x dx Với  dt; π π x 0 t  , x  t 0 2 Khi đó, ta có: π π 5sint  2 5sint 4cost 4cost 5cos x   I  dx ( dt)  4sinx   3 (cos (cos t sint) (cos t dtx sinx) sint) π π  4cos x I5sinx  (cos x dt sinx) Nhƣ ta có π Từ suy π  2I 5cosx 4sinx  5sinx 4cos x dt (cos dx x   (cos x sinx) sinx) 0 π  5cos x 4sinx   4cos x    π 5sinx  (cos x sinx)  dx (cos x  sinx) 0 π  π dx   (cos x sinx) sinx   Vậy (cos x sinx) dx d(tanx 1) dx  1 tanx  cos x   cos x  cos x   π π cos 2 1 x  cos x sinx tanx 0 Bài 17 (HV Kĩ thuật Quân Sự_2001) b a x I  Tính tích phân Lời giải:  π I cos x sinx 2 (a x ) dx ( a, b tham số dƣơng cho trƣớc) Đặt  x π π  a  a tant, t   ; , dx dt  ta đƣợc   cos t 2 Với   x 0 t 0, x b t b  α π  (tant  tanα, ) a α  0;    Khi đó, ta có: acos2t a x2 a(1 tan2 t)  cos t a x a(1  a tan t)  cos2 t b a α acos2t cos t x  I dx  2 (a x )  a a α a 2 cos t dt  cos2t dt cos t α sin2t  a  1 sin2α a b 2tanα a 2b b nên I Vì sin2α  b    a b2 a tan α b a 1 a b I  Vậy với a, b tham số dƣơng cho trƣớc ta a b2 có PHẦN III: KẾT LUẬN Qua thời gian nghiên cứu tốn liên quan tới phần cơng thức biến đổi lƣợng giác, đặc biệt toán liên quan tới phần công thức biến đổi lƣợng giác tang cotang hệ thống đƣợc dạng tập: Dạng 1: Tính giá trị lƣợng giác góc biết giá trị giá trị lƣợng giác góc liên quan tới góc Dạng 2: Chứng minh đẳng thức Dạng 3: Rút gọn biểu thức tính giá trị biểu thức Dạng 4: Phƣơng trình lƣợng giác Dạng 5: Nhận diện tam giác Dạng 6: Tích phân Các tập dạng đƣợc đƣa từ dễ khó theo phân phối chƣơng trình sách giáo khoa phổ thông Trong mối dạng tập đƣợc chia làm hai phần: phần tập phần nâng cao Phần tập giúp cho ngƣời đọc biết đƣợc loại tập dạng Phần tập nâng cao phần tập luyện tập giúp cho ngƣời đọc củng cố kiến thức dạng, đồng thời có khả tƣ phân tích, tổng hợp vận dụng cách sáng tạo Tôi mong muốn rằng, đề tài đem lại hiệu việc nâng cao chất lƣợng dạy học lƣợng giác nhà truờng phổ thơng Cũng việc nghiên cứu đề tài giúp nắm vững kiến thức lƣợng giác Đó điều kiện để sau tơi truyền thụ kiến thức cho học sinh đƣợc tốt Tôi mong muốn rằng, tài liệu tham khảo hữu ích cho nguời đọc, giúp cho ngƣời đọc hệ thống tốt dạng tập lƣợng giác, đặc biệt dạng tập liên quan tới hai công thức lƣợng giác tang cotang TÀI LIỆU THAM KHẢO Vũ Quốc Anh (2007), Nhận Diện Tam Giác, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Vũ Quốc Anh (2007), Tuyển Tập 589 Bài Toán Lượng Giác, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Doãn Minh Cƣờng (2004), Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học năm học 1997-1998 đến năm 2003-2004, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Phạm Thị Bạch Ngọc - Đoàn Quỳnh Đặng Hùng Thắng - Lƣu Xuân Tình (2009), Bài Tập Đại Số 10 Nâng Cao, NXB Giáo Dục Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh - Đoàn Quỳnh - Ngô Xuân Sơn - Đặng Hùng Thắng - Lƣu Xuân Tình (2009), Bài Tập Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao, NXB Giáo Dục Nguyễn Văn Hà (2009), Giáo Trình Dạy Học Tốn Tìm Tập Hợp Và Tốn Dựng Hình Ở Trƣờng Phổ Thơng Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên (2009), Đại Số 10, NXB Giáo Dục Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ tuấn (Chủ biên) – Doãn Minh Cƣờng - Đỗ Mạnh Hùng - Nguyễn Tiến Tài (2007), Đại Số 10 (Sách giáo viên), NXB Giáo Dục Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên (2009), Đại Số Và Giải Tích 11, NXB Giáo Dục 10.Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến - Vũ Viết Yên (2009), Đại Số Và Giải Tích 11 (Sách giáo viên) NXB Giáo Dục 11.Phan Huy Khải (2009), Chuyên đề Lượng Giác, NXB Giáo Dục 12.Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Nguyễn xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh - Đặng Hùng Thắng (2009), Đại Số 10 Nâng Cao , NXB Giáo Dục 13.Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Thắng (2009), Đại - Nguyễn xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh - Đặng Hùng Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao, NXB Giáo Dục 14.Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) Nguyễn xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh - Đặng Hùng Thắng (2009), Đại Số Và Giải Tích 11 Nâng Cao (Sách giáo viên), NXB Giáo Dục 15.Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Trần Phƣơng Dung - Nguyễn xuân Liêm - Đặng Hùng Thắng (2009), Giải Tích 12 Nâng Cao , NXB Giáo Dục 16.Vũ Tuấn (Chủ biên) - Doãn Minh Cƣờng - Trần Văn Hạo - Đỗ Mạnh Hùng - Phạm Phu - Nguyễn Tiến Tài (2009), Bài Tập Đại Số 10, NXB Giáo Dục 17.Vũ Tuấn (Chủ biên) - Trần Văn Hạo - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến Vũ Viết Yên (2009), Bài Tập Đại Số Và Giải Tích 11, NXB Giáo Dục ... luận chung + Bài toán lời giải toán + Nội dung chƣơng trình lƣợng giác trƣờng phổ thơng - Hệ thống hóa phƣơng pháp giải dạng tập liên quan tới hai công thức biến đổi lƣợng giác tang cotang, dƣới... : Khai thác tập tốn phần cơng thức lƣợng giác tang cotang Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu chủ yếu đề tài là: - Giúp cho học sinh hệ thống tốt dạng tập lƣợng giác, đặc biệt dạng tập. .. lƣợng giác, đặc biệt dạng tập liên quan tới hai công thức biến đổi lƣợng giác tang cotang - Nghiên cứu sâu lƣợng giác để có đƣợc kiến thức tốt lƣợng giác, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho học