−∞ x ∞ −∞ y y / + + x −∞ x1 − ∞ − CÑ + ∞ y/ + y −∞ y − y −∞ + CT − +∞ a + a/c a/c + −d/c − − ∞ + || + ∞ ||− ∞ y= a/c y= a/c + Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a≠0) + TXĐ : D = R + Đạo haøm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b) a,b dấu a, b trái dấu y/ = ⇔ x = y/ = ⇔ 2x (2ax2 + b) = ⇔ x= 0; x1,2=± − •KL: tăng? Giảm b 2a •KL: tăng? Giảm? • Giá trị cực trò: y(0)= c ; y(± − b ) =− 2a ∆ 4a Có cực trị + Giới hạn : + ( a > 0) ∞ lim ( ax + bx + c) =   y/ ∞ − a>0 x →±∞ + Bảng biến thiên : x −∞ ad − bc y ∞ + Vẽ đồ thị : − Vẽ tiệm cận , điểm đặc biệt − Cho điểm phía tiệm cận đứng vẽ nhánh , lấy đối xứng nhánh qua giao điểm hai tiệm cận a0 ; có CT x + lim + x2 CĐ ax + b =∞ x →− d / c cx + d ax + b a a •y= tiệm cận ngang lim = c c x → cx + d ∞ + Tiệm cận: • x = − x= −d/ c ∞ y/ y y/ < ∀ x ∈D y/ > ∀ x ∈D Hàm số cực trị Hàm số nghịch biến D Hàm số đồng biến D x= −d/ c HƯỚNG DẪN ÔN THI TNTHPT NĂM 2009 (Ban bản) A ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH PHẦN 1: HÀM SỐ Bài tốn 1: Khảo sát hàm số 1.Hàm số bậc : y = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0) + TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với ∆/ = b2 − 3ac ∆/ ≤ ∆/ > / y dấu với hệ số a y/ = có hai nghiệm x1; x2 •KL: hàm số tăng trên? (giảm trên?) •KL: hàm số tăng? Giảm? •Hàm số cực trị • Cực tri ̣ cực đại? Cực tieåu? ∞ + ( a > 0) + Giới hạn: • lim ( ax + bx + cx + d ) =  x →+∞ −∞ ( a < 0)  ∞ − ( a > 0) • lim ( ax + bx + cx + d ) =  x →−∞ +∞ ( a < 0) a>0 + Bảng biến thiên: x −∞ x −∞ + x1 x2 + c + + −∞ ( a < 0) x −∞ ∞ y/a < − x1 0 + x2 − + + CT ∞ x −∞ y/ y + ∞ −∞ ∞ y +∞ + ∞ x −∞ y/ + y +∞ − CÑ ∞ − CÑ x1 + − c CÑ CT ∞ CT + x2 + CT ax + bx + c ex + f y= + Đạo hàm : y = (e.x + f ) ∆/ < / y dấu với ae Hàm số cực trị đứng có ∆ =(af) −(bf−c e).ae 2 lim x →− f f ( x) e • Viết lại hàm số y = A x + B + ε(x); =∞ lim [ f ( x) − ( Ax + B )] = lim ε(x) =0 => y = a x + ( b − af ) t/c xiên x →∞ e e e2 a.e > y/ y ∞ + ∞ ∞ + − x −∞ y/ ∞ || ∞ ||− ∞ + || − x1 ∞ + −f/e − x −∞ + + y/ + y −∞ +∞ a.e < 0 − || − CÑ − ∞ ||+ ∞ x −∞ y/ x1 ∞ − x2 −f/e + || + + CT x2 −f/e + CÑ −∞ Xiên Xiên Xiên Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến : Tiếp tuyến M(x0; f(x0)) có phương trình : Từ x0 tính f(x0) ; • Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? P.trình tiếp tuyến M là: y = f/(x0)(x− x0) + f(x0) Tiếp tuyến qua(kẻ từ) điểm A(x1; y1) đồ thị h/s y =f(x) + Gọi k hệ số góc đường thẳng (d) qua A Pt đường thẳng (d) : y = k(x − x1) + y1 + Điều kiện để đường thẳng (d) tiếp xúc với Đồ thị (C) hệ phương trình : f(x) = k(x − x1 ) + y1 / f (x) = k (1) (2) có nghiệm tiếp tuyến ⊥ đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = − f + Tiệm cận : • x = − tiệm cận đứng e + Bảng biến thiên : x −∞ −f/e CT Thay (2) vào (1) giải tìm x => k = ? Kết luận Tiếp tuyến có hệ số góc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a ∆/ > y = có hai nghiệm x1; x2 • Giá trị cực trị tính theo CT : y = / 2ax + b e x →∞ + ∞ || −∞ (ban không khảo sát hàm số này)  f   e / − Xieân (đk : e ≠ ; tử không chia hết cho maãu ) ae.x + 2af x + (bf − ce) ∞ + + TXÑ: D = R\ − / y + + Vẽ đồ thị : ( hàm phân thức ) + Vẽ đồ thị : • cực đại , cực tiểu ; • y = −> x= ? giải pt trùng phương a> a> b 0 a< a< b>0 b hệ số góc tiếp tuyến f/(x0) + Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? −> f(x0) = ? + Phương trình tiếp tuyến y = k (x − x0) + f(x0) Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc : k1.k2 = −1 + Hai đường thẳng song song : k1 = k2 Bài toán 3: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị : + Giả sử phải biện luận số nghiệm Pt : F(x; m) = Trong đồ thị hàm số y = f(x) + Biến đổi phương trình dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m) + y = M đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C) + Tuỳ theo M xét tương giao đồ thị (C) với đồ thị y = M Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số : + MXĐ D= ? + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ + BXD (sắp nghiệm PT y/ = giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) * y/ > hàm số tăng ; y/ < hàm số giảm + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến khoảng Định lý (dùng để tìm giá trị m): a) f(x) tăng khoảng (a;b) f/(x) ≥ ∀ x ∈ (a;b) b) f(x) giảm khoảng (a;b) f/(x) ≤ ∀ x ∈ (a;b) Bài tốn 5: Cực trị hàm số • Dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( neáu có ) xét dấu y/ + BBT : (sắp nghiệm PT y/ = giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ? Chú ý: 1) Nếu hàm số tăng ( giảm)trên (a;b) khơng có cực trị (a;b) 2) Số cực trị hàm số số nghiệm đơn phương trình y/ = 3) y / ( x ) = x0 cực trị hàm số   y / ( x ) đổi dấu qua x0 • Dấu hiệu II: + MXĐ + Đạo hàm : y/ = ? y// = ? cho y/ = ( có ) => x1 , x2 … + Tính y//(x1); y//(x2)…… Nếu y//(x0) > hàm số đạt CT x0 , yCT= ? Nếu y//(x0) < hàm số đạt CĐ x0 , yCĐ= ? Chú ý : dấu hiệu II dùng cho h/s mà y/ khó xét dấu * Nếu y = f(x) đa thức đường thẳng qua điểm cực trị là: y = phần dư phép chia f(x) cho f/(x) Daïng 2: Cực trị hàm hữu tỉ : Cho h/s y = u v u(x) ; v(x) đa thức có MXĐ: D u′v − v′u g(x) Và y/ = = dấu y/ dấu g(x) v v Nếu h/s đạt cực trị x0 y/(x0)= => g(x0) = u/v−v/u = u′(x ) u′ u = => Do giá trị cực trị y(x0) = v′(x ) v′ v Bài toán 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Phương pháp tìm GTLN GTNN h/s [a;b]: + Miền xét [a;b] + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) _ x1 , x2 … chọn nghiệm thuộc [a;b] + Tính y(x1) ; y(x2) ……… So saùnh → KL y(a) ; y(b) + max y = ? [a;b] y = ? [a;b] P/pháp tìm GTLN GTNN h/s (a;b) MX Đ : + Miền xét (a;b) TXĐ + Đạo hàm : y/ = ? cho y/ = ( có ) xét dấu y/ + BBT: * Nếu toàn miền xét h/s có CT GTNN giá trị CT y = yCT [a;b] * Nếu toàn miền xét h/s có CĐ GTLN giá trị CĐ max y = yCĐ [a;b] * Nếu hàm số ln tăng (giảm) (a;b) khơng có cực trị khoảng (a;b) Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền xét ta tìm TXĐ h/s : + TXĐ đoạn [a;b]hoặc khoảng ta dùng cách + TXĐ khoảng dùng cách Bài toán : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng đường cong) Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x) Hoành độ giao điểm (C1) (C2) có nghiệm phương trình : f(x) = g(x) (1) • pt(1) vô nghiệm (C1) (C2) điểm chung • pt(1) có n nghiệm (C1) (C2) có n điểm chung * Số nghiệm (1) số giao điểm hai đường cong Điều kiện tiếp xúc : Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) heä pt f (x) = g(x)  f ′(x) = g′(x) có nghiệm Bài tốn 8: Cách xác định tiệm cận : *Tiệm cận đứng : lim f (x) = ∞ x → x0 => x = x0 laø tiệm cận đứng Chú ý : tìm x0 điểm hàm số không xác định *Tiệm cận ngang : lim f (x) = y x →∞ => y = y0 tiệm cận ngang Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( đưa dạng phân thức ) bậc tử ≤ bậc mẫu có tiệm cận ngang * Tiệm cận xiên (ban khơng có phần này): Cách 1: + viết hàm số dạng : f(x) = ax + b + ε (x) lim [f(x) –(ax + b)] = lim ε(x) = ⇒ y = ax + b tiệm cận xiên x →∞ x→ ∞ Cách 2: ta tìm hai hệ số a b ; [ ] f (x) b = lim f (x) − ax a = lim ; x →∞ x →∞ x ⇒ y = ax + b tiệm cận xiên Phần 2: Hàm số mũ logarit Bài toán 1: Dùng cơng thức tính biểu thức có chứa hàm số mũ hàm số logarit a−n = a ; a0 = ; n • Các quy tắc: ax.ay = ax+y a a x y =a m n m ( m; n nguyên dương , n > 1) an = a x a   ÷ b  x −y • Hàm số mũ : y = ax TXĐ : D = R = a b u a (a.b)x =ax.bx x x ( ax ) y ( y) = a x =a x.y với a > ; a ≠ f (x) = g(x) ⇔ f(x) = g(x) a v(x) = ⇔ ( u −1 ).v(x) = ( u có chứa biến ) a f (x) = b ( với b > ) ⇔ f(x) = log b a f (x) > log a f(x) = log a g(x) ⇔  f (x) = g(x) daïng: MGT : (0; +∞ ) x > x2 ⇔ a x1 > a x2 + < a < ; h/s nghòch bieán : x1 > x2 ⇔ a x1 < a x2 + a > ; h/s đồng biến : * Hàm số logarit: α = logaN ⇔ aα = N logax = b ⇔ x= ab • Đặc biệt : a log a x = x ; log a a x = x ; loga1 = • Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > ; a ≠ ta coù: log a (B.C) = log a B + log a C log a B  ÷ = log a B − log a C C β log aα Bβ = log a B α • Công thức đổi số : với a , b , c > ; a , c ≠ ta coù : log c a.log a b = log c b ⇔ log a b = < a, b ≠ : log a b = log c b log c a log b a log u(x) v(x) = b • Hàm số Logarit: y = log a x với a > ; a ≠ MGT : R Bài toán 2: Tính đạo hàm hàm số mũ logrit (ex) / = ex −> ( eu)/ = u/.eu ( ax) / = ax.lna −> ( au)/ = u/.au.lna u′ (lnx) / = x ∈(0;+∞) −> (lnu)/ = x u (logax) / = x ln a −> (logau )/ = u′ Đặt : t = a f (x) Ñk t > ; α b + f (x) +β a b −f (x) + γ = ; a Đặt : t = a f (x) Đk t > α a f (x) +β b f (x) + γ = a.b = 1; Đặt: t = a f (x) ; = b f (x) t f (x) f (x) 2f (x) +β 2f (x) = ; Đặt t =  a  α a + γ b a.b  ÷ b ( ) • Logarit hoá hai vế : Bài tốn 4: Giải bất phương trình mũ logarit • Dạng : a f (x) > b ⇔ f (x) > g(x) f (x) < g(x)  Neáu b ≤ 0 Neáu b > a > < a < có nghiệm ∀x f(x) > log a b neáu a > f(x) < log a b neáu < a < f (x) < b ⇔ a Neáu b ≤ pt vô nghiệm Nếu b > ; f(x) < log a b neáu a > f(x) > log a b neáu < a < •log a f(x) > log a g(x) ⇔ Ñk: f(x) > ; g(x) > ; < a ≠ (a−1)[ f(x) − g(x) ] > •log a f(x) > b ⇔ •log a f(x) < b * Nếu a > : bpt f(x) > a b * Neáu < a < bpt laø < f(x) < a b u ln a Bài tốn3: giải phương trình mũ logarit : • Dạng bản: v(x) > ; u(x) > ; u(x) ≠   b v(x) = [ u(x)]  • Đặt ẩn phụ : α a 2f (x) +β a f (x) + γ = + a > ; h/s đồng biến : x1 > x2 > ⇔ log a x1 > log a x2 + < a < 1;h/s ngh bieán: x1 > x2 > ⇔ log a x1 a g(x) ⇔ Chú ý : log10x = lg x ; log e x = ln x TXĐ : D = (0 ; +∞ ) log a f (x) = b  0 < a ≠ g(x) > ⇔ * Neáu a > : bpt < f(x) < a b * Nếu < a < bpt laø f(x) > a b ( • u(x) ) v(x) a2 + x2 ; > ⇔ u(x) > vaø [ u(x) −1 ].v(x) > • ( u( x )) v( x ) < ⇔ u(x) > vaø [ u(x) −1 ].v(x) < Lưu ý: *) trường hợp có ẩn số nên sử dụng cơng thức sau để tốn trở nên dễ dang 10 a f (x) > a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > 20 log a f(x) > log a g(x)  (a−1)(f(x) − g(x)) > *) Khi giải tốn bất phương trình mũ logarit phải nắm thật vững tính chất đơn điệu hai hàm số *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao hai hay nhiều tập hợp số Phần 3: Ngun hàm Bài tốn 1: Tìm ngun hàm (dựa vào bảng nguyên hàm hàm số bản) α+1 ∫ dx = x + C (ax + b) α + C (α ≠-1) ∫ (ax + b) dx = α+1 x a( α + 1) α + C (α ≠-1 ) ∫ x dx = α +1 dx = lnax+ b + C ∫ dx ax + b a = lnx + C ( x≠ 0) ∫ x ax + b dx = eax+b + C ∫e x = ex + C ∫ e dx a x αx + b a a x αx +β +C ∫ a dx = dx = +C ∫a ln a α ln a ∫ Cosx.dx = Sinx + C ∫ Cos(ax + b).dx = ∫ Sinx.dx = − Cos x + C dx ∫ = ∫ (tg x + 1).dx = tgx Cos x dx ∫ = ∫ (Cotg x + 1).dx Sin x = −Cotgx ∫ ∫ dx dx Sin (ax + b) a =− a Cotg(ax+ b) + C I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx = ∫ f (t)dt Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu khơng tính theo dạng tích phân có chứa số hàm biểu thức sau đổi biến sau: 2 a −x ; a −x đặt x = asint @ Dạng u = f ( x ) du = f '( x ) dx     sin ax  sin ax  ⇒  dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx    ax   ax    e  e    Đặt Sau thay vào công thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính ∫ f ( x ) ln( ax + b )dx @ Dạng 2: Đặt  u = ln( ax + b ) du = ⇒  dv = f ( x ) dx v = ∫  @ Dạng 3: ∫ e Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx  sin ax  ∫ f ( x ) cosax dx với f(x) đa thức:  ax  e  Cos(ax+ b) + C Bài tốn 2: Tìm ngun hàm phương pháp đổi biến số Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)].u '(x)dx cách đặt t = u(x)  Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv a.dx ax + b f ( x ) dx Sau thay vào cơng thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính = tg(ax+ b) + C Cos (ax + b) a Bài tốn 3: Tìm ngun hàm phương pháp phần: Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I ∫ u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) − ∫ v(x).u '(x)dx Sin(ax+ b) + C a ∫ Sin(ax + b).dx = − + x đặt x = atant a ax sin ax  cosax dx   Ta thực phần hai lần với u = eax Bài toán 4: Tìm nguyên hàm hàm số lượng giác (một số dạng bản) Dạng 1: ∫ sin(ax+b).sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx ∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx * Thực công thức biến đổi tích thành tổng tính tích phân Dạng 2: ∫ sin n ax.cos maxdx (n,m số nguyên dương) *) Nếu n lẻ, m chẵn đặt t = cosax *) m lẻ, n chẵn đặt t = sinax *) Nếu n,m chẵn : Dùng cơng thức nhân đơi sau dung tiếp cơng thức hạ bậc để tính (nếu số n n = số lại số chẵn ta dung cơng thức hạ bậc) *) n,m ∈ Z n+m số nguyên chẵn đặt t = tanax t = cotax Dạng 3: ∫ R(sinx,cosx)dx R hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học) *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ sinx tức R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ cosx tức R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = sinx *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn sinx cosx tức R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx Bài tốn 5: Tìm nguyên hàm hàm số hữu tỷ f (x) dx f(x), g(x) đa thức theo x Yêu cầu tính g(x) ∫ Trường hợp 1: Bậc f(x)≥ Bậc g(x) thực phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta f (x) r(x) = h(x) + dẫn đến: Trong h(x) (thương phép chia) đa thức g(x) h(x) r(x) (phần dư phép chia) đa thức có bậc nhỏ bậc g(x) f (x) r(x) ( )dx = h(x)dx + dx Như h(x)dx ta tích bảng Nên g(x) h(x) ∫ ∫ ∫ ngun hàm ta cịn phải tính Trường hợp 2: tính ∫ 2 a −x ; a −x a2 + x2 ; Bài toán 3: Tìm nguyên hàm phương pháp phần: Nếu u = u(x) , v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục b b b [a;b] I = ∫ udv = u.v a − ∫ vdu a a phân tích các hàm số dễ phát hiện u và dv ∫ @ Dạng α r(x) ∫ f (t)dt u(a) với f(x) đa thức: u = f ( x ) du = f '( x ) dx     sin ax  sin ax  ⇒  cos ax  dx   dv =  v = ∫ cosax  dx  ax ax   e  e    r(x) u(b) sin ax  f ( x ) cosax dx  ax  e  β ∫ g(x) dx với bậc r(x) nhỏ bậc g(x) b I = ∫ f [u(x)]u / dx = a đặt x = asint 2 + x đặt x = atant a ∫ g(x) dx theo trường hợp sau *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích nhị thức *) Dùng cách đồng thức sau: chắn hạn: r(x) r(x) A B C = = + + g(x) a(x − α ).(x − x )2 (x − x1) (x − x ) (x − x ) (*) ( x1; x2 nghiệm 2 g(x) *) ta quy đồng bỏ mẫu ta biểu thức (**) sau cho giá trị x vào biểu thức (**) để tìm hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x nghiệm g(x) để tìm hệ số dễ dàng) *) sau thay vào biểu thức dấu tích phân để tính Lưu ý: Xét trình độ THPT thường gặp phải g(x) phân tích thành tích nhị thức Phần 4: Tích phân Bài tốn 1: Tính tích phân cách sử dụng tính chất nguyên hàm Bài tốn 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b Dạng 1: Tính I = ∫ f [u(x)]u / dx cách đặt t = u(x) a  Đặt t = u(x) ⇒ dt = u '(x)dx  Đổi cận x=a => t = u(a) x=b => t = u(b)  β Dạng 2: Tính I = ∫ f (x)dx Nếu khơng tính theo dạng tích phân có α chứa số hàm biểu thức sau đổi biến sau: Đặt Sau thay vào cơng thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính β ∫ f ( x ) ln( ax + b )dx @ Dạng 2: Đặt α  u = ln(ax + b ) du = ⇒  dv = f ( x ) dx v = ∫  a.dx ax + b f ( x ) dx Sau thay vào cơng thức ∫ udv = uv − ∫ vdu để tính β @ Dạng 3: ∫ e α ax sin ax  cosax dx   Ta thực phần hai lần với u = eax Bài toán 4: Tính tích phân hàm số lượng giác (một số dạng bản) β β Dạng 1: ∫ sin(ax+b)sin(cx+d)dx ; ∫ sin(ax+b).cos(cx+d)dx α α β ∫ cos(ax+b).cos(cx+d)dx α * Thực cơng thức biến đổi tích thành tổng tính tích phân β Dạng 2: ∫ sin n ax.cos max.dx (n,m số nguyên dương) α *) Nếu n lẻ, m chẵn đặt t = cosax *) m lẻ, n chẵn đặt t = sinax *) Nếu n,m chẵn : Dùng cơng thức nhân đơi sau dung tiếp cơng thức hạ bậc để tính (nếu số n n = số cịn lại số chẵn ta dung công thức hạ bậc) *) n,m ∈ Z n+m số ngun chẵn đặt t = tanax t = cotax β Dạng 3: ∫ R(sinx,cosx)dx R hàm số hữu tỷ (mở rộng thi đại học) α *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ sinx tức R(−sinx, cosx) = −R(sinx, cosx)thì ta đặt t = cosx *) Nếu R(sinx, cosx) lẻ cosx tức R(sinx, −cosx) = −R(sinx, cosx) ta đặt t = sinx *) Nếu R(sinx, cosx) chẵn sinx cosx tức R(−sinx,− cosx) = R(sinx, cosx)thì ta đặt t = tanx Bài tốn 5: Tính tích phân hàm số hữu tỷ β f (x) dx f(x), g(x) đa thức theo x Yêu cầu tính ∫ α g(x) Trường hợp 1: Bậc f(x)≥ Bậc g(x) thực phép chia đa thức f(x) cho g(x) ta f (x) r(x) = h(x) + dẫn đến: Trong h(x) (thương phép chia) đa thức g(x) h(x) r(x) (phần dư phép chia) đa thức có bậc nhỏ bậc g(x) β f (x) β β r(x) dx = ∫ h(x)dx + ∫ dx Nên ∫ α g(x) α α h(x) β Như ∫ h(x)dx ta tích bảng ngun hàm ta cịn phải tính α β r(x) dx theo trường hợp sau ∫ α g(x) β r(x) dx với bậc r(x) nhỏ bậc g(x) Trường hợp 2: tính ∫ α g(x) *) Phân tích mẫu số g(x) thành tích nhị thức *) Dùng cách đồng thức sau: chắn hạn: r(x) r(x) A B C = = + + (*) ( x1; x2 nghiệm g(x) a(x − α ).(x − x ) (x − x1) (x − x ) (x − x ) g(x) *) ta quy đồng bỏ mẫu ta biểu thức (**) sau cho giá trị x vào biểu thức (**) để tìm hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x nghiệm g(x) để tìm hệ số dễ dàng) *) sau thay vào biểu thức dấu tích phân để tính Lưu ý: Xét trình độ THPT thường gặp phải g(x) phân tích thành tích nhị thức Bài tốn 6: Tính tích phân chứa dấu giá trị tuyên đối b Tính ∫ f (x) dx a +) Tìm nghiệm f(x) = Nếu f(x) = vô nghiệm (a;b) có có nghiệm khơng có nghiệm thuộc [a;b] có nghiệm x = a x = b nghiệm cịn lại khơng thuộc [a;b] b b ∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx a a c b b Nếu f(x) = có nghiệm x = c ∈(a;b) ∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx a c a *Chú ý 1) Nếu có nhiều nghiệm (a;b) dung cơng thức tùy theo trường hợp nghiệm (cách làm có lợi ta khơngcần xét dấu f(x)) 2) Ở mức độ thi TNTHPT không cần nắm bất đẳng thức tích phân Phần 5: Diện tích hình phẳng − thể tích vật thể trịn xoay Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng • Hình phẳng giới hạn : y hàm số y = f (x) liên tục [a;b]  trục hoành y = 0; x = a; x = b b b Diện tích : S = ∫ | f (x) | dx a a Chú ý : thiếu cận a, b giải pt : f(x) = • Hình phẳng giới hạn : y  hàm số y = f (x) liên tục [a; b]   hàm số y = g(x) liên tục [a; b] x = a; x = b  x y=f(x) y=g(x) b a x b Diện tích : S = ∫ | f (x) − g(x) | dx a Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giaûi pt : f(x) = g(x) 2) Nếu tốn qua phức tạp ta vẽ hình để xác định hình phẳng tính thong qua tổng hiệu nhiều hình Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay : * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đường :  hàm số y = f (x) liên tục [a; b] b  quay quanh trục Ox f(x) ≥ [a;b] V trục hoành y = 0; x = a;x = b b = π ∫ f (x) dx   a * Thể tích hình tròn xoay hình phẳng giới hạn đường :  hàm số x = f (y) liên tục [c;d] b  quay quanh trục Oy f(y) ≥ [a;b] V trục tung x = 0;y = c; y = d d = π ∫ f (y) dy   c x x Phần 6: Số phức Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,… Cho hai số phức a+bi c+di 1) a+bi = c+di  a = c; b = d 2) môđun số phức z = a + bi = a + b 3) số phức liên hiệp z = a+bi z = a − bi * z+ z = 2a; z z = z = a + b 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) −( c+di) = (a−c)+(b−d)i 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac − bd)+(ad+bc)i c + di = [(ac+bd)+(ad-bc)i] 7) z = a + bi a + b Bài toán 2: Giải phương trình bậc Cho phương trình ax2 + bx + c = với ∆ = b2 − 4ac b Nếu ∆ = phương trình có nghiệp kép x1 = x = − (nghiệm thực) 2a Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm thực: x = Nếu ∆ < phương trình có hai nghiệm phức x = −b ± ∆ 2a −b ± i ∆ 2a B HÌNH HỌC Phần 1: Thể tích, diện tích khối hình Bài tốn 1: Tính diện tích xung quanh (Sxq), diện tích tồn phần(Stp) khối nón,trụ,cầu  Khối nón: Sxq = πrl; Stp = πr(r + l)  Khối trụ: Sxq = 2πrl; Stp = 2πr(r + l)  Khối cầu: S = 4πr2 Bài tốn 2: Tính thể tích khối hình 1 * Khối hình chóp V = Bh ; * Khối nón V = πr h 3 * Khối hình trụ V = πr2h ; * Khối cầu V = πr * Khối lăng trụ: V= Bh Phần 2: Phương pháp tọa độ không gian → → → → → a = (x;y;z) ⇔ a = x i + y j + z k → → Tính chất : Cho a = (a1;a2; a3) , b = (b1;b2; b3) → → • a ± b =(a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3) → • a k = (ka1;ka2;ka3) k∈R →→ → → Tích vô hướng : a b = a1.b1 + a2.b2 +a3.b3= a . b Cos ϕ a1b1 + a 2b + a 3b3 Cos ϕ = + a + a b2 + b2 + b2 a1 3 → → ⇔ a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = a ⊥ b → → → → → → → → → a phương b ; a ≠ ⇔ b = k a ⇔ [ a , b ] = Toạ độ điểm: → → → → M = (x;y;z)⇔ OM = x i + y j + z k → AB = ( xB− xA ; yB−yA;zB −zA) → → • M chia đoạn AB theo tỉ soá k≠1 ( MA = k MB ) x A − k.x B  x M = 1− k  y A − k.y B  Thì M:  y M = 1− k   z A − k.z B zM = 1− k  xA + xB  x M =  yA + yB  • I trung điểm AB I:  y M =   zA + zB zM =    x G = (x A + x B + x C )   • G trọng tâm tam giác ABC G:  yG = (y A + y B + yC )    zG = (z A + z B + z C )  • Tích có hướng véc tơ :  a a a a1 a1 a  → → ÷ ; ; [ a , b ]=   b b3 b3 b1 b1 b ÷   → → → → → → *[ a , b ]⊥ a ;[ a , b ]⊥ b • Đk đồng phẳng véc tơ : → → → → → → a , b , c đồng phẳng ⇔ [ a , b ] c = → • ĐK để điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện ) là: ba véc tơ AB , → → → → → AC , AD không đồng phẳng [ AB , AC ] AD ≠ → →2 • Diện tích tam giaùc ABC : SABC = AB2AC2 − (AB.AC) Hoặc SABC = • Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = → → [ AB , AC ] → → → [ , ]  AB AC AD → → → • Thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' = [ AB , AD ] AA′  Bài tốn 1:Xác định điểm , tọa độ vectơ không gian , c/m tính chất hình học Bài tốn 2: Tích vô hướng , tích có hướng , góc hai véc tơ : Bài tốn 3:Véc tơ đồng phẳng , không đồng phẳng,thể tích hình hộp, tứ diện: Phần 3: Mặt cầu Bài tốn 1: xác định tâm bán kính mặt cầu Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R : (x −a)2 + (y − b)2+ (z−c )2 = R2 Phương trình tổng quát mặt cầu ( S): x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2.Cz + D = với A2 + B2 + C2−D > có tâm I(−A ;−B;−C) ; bán kính R = A + B2 + C2 − D Bài toán 2: Viết phương trình mặt cầu • Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) qua M1(x1;y1;z1) + Bán kính R = IM1 = (x1 − a) + (y1 − b) + (z1 − c) • Pt.mặt cầu (S) đường kính AB : x + x B yA − yB zA − z B + Tâm I trung điểm AB => I( A ; ; ) 2 + Bán kính R = IA • Pt mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D: p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S) x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = (1) Thay toạ độ điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D • Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) tiếp xúc mặt phẳng (α) bán kính R = d(I; (α)) Bài tốn 3: xác định vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng (α) : A x + B y + Cz +D = ; (S): (x −a)2 + (y−b)2 +(z−c)2 = R2 Tính d(I; (α)) = ? Nếu:• d(I; α ) > R α S điểm chung ( rời nhau) • d(I; α ) = R α tiếp xúc với S ( α mp tiếp diện) (α) ∩ (S) ={M0} ; → Cách viết mặt phẳng tiếp diện : (α) qua M0 nhận IM0 làm VTPT • d(I; α ) < R α cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) tâm H; bán kính r * P.t đ.tròn (C ) A x + B y + Cz +D = (x −a)2 + (y−b)2 + (z−c)2= R2 + Tâm H hình chiếu I lên mp α + bán kính r = R − [d(I ; α )]2 → Cách xác định H: + Lập pt đ thẳng (d) qua I nhận nα làmVTCP  x = a + At  (d)  y = b + Bt thay vào pt mp(α) => giải t => toạ độ điểm H z = c + Ct  Bài toán 4: Cách viết mặt phẳng tiếp diện điểm M0: +) Xác định tâm bán kính mặt cầu (S) → +) Tính IM → +) Mặt phẳng tiếp diện (α) qua M0 nhaän IM0 làm VTPT Bài tốn 5: Xác định tâm H bán kính r đường trịn giao tuyến mặt cầu (S)và mặt phẳng(α) + bán kính r = R − [d(I ; α )]2 Cách xác định H: → + Lập pt đ thẳng (d) qua I nhận n laømVTCP α  x = a + At  (d)  y = b + Bt thay vaøo pt mp(α) => giải tìm t = ? => toạ độ ñieåm H z = c + Ct  Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng Bài toán 1: viết phương trình mặt phẳng: uuu r uuu r * (ABC): +) tính AB = ? ; AC = ? r uuu uuu r r +) VTPT (ABC) n = [AB, AC] r => viết mặt phẳng qua A có VTPT n r uu uuu r r * (a,b) : a//b VTPT n = [u a ,AB] với A∈ a; B ∈ b r uu uu r r Nếu a cắt b n = [u a ,u b ] r uu uuu r r *(A;a) VTPT n = [u a ,AB] với B∈ a uur uu r * (α) //(β) VTPT n α = n β uur uu r * (α) ⊥a VTPT n α = u a uur r r rr * (α) có hai vectơ phương a, b n α = [a, b] r *(α) qua điểm A B đồng thời chứa đ.thẳng a // a có VTCP a uur uu uuu r r uu r r n α = [u a , AB] ( thay u a = a ) uur uur uuu r *(α) vng góc hai mặt phẳng (P) (Q) VTPT n α = [n P , n Q ] * Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB +) Xác định trung điểm M đoạn thẳng AB uuu r +) Tính vectơ AB uuu r Mặt phẳng trung trực qua M có VTPT AB * (α) song song đường thẳng vng góc với mặt phẳng uur uu uu r r n α = [n β , u a ] * (α) chứa đ.thẳng (D) ⊥(β) +) chọn M đ.thẳng (D) uur uuu uu r r +) VTPT (α) n α = [u D , n β ] * Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) song song với (d/) +) chọn M đ.thẳng (d) uu r uu uuu r r +) VTPT (α) n P = [u d ,u d / ] uu r uu uuu r r => Viết PT mp(P) qua M có VTPT n P = [u d ,u d / ] Bài tốn viết phương trình đường thẳng r *∆ qua điểm A có VTCP u uuu r * ∆ qua điểm A B => ∆ qua A có VTCP AB uuu r *∆ qua A // (D) => ∆ qua A có VTCP u D uur *∆ qua A ⊥(α) ∆ qua A có VTCP n α * ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (α) (β) r uur uu r +) VCTP ∆ u = [n α , n β ] +) Cho ẩn giải hệ ẩn cịn lại tìm điểm M? r uur uu r uur uu r r => ∆ qua M có VTCP u = [n α , n β ] u = [n α , n β ] * ∆ hình chiếu đ.thẳng (D) lên mp (β) *) Viết phương trình mp(P) chứa (D) vng góc mp(β) +) chọn M đ.thẳng (D) uu r uuu uu r r +) VTPT (α) n P = [u D , n β ] uur uu uu r r * ) VTCP ∆ u ∆ = [n P , nβ ] * ) cho ẩn x = giải hệ gồm ẩn y z PT hai mặt phẳng (P) (β)=> M? => uur uu uu r r ∆ qua M có VTCP u ∆ = [n P , nβ ] * Cách viết phương trình đường cao AH ∆ABC r uuu uuu r r +) Tìm tọa độ VTPT mp(ABC) n = [BC, AC] = ? r uuu r r +) Tìm tọa độ VTCP đường cao AH là: u = [BC, n] = ? r uuu r r => Viết PT đường cao AH qua A có VTCP u = [BC, n] * Cách viết phương trình đường trung trực cạnh BC ∆ABC r uuu uuu r r +) Tìm tọa độ VTPT mp(ABC) n = [BC, AC] = ? r uuu r r +) Tìm tọa độ VTCP trung trực là: u = [BC, n] = ? +) Tìm tọa độ điểm M trung điểm đoạn thẳng BC r uuu r r => Đường trung trực cạnh BC ∆ABC đường thẳng qua M có VTCP u = [BC, n] Bài tốn 3: tìm hình chiếu điểm lên mặt phẳng đ.thẳng * Tìm hình chiếu H M lên (α) uur +) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP n α PTmp(α) +) giải hệ gồm  PT(D) +) Hình chiếu H giao điểm (α) (D) nghiệm hệ * Tìm hình chiếu H M lên đường thẳng (D) uuu r +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT u D PTmp(α) +) giải hệ gồm  PT(D) +) Hình chiếu H giao điểm (α) (D) nghiệm hệ Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với điểm A qua đt mp * Đối xứng qua mp(α) uur +) Viết PT đ.thẳng (D) qua M có VTCP n α PTmp(α) +) giải hệ gồm  PT(D) +) Hình chiếu H giao điểm (α) (D) nghiệm hệ  x = 2x − x H  A/  / +) Tọa độ điểm đối xứng A :  y = 2y H − y / A  z = 2z H − z / A  * Đối xứng quađường thẳng (D) uuu r +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT u D PTmp(α) +) giải hệ gồm  PT(D) +) Hình chiếu H giao điểm (α) (D) nghiệm hệ  x = 2x − x H  A/  +) Tọa độ điểm đối xứng A/ :  y = 2y H − y / A  z = 2z H − z / A  Bài tốn 4: xác định vị trí tương đối mp mp, đt đt, đt mp * Vị trí tương đối mp (P) mp(Q) (P) : Ax + By + Cz + D = ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = → → với n =(A;B;C) vaø n′ =(A/; B/ ; C/ ) A B C D (P) ≡ (Q) / = / = / = / A B C D A B C D / = B/ = C / ≠ D / A A B B C C A (P) cắt (Q) / ≠ / ∨ / ≠ / ∨ / ≠ / A B C C A B → → Chú ý :• α ⊥ α/ n n′ = AA/ + BB/ + CC/ = → → • α cắt α/ n n′ không phương (P) // (Q) * vị trí tương đối đ.thẳng (d1) (d2) → → → → Xác định VTCP u =(a;b;c) , / =(a/;b/; c/ ) ;Tính [ u , / ] u u → → → Neáu :[ u , / ]= u +) chọn M1 ∈(d1) Nếu M1∉ d2 d1 // d2 Nếu M1 ∈(d2) d1 ≡ d2 → → → Neáu [ u , / ] ≠ Ta giải hệ { d1 = d theo t t/ (cho PTTS hai đ.thẳng = theo u tùng thành phần ) +) hệ có nghiệm t t/ d1 cắt d2 => giao điểm +) hệ VN d1 chéo d2 * Vị trí tương đối đ.thẳng (D) mặt phẳng (P) +) thay PTTS đ.thẳng (D) vào PT mp(P) ta PT theo ẩn t +) PTVN (D)//mp(P) Nếu PTVSN (D) ⊂ mp(P) Nếu PT có nghiệm (D) cắt mp(P) =>giao điểm? Hoặc dung cách sau: r r +) tìm tọa độ VTCP u (D) VTPT n mp(P) r r r r u.n ≠ +) Tính tích vơ hướng u n = ? Nếu tích vơ hướng r r uu r uu uuu r r +) VTPT (α) n P = [u d ,u d / ] uu r uu uuu r r => Viết PT mp(P) qua M có VTPT n P = [u d ,u d / ] * Chọn điểm N (d/) Tính d(N, mp(P)) =? => d((d), (d/)) = d(N, mp(P)) Bài tốn 6: Tính góc * Góc hai mp (P) A1x+B1y+C1z+D1 = mp(Q) A2x+B2y+C2z+D2 = ur uu r (D) cắt mp(P) Nếu u n = chọn điểm M (D) sau thay vào PT mặt phẳng (P) thỏa mãn (D) ⊂ mp(P) cịn ngược lại (D)//mp(P) Bài tốn 5: Tính khoảng cách * từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = Ax + By0 + Cz0 + D d(A;(α)) = A + B2 + C * (P)//(Q) d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với điểm A chọn tùy ý (P) * Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P) +) chọn điểm M (d) tính d(M;(d)) = ? +) d((d), mp(p)) = d(M,(mp(P)) * Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (D)(khơng có cơng thức tính chương trình phân ban ban bản) ta tính sau: +) lập PT mp(Q) qua A vng góc với (D) +) Tìm giao điểm H mp(P) đ.thẳng (D) +) Khoảng cách cần tìm đoạn thẳng AH * Khoảng cách hai đường thẳng song song (d) (d/) +) Chọn điểm M (d) uu r +) Viết PT mặt phẳng (P) qua M có VTPT u d +) Tìm điểm N giao điểm (d/ ) mp(P) ( cách giải hệ gồm PTcủa (d/) PT mặt phẳng (P) => nghiệm x,y,z tọa độ điểm N) +) Khoảng cách cần tìm độ dài đoạn thẳng MN * Khoảng cách hai đường thẳng chéo (d) (d/) * Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) song song với (d/) +) chọn M đ.thẳng (d) cosϕ = n1.n ur uu r = n1 n Α1A + B1B2 + C1C2  2 2 2 A1 + B1 + C1 A + B2 + C2 · Với ϕ = ((mp(Q),mp(P))  x = x + at  * Góc đường thẳng (D):  y = y0 + bt  z = z0 + ct mặt phẳng Ax+By+Cz+D = uu uu r r SinΨ = n u P D uu uu r r nP uD =  Α + bB + cC  a A + B2 + C a + b + c · Với ϕ = ((D), mp(P))  x = x + a1t  Góc hai đường thẳng (D1) :  y = y0 + b1t Và (D2):  z = z0 + c1t ur uu r cosϕ = u1.u ur uu r u1 u =  1a + b1b + c1c2  a + b2 + c2 a + b + c2 a1 1 2 · Với ϕ = ((D ), (D )) / x = x + a 2t /   / /  y = y0 + b t  / / z = z0 + c2 t  ... Cách 2: ta tìm hai hệ số a b ; [ ] f (x) b = lim f (x) − ax a = lim ; x →∞ x →∞ x ⇒ y = ax + b tiệm cận xiên Phần 2: Hàm số mũ logarit Bài toán 1: Dùng cơng thức tính biểu thức có chứa hàm số... biểu thức (**) sau cho giá trị x vào biểu thức (**) để tìm hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x nghiệm g(x) để tìm hệ số dễ dàng) *) sau thay vào biểu thức dấu tích phân để tính Lưu ý: Xét trình... biểu thức (**) sau cho giá trị x vào biểu thức (**) để tìm hệ số A,B,C ( thông thường nên cho x nghiệm g(x) để tìm hệ số dễ dàng) *) sau thay vào biểu thức dấu tích phân để tính Lưu ý: Xét trình