BÀI TẬP ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017 6 2 7 2   1 34  Bài Cho ma trận: A   , B ,C    3  5  0  6  Hãy thực phép tính sau: A  B , A  3B , At  2Bt , At B , A.Bt , A.Bt C 14 14  6 34  62  ĐS: A B   28 16 23 , A.Bt   , A.Bt C    1 62    42 34  t 2 1  2 6  Bài Cho hai ma trận: A   1  B   1 4   7    Tính AB BA Từ cho biết ma trận A có khả nghịch khơng? ma trận nghịch đảo (nếu có) ma trận A ĐS: AB  I , BA  I , I ma trận đơn vị cấp Tìm ma trận X (nếu có) thỏa mãn: XA  B ĐS: ( XA) B  B2  X ( AB)  B2  X  B2  Bài Thực phép tính : 4 2 3     3 ; 1    1  1 1   2   1   1 27 9  14   ĐS:   ; 18 28  10   1   2 1 Bài Cho ma trận : A   1 1 Tính det( A) , det( At ) , det(5 At ) , det( A4 )  3 ĐS: det( At )  det( A)  ; det(5 At )  53.det( At )  250 ; det( A4 )  24  16 Bài Tính định thức ma trận sau:   x 1 0 1  1 a         A   x  ; B  1 x  ; C   a  ; D    1  1 x    1 x    1 4  3 0 ; E 0 3    12  1 1  2  1  ĐS: det( A)  ( x  2)( x  1)2 ; det( B)  x ; det(C )  3a  4a  ; det( D)  ; det( E )  45 BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017 Bài Tìm hạng ma trận sau: 3 2 0 1  2 6 1 2  1  1 3        A  3 2 4 ; B  ; C ; D  0 1 1 10 17  3 5 3     9    4 3 7 9  HD&ĐS: Sử dụng biến đổi sơ cấp hàng ma trận, đưa ma trận cho dạng bậc thang r  A  ; r  B   ; r (C )  ; r ( D)  (với ma trận vng D tính det( D) thấy det( D)  ) 1 2  Bài Cho ma trận: A  0 m 1 1 1  Tìm m để ma trận A khả nghịch Với m  1 , tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) ma trận A  5 3 1 ĐS: m   ; A   2 1  1 1   1  Bài Cho ma trận: A   m   1  Với giá trị m hạng ma trận A 3? Với giá trị m vừa tìm ma trận A có khả nghịch khơng? Với m  1 , tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) A ĐS: Hạng mt vuông A cấp ma trận det( A)  ĐS: m   1 2.5 0.5 1 A  1 1.5 0.5 0 0.5 0.5 Bài Hãy tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) ma trận sau:  1 1   3 A ; B   4 2 ; C    6 2 5   1 1  2 8  2    1 ĐS: A    ; B  1     1  1 Bài 10 Giải hệ phương trình tuyến tính sau BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THÔNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017  x  y  z  t  2  x1  x2  3x3  x4    1) 2 x  y  z  3t  3 ; 2)  x1  x2  3x3  x4  ;  x  y  3z  2t  1 5 x  10 x  13x  x  20    x1  x2 x  z  x   y  1  z   ĐS: 1)  ; 2)  z  x     t   z  x4  1 Bài 11 Với giá trị m hệ phương trình sau có nghiệm:  x  y  z  t  1  x  y  10 z  6t    a) 3x  y  z  t  ; b)  x  y  mz  t  2 x  y  z  mt   x  y  z  mt    HD: Biến đổi ma trận bổ sung hệ pttt dạng bậc thang Hệ pttt có nghiệm r ( A)  r ( Abs ) ĐS: a) m  ; b) m  Với giá trị m hệ phương trình sau có nghiệm nhất? Có vơ số nghiệm?  2t  x  3y   y  2z  t    z t 0 2 x 4 x  y  mz  HD: det( A)  11m  với A ma trận hệ số hệ pttt Hệ vng có nghiệm det( A)  Hệ vuông có vơ số nghiệm det( A)  Bài 12 Tìm tất ma trận X (nếu có) thỏa mãn:  1   2 1   1  1  ; X  1    XX      1 3 1 3   1  x ĐS: Các ma trận X thỏa mãn pt có dạng: X   y 2  3 X     1.5 0.5 y , x, y  x  y  ; BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017 Bài 13 Trong không gian véctơ cho tập hợp: W   x; y; z   | x  y  z  0 Véctơ u  1; 2;3 có thuộc W khơng? Chỉ véctơ (khác véc tơ không) thuộc W Chứng minh W không gian véctơ Tìm sở, số chiều khơng gian W Chứng minh véctơ u  1; 2;5 thuộc W tìm tọa độ u sở W tìm câu hỏi ĐS: không; VD: u  1;1;  W Một sở S  u1   3;1;0 ; u2   1;0;1 ; dimW  uS   2;5 Bài 14 Trong không gian véctơ  cho tập hợp: V   x; y; z; t     2t  0 x |   y  z  t  0 Véctơ u  1; 2;5;  có thuộc V khơng? Chứng minh V không gian véc tơ Tìm sở tính số chiều V ĐS: Không; Một sở S  u1   0;1;1;0  ; u2   0;1;0;1 ; dimV  Bài 15 Trong không gian véctơ cho tập hợp: V   x; y; z; t   Chứng minh V khơng gian véctơ Tìm sở, số chiều không gian V 4 | y  z  0 Chứng minh véctơ u   4; 2; 1;1 thuộc V tìm tọa độ u sở tìm ĐS: Một sở S  u1  1;0;0;0  ; u2   0; 2;1;0  ; u3   0;0;0;1 ; dimV  uS   4; 1;1 Bài 16 Các tập hợp sau có khơng gian véctơ không gian tương ứng không? V   x; y; z; t  | x  3z  1 V   x; y; z  | xy  z  0  x  2t   0  V   x; y; z; t     y  t  z    ĐS: không; không; không Bài 17 Trong không gian véctơ   cho tập hợp: V   x; y; z     Chứng minh V không gian véctơ 3  z  0 x     x  y  z  0  BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017 Tìm sở tính số chiều khơng gian V  1 Chứng minh véctơ u  1; ;  thuộc V tìm tọa độ u sở tìm  2 ĐS: Một sở S  v   2;1;1 ; dimV  ; uS    Bài 18 Họ véc tơ sau độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: S  u1  1; 2;0;4  ; u2   3; 2;1,1 ; u3   2;2;1;3 S  u1  1; 2;0;4 ; u2   3; 2;1,1 ; u3   2;0;1; 3 U  u1   1;2;4  ; u2   3; 2;2  ; u3  1;0;3 ; u4  1;1;1  ĐS: ĐLTT; PTTT; PTTT Bài 19 Chứng minh họ vectơ sau sở không gian vectơ V  v1   1;2;4  ; v2   3; 2;1 ; v3   2; 1;5 Họ vectơ sau có phải sở không gian vectơ U  u1   2;3;4 ; u2   3; 2;5 ; u3   5;0;23 : không? ĐS: khơng Bài 20 Với giá trị m hệ vectơ sau độc lập tuyến tính? Phụ thuộc tuyến tính? V  v1   2;1;1; m  ; v2   2;1; 1, m  ; v3  10;5; 1;5m  U  u1   2;1; 2m  ; u2   2;1; 1 ; u3  1  m; 2; 3 V  u1   m; 2;1 ; u2  1; 2, m  ; u3   2; 2;3 ĐS: PTTT m 1 1 m  ; ĐLTT m  m  2 PTTT m  1 m  ; ĐLTT m  1 m  PTTT m  Bài 21 Trong , véctơ u sau có phải tổ hợp tuyến tính véctơ lại khơng? Tại sao? u1  1;1;1 ; u2   0; 1;1 ; u3   2; 1;3 ; u   2; 1;5 ĐS: Có u  2u1  3u2 Bài 22 Tìm điều kiện m để véctơ u sau tổ hợp tuyến tính véc tơ lại u1   0;1; 1 ; u2   2;1;3 ; u3   m; 2; 1 ; u  1; m;  ĐS: Là THTT m  1 BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017 Bài 23 Trong không gian véctơ cho hai tập hợp: U  u1  1; 1 ; u2   2;1 V  v1   3;1 ; v2  1; 1 Chứng minh U V hai sở Tìm ma trận chuyển sở từ U sang V Tìm ma trận chuyển sở từ V sang U Tìm tọa độ vectơ x   3; 1 sở U Tìm vectơ y có tọa độ sở U yU  (4; 5) Biết tọa độ vectơ z sở U zU  (7; 2) , tìm tọa độ vectơ z sở V 1/  0 /  5 2  13  ĐS: A   ; B   ; xU   ;  ; y   6; 9  ; zV   ;    2  3 3 4 / 0 1 1/  Bài 24 Trong không gian vectơ cho hai tập hợp: U  u1  1;1; 1 ; u2  1;1;0  ; u3   2;1; 1 V  v1  1;1;0  ; v2  1;0; 1 ; v3  1;1;1 Chứng minh U V hai sở Tìm ma trận chuyển sở từ U sang V Tìm ma trận chuyển sở từ V sang U Tìm tọa độ vectơ x   2;3; 1 sở U Tìm vectơ y có tọa độ sở U yU  1;1; 1 Biết tọa độ vectơ z sở V zV  1;0;  , tìm tọa độ vectơ z sở U 0 1  1   ĐS: A  1 1  ; B   0  ; xU   2; 2; 1 ; y   0;1;0  ; zU   2;5;0   1 0  0  Bài 25 Tìm hạng họ véc tơ sau: U  u1   2;1;1 ; u2   2; 3;1 ; u3   1;0;1 ; u4  1; 3;2  V  v1   2;1;1 ; v2   2; 3;1 ; v3   4;0;1 3 W  w1   2; 2;0;0; 1 ; w2   3; 3;1;5;  ; w3  1; 1; 1;0;0  ĐS: r (U )  ; r (V )  ; Bài 26 Trong không gian véc tơ 4 r (W )  tìm hạng họ véc tơ sau tùy theo m : U  u1   2;1;1; m  ; u2  1;3; 1;2  ; u3   3;1; 3m;0  ĐS: m  hạng họ vectơ 2; với m  hạng họ vectơ Bài 27 Cho ánh xạ f :  xác định bởi: u   x; y; z   , f (u)   x  y; y  z  BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017 Chứng minh f ánh xạ tuyến tính Tìm ker f , Im f tính hạng f Tìm ma trận f sở U   u1  (1;1;0); u2  (1;0;1); u3  (1;1;1) V   v1  (1;1); v2  (1;2) ĐS: ker f  u   t; t; t  | t  ; Bài 28 Cho ánh xạ tuyến tính f : sở Im f   3  3 4 ; r ( f )  dim  Im f   ; A     1 2 2  xác định bởi: u   x; y; z   , f (u)   x  y;3 y  z;3x  z  Tìm ker f , Im f cho không gian sở Tìm hạng ánh xạ f Tìm ma trận A ánh xạ f sở U   u1  (0;1;1); u2  (1;0;1); u3  (1;1;1) ĐS: ker f  u   2t; t;3t  | t    span 2; 1;3 ; Im f  span 1;0;3 ,  2;3;0  ,  0;1; 2   span 1;0;3 ,  0;1; 2  ; r ( f )  ;  4 2  A   6 3   0 1  Bài 29 Cho ánh xạ tuyến tính f :  có ma trận A  1  sở tắc 1  Tìm cơng thức xác định ánh xạ tuyến tính f 3 Tìm ma trận ánh xạ f sở U   u1  (1;0;0); u2  (1;0;1); u3  (1;1;1) 3 Tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận A Ma trận A có chéo hóa khơng ? có viết ma trận P làm chéo hóa A HD&ĐS: Giả sử u   x; y; z   , có u  xe1  ye2  ze3 suy f (u)  xf (e1 )  yf (e2 )  zf (e3 ) f axtt ĐS: f (u)   y  z; x  z; x  y   1 0  B   1     2  Mt A có hai giá trị riêng 1  (bội 1) 2  1 (bội 2) Vectơ riêng ứng với gt riêng 1  có dạng v   x x x  , x  \ 0 Vectơ riêng ứng với gt riêng 2  1 có dạng v   x t t y ( x  y) , x, y  \ 0 BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017 1  2 0    1 Ma trận P  1 làm chéo hóa A P AP   1      1 1 1  0 1 Bài 30 Cho ánh xạ tuyến tính f :  1  có ma trận A    sở 2 1  U  u1  (1;1;0); u2  (1;0;1); u3  (1;1;1) sở V  v1  (1;1); v2  (1;2) Tính f (4;2;1) Tìm cơng thức xác định ánh xạ tuyến tính f Tìm hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính f cho không gian sở ĐS: u   4; 2;1  3u1  2u2  u3  f (u)  f (u1 )  f (u2 )  f (u3 ) ĐS: f (4;2;1)  (10;17) Với u   x; y; z   , có u  ( x  z )u1  ( x  y)u2  ( x  y  z )u3 CT xác định f là: f (u)   x  y; x  y  z  ker f  u   x; 2 x;2 x  | x    span1; 2;2  sở: S  1; 2; 2 Dùng định lý: dim(ker f )  dim(Im f )  dim( Bài 31 Cho f :  ) suy Im f  ánh xạ xác định bởi: u   x; y   2 , có sở V , f (u)   8x  15 y; 6 x  11y  Chứng minh f ánh xạ tuyến tính Tìm ker f , Im f tính hạng f Tìm ma trận A ánh xạ tuyến tính f trong sở U  u1  (1;1); u2  (2;1) Tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận A Ma trận A có chéo hóa khơng ? có viết ma trận P làm chéo hóa A  1 HD&ĐS: ker f  (0;0)  Im f  ; A    ; 2  A có giá trị riêng 1  2  Vectơ riêng ứng với gt riêng 1  có dạng u   x x  , x  , x  t Vectơ riêng ứng với gt riêng 2  có dạng u   x x  , x  , x  t 1 1 1  Ma trận P   làm chéo hóa A P 1 AP      1 0  Bài 32 Cho ánh xạ f :  xác định bởi: u   x; y; z   , f (u)   x  z; y; x  z  Chứng minh f ánh xạ tuyến tính Tìm ker f , Im f tính hạng f Chỉ cho không gian ker f , Im f sở Tìm ma trận A ánh xạ tuyến tính f trong sở tắc BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017 Tìm giá trị riêng vectơ riêng ma trận A Ma trận A có chéo hóa khơng ? có viết ma trận P làm chéo hóa A HD&ĐS: ker f   x;0;  x  | x    span (1;0; 1) ; Im f  span (1;0;1),(0;1;0) ; r ( f )  1  A  0    1  A có giá trị riêng 1  , 2  3  Vectơ riêng ứng với gt riêng 1  có dạng u   x  x  , x  , x  t Vectơ riêng ứng với gt riêng 2  có dạng u  0 y 0 , y  , y  t Vectơ riêng ứng với gt riêng 3  có dạng u   x x  , x  , x  t  1 0 0    1 Ma trận P  làm chéo hóa A P AP  0       1  0  6 3 1  Bài 33 Cho ma trận A   u    , v    Hỏi u, v có phải vectơ riêng   5  2 5  ma trận A khơng? sao?  9 HD: Au  4u ; Av      v,    11  Bài 34 Ma trận sau có chéo hóa khơng ? đưa ma trận dạng chéo : 3   A   4 6 3  3 1 HD: Ma trận A có hai giá trị riêng 1  (bội 1) 2  2 (bội 2) K/g riêng ứng với giá trị riêng 1  (bội 1) không gian chiều sinh v  1 1 1 t K/g riêng ứng với giá trị riêng 2  2 (bội 2) không gian chiều sinh v   1 0 t nên mt A vuông cấp đủ vectơ riêng độc lập tuyến tính, ma trận A khơng thể chéo hóa BT BỔ SUNG -Bài 35 Trong không gian véctơ cho vectơ: u1  1; 1; 2 ; u2   5; 4; 7  ; u3   3;1;0  ; u4   3; 1; 6  ; u   4;3; m  Vectơ u4 có thuộc khơng gian véc tơ sinh véc tơ u1 , u2 , u3 khơng? Vì sao? Với giá trị m u thuộc khơng gian véc tơ sinh véc tơ u1 , u2 , u3 ? BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017 Tìm cở sở cho span u1 , u2 , u3 ĐS: Có u4  3u1  2u3 ; m  Bài 36 Chứng minh tập U  u   a  b; b  c; c  a;0  | a, b, c  không gian véctơ  không gian véctơ Hãy sở U Bài 37 Tìm cơng thức xác định ánh xạ tuyến tính f , tính f (u ) tìm sở cho ker f trường hợp sau: f :  , f (1; 2)  1;0;1 , f (1;0)  1;1;1 ; u   2;1 f :  , f (1; 1)   0;1 , f (1;1)  1;0  ; u  1; 7  Gợi ý: f  x; y   y y  f 1;     x  f  1;0  2  x y x y f 1; 1  f 1;1 2 3  Bài 38 Tìm đa thức đặc trưng ma trận A    tìm giá trị riêng vec tơ riêng 1 1 tương ứng ma trận A Từ tính A5 f  x; y   ĐS: det( A   I )    2  Hai giá trị riêng: 1  4, 2  2 5  Các vec tơ riêng ứng với giá trị riêng 1  có dạng v  x   , x  1  1 Các vec tơ riêng ứng với giá trị riêng 2  2 có dạng v  x   , x   1 0 2  Bài 39 Tìm đa thức đặc trưng ma trận A  1 tìm giá trị riêng vec tơ   1 2 riêng tương ứng ma trận A ĐS: det( A   I )         1   1 2 0 0 1  1 1 1   1   Bài 40 Hãy chéo hóa ma trận A  1 ĐS: P AP   1  với P  1      1  1 0 1  HẾT -BỘ MƠN TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM 10 ... VIỆT NAM BÀI TẬP ƠN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017 1  2 0    1 Ma trận P  1 làm chéo hóa A P AP   1      1 1 1  0 1 Bài 30 Cho ánh xạ tuyến tính f... CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NÔNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017 Bài 13 Trong không gian véctơ cho tập hợp: W   x; y; z   | x  y  z  0 Véctơ... TỐN-KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN-HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BÀI TẬP ÔN TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH- HỌC KÌ II NĂM HỌC 2016-2017 Tìm sở tính số chiều khơng gian V  1 Chứng minh véctơ u  1; ;  thuộc