Bài tập Đại số tuyến tính cho sinh viên năm thứ ducanh@hnue.edu.vn Ngày 18 tháng năm 2014 The question you raise "how can such a formulation lead to computations" doesn’t bother me in the least! Throughout my whole life as a mathematician, the possibility of making explicit, elegant computations has always come out by itself, as a byproduct of a thorough conceptual understanding of what was going on Thus I never bothered about whether what would come out would be suitable for this or that, but just tried to understand - and it always turned out that understanding was all that mattered Alexander Grothendieck (in a letter to Ronnie Brown, 12.04.1983) Mục lục Áp dụng định lý Bernstein-Cantor-Schră oder 2 Mt s kt qu khú Tập hợp, Ánh xạ, Quan hệ, Nhóm, Trường Về không gian vector 5 Bài tập 6 Các tập nhiều mang tính lý thuyết 7 Một số câu hỏi để ôn tập Các tập Một vài tập khó 10 10 Ma trận 10 11 Ma trận chuyển sở, ma trận tự đồng cấu 11 12 Chứng minh phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 12 13 Một số tập làm quen với ánh xạ tuyến tính 14 14 Khơng gian vector đối ngẫu - Ánh xạ tuyến tính đối ngẫu 16 15 Tính chất, cách tính định thức 17 16 Bài tập Định thức 18 17 Hệ phương trình tuyến tính 19 18 Một số tập nâng cao 20 19 Vector riêng, giá trị riêng 21 20 Dạng chuẩn Jordan 23 21 Định lý Cayley-Hamilton Đa thức tối tiểu 24 22 Dạng song tuyến tính Tính chất không gian vector Euclide 25 23 Ánh xạ tuyến tính trực giao 26 24 Bài tập tổng hợp 26 25 Dạng toàn phương 28 26 Nâng cao 29 27 Lấy từ nguồn bên 31 Áp dng nh lý Bernstein-Cantor-Schră oder Bi Cho I tập đếm được, Ui tập đếm với i ∈ I Khi chứng minh tập ∪i∈I Ui tập đếm Bài tập Cho E tập vô hạn D tập hữu hạn Khi E E ∪ D có số Một câu hỏi : thay D tập đếm vơ hạn, tốn khơng? Bài tập Chứng minh tập sau tập đếm : Z, Q, N × N Bài tập Một số α ∈ C gọi số đại số nghiệm đa thức không đồng 0, với hệ số số hữu tỷ Chứng minh tập số đại số tập đếm Bài tập Cho a < b hai số thực Khi chứng minh tập sau tương đương với nhau: (a, b), [a, b], (a, b], R, R+ Bình luận Tất tập lấy từ [2, 13] Trong Hewitt/Stromberg hầu hết có lời giải Một số kết khó Nếu bạn biết Tiên Đề Chọn, Nguyên lý tối đại Hausdorff, Bổ đề Zorn bạn chứng minh kết khó sau Chứng minh kết có [2] Kết 2.1 Cho X Y hai tập hợp Khi X ≤ Y Y ≤ X Kết 2.2 Giả sử X Y hai tập hợp có số tập vơ hạn thỏa mãn X ∩ Y = ∅ Khi X ∪ Y có số với X Kết 2.3 Giả sử X tập vô hạn Khi tích Descartes X × X có số với X Hệ 2.4 Tập C có số với R Tập hợp, Ánh xạ, Quan hệ, Nhóm, Trường Bài tập Cho A, B, C tập tập X Chứng minh đẳng thức sau: (i) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), (ii) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), (iii) A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C), (iv) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C) Bài tập Cho f : X → Y ánh xạ hai tập hợp Cho A, B ⊂ X C, D ⊂ Y Chứng minh (i) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) (ii) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B) Đẳng thức có xảy khơng? (iii) f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D) (iv) f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D) (v) f −1 (C − D) = f −1 (C) − f −1 (D) f g Bài tập Cho X −→ Y −→ X ánh xạ tập hợp thỏa mãn g ◦ f = Id Chứng minh f đơn ánh g toàn ánh Bài tập (i) Tồn hay không song ánh từ N → Z? (ii) Cho < n ∈ N cố định Tồn hay không song ánh từ N → N × {1, 2, , n}? (iii) Tồn hay khơng song ánh từ N → N × N? (iv) Tồn hay không song ánh từ N → Q? Bài tập 10 Cho X tập hợp f : X → P(X) ánh xạ từ X vào tập lũy thừa X Chứng minh f khơng thể tồn ánh Bài tập 11 Xét tập M với quan hệ ∼ sau Xác định xem quan hệ tương đương lớp tương đương (i) M = R, a ∼ b ⇐⇒ |a| = |b| (ii) M = R, a ∼ b ⇐⇒ |a − b| < (iii) M = Z, a ∼ b ⇐⇒ a − b p với p số nguyên cố định cho trước Bài tập 12 Show that if F and G are subsets of a set E then (F ⊂ G ⇔ F ∪ G = G) and (F ⊂ G ⇔ F ∪ G = E) Bài tập 13 Let f : X → Y and g : Y → Z be mappings Let A be a subset of X and C subset of Z Prove that (a) g(f (A)) = (g ◦ f )(A) and (b) (g ◦ f )−1 (C) = f −1 (g −1 (C)) Bài tập 14 Let E and F be sets If A ⊂ E and B ⊂ F, then show that A × B ⊂ E × F Bài tập 15 If A is a set of n elements and B a set of m elements, what is the number of elements of A × B? What is the number of elements of the power set P(A)? Bài tập 16 Let A be a subset of a set E We define the so-called characteristic function f if x ∈ A of A in E as follows: f takes values in {0, 1} ⊂ N such that f (x) = Prove if x ∈ A that the following functions are characteristic functions of some sets which we will determine later: (a) − f, (b) f g and (c) f + g − f g Bài tập 17 Let A, B and C be subsets of a set E such that A∩B = A∩C and A∪B = A∪C Prove that B = C Bài tập 18 Is it true that P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B)? And P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B)? f g Bài tập 19 Let X −→ Y −→ X be mappings between sets such that g ◦ f = Id, where Id is the identity mapping Prove that f is injective and g surjective Bài tập 20 Cho X tập hợp Chứng minh rằng: Tập hợp Bij(X) song ánh từ X vào với phép hợp thành ánh xạ lập thành nhóm Chứng minh nhóm khơng giao hốn X có lớn phần tử Bài tập 21 Cho G nhóm H ⊂ G tập Chứng minh H nhóm G luật hợp thành G cảm sinh luật hợp thành H H với luật hợp thành tạo thành nhóm Bài tập 22 Cho G nhóm H tập G Chứng minh H nhóm G H thỏa mãn hai điều sau: (i) H = ∅ (ii) a, b ∈ H =⇒ ab−1 ∈ H Bài tập 23 Cho G nhóm với nhóm H1 , H2 ⊂ G Chứng minh H1 ∪ H2 nhóm G H1 ⊂ H2 H2 ⊂ H1 Bài tập 24 Cho G nhóm i : G → G ánh xạ nghịch đảo (tức i(g) = g −1 với g ∈ G) Chứng minh điều sau (i) i song ánh (ii) Cho A tập G Nếu i(A) ⊂ A, ta có i(A) = A Tập A gọi đối xứng (iii) Với tập A ⊂ G, tập A ∩ i(A) A ∪ i(A) đối xứng Bài tập 25 Cho G nhóm thỏa mãn a2 = với a ∈ G Chứng minh G nhóm abel g = Bài tập 26 Cho G nhóm abel hữu hạn Chứng minh g∈G Bài tập 27 Cho G nhóm hữu hạn có n phần tử Chứng minh với g ∈ G, ta có g n = Bài tập 28 Cho G nhóm Trên tập lũy thừa P(G), ta xét luật hợp thành sau (A, B) → A · B = {a · b ∈ G; a ∈ A, b ∈ B} Chứng minh luật hợp thành có tính kết hợp có phần tử trung lập P(G) với luật có nhóm khơng? Nếu khơng với phần tử A P(G) có phần tử nghịch đảo? Bài tập 29 Cho K trường hữu hạn Với n ∈ N a ∈ K, ký hiệu na = a + a + + a tổng n lần a Chứng minh tồn số nguyên dương n cho na = với a ∈ K Chọn số n nguyên dương nhỏ thỏa mãn (i), chứng minh n số nguyên tố Số n gọi đặc số trường K √ √ √ √ Bài tập 30 Chứng minh Q( 2) := {a+b : a, b ∈ Q} trường ∈ Q( 2) Về không gian vector Trường Để định nghĩa không gian vector, ta cần khái niệm nhóm trường Tuần trước ta đề cập khái niệm nhóm, tuần ta đề cập vài ví dụ trường Bài tập 31 Chứng minh tập hợp sau phép toán tương ứng (ta hiểu ngầm phép toán cộng nhân biết) trường : Q, R, C với phép cộng nhân thông thường Z/pZ với p số nguyên tố √ √ Q[ 2] := {a + b : a, b ∈ Q} trường với phép tốn cộng nhân thơng thường Câu hỏi 4.1 Cho K trường a, b ∈ K hai phần tử khác Hỏi a.b có khác không? Nếu thay trường K vành (giao hốn khơng giao hốn) nào? Khái niệm không gian vector Trong mục này, ký hiệu K trường, V K−không gian vector Ký hiệu 0,1 phần tử trung lập đơn vị K Ký hiệu O vector không V Bài tập 32 Cho x vector V Chứng minh 0.v = O Bài tập 33 Cho c vô hướng khác x vector V Khi chứng minh rằng: Nếu c.x = O x = O Bài tập 34 Cho x vector V −x phần tử đối x nhóm abel (V, +) Chứng minh (−1).x = −x Bài tập 35 Chứng minh tập số phức C R−không gian vector, Q−không gian vector Tổng quát hơn, K trường trường L L K−khơng gian vector Bài tập 36 Bài tập II.4, trang 31, giáo trình giản lược [3] Bình luận Đa số tập lấy [4] nhiều định lý, bổ đề có chứng minh [3, 13] Bài tập Bài tập 37 (lấy [4]) Chứng minh vector sau độc lập tuyến tính R C (a) (1,1,1) (0,1,-1) (b) (-1,1,0) (0,1,2) (c) (π, 0) (0,1) (d) (1,1,0), (1,1,1) (0,1,-1) (e) (0,1,1), (0,2,1) (1,5,3) Bài tập 38 ([4]) Viết vector X thành tổ hợp tuyến tính hai vector A B Viết tọa độ tương ứng X A B (a) X = (1, 0), A = (1, 1), B = (0, 1) (b) X = (2, 1), A = (1, −1), B = (1, 1) (c) X = (1, 1), A = (2, 1), B = (−1, 0) Bài tập 39 ([4]) Cho (a, b) (c, d) hai vector mặt phẳng Chứng minh ad − bc = hai vector phụ thuộc tuyến tính Nếu ad − bc = hai vector độc lập tuyến tính Bài tập 40 ([3]+[4]) Xét khơng gian vector C[a, b] hàm số thực liên tục đoạn [a, b], hệ vector sau độc lập tuyến tính? (a) (t − 1)2 , (t − 2)2 , (t − 3)2 (b) 1, et , e−t (c) sin x, sin 2x, , sin kx với k số nguyên dương (d) (giả thiết thêm [a, b] ⊂ R+ ) t, 1/t (e) et , log t Bài tập 41 ([13]) Trong khơng gian vector thực R4 , tìm hạng hệ vector sau (a) (1, 2, 0, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 3, 0, 1) (b) (1, 1, 1, 1), (1, 3, 1, 3), (1, 2, 0, 2), (1, 2, 1, 2), (3, 1, 3, 1) Bài tập 42 ([3]) Trong C[a, b], tìm hạng hệ vector sau (a) t2 − 2t, t2 − 3t, t2 − 4t, t2 − 5t (b) sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x Bài tập 43 ([3]) Giả sử α1 , , αn β1 , , βm hai hệ vector không gian vector V Chứng minh hạng hệ vector α1 , , αn , β1 , , βm không vượt tổng hạng hai hệ vector α1 , , αn β1 , , βm Các tập nhiều mang tính lý thuyết Bài tập II.28-II.34 [3] Một số câu hỏi để ơn tập Bình luận Để cho dễ suy nghĩ, ta quan tâm chủ yếu không gian vector hữu hạn chiều Không gian vector vô hạn chiều quan trọng, ta nghiên cứu sâu mơn học khác giải tích hàm Câu hỏi 7.1 Làm để tìm hạng hệ vector kiểm tra tính độc lập tuyến tính hệ vector khơng gian vector hữu hạn chiều? Câu hỏi 7.2 Cho V không gian vector, E tập V Có tiêu chuẩn để kiểm tra E có phải khơng gian vector V ? Ta quan tâm tới tiêu chuẩn ngắn gọn dễ sử dụng (dùng định nghĩa tương đối dài dòng!) Câu hỏi 7.3 Làm để tìm sở khơng gian vector thương? Câu hỏi 7.4 Cho V không gian vector X tập Có mối liên hệ hạng hệ vector X với chiều khơng gian sinh X (còn gọi bao tuyến tính X)? Các tập Bài tập 44 Cho V K-không gian vector X ⊂ V hệ hữu hạn vector (a) Chứng minh tồn hệ độc lập tuyến tính tối đại X (b) Chứng minh : hệ X mà độc lập tuyến tính nằm hệ tuyến tính độc lập tối đại Nghĩa ta bổ sung thêm vector X để hệ cho trở thành hệ độc lập tuyến tính tối đại (c) Giả sử Y ⊂ V hệ vector hữu hạn khác Ký hiệu rank(Y ) hạng Y Giả sử vector X tổ hợp tuyến tính vector Y Khi chứng minh rank(X) ≤ rank(Y ) Hệ : Nếu vector X biểu thị thành tổ hợp tuyến tính vector Y ngược lại, rank(X) = rank(Y ) Bình luận Thật tập phát biểu lại kết chứng minh Giáo trình Đại số tuyến tính mà Thảo dạy, ghi chép lại thành tập để bạn dễ dàng ôn tập Áp dụng tập trên, ta giải tập "Tìm hạng hệ vector cho trước" cách biến đổi hệ vector trở thành hệ vector khác dễ xử lý hơn, hạng không thay đổi Bài tập 45 Cho V K−không gian vector {x1 , , xk } ⊂ V hệ hữu hạn vector Giả sử λ2 , λ3 , , λk ∈ K vô hướng Khi chứng minh rank{x1 , , xk } = rank{x1 , x2 + λ2 x1 , , xk + λk x1 } Áp dụng tập này, ta giải tập tìm hạng hệ vector cách viết vector dạng "vector hàng" ta thu ma trận Ta áp dụng phép biến đổi cho ma trận ta trở thành ma trận "tam giác trên" Từ ta tính hạng hệ cho Bình luận Bài tập 46 sau tương đối khó Như tơi nói lớp, bạn làm viết gửi lời giải, đọc kiểm tra tính đắn Nếu làm tốt bạn xứng đáng 10 điểm thi kỳ Bài tập 46 Dựa việc tính hạng hệ vector tơi nói lớp, đề xuất thuật tốn tìm hạng hệ độc lập tuyến tính tối đại hệ hữu hạn vector bất kỳ, chứng minh thuật toán bạn Bài tập 47 Cho V K-không gian vector X ⊂ V hệ hữu hạn vector Ký hiệu span(X) không gian vector V sinh tập X Chứng minh dimK span(X) = rank(X) Bài tập 48 Cho U, V1 , V2 không gian vector V Chứng minh (U ∩ V1 ) + (U ∩ V2 ) ⊂ U ∩ (V1 + V2 ) Tìm ví dụ để bao hàm thức xảy thực (nghĩa vế trái tập thực vế phải) Bài tập 49 Cho U không gian vector V Chứng minh tồn không gian W V cho V = U ⊕ W Hỏi W có khơng? Bài tập 50 (Định lý đánh tráo Steinitz) Mọi sở khơng gian vector V hữu hạn sinh có số vector Số gọi chiều V Bài tập 51 Trong hệ sau đây, hệ lập thành sở R3 ? (a) (2,4,-4), (3,5,-2) (b) (1,0,-1), (3,2,0), (0,4,-3), (-2,1,3) (c) (1,1,1), (1,2,3), (3,-2,1) (d) (1,1,2), (1,2,5), (5,3,4) Bài tập 52 Cho V không gian vector R4 sinh vector sau (1, −2, 5, −3), (2, 3, −1, 1), (1, 12, −17, 11) Tìm sở V chiều V Mở rộng sở tìm thành sở R4 Bài tập 53 Cho V không gian vector R[t], không gian đa thức với hệ số thực, sinh đa thức sau: f1 = t3 − 2t2 + 4t + 1, f3 = t3 + 6t − 5, f2 = 2t3 − 3t2 + 9t − 1, f4 = 2t3 − 5t2 + 7t + Tìm sở V chiều V Mở rộng sở thành sở khơng gian vector đa thức bậc không vượt Gợi ý Nhận xét 1, t, t2 , t3 sở không gian vector đa thức bậc không vượt Viết tọa độ đa thức theo sở tiến hành tìm hạng hệ vector ta làm R4 Bài tập 54 Tìm sở số chiều không gian vector V Rn gồm vector mà tọa độ thỏa mãn x1 + 2x2 + + nxn = Bài tập 55 Cho U không gian R4 sinh (1, 1, 0, −1), (1, 2, 3, 0), (2, 3, 3, −1), V sinh (1, 2, 2, −2), (2, 3, 2, −3), (1, 3, 4, −3) Tính dim(U ∩ V ) Khó hơn, tìm sở U ∩ V R4 /(U ∩ V ) Bài tập 56 Cho U không gian sinh (1, 3, −2, 2, 3), (1, 4, −3, 4, 2), (2, 3, −1, −2, 9), V sinh (1, 3, 0, 2, 1), (1, 5, −6, 6, 3), (2, 5, 3, 2, 1) Tìm sở U + V, U ∩ V R5 /(U ∩ V ) Bài tập 57 Cho tổng trực tiếp V = V1 ⊕ V2 ⊕ ⊕ Vr cho Si sở Vi với ≤ i ≤ r Chứng minh Si đôi không giao ∪ri=1 Si sở V Gợi ý Trước tiên làm toán trường hợp r = Một vài tập khó Bài tập 58 (Một đề thi Cao học quốc tế 2010, ĐHSPHN) Cho V R−không gian vector không tầm thường (tức chiều ≥ 1) Chứng minh V hợp hữu hạn không gian vector thực Bài tập 59 Chứng minh dimQ R = ∞ Bài tập 60 Chứng minh không gian vector C([0, 1]) hàm liên tục [0, 1] R-không gian vector vô hạn chiều Bài tập 61 (Ma trận đường chéo trội) Trong Rn xét hệ vector v1 = (v11 , , v1n ), , vp = (vp1 , , vpn ) có tính chất sau |vii | > |vji | j=i với ≤ i ≤ p Chứng minh hệ vector độc lập tuyến tính 10 Ma trận Bài tập 62 Tính −2 −4 + −6  −2  −2 −4  (b)  −1 −1   −1 (c) Cho A = 3  B = (a) −4 −5 −3  −4 3  1 3 Tính AB, BA, AAt , At A −4 −5 −6 Bài tập 63 Xác định tất ma trận A ∈ M(2 × 2, R) thỏa mãn A giao hoán với ma trận B ∈ M(2 × 2, R) Tổng qt hóa tốn với A ∈ M(n × n, R) Bài tập 64 Tính lũy thừa sau  0  0   ·  0 cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ ··· ··· · · · 0 ··· 0 ··· 1 1 10 n , λ λ n 0  0   ·  1 n , a+b b a a+b · · (c) · · · · 0 0 b · · · x1 a1 · , (d) a1 · · · a1 a a+b a2 x2 a2 · a2 a3 an a3 an x3 an · a3 xn Bài tập 104 Tính det(|i − j|)n×n Bài tập 105 Tính định thức Vandermonde a1 a2 an−1 an n−1 an−1 an−1 an−1 n−1 an Bài tập 106 Tính cos ϕ1 cos 2ϕ1 cos(n − 1)ϕ1 cos ϕ2 cos 2ϕ2 cos(n − 1)ϕ2 cos ϕn cos 2ϕn cos(n − 1)ϕn Bài tập 107 Dùng định thức để giải tập 18 ma trận đường chéo trội, tuần Bài tập 108 Tính định thức sau n 1+x 1 1 x+1 n 1−x 1 x + n (b) (a) 1 + y 1 1−y x + a+b b a a+b b a a + b Bài tập 109 Tính 0 a 0 a+b Bài tập sau không liên quan tới định thức thú vị Bài tập 110 Giả sử A ma trận vuông lũy linh Chứng minh I + A ma trận khả nghịch 17 Hệ phương trình tuyến tính Về hệ phương trình tuyến tính, bạn cần đọc hiểu chứng minh định lý Kronecker-Capelli tiêu chuẩn tồn nghiệm, định lý Cramer công thức nghiệm, phương pháp GaussJordan giải hệ phương trình tuyến tính (dùng biến đổi sơ cấp để chuyển ma trận tam giác trên) Công thức nghiệm định lý Cramer có tính thực tiễn tính dài, có ích toán túy lý thuyết Vậy nên bạn cần tránh suy nghĩ cơng thức ý có ứng dụng 19 Bàitập 111 Giải hệ phương  trình sau   x1 + 3x2 + 4x3 = x1 − x2 + 5x3 (a) x1 − 2x2 + x3 = , (b) x1 + x2 − 3x3     x1 + x2 + 2x3 =3 2x1 − 3x2 + x3 =0 =1 =6 Bài tập 112 Tìm số chiều   x1 + 2x2 + 2x3 + x4 − x5 (a) x1 + x2 + x3 − 3x4 + 2x5   2x1 − x2 + x3 + 2x4 − 3x5 không gian  nghiệm hệ phương trình sau 3x1 + 2x2 + 3x4 − x5 =    =0 x − x + 2x − x =0 = , (b) −3x2 + x3 + x4 + 2x5 =   =0  x1 − x3 + 4x4 − 3x5 =0 Bài tập 113 Tìm nghiệm hệ phương trình sau   x1 + 2x2 + 2x3 + x4 − x5 (a) x1 + x2 + x3 − 3x4 + 2x5   2x1 − x2 + x3 + 2x4 − 3x5 riêng, hệ nghiệm hệ nghiệm tổng quát  3x1 + 2x2 + 3x4 − x5 =    =1 x − x + 2x − x =0 = , (b)  −3x = −2 + x3 + x4 + 2x5   =2  x1 − x3 + 4x4 − 3x5 =4  ax1 + bx2 + bx3 + + bxn =    cx + ax + bx + + bx = n Bài tập 114 Cho hệ n phương trình     cx1 + cx2 + cx3 + + axn = Tìm điều kiện cần đủ a, b c để hệ phương trình có nghiệm khơng tầm thường Bài tập 115 Cho hệ phương trình Ax = b với A ma trận vuông cấp n với hệ số hữu tỷ b vector thuộc Rn mà tọa độ số hữu tỷ Giả sử Ax = b có nghiệm x ∈ Rn Chứng minh hệ phương trình có nghiệm hữu tỷ (nghĩa nghiệm mà tọa độ số hữu tỷ) Bài tập 116 Xét hệ phương trình tuyến tính sau   = b1 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn với aij , bi ∈ R với i, j Tìm điều kiện hạng   am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm ma trận A = (aij )m×n để hệ phương trình có nghiệm với bi ∈ R 18 Một số tập nâng cao Mục thêm vào để bạn có thêm danh sách tập thú vị để luyện tập với kiến thức mà bạn biết Bài tập 117 Giả sử A ma trận vuông cấp n thỏa mãn A2 = I, với I ma trận đơn vị Chứng minh rank(A + I) + rank(A − I) = n   λ  λ      Bài tập 118 Cho ma trận   với λ = Tính A−1    λ 1 λ 20 Bình luận Đây khối Jordan mà bạn học chương cấu trúc tự đồng cấu Bài tập 119 Cho ma trận vng A có hệ số số nguyên Tìm điều kiện cần đủ để A khả nghịch A−1 gồm hệ số số nguyên Bài tập 120 Giả sử ma trận A = (aij ) ∈ M(n × n, R) cho trước phần tử aij với i = j Chứng minh ta điền vào đường chéo phần tử để ma trận A không suy biến Bài tập 121 (Định lý đẳng cấu Noether) Cho E1 E2 khơng gian khơng gian vector E Chứng tỏ không gian (E1 + E2 )/E2 đẳng cấu với không gian E1 /(E1 ∩ E2 ) Bài tập 122 Cho A B hai ma trận vng giao hốn với B ma trận lũy linh Chứng minh det(A + B) = det A Bình luận Đây thi cuối kỳ mơn ĐHSPHN Có hai lời giải : [8], hai sử dụng định lý tam giác đồng thời(3) Bài tập 123 (Định lý Schur) Giả sử ϕ tự đồng cấu không gian vector phức n chiều V Chứng minh tồn không gian vector = V0 ⊂ V1 ⊂ ⊂ Vn = V thỏa mãn ϕVk ⊂ Vk Vk có chiều k với k Bình luận Theo tập này, tự đồng cấu phức có sở cho sở đó, ma trận biểu diễn tự đồng cấu có dạng tam giác 19 Vector riêng, giá trị riêng Bàitập 124 Tìmgiá trịriêng vector riêng ma trận hệ số thực sau  −1 −5 3 , (b) 5 −7 3 (a)  −3 −1 −2 Bài tập 125 Giả sử A B hai ma trận vng cấp, có hệ số K, giao hoán với Giả sử A có tất giá trị riêng phân biệt Chứng minh vector riêng A vector riêng B tồn sở gồm vector riêng A B Bình luận Đây trường hợp đặc biệt toán sau Bài tập 126 Cho k ma trận vuông A1 , A2 , , Ak giao hoán với ma trận chéo hóa Khi tồn ma trận khả nghịch C cho C −1 Ai C ma trận chéo với i Bài tập  −1  (a) −3 −3 127 Xác định xem ma trận hệ  số phức sau có chéo  hóa khơng?    1 1 −1 −5 −3 1  −1 −1  −1 , (b) 3 −2 −2 , (c)  1 −1 −1 −2 −1 −1 Trong trường hợp ma trận A chéo hóa được, tìm ma trận khả nghịch C cho C −1 AC ma trận chéo (3) Ta giới thiệu sau: tiếng Anh Simultaneous triangularization, xem [21] 21 Bài tập 128 Ký hiệu R[x]n không gian vector đa thức có bậc nhỏ n df Tìm giá trị Xét ϕ ∈ End(R[x]n ) ánh xạ đạo hàm, tức biến đa thức f → dx riêng vector riêng ϕ Bài tập 129 Chứng minh vector khác O tự đồng cấu vector riêng tự đồng cấu k · Id với k ∈ K Bài tập 130 Cho tự đẳng cấu ϕ K−không gian vector V Chứng minh λ giá trị riêng ϕ λ−1 giá trị riêng ϕ−1 Bài tập 131 Chứng minh tổng giao không gian bất biến không gian bất biến Bài tập 132 Cho A, B ∈ M(n × n, K) Chứng minh hai ma trận AB BA có tập giá trị riêng Khó hơn, chứng minh hai ma trận có giá trị riêng tính bội (hay nói cách khác có đa thức đặc trưng) Bình luận Các bạn làm câu thứ hai toán trường hợp trường K = C dễ ẩn chứa kỹ thuật hay Trong trường hợp trường K bất kỳ, chí vành giao hốn bất kỳ, tốn, theo tơi biết[10], đúng, tơi chưa có thời gian đọc chứng minh Bạn có thời gian nên nghĩ thử Bài tập 133 Giả sử ϕ tự đồng cấu không gian vector V Giả sử U = U1 ⊕ U2 ⊕ ⊕ Us tổng trực tiếp không gian bất biến ϕ Chứng minh ϕ(U ) = ϕ(U1 ) ⊕ ⊕ ϕ(Us ) Bài tập 134 Cho ϕ tự đồng cấu Kn có n giá trị riêng phân biệt Tìm số không gian bất biến ϕ Bài tập 135 Giả sử p > bội đại số giá trị riêng λ0 ma trận vuông A cấp n Gọi r hạng A − λ0 I Chứng minh ≤ n − r ≤ p Bài tập 136 Chứng minh giá trị riêng ma trận A2 bình phương giá trị riêng ma trận A kể bội Bài tập trường hợp riêng tập sau Bài tập 137 Giả sử f ∈ C[X] đa thức Giả sử λ1 , , λn tất giá trị riêng A (kể bội) Chứng minh f (λ1 ), , f (λn ) tất giá trị riêng f (A) kể bội Bài tập 138 (Ma trận đồng hành) Tìm đa thức đặc trưng ma trận vuông cấp n sau:         A=      an−1 an−2 a0 Từ suy đa thức bậc n với với hệ số cao ±1 đa thức đặc trưng ma trận Trong trường hợp ma trận A trên, người ta gọi A ma trận đồng hành đa thức đặc trưng Những ma trận xuất dạng chuẩn hữu tỷ (còn gọi dạng chuẩn Frobenius), loại dạng chuẩn khác ma trận Nhưng chưa thể chứng minh loại dạng chuẩn tồn thiếu kiến thức module vành 22 20 Dạng chuẩn Jordan Cho ma trận vng A với hệ số trường đóng đại số K (ví dụ trường C) Khi A ln có dạng chuẩn Jordan, tức tồn ma trận khả nghịch C ∈ M(n × n, K) cho C −1 AC ma trận gồm khối Jordan Jλ,s Ở Jλ,s ma trận vuông cấp s mà tất phần tử đường chéo nhận giá trị λ tất phần tử đường chéo nhận giá trị Các vị trí khác Jλ,s nhận giá trị Hai câu hỏi sau nảy sinh, xếp theo trình tự độ khó (1) Làm để tính số khối Jλ,s ? (2) Làm để tìm ma trận C trên? Với câu hỏi (1), ta có cơng thức tính số khối, bạn tự tra giáo trình Với câu hỏi (2), bạn có cách rà soát lại chứng minh xem họ làm Bàitập 139 Tìm  dạng  chuẩn Jordan   −15 −3      (a) 1 −5 , (b) −2 −6 13 , (c) −6 −1 −4 ma trậnsau   −3 a 0 −7 8 , (d) 0 a 0 với a = −7 a a Bài tập   A= 140 Các sau  ma trận  −5   −10 B = −3 Bài tập   A= 1 141 Các  ma trận  sau có đồngdạng vớinhau −15 −3 −13     −5 , B = −2 −6 13 , C = −4 −4 −1 −4 −4 có đồng dạng  với không? 20 −34 32 −51 20 −32 không?  −70 119 −19 34  −20 35 Bài tập 142 Chứng minh ma trận lũy linh khác khơng chéo hóa Bài tập 143 Cho A ma trận vuông phức Hỏi ma trận A AT có đồng dạng với khơng? Bài tập 144 Cho A ma trận vuông phức Chứng minh A ma trận lũy linh giá trị riêng A Hỏi A ma trận vuông thực điều có khơng? Bài tập 145 Tìm dạng chuẩn Jordan ma trận A lũy đẳng, tức A2 = A Bài tập 146 Chứng minh ma trận đối hợp A, tức A2 = I đồng dạng với ma trận chéo Tìm dạng ma trận chéo Bài tập 147 Chứng minh ma trận tuần hoàn A, tức Ak = I với k số nguyên dương đó, đồng dạng với ma trận chéo Tìm dạng ma trận chéo Bài tập 148 Cho A khối Jordan cấp  a 0 a  A =   0 n  0    a 23 Chứng minh giá trị đa thức f (X) thay X = A cho công thức sau   (n−1) f (a) f 1!(a) f 2!(a) f (n−1)!(a)   f (n−1) (a)  f (a)  f (a) 1! (n−2)!  f (A) =      0 f (a) Bình luận Từ tập này, đề xuất cách tính f (A) với ma trận A vuông 21 Định lý Cayley-Hamilton Đa thức tối tiểu Câu hỏi 21.1 Từ dạng chuẩn Jordan ma trận A, ta tìm đa thức tối tiểu ma trận A nào? Mấy sau chép [11] Bài tập 149 Trong M(n × n, C) ta xét hai ma trận A B khơng có giá trị riêng chung (1) Cho PA đa thức đặc trưng A Chứng minh PA (B) ma trận khả nghịch (2) Cho M ∈ M(n × n, C) thỏa mãn AM = M B a Chứng minh với k số nguyên dương, ta có Ak M = M B k b Từ suy M PA (B) = c Chứng minh M ma trận không (3) Xét tự đồng cấu f M(n × n, C) định nghĩa f (M ) = AM − M B Chứng minh f tự đẳng cấu M(n × n, C) Bài tập 150 Cho A ma trận vuông cấp n với hệ số K (K R C), PA đa thức đặc trưng A P đa thức K[X] (1) Chứng minh PA P khơng ngun tố P (A) không khả nghịch (2) Chứng minh đa thức PA P nguyên tố nhau, P (A) khả nghịch (3) Xét ma trận A sau   0 A = 0 −1 1 −1 Các ma trận A, A2 + A A2 − A có khả nghịch không? Bài tập 151 Cho E K−không gian vector chiều n (∞ > n ≥ 1, K R C), f tự đồng cấu E Pf (X) đa thức đặc trưng f Ký hiệu P (X) ước bất khả quy Pf (X) r số nguyên lớn cho P r chia hết P R đa thức thỏa mãn Pf = P r R a Cho Pmin,f đa thức tối tiểu f Chứng minh tồn số nguyên s với ≤ s ≤ r đa thức S chia hết R thỏa mãn Pmin,f = P s S b Chứng minh bao hàm sau Ker(P s (f )) ⊂ Ker(P r (f )), Ker(S(f )) ⊂ Ker(R(f )) 24 c Chứng minh đẳng thức sau Ker(P s (f )) = Ker(P r (f )), Ker(S(f )) = Ker(R(f )) d Chứng minh s số nguyên k nhỏ thỏa mãn Ker(P k (f )) = Ker(P r (f )) 22 Dạng song tuyến tính Tính chất không gian vector Euclide Bài tập 152 Trong không gian vector thực R3 với sở {e1 , e2 , e3 } Dạng song tuyến tính sau xác định tích vơ hướng? (a) ϕ(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ) = x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 (b) ϕ(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ) = x1 y1 − x2 y2 + 5x3 y3 (c) ϕ(x1 e1 + x2 e2 + x3 e3 , y1 e1 + y2 e2 + y3 e3 ) = 5x1 y1 + 3x2 y2 + x3 y3 − 2x1 y2 − 4x2 y3 Bài tập 153 Tìm điều kiện cần đủ a, b, c, d ∈ R cho dạng song tuyến tính R2 sau ϕ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = ax1 y1 + bx1 y2 + cx2 y1 + dx2 y2 tích vơ hướng Bài tập 154 Cho V không gian vector Euclide hữu hạn chiều (a) Chứng minh hệ vector trực giao cặp mà không chứa vector độc lập tuyến tính (b) Nếu W không gian vector V W ⊥ phần bù trực giao W V Chứng minh V = W ⊕ W ⊥ Ta gọi phân tích phân tích trực giao (đối với tích vơ hướng V ) (c) Cho W1 , W2 hai không gian V thỏa mãn dim W1 < dim W2 Chứng minh tồn vector khác W2 trực giao với không gian W1 Bài tập 155 (Bất đẳng thức Bessel) Cho V không gian vector Euclide hữu hạn chiều e1 , , ek hệ vector trực chuẩn Chứng minh với v ∈ V, ta có bất đẳng thức sau k | v, ei |2 ≤ v i=1 Bình luận Bất đẳng thức khơng khó tổng qt lên cho khơng gian vơ hạn chiều lại có ứng dụng đặc sắc giải tích Fourier Các bạn tham khảo [17], sách hay Bài tập 156 Cho V1 , V2 không gian không gian vector Euclide hữu hạn chiều Chứng minh (V1 + V2 )⊥ = V1⊥ ∩ V2⊥ (V1 ∩ V2 )⊥ = V1⊥ + V2⊥ 25 Bài tập 157 Cho R3 khơng gian vector Euclide với tích vơ hướng tắc Hãy xác định khơng gian Ker(f )⊥ Im(f )⊥ (chiều, sở) tự đồng cấu f có ma trận biểu diễn  sở chínhtắc là    −3 −3 (a) 6 −6 −4 , (b) 2 8 , (c) 2 −1 1 −5 −3 Bài tập 158 Trong không gian vector Euclide R3 trang bị tích vơ hướng tắc, thực q trình trực chuẩn hóa Gram-Schmidt sở sau: (1,1,0), (0,1,1), (1,0,1) (-1,1,2), (3,-1,1), (1,0,-1) (1,2,0), (-2,0,1), (1,-1,1) 23 Ánh xạ tuyến tính trực giao Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính hai không gian vector Euclide f gọi ánh xạ tuyến tính trực giao f u, f v = u, v với u, v ∈ V f gọi đẳng cự f u = u với u ∈ V Đối với ánh xạ tuyến tính, hai khái niệm trực giao đẳng cự Kết bạn xem giáo trình tự chứng minh lấy Bài tập 159 Cho E F hai không gian vector Euclide hữu hạn chiều Tìm điều kiện cần đủ để có ánh xạ đẳng cự từ E vào F Bài tập 160 Cho f tự đồng cấu trực giao không gian vector Euclide Rn Chứng minh sở trực chuẩn Rn , ma trận biểu diễn f có dạng   cos a11 cos a12 cos a1n  cos a21 cos a22 cos a2n    Mf =     cos an1 cos an2 cos ann với aij ∈ R với i j 24 Bài tập tổng hợp Bài tập 161 Cho V không gian vector Euclide v1 , v2 , , vk vector V Đặt Gr(v1 , v2 , , vk ) = det( vi , vj )k×k Định thức gọi định thức Gram (hoặc Gram-Schmidt) hệ vector v1 , , vk (a) Chứng minh Gr(v1 , , vk ) ≥ (b) Chứng minh : Nếu định thức Gram v1 , , vk khác hệ vector v1 , , vk độc lập tuyến tính 26 Ý nghĩa hình học định thức Gram Định thức Gram hệ k vector bình phương thể tích k−chiều hình hộp định nghĩa k vector Các bạn thử với 1,2,3 vector để thấy điều Bài tập 162 Chứng minh định thức Gram Gr(v1 , v2 , , vk ) không thay đổi sau q trình trực giao hóa Gram-Schmidt Tức là, e1 , e2 , , ek kết nhận từ việc áp dụng trình cho v1 , v2 , , vk Gr(v1 , , vk ) = Gr(e1 , , ek ) = e1 ek Bài tập 163 Chứng minh bất đẳng thức ≤ Gr(v1 , , vk ) ≤ v1 vk Bài tập 164 Chứng minh bất đẳng thức Gr(u1 , , ur , v1 , , vs ) ≤ Gr(u1 , , ur )Gr(v1 , , vs ) Dấu xảy nào? Bài tập 165 Cho V không gian vector Euclide hữu hạn chiều Chứng minh phiếm hàm tuyến tính f ∈ V ∗ có dạng f (·) = v, · với v vector Bài tập 166 Tìm dạng tắc ma trận trực giao A tìm ma trận trực giao T Q cho √   Q2 AQ2 dạng  tắccủa 1A 1 − − 2 2√ 3 2 1  , (b)A =  (a)A =  − 2 √2 √2 2 1 −3 −2 3 Bài tập 167 Giả sử (e1 , e2 ) sở trực chuẩn mặt phẳng tự đồng cấu ϕ có ma trận A= sở gồm f1 = e1 f2 = e1 + e2 Tìm ma trận tự đồng cấu liên −1 hợp ϕ∗ sở (f1 , f2 ) Bài tập 168 Chứng minh U không gian vector bất biến với tự đồng cấu ϕ U ⊥ khơng gian bất biến tự đồng cấu liên hợp ϕ∗ Những tập sau bàn biến đổi đối xứng Phép biến đổi tuyến tính ϕ : V → V khơng gian vector Euclide V gọi biến đổi đối xứng (hay biến đổi tự liên hợp) ϕ = ϕ∗ , tức ϕu, v = u, ϕv với u, v ∈ V Bài tập 169 Chứng minh ma trận biểu diễn A phép biến đổi đối xứng sở trực chuẩn ma trận đối xứng, tức AT = A Bài tập 170 Chứng minh không gian riêng ứng với giá trị riêng khác phép biến đổi đối xứng trực giao với Bài tập 171 Mọi giá trị riêng phép biến đổi đối xứng không gian vector Euclide hữu hạn chiều giá trị riêng thực Nói cách khác, giá trị riêng ma trận đối xứng thực số thực Bài tập 172 Giả sử ϕ biến đổi đối xứng không gian vector Euclide V hữu hạn chiều Chứng minh rằng: Nếu U không gian bất biến ϕ U ⊥ 27 Bài tập 173 Chứng minh phép biến đổi tuyến tính ϕ khơng gian vector Euclide hữu hạn chiều V đối xứng tồn sở trực chuẩn V gồm toàn vector riêng ϕ Tóm lại, biến đổi đối xứng, hay ma trận đối xứng thực chéo hóa được, khơng vậy, ta chéo hóa ma trận đối xứng thực ma trận trực giao Tức là, A ma trận đối xứng thực, tồn ma trận trực giao Q cho QT AQ ma trận chéo Khi đó, ta nói cách ngắn gọn : A tương đương trực giao với ma trận chéo Bây ta đủ kiến thức để chứng minh hai định lý khó sau (tuy nhiên, phải sử dụng kiến thức không gian unita, may mắn bạn làm với khơng gian Euclide gần chạy tương tự cho không gian unita) Bài tập 174 (Định lý tam giác đồng thời[21]) Giả sử A1 , A2 , , Ak ma trận vuông phức cấp, giao hoán với Chứng minh tồn ma trận unita U thỏa mãn U ∗ Ai U ma trận tam giác Bài tập 175 (Định lý Schur[20]) Chứng minh ma trận vuông phức A tương đương unita với ma trận tam giác Nghĩa là: tồn ma trận unita U cho U ∗ AU ma trận tam giác 25 Dạng toàn phương Trong mục ta quan tâm trước tiên dạng toàn phương thực Về thuật ngữ: Toàn phương đơn giản toàn bình phương, có lẽ cách chơi chữ Tiếng Anh quadratic form (dạng bậc hai) Mỗi dạng toàn phương thực Rn có dạng H = ni,j=1 aij xi xj với aij = aji Tóm lại dạng tồn phương thực có dạng xT Ax với A ma trận đối xứng thực Như vậy, nói nghiên cứu dạng tồn phương thực tương đương với ma trận đối xứng thực Mà ma trận đối xứng thực biết nhiều tính chất Một điều nữa, mục có nhiều thuật ngữ lạ với bạn, nên đề nghị bạn tra [13] thuật ngữ này: ví dụ H-trực giao (H dạng toàn phương), dạng cực dạng toàn phương, hạch, số quán tính, số, ký số v.v Bài tập 176 Tìm dạng chuẩn tắc dạng tồn phương sau trường số thực Viết rõ phép biến đổi tuyến tính đưa dạng tồn phương dạng chuẩn tắc Từ cho biết số quán tính hạng dạng tồn phương (a) x21 + x22 + 3x23 + 4x1 x2 + 2x1 x3 + 2x2 x3 (b) x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 (c) 2x21 + 18x22 + 8x23 − 12x1 x2 + 8x1 x3 − 27x2 x3 Bài tập 177 Tìm biến đổi tuyến tính khơng suy biến đưa dạng toàn phương H dạng toàn phương K (a) H = 2x21 + 9x22 + 3x23 + 8x1 x2 − 4x1 x3 − 10x2 x3 , K = 2y12 + 3y22 + 6y32 − 4y1 y2 − 4y1 y3 + 8y2 y3 (b) H = 3x21 + 10x22 + 25x23 − 12x1 x2 − 18x1 x3 + 40x2 x3 , K = 5y12 + 6y22 + 12y1 y2 28 Bài tập 178 Cho dạng toàn phương 2 H = f12 + f22 + + fp2 − fp+1 − − fp+q , fi dạng tuyến tính thực biến x1 , x2 , , xn Chứng minh số quán tính dương H khơng vượt q p số qn tính âm khơng vượt q q Bài tập 179 Chứng minh đưa dạng toàn phương H K dạng phép biến đổi tuyến tính (khơng thiết khả nghịch) dạng tương đương Bài tập 180 Tìm hạng ký số dạng tồn phương thực H tương đương với −H phép biến đổi tuyến tính thực khơng suy biến Bài tập 181 Tìm số lớp tương đương dạng tồn phương thực n ẩn có ký số s cho Bài tập 182 Tìm tất giá trị tham số λ dạng toàn phương sau xác định dương (a) x21 + x22 + 5x23 + 2λx1 x2 − 2x1 x3 + 4x2 x3 (b) x21 + 4x22 + x23 + 2λx1 x2 + 10x1 x3 + 6x2 x3 26 Nâng cao Bài tập 183 Ma trận unita có chéo hóa khơng? Bài tập 184 Chứng minh ma trận chuẩn tắc chéo hóa chéo hóa trận unita Ở đây, ma trận vuông phức A gọi chuẩn tắc AA∗ = A∗ A, với A∗ = A¯T , chuyển vị liên hợp A Bài tập 185 Cho A ma trận đối xứng thực cấp n Giả sử λ1 λn giá trị riêng nhỏ lớn A Chứng minh λ1 x với x ∈ Rn , · ≤ xT Ax ≤ λn x chuẩn Euclide thơng thường Bình luận Đây bất đẳng thức Rayleigh, có nhiều ứng dụng đại số tuyến tính số Các bạn tham khảo [14] Bài tập 186 Chứng minh rằng: Ma trận thực đối xứng A xác định dương A viết dạng A = C T C với C ma trận không suy biến Bài tập 187 Chứng minh rằng: Nếu A ma trận thực đối xứng, xác định dương, tồn ma trận xác định dương D cho A = D2 29 Bình luận Ma trận D bậc hai A chứng minh D ma trận thỏa mãn tính chất tập Tuy nhiên, để chứng minh điều đó, ta cần lý thuyết C ∗ −đại số, ví dụ tham khảo [12] [18] Bài tập 188 Giả sử U ma trận Gram sở khơng gian A ma trận tự đồng cấu tuyến tính ϕ sở Tìm ma trận biểu diễn biến đổi liên hợp ϕ∗ sở nói trên, biết rằng:     −2 −1 , A = 2 3 U = −2 −1 Bài tập 189 Chứng minh giá trị riêng ma trận thực A thuộc đoạn [a, b] dạng toàn phương với ma trận A − λI xác định dương với λ < a xác định âm với λ > b Bài tập 190 Giả sử A B hai ma trận thực đối xứng Chứng minh giá trị riêng A thuộc [a, b] giá trị riêng B thuộc [c, d] giá trị riêng A + B thuộc đoạn [a + c, b + d] Bài tập sau lấy từ giảng GS C Mehl trường thu Việt-Đức, tổ chức viện Toán 2009[16] Bài tập 191 Ma trận vuông A gọi ma trận Hessenberg, hệ số đường chéo thứ 0, tức A = (aij )n×n aij = với i > j + Ma trận Hessenberg A gọi không thu gọn ai+1,i = với i = 1, , n − Cho A ∈ M(n × n, C) ma trận Hessenberg không thu gọn, ≤ k ≤ n − = x ∈ S = span{e1 , , ek } Ở e1 , , en sở tắc Cn (a) Chứng minh rằng: Mọi không gian A−bất biến chứa x có chiều n − k + (b) Chứng minh rằng: Nếu U không gian bất biến A liên kết với n − k giá trị riêng có giá trị tuyệt đối nhỏ S ∩ U = {0} (c) Chứng minh A ma trận cyclic, tức λ giá trị riêng A phân tích Jordan A, có nhiều khối Jordan ứng với giá trị riêng Bài tập 192 (Tích Hadamard) Cho A = (aij ) B = (bij ) hai ma trận vuông cấp n với hệ số thực phức Khi ta định nghĩa tích Hadamard hai ma trận A ◦ B = (aij bij ) (a) Chứng minh rằng: Nếu A B hai ma trận thực nửa xác định dương (tức xT Ax ≥ với x ∈ Rn ) A ◦ B (b) Chứng minh rằng: Nếu A B ma trận thực xác định dương A ◦ B (c) (Định lý tích Schur) Chứng minh rằng: Nếu A B ma trận thực nửa xác định dương det(A ◦ B) ≥ det A det B 30 Bình luận Những tập lạ lạ có tương đối nhiều lý thuyết ma trận thường khó Các bạn tham khảo [15], sách trình bày nhiều kết Về tích Hadamard, bạn xem [23] Trong Horn/Johnson có kết tích Hadamard Bài tập 193 (Phân tích cực ma trận [24]) (a) Chứng minh ma trận vuông thực A phân tích dạng A = V P với V ma trận trực giao, P ma trận đối xứng thực có tất giá trị riêng khơng âm Chứng minh phân tích Ngồi A phân tích dạng A = P V với P V thỏa mãn điều kiện (b) Chứng minh ma trận vuông phức A phân tích dạng A = U P với U ma trận unita, P ma trận hermite nửa xác định dương Bài tập 194 (Phân tích QR[22]) Chứng minh ma trận thực khơng suy biến A viết cách dạng A = QR, Q ma trận trực giao R ma trận tam giác với phần tử đường chéo số dương Bài tập 195 (Elliptical Range Theorem[19]) Cho A ma trận vuông cấp hệ số phức với giá trị riêng λ1 , λ2 Ký hiệu W (A) := { Ax, x : x ∈ C2 , x = 1}, gọi miền số (numerical range) ma trận A Chứng minh rằng: W (A) miền ellipse (ellipse + miền xác định nó) với tiêu điểm λ1 λ2 , với trục nhỏ {Tr(A∗ A) − |λ1 |2 − |λ2 |2 }1/2 Bài tập 196 (Phân tích giá trị kỳ dị) Cho M ma trận phức cấp m × n Chứng minh tồn ma trận unita U cấp m V cấp n cho M viết dạng M = U ∗ ΣV với Σ ma trận cấp m × n chéo (nghĩa phần tử Σij với i = j 0) thỏa mãn: phần tử chéo Σ số thực không âm Các giá trị nằm đường chéo Σ gọi giá trị kỳ dị M Xem thêm chuyện [26] Đây kết hay dùng 27 Lấy từ nguồn bên Bài tập 197 Cho A ma trận trực giao, I ma trận đơn vị cấp Chứng minh det(A + I) = (trích kỷ yếu Olympic sinh viên 2013) Bài tập 198 [25] Cho A ma trận vng cấp n có phần tử −1 Ta có số kết quen thuộc: Với n = 3, det A ≤ Với n = 4, det A ≤ 16 Với n = 5, det A ≤ 48 An 2n−1 Ở đây, An = det A với n cấp A Bài tập 199 Nếu U không gian vector V thỏa mãn V = U ⊕ W với W đó, W gọi phần bù tuyến tính U V Hãy phần bù tuyến tính khơng gian vector thực sau R3 tương ứng R4 31 (a) U = span{(1, 2, 3), (−2, 3, 1), (4, 1, 5)} (b) U = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : 3x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 0} Bài tập 200 Giả sử K−không gian vector V = U1 + U2 + + Un tổng không gian vector Ui hữu hạn chiều Chứng minh tổng tổng trực tiếp dim V = ni=1 dim Ui Bài tập 201 Cho V không gian vector hữu hạn chiều không tầm thường (nghĩa V = {0}) f : V → V tự đồng cấu (a) Chứng minh f không đơn cấu f = tồn = g ∈ End(V ) thỏa mãn f g = (b) Chứng minh f khơng tồn cấu f = tồn = g ∈ End(V ) thỏa mãn gf = Bài tập 202 Tính lũy thừa sau −1 1 n , sau tính giới hạn sau a n − n lim  a n→∞ n  với a số thực cố định Bài tập 203 Cho U không gian vector R−không gian vector hữu hạn chiều V r số nguyên dương cố định Tìm điều kiện cần đủ chiều U để ta tìm phần bù tuyến tính U1 , U2 , , Ur U V thỏa mãn U1 + U2 + + Ur = ri=1 Ui Ở đây, không gian vector W V gọi phần bù tuyến tính U V V = U ⊕ W Bài tập 204 Cho ma trận A = a b c d ∈ M(2 × 2, R) (a) Chứng minh A2 − (a + d)A + (ad − bc)I = với I ma trận đơn vị (b) Chứng minh tồn k ∈ N\{0, 1} thỏa mãn Ak = A2 = Một số toán hay topic này: http://forum.mathscope.org/showthread.php? t=26457&page=2 Một thi IMC (toán quốc tế sinh viên) http://forum.mathscope.org/ showthread.php?t=14888 Tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, tập [2] Hewitt E., Stromberg K., Real and Abstract Analysis [3] Đỗ Đức Thái, Giáo trình đại số tuyến tính 2012, ĐHSPHN [4] Lang, Serge Linear algebra Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass.-Don Mills, Ont 1966 x+294 pp [5] Brown R., Porter T., http://pages.bangor.ac.uk/~mas010/methmat.html 32 [6] Hoffman, Kunze, Linear Algebra [7] Đồn Quỳnh (chủ biên), Giáo trình Đại số tuyến tính Hình học giải tích [8] Nguyễn Dỗn Tuấn, Phan Huy Phú, Bài tập Đại số tuyến tính [9] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập [10] Polynơme caractéristique de AB et BA, http://www.les-mathematiques.net/phorum/ read.php?3,640584 [11] Exercices guidés sur le théorème de Cayley-Hamilton http://www.uel.education.fr/ consultation/reference/mathematiques/reducmat1/sexercer/fe2.1002/index htm [12] Conway, John B A course in operator theory Graduate Studies in Mathematics, 21 American Mathematical Society, Providence, RI, 2000 xvi+372 pp [13] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính [14] Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F Matrix computations Johns Hopkins Series in the Mathematical Sciences, Johns Hopkins University Press, Baltimore, MD, 1983 xvi+476 pp [15] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R Matrix analysis Corrected reprint of the 1985 original Cambridge University Press, Cambridge, 1990 xiv+561 pp [16] Mehl C., Numerical Linear Algebra Lecture Notes http://forum.mathscope.org/ showthread.php?t=13826 [17] Rudin, Walter Real and complex analysis Third edition McGraw-Hill Book Co., New York, 1987 xiv+416 pp [18] Rudin, Walter Functional analysis Second edition International Series in Pure and Applied Mathematics McGraw-Hill, Inc., New York, 1991 xviii+424 pp [19] Numerical Range,http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical_range [20] Schur decomposition, http://en.wikipedia.org/wiki/Schur_decomposition [21] Simultaneous triangularization, http://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_matrix# Simultaneous_triangularisability [22] QR decomposition, http://en.wikipedia.org/wiki/QR_decomposition [23] Hadamard product, %28matrices%29 http://en.wikipedia.org/wiki/Hadamard_product_ [24] Matrix polar decomposition http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_decomposition# Matrix_polar_decomposition [25] Một số kết định thức ma trận có hệ số ±1,http://forum.mathscope.org/ showthread.php?t=33256 [26] Singular Value Decomposition, http://en.wikipedia.org/wiki/Singular_value_ decomposition 33 ... có số vector Số gọi chiều V Bài tập 51 Trong hệ sau đây, hệ lập thành sở R3 ? (a) (2,4 ,-4 ), (3,5 ,-2 ) (b) (1, 0 , -1 ), (3,2,0), (0,4 ,-3 ), (-2 ,1, 3) (c) (1, 1 ,1) , (1, 2,3), (3 ,-2 ,1) (d) (1, 1,2), (1, 2,5),... 1 1 −5 −3 Bài tập 15 8 Trong không gian vector Euclide R3 trang bị tích vơ hướng tắc, thực q trình trực chuẩn hóa Gram-Schmidt sở sau: (1, 1,0), (0 ,1, 1), (1, 0 ,1) ( -1 ,1, 2), (3 , -1 ,1) , (1, 0 , -1 )... (1, 1,0), (1, 1 ,1) (0 ,1 , -1 ) (e) (0 ,1, 1), (0,2 ,1) (1, 5,3) Bài tập 38 ([4]) Viết vector X thành tổ hợp tuyến tính hai vector A B Viết tọa độ tương ứng X A B (a) X = (1, 0), A = (1, 1) , B = (0, 1)