Kính gửi: - Tạp chí Toán học Tuổi thơ 2 - Chuyên mục: Thi giải toán qua th. Bài toán. Giải phơng trình 4x 4 + x 2 +3x +4 = 3 3 3 1216 xx + (1) Lời giải: Viết lại phơng trình (1) 8x 4 + 2x 2 +6x +8 = 3 3 2 )34(4.8 + xx 8x 4 + 2x 2 +6x +8= 3 3 2 4).34.(8 + xx (2) Mặt khác: 8x 4 + 2x 2 +6x +8 = 8x 4 +2( 2 ) 2 3 + x + 2 7 0, x Do đó phơng trình (1) có nghiệm khi: 3 2 )34(4.8 + xx 0 0 x áp dụng BĐT Cô Si cho 3 số dơng 8x, 4x 2 +3 và 4 Ta có: 3 3 2 4).34.(8 + xx 4)34(8 2 +++ xx hay 3 3 2 4).34.(8 + xx 784 2 ++ xx (3) BĐT(3) xẩy ra dấu bằng khi và chỉ khi 8x= 4x 2 +3 = 4 2 1 = x (*) Từ (2) và (3) ta có: 8x 4 + 2x 2 +6x +8 784 2 ++ xx 01228 24 + xxx x2( - 1) 2 .(2x 2 +2x+1) 0 0)12( 2 x ( vì 2x 2 +2x+1 0 , x ) 12 x = 0 2 1 = x Thoả mãn (*). Vậy phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất Địa chỉ: Ngô Đức việt Chuyên viên phòng GD - ĐT huyện Lộc Hà, tỉnh Hà Tĩnh Điện thoại: 0912539836 Kính gửi: - Tạp chí Toán học Tuổi thơ 2 - Chuyên mục: Thi giải toán qua th. Bài toán. Giải phơng trình X= 2 1 X 2 - x = 1004( x80321 + + 1) (1) Lời giải: Điều kiện: x 8032 1 (*) Phơng trình (1) 4x 2 - 4x = 4016( x80321 + + 1) 4016. x80321 + = 4x 2 - 4x - 4016 4016. x80321 + = (2x-1) 2 - 4017 Đặt x80321 + = 2y- 1 ( y 2 1 ) (2x 1) 2 = 8032y + 1 (2) Khi đó phơng trình (1) (2y 1) 2 = 8032x + 1 (3) y 2 1 (4) Trừ PT(2) cho PT(3) theo từng vế ta đợc: 4(x- y)(x+ y- 1) + 8032(x- y) = 0 (x- y)(x + y + 2007)= 0 (5) Mặt khác: Từ (2), (3) và (4) ta có: 4(x 2 + y 2 )- 4(x+y) + 2 = 8032(x+y)+2 2009(x+y) = x 2 + y 2 0 0 + yx 02007 ++ yx . Từ đó PT(5) x = y. Thay vào PT(3) ta đợc: 4y 2 - 4y = 8032y y 2 - 2009y = 0 y = 2009 ( vì y 2 1 ) x = 2009 thoả mãn (*) Vậy phơng trình (1) có một nghiệm duy nhất Địa chỉ: Ngô Đức việt Chuyên viên phòng GD - ĐT huyện Lộc Hà, tỉnh Hà Tĩnh Điện thoại: 0912539836 Kính gửi: - Tạp chí Toán học Tuổi thơ 2 - Chuyên mục: Thi giải toán qua th. X= 2009 X= 2009 Bài toán. Cho một điểm M nằm trong tam giác ABC; các đờng thẳng AM, BM, CM kéo dài cắt các cạnh BC, CA, AB lần lợt tại A 1 , B 1 và C 1 . Tìm điểm M sao cho biểu thức P = 1 1 1 1 1 1 MC MC MC MC MB MB MB MB MA MA MA MA +++++ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. Lời giải: Gọi x, y, z theo thứ tự lần lợt là diện tích các tam giác MBC , MCA , MAB ( x, y, z dơng). áp dụng tỷ số diện tích tam giác ta có: zy x SS S SS SS S S S S MA MA MBAMCA MBC MBAMCA MBAMCA MBA MBA MCA MCA + = + = + + === 1111 1 Tơng tự: zx y MB MB + = 1 ; yx z MC MC + = 1 Khi đó biểu thức P trở thành: P = z yx yx z y zx zx y x zy zy x + + + + + + + + + + + Hay P = ( )() z yx y zx x zy yx z zx y zy x + + + + + + + + + + + Dể dàng ta chứng minh đợc: 2 3 + + + + + yx z zx y zy x (*), (BĐT này ta đã quen thuộc đó là BĐT Netsbit). BĐT (*) xẩy ra dấu bằng khi và chỉ khi x=y=z. áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dơng ta có: 2 + x y y x , 2 + y z z y và 2 + z x x z z yx y zx x zy + + + + + = )()()( z x x z y z z y x y y x +++++ 6 ; Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi x = y = z. Vậy P 2 15 6 2 3 =+ hay P Min = 2 15 khi x=y=z. x=y=z khi và chỉ khi M là trọng tâm của tam giác ABC. Tóm lại: Biểu thức P đạt giá trị nhỏ nhất P Min = 2 15 khi điểm M là trọng tâm của ABC . Địa chỉ: Ngô Đức việt Chuyên viên phòng GD - ĐT huyện Lộc Hà, tỉnh Hà Tĩnh Điện thoại: 0912539836 . chí Toán học Tuổi thơ 2 - Chuyên mục: Thi giải toán qua th. Bài toán. Giải phơng trình 4x 4 + x 2 +3x +4 = 3 3 3 1216 xx + (1) Lời giải: Viết lại phơng trình. thoại: 0912539836 Kính gửi: - Tạp chí Toán học Tuổi thơ 2 - Chuyên mục: Thi giải toán qua th. Bài toán. Giải phơng trình X= 2 1 X 2 - x = 1004( x80321