CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 01 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH Phương trình ẩn Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f (x ) = g (x ) (1) f ( x ) g ( x ) biểu thức x Ta gọi f ( x ) vế trái, g ( x ) vế phải phương trình (1) Nếu có số thực x cho f ( x ) = g ( x ) mệnh đề x gọi nghiệm phương trình (1) Giải phương trình (1) tìm tất nghiệm (nghĩa tìm tập nghiệm) Nếu phương trình khơng có nghiệm ta nói phương trình vơ nghiệm (hoặc nói tập nghiệm rỗng) Điều kiện phương trình Khi giải phương trình (1) , ta cần lưu ý với điều kiện ẩn số x để f ( x ) g ( x ) có nghĩa (tức phép tốn thực được) Ta nói điều kiện xác định phương trình (hay gọi tắt điều kiện phương trình) Phương trình nhiều ẩn Ngồi phương trình ẩn, ta cịn gặp phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn 3x + y = x − xy + 8, (2 ) x − xy + z = 3z + xz + y (3) Phương trình (2 ) phương trình hai ẩn ( x y ), (3) phương trình ba ẩn ( x , y z ) Khi x = 2, y = hai vế phương trình (2 ) có giá trị nhau, ta nói cặp ( x ; y ) = (2;1) nghiệm phương trình (2) Tương tự, ba số ( x ; y; z ) = (−1;1;2) nghiệm phương trình (3) Phương trình chứa tham số Trong phương trình (một nhiều ẩn), ngồi chữ đóng vai trị ẩn số cịn có chữ khác xem số gọi tham số II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG V0 PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Phương trình tương đương Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Phép biến đổi tương đương Định lí Nếu thực phép biển đổi sau phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện ta phương trình tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với số biểu thức; b) Nhân chia hai vế với số khác với biểu thức ln có giá trị khác Chú ý: Chuyển vế đổi dấu biểu thức thực chất thực phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức Phương trình hệ Nếu nghiệm phương trình f ( x ) = g ( x ) nghiệm phương trình f ( x ) = g1 ( x ) phương trình f ( x ) = g1 ( x ) gọi phương trình hệ phương trình f ( x ) = g ( x ) Ta viết f ( x ) = g ( x ) ⇒ f ( x ) = g1 ( x ) Phương trình hệ có thêm nghiệm khơng phải nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi nghiệm ngoại lai CÂU HỎI V0 B0I TẬP TRẮC NGHIỆM 10 NGUYỄN PHÚ KHÁNH – HUỲNH ĐỨC KHÁNH Đăng ký mua trọn trắc nghiệm 10 FILE WORD Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH – 0975 120 189 https://web.facebook.com/duckhanh0205 Khi mua có sẵn File đề riêng; File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Câu Điều kiện xác định phương trình A x ≠ B x ≠ −1 2x −5 = x +1 x +1 C x ≠ ±1 D x ∈ ℝ Lời giải Chọn D Vì x + ≠ với x ∈ ℝ Câu Điều kiện xác định phương trình A x > B x ≥ x −1 + x − = x − C x ≥ D x ≥  x −1 ≥ x ≥   Lời giải Phương trình xác định   x − ≥ ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ Chọn D    x − ≥ x ≥ Câu Điều kiện xác định phương trình A x ≥ x −2 + x2 +5 7−x = B x < C ≤ x ≤ D ≤ x <  x − ≥  x ≥ Lời giải Phương trình xác định  ⇔ ⇔ ≤ x < Chọn D 7 − x >  x < Câu Điều kiện xác định phương trình A x ≥ x + x −1 = B x > C x > x −1 ≥ D x ≥ x − >  x > Lời giải Phương trình xác định  Chọn C   x −1 ≥ x2 Câu Điều kiện xác định phương trình = x −2 x −2 A x ≠ B x ≥ C x < D x > Lời giải Phương trình xác định x − > ⇔ x > Chọn D Câu Điều kiện xác định phương trình = x + là: x −4 A x ≥ −3 x ≠ ±2 B x ≠ ±2 C x > −3 x ≠ ±2 D x ≥ −3  x − ≠  x ≠ ±2 Lời giải Phương trình xác định  Chọn A ⇔    x + ≥  x ≥ −3 Câu Điều kiện xác định phương trình x − = x −2 A x ≥ x ≤ −2 B x ≥ x < −2 C x > x < −2 D x > x ≤ −2  x ≥  x − ≥  x >   Lời giải Phương trình xác định  ⇔  x ≤ −2 ⇔  Chọn D  x ≤ −2  x − ≠    x ≠ Câu Điều kiện xác định phương trình x + 2x + − 2x x = A x > −2 x ≠ B x > −2, x ≠ x ≤ C x > −2 x < D x ≠ −2 x ≠  x > −2 2 x + >    Lời giải Phương trình xác định  Chọn B 3 − x ≥ ⇔  x ≤    x ≠   x ≠ Câu Điều kiện xác định phương trình x + − A x > −2 x ≠ −1 x +2 = − 3x x +1 B x > −2 x < C x > −2, x ≠ −1 x ≤ D x ≠ −2 x ≠ −1 x > −2  x + >    Lời giải Phương trình xác định  Chọn C − x ≥ ⇔  x ≤    x + ≠  x ≠ −1 x +1 Câu 10 Điều kiện xác định phương trình = x + 3x 1 A x ≥ − B x ≥ − x ≠ −3 2 C x ≥ − x ≠ D x ≠ −3 x ≠   x > −   2 x + ≥ x ≥−    ⇔ x ≠ ⇔  Lời giải Phương trình xác định  2 Chọn C  x + x ≠    x ≠ −3  x ≠   Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Câu 11 Hai phương trình gọi tương đương A Có dạng phương trình B Có tập xác định C Có tập hợp nghiệm D Cả A, B, C Lời giải Chọn C Câu 12 Phương trình sau tương đương với phương trình x − = ? A (2 + x )(−x + x + 1) = B ( x − )( x + x + ) = C D x − x + = x − = Lời giải Ta có x − = ⇔ x = ±2 Do đó, tập nghiệm phương trình cho S = {−2;2} Xét đáp án:  x = −2 x + = Đáp án A Ta có (2 + x )(−x + x + 1) = ⇔  ⇔  Do đó, −x + x + =  x = ±  { } tập nghiệm phương trình S1 = −2;1 − 2;1 + ≠ S x =  x −2 = ⇔  x = −1 Do đó, tập Đáp án B Ta có ( x − )( x + x + ) = ⇔   x + 3x + =    x = −2  nghiệm phương trình S = {−2; −1;2} ≠ S Đáp án C Ta có x − = ⇔ x − = ⇔ x = ±2 Do đó, tập nghiệm phương trình S3 = {−2;2} = S0 Chọn C Đáp án D Ta có x − x + = ⇔ x = Do đó, tập nghiệm phương trình S = {2} ≠ S0 Câu 13 Phương trình sau tương đương với phương trình x − x = ? 1 A x + x − = x + x − B x + = 3x + x −3 x −3 C x x − = x x − D x + x + = x + x + x = Lời giải Ta có x − x = ⇔  Do đó, tập nghiệm phương trình cho x =  S = {0;3} Xét đáp án:  x ≥  x − ≥  Đáp án A Ta có x + x − = x + x − ⇔  ⇔  x = ⇔ x = Do đó,  x − x =    x = tập nghiệm phương trình S1 = {3} ≠ S0 Đáp án B Ta có x +  x − ≠ 1 = 3x + ⇔  ⇔ x = Do đó, tập nghiệm x −3 x −  x − x = phương trình S = {0} ≠ S   x ≥  x − ≥  2   Đáp án C Ta có x x − = x x − ⇔   x − x = ⇔   x = ⇔ x = Do đó, tập       x − =   x =    nghiệm phương trình S3 = {3} ≠ S x = Đáp án D Ta có x + x + = x + x + ⇔ x = x ⇔  Do đó, tập nghiệm x =  phương trình S = {0;3} = S0 Chọn D Câu 14 Cho phương trình ( x + 1)( x – 1)( x + 1) = Phương trình sau tương đương với phương trình cho ? A x −1 = B x + = C x + = D ( x – 1)( x + 1) = Lời giải Ta có ( x + 1)( x – 1)( x + 1) = ⇔ ( x −1)( x + 1) = (vì x + > 0, ∀x ∈ ℝ 2 Chọn D Câu 15 Phương trình sau khơng tương đương với phương trình x + A x + x = −1 B x −1 + x + = C x x − = D + x −1 = −18 Lời giải Ta có x + =1? x  x ≠ = ⇔  (vô nghiệm) Do đó, tập nghiệm phương  x − x + = x trình cho S = ∅ Xét đáp án:  x ≥ Đáp án A Ta có   → x + x ≥ Do đó, phương trình x + x = −1 vơ  x ≥  nghiệm Tập nghiệm phương trình S1 = ∅ = S  x −1 = Đáp án B Ta có x −1 + x + = ⇔  (vơ nghiệm) Do đó, phương  x + =  trình x −1 + x + = vô nghiệm Tập nghiệm phương trình S = ∅ = S0 Đáp án C Ta có  x − ≥  x x − = ⇔  x = ⇔ x = Do đó, phương trình   x − =  x x − = có tập nghiệm S3 = {5} ≠ S Chọn C Đáp án D Ta có x −1 ≥  → + x −1 ≥ > −18 Do đó, phương trình + x −1 = −18 vơ nghiệm Tập nghiệm phương trình S = ∅ = S Câu 16 Khẳng định sau đúng? A x + x − = x ⇔ x = x − x − B x −1 = x ⇔ x −1 = x 2x − C x + x − = x + x − ⇔ x = x D = x −1 ⇔ x − = ( x −1) x −1 Lời giải Chọn A Câu 17 Khẳng định sau sai? A B x + = ⇔ x −1 = − x ⇔ x −1 = C x − = x + ⇔ ( x − ) = ( x + 1) 2 x −1 x −1 = D x = ⇔ x = Lời giải Chọn D Vì x = ⇔ x = ±1 Câu 18 Chọn cặp phương trình tương đương cặp phương trình sau: A x + x −1 = + x −1 x = B x + x − = + x − x = C x ( x + ) = x x + = D x ( x + ) = x x + = Lời giải Xét đáp án: Đáp án A Ta có  x ≥ x + x −1 = + x −1 ⇔  ⇔ x =  → x + x −1 = + x −1 ⇔ x = Chọn A  x =  x − ≥ Đáp án B Ta có x + x − = + x − ⇔  ⇔ x ∈∅  x = Do đó, x + x − = + x − x = khơng phải cặp phương trình tương đương  x ≥  x ( x + 2) = x ⇔  x = ⇔ x =0  Đáp án C Ta có Do đó, x ( x + ) = x  x + = x + = ⇔ x = −1 x + = cặp phương trình tương đương x = x ( x + 2) = x ⇔   Đáp án D Ta có  x = −1 Do đó, x ( x + ) = x x + = không x + = ⇔ x = −1 phải cặp phương trình tương đương Câu 19 Chọn cặp phương trình tương đương cặp phương trình sau: x x +1 A 2x + x − = + x − x = B C D x + x − = + x − x = x + = − x x + = (2 − x ) x +1 = x = Lời giải Xét đáp án: x ≥  x − ≥  ⇔ ⇔ x ∈∅ 2x + x − = + x − ⇔  2 x = x = Đáp án A Ta có Do đó,  2x = ⇔ x = 2x + x − = + x − x = cặp phương trình tương đương  x + >  x > −1 x x +1 x x +1 Đáp án B Ta có = ⇔  ⇔ ⇔ x = Do đó, =   x +1 x +1  x =  x = x = cặp phương trình tương đương Chọn B Đáp án C Ta có  x ≤  2 − x ≥ − 13  ⇔ ⇔x= x + = − x ⇔  x + = (2 − x )  x = ± 13  Do  ± 13 x + = (2 − x ) ⇔ x − x + = ⇔ x = 2 đó, x + = − x x + = (2 − x ) cặp phương trình tương đương  x − ≥ x + x − = + x − ⇔  ⇔ x ∈ ∅ Do  x = x + x − = + x − x = khơng phải cặp phương trình tương đương Đáp án D Ta có đó, Câu 20 Chọn cặp phương trình khơng tương đương cặp phương trình sau: A x + = x − x x + = ( x −1) B x x + = − x x x + = 16 − x C x − x + x = x + x x − x = x D x + = x x + = x Lời giải Chọn D Ta có x ≥  2 x ≥ + 33 x + = 2x ⇔  ⇔  ⇔x=  x + = x x = ± 33  ± 33 x + = 4x ⇔ x = Do đó, x + = x x + = x cặp phương trình tương đương Câu 21 Tìm giá trị thực tham số m để cặp phương trình sau tương đương: x + mx − = (1) x + (m + ) x + (m −1) x − = (2 ) C m = D m = −2  x = −2 Lời giải Ta có (2 ) ⇔ ( x + )(2 x + mx − ) = ⇔   x + mx − =  A m = B m = Do hai phương trình tương đương nên x = −2 nghiệm phương trình (1) Thay x = −2 vào (1) , ta (−2) + m (−2 ) − = ⇔ m = Với m = , ta có • (1) trở thành x + x − = ⇔ x = −2 x = 2 • (2 ) trở thành x + x + x − = ⇔ ( x + ) (2 x + 1) = ⇔ x = −2 x = Suy hai phương trình tương đương Vậy m = thỏa mãn Chọn B Cách trắc nghiệm Thay giá trị m đáp án vào hai phương trình tìm nghiệm Câu 22 Tìm tất giá trị thực tham số m để cặp phương trình sau tương đương: mx − (m −1) x + m − = (1) (m − ) x − x + m −15 = (2 ) A m = −5 B m = −5; m = C m = D m = x = Lời giải Ta có (1) ⇔ ( x −1)(mx − m + ) = ⇔   mx − m + =  Do hai phương trình tương đương nên x = nghiệm phương trình (2 )  m = −5 Thay x = vào (2 ) , ta (m − ) − + m −15 = ⇔ m + m − 20 = ⇔  m =  Với m = −5 , ta có • (1) trở thành −5 x + 12 x − = ⇔ x = x = 10 • (2 ) trở thành −7 x − x + 10 = ⇔ x = − x = Suy hai phương trình khơng tương đương Với m = , ta có x = • (1) trở thành x − x + = ⇔ x = • (2 ) trở thành x − x + = ⇔ x = x = Suy hai phương trình tương đương Vậy m = thỏa mãn Chọn C Cách trắc nghiệm Thay giá trị m đáp án vào hai phương trình tìm nghiệm Câu 23 Khẳng định sau sai? x ( x −1) A x − = ⇒ x − = B = ⇒ x = x −1 C x − = x − ⇒ x − x − = Lời giải Chọn C Ta có: D x − = − x ⇒ x −12 = x ≥  x − ≥  x =  x ≥  x − = x − ⇔  ⇔  ⇔  ⇔ x ∈∅ (3 x − )2 = ( x − 3)2 8 x − x − =     x = −  ± 11 8x − x − = ⇔ x = Do đó, phương trình x − x − = hệ phương trình 3x − = x − Câu 24 Cho phương trình x − x = Trong phương trình sau đây, phương trình khơng phải hệ phương trình cho? x A x − = B x − x = 1− x C (2 x − x ) + ( x − 5) = 2 D x + x − x = x =  Lời giải Ta có x − x = ⇔  Do đó, tập nghiệm phương trình cho x =    S = 0;    Xét đáp án:  x ≠  x =   x = 1 − x ≠  x  Đáp án A Ta có x − =0⇔ ⇔  ⇔ Do đó, tập 2 x (1 − x ) − x =  x = 1− x     x =     nghiệm phương trình S1 =  0;  ⊃ S    x =  Đáp án B Ta có x − x = ⇔  Do đó, tập nghiệm phương trình   x = ±   1  S = − ;0;  ⊃ S  2  2 x − x = 2 x − x = 2 Đáp án C Ta có (2 x − x ) + ( x − 5) = ⇔  ⇔  (vô nghiệm)   x − =  x = Do đó, tập nghiệm phương trình S3 = ∅ ⊃ S0 Chọn C x =   Đáp án D Ta có x + x − x = ⇔  x = Do đó, tập nghiệm phương trình    x = −1    S = −1;0;  ⊃ S0   Câu 25 Cho hai phương trình: x ( x − 2) = ( x − ) (1) x ( x − 2) x −2 = (2 ) Khẳng định sau đúng? A Phương trình (1) hệ phương trình (2 ) B Phương trình (1) (2 ) hai phương trình tương đương C Phương trình (2 ) hệ phương trình (1) D Cả A, B, C sai Lời giải Ta có: x − = x = Phương trình (1) ⇔  ⇔ Do đó, tập nghiệm phương trình (1) x = x =   S1 = {2;3}  x − ≠ Phương trình (2 ) ⇔  ⇔ x = Do đó, tập nghiệm phương trình (2 )   x = S2 = Vì S ⊂ S1 nên phương trình (1) hệ phương trình (2 ) Chọn A Vấn đề GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Câu 26 Tập nghiệm phương trình A S = {0} B S = ∅ x − x = x − x là: C S = {0;2} D S = {2} x =  x − x ≥  x − x ≥ Lời giải Điều kiện:  ⇔ ⇔ x −2x = ⇔      x = 2 x − x ≥  x − x ≤ Thử lại ta thấy x = x = thỏa mãn phương trình Chọn C Câu 27 Phương trình x ( x −1) x −1 = có nghiệm? A B C D Lời giải Điều kiện: x − ≥ ⇔ x ≥ x = x =    Phương trình tương đương với  x −1 = ⇔  x = ±1     x −1 = x = Đối chiếu điều kiện, ta nghiệm phương trình cho x = Vậy phương trình cho có nghiệm Chọn B Câu 28 Phương trình A −x + x − + x = 27 có nghiệm? B C Lời giải Điều kiện: −x + x − ≥ ⇔ −( x − 3) ≥ ⇔ x = 2 Thử lại ta thấy x = thỏa mãn phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm Chọn B D Câu 65 Cho a, b, c , d số thực khác Biết c d hai nghiệm phương trình x + ax + b = a, b hai nghiệm phương trình x + cx + d = Tính giá trị biểu thức S = a + b + c + d −1 + D S = 2 Lời giải Vì c , d hai nghiệm phương trình x + ax + b = suy c + d = − a A S = − B S = C S = Vì a, b hai nghiệm phương trình x + cx + d = suy a + b = − c c + d = − a a + c = − d Khi đó, ta có hệ  ⇔ ⇔ b = d  a + b = − c a + c = − b a = c c + ac + b = Lại có   → c − a2 + b − d = ⇔ a2 = c ⇔     a = − c a + ca + d = Với a = −c từ c + d = − a  → d = : mâu thuẫn giả thiết Với a = c từ c + d = − a  → d = −2c từ a + b = − c  → b = −2 c c = (loaïi) a =c Ta có c + ac + b =  → 2c − c = ⇔  b =−2 c c = 1(thoaû) Khi S = a + b + c + d = c − c + c − 2c = −2c = −2.1 = −2 Chọn A Vấn đề PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 3x = là: x − x −1   C S =   D S = ℝ \ {1}   Câu 66 Tập nghiệm S phương trình x +   A S = 1;  B S = {1}   / Lời giải Điều kiện x = Khi phương trình ⇔ x + ( x −1) 3x = ⇔ 2x = ⇔ x = thỏa điều kiện x −1 x −1 x −1 3  → S =   Chọn C   Câu 67 Tập nghiệm phương trình A S = {1; 4} B S = {1} x − 5x x −2 =− x −2 là: C S = ∅ D S = {4 } Lời giải Điều kiện x > Khi phương trình ⇔ x − 5x x −2 =−  x = 1( loaïi) ⇔ x − x + = ⇔  x −2 x = 4  → S = {4 } Chọn D Câu 68 Phương trình A x −10 x = x − có nghiệm? x − 5x B C D  x − x = /0  x − x = /0 x −10 x   Lời giải = x − ⇔ ⇔ → S = ∅ Chọn A − x x )  (   x − 5x = x − 2 = x −  x ( x − 5)  10 50 Câu 69 Gọi x nghiệm phương trình − Mệnh đề = − x − x + (2 − x )( x + 3) sau đúng? A x ∈ (−5; −3) B x ∈ [−3; −1] C x ∈ (−1;4 ) D x ∈ [ 4; +∞)  x ≠ Lời giải Điều kiện:    x ≠ −3 Phương trình tương đương − 10 50 = − − x x + (2 − x )( x + 3)  x = 10 (thoûa) ⇔ (2 − x )( x + 3) − ( x + 3) = 10 (2 − x ) − 50 ⇔ x − x − 30 = ⇔  Chọn D  x = −3 (loaïi) (m + 1) x −1 Câu 70 Tập nghiệm S phương trình = trường hợp m ≠ là: x +1  m + 1   A S =  C S = ℝ D S =    B S = ∅    m   m  Lời giải (m + 1) x −1 x +1  x = / −1 = ⇔  ⇔ x = Chọn D (m + 1) x −1 = x + m  Câu 71 Tập nghiệm S phương trình (2m + 3) x + 6m x = m ≠ là:   B S = −  C S = ℝ D S = ℝ \ {0}  m   x = /0 (2m + 3) x + 6m Lời giải = ⇔  ⇔ x = − Chọn B (2m + 3) x + m = x x m  x + mx + Câu 72 Có giá trị tham số m để phương trình = vô x −1 nghiệm? A B C D m =  m =  x = m = / ±1 x + mx + /0 VN  =1⇔  →  ⇔ Chọn D Lời giải   x −1 mx = −3 − = ±1 m = ±3  m  2mx −1 Câu 73 Phương trình = có nghiệm khi: x +1 A m ≠ B m ≠ 3 C m ≠ m ≠ D m ≠ − m ≠ 2 A S = ∅  2m − = m = /0 /  x =  / − mx −  nghiemduynhat Lời giải = ⇔   →  ⇔  (2m − 3) x =  x = =  x +1 / −  m = / −   2m −  Chọn D Câu 74 Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−3;5] để phương trình x −m x −2 = có nghiệm Tổng phần tử tập S bằng: x +1 x −1 A −1 B C D 10 m =  /0 /0 / ±1  x = m = x −m x −2 co nghiem = ⇔   →  ⇔  Lời giải / −1 x +1 x −1 / ±1 m = mx = m +  x = + = m  Vì m ∈ ℤ, m ∈ [−3;5] nên m ∈ S = {−3; −2;1;2;3; 4;5} Chọn D Câu 75 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [1;20 ] để phương trình x +1 m x +3 + = có nghiệm x −2 4− x2 x +2 A B 18 C 19 D 20  m = / 12 / ±2 x = x +1 m x +3 m co nghiem Lời giải + = ⇔    → x = −4 = / ±2 ⇔  2 x = −m − m = /4 x −2 4− x x +2 Suy có tất 18 số nguyên m thỏa yêu cầu Chọn B Câu 76 Tập nghiệm S phương trình x − = − x là: A S = {−1;1} B S = {−1} C S = {1} D S = {0} 3 − x ≥ Lời giải Phương trình ⇔    x − 2 = (3 − x )2  3   x≤ x≤   ⇔ ⇔ → S = {−1;1} Chọn A 2 ⇔ x = ±1    2 x 12 x 4 x 12 x x − + = − + =   Câu 77 Phương trình x − − x + = có nghiệm? A B C D Vô số 2 x − ≥ Lời giải Phương trình ⇔ x − = x − ⇔  ⇔ x ≥  2 x − = x − Do đó, phương trình có vơ số nghiệm Chọn D Câu 78 Tập nghiệm S phương trình x −1 = x − là:   A S =      B S = ∅  4 C S =  −2;    D S = {−2} x ≥   x − ≥   x = ⇔ x ∈ ∅ x ≥ Lời giải Phương trình ⇔  ⇔   2 ⇔ (2 x −1) = ( x − 3) 3 x + x − =     x = −2  → S = ∅ Chọn B Câu 79 Tổng nghiệm phương trình x + x + = x + bằng: A −12 B −6 C D 12  x + ≥  x ≥ −4 ⇔ Lời giải Phương trình ⇔  2 ( x + x + ) = ( x + )2 ( x + x + ) − ( x + )2 =    x ≥ −4 x =  x ≥ −4   x ≥ −4        ⇔ ⇔  x + x + = ⇔  x = −2, x = −4 ⇔ x = −2  ( x + x + 8)( x + x ) =    x = −4   x + x =  x = 0, x = −4    → + (−2 ) + (−4 ) = −6 Chọn B Câu 80 Gọi x1 , x ( x1 < x ) hai nghiệm phương trình x − x − = x −17 Tính giá trị biểu thức P = x12 + x A P = 16 B P = 58 C P = 28 4 x −17 ≥  Lời giải Phương trình ⇔  2  x − x − = (4 x −17 )2  17  17   x ≥  x ≥ 4 ⇔ ⇔   2 x − x + 12)( x − 22) = x − x − = x − 17 ) ) ( ( ( 17 17    x ≥  x ≥ x = 4 ⇔  ⇔  ⇔   →P = x = ∨ x =  x − x + 12 =  x = 22       x − 22 =  x = ± 22 ( D P = 22 22 ) + = 28 Chọn C Câu 81 Tập nghiệm S phương trình x − = x − là:   A S =  ;       B S = − ;      3 C S = − ; −       D S = − ;     Lời giải Phương trình ⇔ x − = x − ⇔ x − x + = x − 30 x + 25 2  x = 3   ⇔ x − 26 x + 21 = ⇔   → S =  ;  Chọn A    x =  Câu 82 Tổng nghiệm phương trình x + = x − bằng: A B C D 20 Lời giải Phương trình ⇔ ( x + ) = ( x − 2) ⇔ x − 20 x + 12 = 2 b 20 Do đó, tổng nghiệm phương trình − = Chọn D a Câu 83 Phương trình x + = x − x − có nghiệm? A B C D   x = ± 45  x + = x − 3x −   x − x − =  Lời giải Phương trình ⇔  ⇔ ⇔   x + = − x − x − x − x − = ( )   ± 13 x =   Chọn D Câu 84 Phương trình x − + x −1 = có nghiệm ? A B C  x − ≥ Lời giải Ta có  ⇒ x − + x −1 ≥   x −1 ≥   x − = x = Dấu '' = '' xảy  ⇔  ⇔ x ∈∅   x −1 = x =  D Vơ số Vậy phương trình cho vô nghiệm Chọn A Câu 85 Tổng nghiệm phương trình x − + x − x + = bằng: C D 2  x − ≥  Lời giải Ta có   → x − + x − x + ≥  x − x + ≥    x = 2 x − =  ⇔  ⇔ x = Chọn B Dấu '' = '' xảy  2 x − x + =  x = ∨ x =  A B Câu 86 Phương trình ( x + 1) − x + + = có nghiệm? A B Lời giải Đặt t = x + , t ≥ C D Phương trình trở thành t − 3t + = ⇔ t = t = • Với t = ta có x + = ⇔ x + = ±1 ⇔ x = −2 x = • Với t = ta có x + = ⇔ x + = ±2 ⇔ x = −3 x = Vậy phương trình có bốn nghiệm x = −3, x = −2, x = 0, x = Chọn D Câu 87 Tổng nghiệm phương trình x ( x −1) = x −1 + bằng: A B C D −2 Lời giải Phương trình tương đương với x − x − x − − = Đặt t = x −1 , t ≥ Suy t = x − x + ⇒ x − x = t − t = −1 ( loại ) Phương trình trở thành t −1 − t −1 = ⇔ t − t − = ⇔  (thoûa) t =   x=  x −1 =  1  Với t = , ta có x −1 = ⇔  ⇔  → + −  = Chọn B  x − = −2     x = −  Câu 88 Với giá trị a phương trình x + ax = −1 có nghiệm nhất? −3 −3 −3 A a > B a < C a ≠ ∧ a ≠ D a < ∨a > 2 2 2 Lời giải Dễ thấy, x = khơng nghiệm phương trình cho Xét x ∈ (−∞;0 ) : Phương trình trở thành −3 x + ax = −1 ⇔ (2a − 3) x = −1 (1) Khi đó, nghiệm −1 −1 Mà x < ⇒ < ⇔ 2a − > ⇔ a > phương trình x = 2a − 2a − Xét x ∈ (0; +∞) : Phương trình (1) có nghiệm 2a − ≠ ⇔ a ≠ Phương trình trở thành x + 2ax = −1 ⇔ (2 a + 3) x = −1 (2 ) Phương trình (2 ) có nghiệm 2a + ≠ ⇔ a ≠ − Khi đó, nghiệm −1 −1 phương trình x = Mà x > ⇒ > ⇔ 2a + < ⇔ a < − 2a + 2a + Chọn D Câu 89 Tìm giá trị thực tham số m để phương trình x + = x + m có nghiệm A m = B m = C m = −1 D Khơng có m Lời giải Phương trình ⇔ x − x + (m −1) = Đặt t = x , t ≥ , phương trình trở thành t − t + m −1 = (∗) Phương trình cho có nghiệm ⇔ (∗) có nghiệm t = Với t = nghiệm phương trình (∗) ⇒ − + m −1 = ⇔ m = Thử lại, thay m = vào phương trình (∗) , thấy phương trình có nghiệm t = t = : Không thỏa mãn Chọn D Câu 90 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [−5;5] để phương trình mx + x −1 = x −1 có hai nghiệm phân biệt? A B C 10 D 11 (m + 1) x = (1) mx + x −1 = x −1 Lời giải Ta có mx + x −1 = x −1 ⇔  ⇔  mx x x + − = − − ( ) (m + 3) x = (2)  Xét (1), ta có: • m = −1 phương trình nghiệm với x ∈ ℝ • m ≠ −1 phương trình có nghiệm x = Xét (2 ), ta có: • m = −3 phương trình vơ nghiệm • m ≠ −3 phương trình có nghiệm x = m +3 2 ≠ 0, ∀m ≠ −3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x = , x = m +3 m +3 m ≠ −1 m ≠ −3 Vì Mà m ∈ [−5;5] m ∈ ℤ  → m ∈ {−5; −4; −2;0;1;2;3;4;5} → có giá trị m Chọn B Câu 91 Tập nghiệm S phương trình A S = {6;2} B S = {2} x − = x − là: C S = {6} D S = ∅ Lời giải  x ≥  x ≥  2x − = x − ⇔  ⇔  x = ⇔ x = Chọn C 2 x − = x − x +    x = Cách 2: thử đáp án Thay x = vào phương trình ta 2.2 − = − (sai) Thay x = vào phương trình ta 2.6 − = − (đúng) Vậy x = nghiệm phương trình Câu 92 Tập nghiệm S phương trình A S = {0;2} Lời giải B S = {2} x − = x − là: C S = {0} D S = ∅ x ≥ x ≥ x − = x − ⇔  ⇔  ⇔ x = Chọn B x − = x − x + x = Cách 2: thử đáp án Thay x = vào phương trình ta − = − (sai) Thay x = vào phương trình ta 2 − = − (đúng) Vậy x = nghiệm phương trình Câu 93 Tổng nghiệm phương trình ( x − ) x + = x − bằng: A B C D Lời giải Điều kiện xác định phương trình x + ≥ ⇔ x ≥ − 2 Ta có ( x − ) x + = x − ⇔ ( x − ) x + = ( x − )( x + ) ⇔ ( x − )  x + − ( x + 2) =   x − = x = ⇔  ⇔   x + − ( x + 2) =  x + = x + (1)  x ≥ −2 Giải phương trình (1) : x + = x + ⇔   2 x + = ( x + )2   x ≥ −2   x ≥ −2   ⇔ ⇔  x = ⇔ x =  x + x − =    x = −3 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 1, x = nên tổng hai nghiệm phương trình + = Chọn D x − 4x − Câu 94 Phương trình = x − có tất nghiệm? x −2 A B C D Lời giải Điều kiện xác định phương trình x − > ⇔ x > Từ phương trình cho ta x = x − x − = x − ⇔ x − 5x = ⇔  x =  So với điều kiện x > x = nghiệm phương trình Chọn A Câu 95 Phương trình − x + = có tất nghiệm? 2− x +3 A B C D Lời giải Điều kiện xác định phương trình − x ≥ ⇔ x ≤ Từ phương trình cho ta 2− x ( ) 2−x +3 +4 = ( ) 2−x +3  x ≥ x ≥  x ≥   ⇔ 2− x = x ⇔  ⇔ ⇔  ⇔ x =  x + x − =  x = 2 − x = x   x = −2 So với điều kiện x < x = nghiệm phương trình Chọn B Câu 96 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình  x  2x    x −1 + x −1 + m = có bốn nghiệm? 2 A B C D Vô số   x = / 1 − t + t = /   x Lời giải Đặt = t ⇔  →   x − tx + t = (*) ∆t = t − t x −1   t < Với t thỏa ∆t > ⇔  (*) có hai nghiệm x phân biệt t >  Mặt khác phương trình cho trở thành: m ≤  2 t + 2t + m = ⇔ (t + 1) = − m ⇔ t = −1 − − m < (* *)  t = −1 + − m  Phương trình cho có nghiệm (**) có hai nghiệm t phân biệt m < m <    1 − m < ⇔  < m < Chọn D thỏa điều kiện ∆t > hay −1 + − m < ⇔   m < −24   −1 + − m > 1 − m > 25   Câu 97 Tìm tất giá trị thực tham số      x +  − 2m  x +  + = có nghiệm 2      x x  3 A m ∈ − ;   4   3 C m ∈ −∞; −    m để phương trình 3  B m ∈  ; +∞     3 3 D m ∈ −∞; −  ∪  ; +∞      t ≥  Lời giải Đặt x + = t →   x + = t − x  x Khi phương trình cho trở thành f (t ) = t − mt −1 = (*) (Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt t1 < < t ac < ) Do PT cho có nghiệm (*) có nghiệm t thỏa t ≥ , hay hai số 2; −  m ≥  f (2 ) ≤ 3 − m ≤  phải nằm hai nghiệm t1 , t ; hay  Chọn D ⇔ ⇔ 3 + m ≤  f ≤ − ( )   m ≤ −  Câu 98 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình  2 x + −  x −  + m −1 = có hai nghiệm lớn   x x A m < −8 B −8 < m < C < m < D m ≤ −8  g ( x ) = x − tx − = (*)  Lời giải Đặt x − = t ⇒   x + = t + x  x Phương trình (*) có ac < nên có hai nghiệm phân biệt trái dấu với t ∈ ℝ Do (*) có nghiệm lớn có nghiệm ⇔ x1 < < x ⇔ g (1) < ⇔ −t −1 < ⇔ t > −1 Mặt khác phương trình cho trở thành f (t ) = t − t + m + = (* *) Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x lớn (* *) có hai nghiệm phân ∆ ′ = − m − >  (t + 1)(t + 1) = t t + (t + t ) + > ⇔ m < Chọn B biệt t1 , t lớn −1, hay  2  m > −8 t1 + t = > −2 Câu 99 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình ( x + x + 4) – 2m ( x + x + ) + m – = có hai nghiệm A m ∈ (3; ) B m ∈ −∞;2 − ∪ + 3; +∞ ( C m ∈ ( 4; +∞) ∪ + { } ) ( ) D m ∈ ℝ Lời giải Ta có ( x + x + ) – 2m ( x + x + ) + m – = (1) Đặt t = x + x + ⇒ x + x + − t = (2 ) Phương trình (1) trở thành g (t ) = t − 2mt + m −1 = (3) Phương trình (2 ) có nghiệm ∆(′2) = t − ≥ ⇔ t ≥ Khi t = phương trình (2) có nghiệm kép x = −1 Phương trình (1) có hai nghiệm khi: • TH1: Phương trình (3) có nghiệm kép lớn Phương trình (3) có nghiệm kép ∆(′3) = m − m + = ⇔ m = ± Với m = −  → Phương trình (3) có nghiệm t = − < : Không thỏa mãn Với m = +  → Phương trình (3) có nghiệm t = + > : Thỏa mãn • TH2: Phương trình (3) có nghiệm t1 , t thỏa mãn t1 < < t m < − ∆ ′ = m − m + >  ⇔ m > + ⇔ m >   g (3) = −2m + <   m > Hợp hai trường hợp ta m ∈ ( 4; +∞) ∪ + Chọn C { } Câu 100 Tìm tất giá trị thực tham số x + mx + 2m x + m + m + − 2m = có nghiệm A m ∈ (∞; −3] ∪ [1; +∞) C m ∈ [1; +∞) m để phương trình 3  B m ∈ (∞; −3] ∪  ; +∞   3  D m ∈  ; +∞   Lời giải Ta có x + mx + 2m x + m + m + − 2m = ⇔ ( x + m + m) = m + 2m −  m + m − ≥  ⇔  x + m = − m + m − − m (1)   x + m = m + 2m − − m (2 )   m ≤ −3 Ta có m + m − ≥ ⇔  m ≥  • Nếu m ≤ −3 , m + 2m − − m ≥ 0, suy (2) có nghiệm, phương trình cho có nghiệm • Nếu m ≥ (1) vơ nghiệm, phương trình cho có nghiệm và (2) có nghiệm ⇔ m + 2m − − m ≥ ⇔ m + 2m − ≥ m ⇔ m ≥ 3  Vậy m ∈ (∞; −3] ∪  ; +∞ Chọn B   Bài 03 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH V BẬC NHẤT HAI ẨN Phương trình bậc hai ẩn HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH Phương trình bậc hai ẩn x , y có dạng tổng quát ax + by = c (1) a, b, c hệ số, với điều kiện a b không đồng thời CHÚ Ý a) Khi a = b = ta có phương trình x + y = c Nếu c ≠ phương trình vơ nghiệm, cịn c = cặp số ( x ; y0 ) nghiệm b) Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = c trở thành a c y =− x + b b (2 ) Cặp số ( x ; y0 ) nghiệm phương trình (1) điểm M ( x ; y0 ) thuộc đường thẳng (2 ) Tổng quát, người ta chứng minh phương trình bậc hai ẩn ln ln có vơ số nghiệm Biểu diễn hình học tập nghiệm phương trình phương trình (1) đường thẳng mặt phẳng tọa độ Oxy Hệ hai phương trình bậc hai ẩn Hệ phương trình bậc hai ẩn có dạng tổng quát a1 x + b1 y = c1 (3)  a2 x + b2 y = c Trong x , y hai ẩn; chữ số lại hệ số Nếu cặp số ( x ; y0 ) đồng thời nghiệm hai phương trình hệ ( x ; y0 ) gọi nghiệm hệ phương trình (3) Giải hệ phương trình (3) tìm tập nghiệm II – HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng qt ax + by + cz = d , x , y, z ba ẩn; a, b, c , d hệ số a, b, c khơng đồng thời Hệ phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát a1 x + b1 y + c1 z = d1  a x + b y + c z = d (4 ) 2  a3 x + b3 y + c z = d Trong x , y, z ba ẩn; chữ lại hệ số Mỗi ba số ( x ; y0 ; z ) nghiệm ba phương trình hệ gọi nghiệm hệ phương trình (4 ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM  x + y + z = 11  Câu Nghiệm hệ phương trình  là: 2 x − y + z =  3 x + y + z = 24 A ( x ; y; z ) = (5; 3;3) B ( x ; y; z ) = (4; 5;2 ) C ( x ; y; z ) = (2; 4;5) D ( x ; y; z ) = (3; 5;3) Lời giải Từ phương trình x + y + z = 11 suy z = 11 − x − y Thay vào hai phương 2 x − y + 11 − x − y = trình cịn lại ta hệ phương trình, ta   3 x + y + 11 − x − y = 24  x − y = −6  x = Từ ta z = 11 − − = ⇔  ⇔ 2 x + y = 13  y = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y; z ) = (4;5;2 ) Chọn B Cách Bằng cách sử dụng MTCT ta ( x ; y; z ) = (4;5;2 ) nghiệm hệ phương trình  x + y =  Câu Nghiệm hệ phương trình   y + z = là:   z + x =  x =  x =  x =  x =        A  y = B  y = C  y = D   y =      z =  z =  z =  z = Lời giải Từ phương trình z + x = suy z = − x Thay vào hai phương trình  x + y =  x + y =  x = cịn lại ta hệ phương trình, ta  ⇔  ⇔    y + (3 − x ) = −4 x + y = −4  y =  Từ ta z = − 2.1 = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y; z ) = (1;0;1) Chọn D Cách Bằng cách sử dụng MTCT ta ( x ; y; z ) = (1;0;1) nghiệm hệ phương trình Câu Bộ ( x ; y; z ) = (2; −1;1) nghiệm hệ phương trình sau ?  x + y − z = −3  A  2 x − y + z =  5 x − y − z = 3 x − y − z =  C  x + y + z =   x − y − z = 2 x − y − z =  B  2 x + y − z = −6   x + y =  x + y + z = −2  D  2 x − y + z =  10 x − y − z = Lời giải Bằng cách sử dụng MTCT ta ( x ; y; z ) = (2; −1;1) nghiệm hệ  x + y − z = −3  phương trình  2 x − y + z = Chọn A  5 x − y − z = Câu Bộ ( x ; y; z ) = (1; 0;1) nghiệm hệ phương trình sau ?  x + y − z = −2 2 x + y + z −10 =   A  x + y + z = −5 B  −5 x + y + z =    y + z = −17  x − y + z = 2 x − y − z =  x + y + z = −2   C  D  x + y + z = x − y + z =   − −  x + y − z = −2  x − y − z = Lời giải Bằng cách sử dụng MTCT ta ( x ; y; z ) = (1;0;1) nghiệm hệ phương 2 x − y − z =  trình   x + y + z = Chọn C  −x + y − z = −2 3 x + y − z =  Câu Gọi ( x ; yo ; z ) nghiệm hệ phương trình  x − y + z = Tính giá trị  −  x + y + z = biểu thức P = x 02 + y02 + z 02 A P = B P = C P = 3 x + y − z = (1)   Lời giải Ta có  x − y + z = (2 )  −x + y + z = (3) Phương trình (2 ) ⇔ x = y − 2z + Thay vào (1) , ta D P = 14 ( y − z + ) + y − z = ⇔ y − z = −5 ( * ) Phương trình (3) ⇔ x = y + z − Thay vào (1) , ta (2 y + z − 3) + y − z = ⇔ y + z = 10 (* *) 4 y − z = −5  y = Từ (*) (* *) , ta có  Suy x = ⇔  7 y + z = 10 z = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y; z ) = (1;1;1)  → P = 12 + 12 + 12 = Chọn C  x + y + z = 11  Câu Gọi ( x ; yo ; z ) nghiệm hệ phương trình  2 x − y + z = Tính giá trị  3 x + y + z = 24 biểu thức P = x y0 z A P = −40 B P = 40 C P = 1200 D P = −1200  x + y + z = 11 (1)   Lời giải Ta có 2 x − y + z = (2 )  3 x + y + z = 24 (3)  Phương trình (3) ⇔ z = 24 − x − y Thay vào (1) (2 ) ta hệ phương trình  x + y + 24 − x − y = 11 −2 x − y = −13 x = ⇔ ⇔ Suy z = 24 − 3.4 − 2.5 =  2 x − y + 24 − x − y = −x − y = −19  y = → P = 4.5.2 = 40 Chọn B Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y; z ) = (4;5;2 )  2 x + y + =  Câu Tìm giá trị thực tham số m để hệ phương trình  có 3 x + y −1 =  2mx + y − m = nghiệm 10 10 A m = B m = 10 C m = −10 D m = − 3 2 x + y + =  x = Lời giải Từ hệ phương trình cho ta suy  ⇔ 3 x + y −1 =  y = −2 2 x + y + =  Hệ phương trình  có nghiệm (1; −2 ) nghiệm 3 x + y −1 =  2mx + y − m = phương trình 2mx + y − m = tức 2m.1 + 5.(−2) − m = ⇔ m = 10 Chọn B mx + y =  Câu Tìm giá trị thực tham số m để hệ phương trình  my + z = vơ nghiệm   x + mz = A m = −1 B m = C m = D m = Lời giải Từ hệ phương trình cho suy z = − my Thay vào hai phương trình mx + y = mx + y = lại, ta  ⇔    x + m (1 − my ) = x − m y = − m   y = − mx  y = − mx ⇔ ⇔   x − m (1 − mx ) = − m (1 + m ) x = m − m +   1 + m = m = −1 Hệ phương trình cho vơ nghiệm  ⇔  ⇔ m = −1  m − m + ≠ m − m + ≠  Chọn A Cách Thử trực tiếp −x + y =  Thay m = −1 vào hệ phương trình ta hệ phương trình  − y + z =   x − z = Sử dụng MTCT ta thấy hệ vô nghiệm Câu Một đoàn xe tải chở 290 xi măng cho cơng trình xây đập thủy điện Đồn xe có 57 gồm ba loại, xe chở tấn, xe chở xe chở 7,5 Nếu dùng tất xe 7,5 chở ba chuyến số xi măng tổng số xi măng xe chở ba chuyến xe chở hai chuyến Hỏi số xe loại ? A 18 xe chở tấn, 19 xe chở 20 xe chở 7,5 B 20 xe chở tấn, 19 xe chở 18 xe chở 7,5 C 19 xe chở tấn, 20 xe chở 18 xe chở 7,5 D 20 xe chở tấn, 18 xe chở 19 xe chở 7,5 Lời giải Gọi x số xe tải chở tấn, y số xe tải chở z số xe tải chở 7,5 Điều kiện: x , y, z nguyên dương  x + y + z = 57  Theo giả thiết tốn ta có  3x + y + 7,5z = 290  22,5 z = x + 15 y Giải hệ ta x = 20, y = 19, z = 18 Chọn B Câu 10 Có ba lớp học sinh 10 A, 10 B, 10C gồm 128 em tham gia lao động trồng Mỗi em lớp 10A trồng bạch đàn bàng Mỗi em lớp 10B trồng bạch đàn bàng Mỗi em lớp 10C trồng bạch đàn Cả ba lớp trồng 476 bạch đàn 375 bàng Hỏi lớp có học sinh ? A 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em B 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em C 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em D 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em Lời giải Gọi số học sinh lớp 10 A, 10 B, 10C x , y, z Điều kiện: x , y, z nguyên dương  x + y + z = 128  Theo đề bài, ta lập hệ phương trình  3x + y + z = 476  4 x + y = 375 Giải hệ ta x = 40, y = 43, z = 45 Chọn A ... B   Bài 03 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH V BẬC NHẤT HAI ẨN Phương trình bậc hai ẩn HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH Phương trình bậc hai ẩn x , y có dạng... thời nghiệm hai phương trình hệ ( x ; y0 ) gọi nghiệm hệ phương trình (3) Giải hệ phương trình (3) tìm tập nghiệm II – HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng qt... nghiệm phương trình x − Sx + P = II – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI Có nhiều phương trình giải biến đổi phương trình bậc bậc hai Sau ta xét hai dạng phương trình Phương trình