ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN VĂN Ý NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TỐN TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH NHIỆT PHI TUYẾN Ngành: Mã số chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH 62 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2017 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN MINH THUYẾT Trường Đại học Kinh tế TP HCM TS NGUYỄN THÀNH LONG Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG TP HCM Phản biện 1: PGS TS Nguyễn Bích Huy Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Hội Nghĩa Phản biện 3: TS Đào Nguyên Anh Phản biện độc lập 1: PGS TS Nguyễn Hội Nghĩa Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Thành Nhân Luận án bảo vệ trước Hội đồng cấp sở đào tạo họp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh vào lúc ngày 16 tháng 12 năm 2017 Có thể tìm luận án thư viện: Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh Mở đầu Lý thuyết tốn biên cho phương trình đạo hàm riêng lĩnh vực quan trọng toán học lý thuyết áp dụng Các toán xuất nhiều khoa học kỹ thuật, vật lý, hóa học, sinh học, , nghiên cứu rộng rãi nhiều nhà tốn học Q trình tìm kiếm nghiệm cho tốn biên góp phần lớn vào phát triển giải tích hàm phi tuyến mặt lý thuyết, chẳng hạn lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm, , mặt phương pháp nghiên cứu phương pháp xấp xỉ, phương pháp nghiệm trên-nghiệm dưới, v.v Hiện nay, có nhiều phương pháp khác để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng, đặc biệt phương trình nhiệt phi tuyến với điều kiện biên khác phương pháp biến phân, phương pháp đơn điệu, phương pháp nghiệm - nghiệm dưới, Tuy nhiên, nói chung, khơng có phương pháp tổng quát cho phép nghiên cứu khía cạnh khác toán biên khác phong phú đa dạng Vì xét đến tốn cụ thể nhiều dạng toán "bài toán mở" - cần tiếp tục khảo sát Bằng cách lựa chọn công cụ tốn học thích hợp mang tính đặc thù, cố gắng tìm kiếm thơng tin nghiệm nhiều tốt Thơng thường ta xem xét tính giải tốn tính chất có nghiệm tốn tính nhất, tính trơn, tính ổn định, tính tuần hồn, tính bị chặn, tính bùng nổ, tính tắt dần, dáng điệu tiệm cận nghiệm, Chính thế, việc khảo sát toán giá trị biên ban đầu cho phương trình nhiệt phi tuyến cần thiết có ý nghĩa thực tiễn Luận án trình bày kết nghiên cứu cho ba toán biên cụ thể cho ba dạng phương trình nhiệt phi tuyến chiều có khơng có số hạng đàn hồi nhớt liên kết với điều kiện biên Robin Cấu trúc luận án gồm phần giới thiệu, ba chương chính, kết luận, phần phụ lục, danh mục cơng trình tác giả cuối phần tài liệu tham khảo Các nội dung luận án tóm tắt sau: Nội dung thứ nhất, trình bày Chương 1, liên quan đến toán cho phương trình nhiệt phi tuyến ∂ ut (1) [µ( x, t)u x ] + f (u) = f ( x, t), ( x, t) (0, 1) (0, T ), ∂x liên kết với điều kiện biên Robin không u x (0, t) h0 u(0, t) = g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) = g1 (t), (2) điều kiện đầu u ( x, 0) = u0 ( x ) , (3) h0 , h1 số với h0 + h1 > u0 , µ, f , f , g0 , g1 hàm số cho trước Bài tốn thuộc dạng có nhiều ý nghĩa vật lý, hóa học, sinh học, đề cập nhiều cơng trình nghiên cứu nhiều tác giả từ trước đến tài liệu tham khảo (xem Du [Siam J Math Anal 31 (1) (1999)], Duzgun [J Appl Anal Comput (3) (2014)], Marras [Numer Funct Anal Optim 30 (1–2) (2009), Z Angew Math Phys 59 (2008)], Ozturk [Nonlinear Anal 108 (2014), Ukrainian Math J 68 (3) (2016)], Levine [Arch Ration Mech Anal 51 (1973)], Zhang [Nonlinear Anal 69 (2008)], Alexandre [Nonlinear Anal Appl Vol 1, (2003) Appl Math Comput 199 (2008)], Long [J Comput Appl Math 196 (2006)]) Điều kiện (2) gọi điều kiện Dirichlet-Robin (hay gọi điều kiện Robin) Chúng kết nối điều kiện Dirichlet điều kiện Neumann Các điều kiện xuất từ hiệu ứng điện giải hệ điện hóa nhiễu (xem Choi [Nonlinear Anal TMA 18 (4) (1992) 317- 331], Bard [Electrochemical Methods, Wiley, New York 1980], Newman [Ind Engng Chem Fundam 60 (4) (1968) 2–27]) Trong điện hóa, phản ứng oxi-hóa khử sinh dòng điện mơ hình tốn giá trị biên elliptic phi tuyến mà tuyến tính hóa dẫn đến điều kiện Dirichlet – Robin (xem Bhat [J Compu Math 25 (6) (2007)]) Phương trình (1) viết lại dạng ut + Au = F ( x, t, u), (4) ∂ Au = ∂x [µ( x, t)u x ] , F ( x, t, u) = f (u) + f ( x, t), liên kết với điều kiện biên khác với điều kiện biên Dirichlet mà theo hiểu biết chúng tôi, tốn tổng qt (4), (2) – (3) chưa nghiên cứu cách đầy đủ Các kết thu không nhiều giải số dạng cụ thể toán toán này, chẳng hạn như: Trường hợp Au = ∆u, f (u) có dạng đa thức a juj p u tổng quát mức độ đó, tốn (4), (2) – (3) đề cập cơng trình nhiều tác giả, ví dụ Du [Siam J Math Anal 31 (1) (1999)], Duzgun [J Appl Anal Comput (3) (2014)], Levine [Arch Ration Mech Anal 51 (1973)], Marras [Numer Funct Anal Optim 30 (1–2) (2009), Z Angew Math Phys 59 (2008)], Ozturk [Nonlinear Anal 108 (2014), Ukrainian Math J 68 (3) (2016)], Payne [Appl Anal 91 (12) (2012), Appl Anal 87 (2008)], Sun [J Differential Equations, 248 (2010)], Xie [Nonlinear Anal 85 (2013)], v.v n n ∂ Trường hợp Au = ∑i,j =1 ∂x aij ( x )u xi ( x ) + ∑i =1 bi ( x )u xi ( x ) toán (4), (2) – (3) j xét đến Levine [Math Ann 214 (1975)], Zhang [Nonlinear Anal 69 (2008)] a(t) ∂ γ Trường hợp Au = xb(t)u x toán khảo sát Alexandre x γ ∂x ( x u x ) [Nonlinear Anal Appl Vol 1, (2003) Appl Math Comput 199 (2008)], Long [J Comput Appl Math 196 (2006)] Các tác giả nêu thu kết tồn nghiệm vấn đề liên quan tính ổn định, tính bị chặn khơng bị chặn, dáng điệu tiệm cận nghiệm t ! +∞, Ở thu kết tồn tại, nghiệm tính chất nghiệm tính bị chặn nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm t ! +∞ toán (1) – (3) Kết công bố [Y1] Nội dung thứ hai, trình bày Chương 2, liên quan đến tốn cho phương trình nhiệt phi tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt dạng ut ∂ ∂x [µ( x, t)u x ] + Z t g(t ∂ s) ∂x [µ( x, s)u x ( x, s)] ds = f (u) + f ( x, t), ( x, t) (0, 1) (5) (0, ∞), liên kết với điều kiện biên Robin dạng phụ thuộc µ(0, t)u x (0, t) h0 u(0, t) = g0 (t), µ(1, t)u x (1, t) + h1 u(1, t) = g1 (t), (6) điều kiện đầu u ( x, 0) = u0 ( x ) , (7) h0 , h1 số, u0 , µ, g, f , f , g0 , g1 hàm số cho trước Trong điều kiện biên (6), có xuất số hạng µ(0, t) µ(1, t) hàm µ xuất phương trình (5) nên gọi điều kiện điều kiện phụ thuộc với ý nghĩa liên quan điều kiện với phương trình xét Phương trình (5) xuất cách tự nhiên từ nhiều mơ hình tốn học khoa học kỹ thuật vật lí Chẳng hạn nghiên cứu dẫn nhiệt vật liệu có độ đàn hồi, từ phương trình cân nhiệt, nhiệt độ u( x, t) thỏa phương trình (5) Các tốn liên quan đến phương trình (5) thu hút nhiều ý vài thập kỷ qua (xem Messaoudi [Abstr Appl Anal 2005 (2) (2005), Progr Nonlinear Differential Equations Appl 64 (2005)], Messaoudi [Appl Math Lett 25 (2012)], Liu [Math Meth Appl Sci 37 (2014)]) Đã có nhiều kết tồn tại, bùng nổ tắt dần nghiệm Ví dụ Messaoudi [Progr Nonlinear Differential Equations Appl 64 (2005)], tác giả nghiên cứu phương trình ∆u + ut Z t g(t s)∆u( x, s)ds = juj p (8) u, p u, f ( x, t) 0) liên kết với điều kiện biên Dirichlet, (có dạng (5) với µ( x, t) 1, f (u) = juj với giảZ thiết hàm hồi phục g không âm, g0 (t) ∞ p g(s)ds < , p 3/2 Messaoudi chứng minh bùng nổ nghiệm yếu với lượng ban đầu âm phương pháp hàm lồi Trong Messaoudi [Abstr Appl Anal 2005 (2) (2005)], tác giả xét tốn giá trị biên ban đầu cho phương trình ∆u + ut Z t g(t s)∆u( x, s)ds = juj p (9) u, chứng minh với điều kiện thích hợp g p, nghiệm yếu bùng nổ lượng ban đầu dương Hệ phương trình nhiệt tựa tuyến tính dạng A(t) jut jm ut ∆u + Z t g(t s)∆u( x, s)ds = a juj p (10) u, với a 0, m 2, A(t) ma trận bị chặn xác định dương, hàm g khả vi liên tục tắt dần khảo sát Messaoudi [Appl Math Lett 25 (2012)] Liu [Math Meth Appl Sci 37 (2014)] Trong Messaoudi [Appl Math Lett 25 (2012)], tác giả xét hệ (10) với a = thiết lập kết tổng quát tắt dần lượng nghiệm chứa kết tắt dần mũ đa thức trường hợp riêng Trong Liu [Math Meth Appl Sci 37 (2014)], tác giả xét hệ (10) với a = thu kết tổng quát tắt dần lượng nghiệm toàn cục tính bùng nổ nghiệm cho hai trường hợp lượng ban đầu âm dương Mặt khác, phương trình (5) khơng có số hạng đàn hồi nhớt (tức g 0) xem trường hợp riêng (1) Tuy nhiên, tính chất đặc trưng số hạng đàn hồi nhớt Z t g(t ∂ s) ∂x [µ( x, s)u x ( x, s)] ds nên nghiệm phương trình (5) có điểm khác biệt so với (1), ta thấy điều rõ kết tồn tính chất nghiệm hai tốn trình bày chi tiết chương chương so sánh với Tiếp nối kết nêu trên, chúng tơi khảo sát tốn (5)-(7) Mục đích thiết lập tồn tính trơn nghiệm Tiếp theo, tính bùng nổ nghiệm thu nhờ giả thiết điều kiện đầu số hạng phi tuyến phù hợp Cuối cùng, kết tắt dần mũ nghiệm thiết lập nhờ xây dựng phiếm hàm Lyaponov phù hợp Kết công bố [Y2] Nội dung cuối cùng, trình bày Chương 3, chúng tơi xét phương trình nhiệt phi tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt dạng ut ∂ ∂x [µ1 ( x, t)u x ] + Z t g(t ∂ s) ∂x [µ2 ( x, s)u x ( x, s)] ds = f (u) + f ( x, t), ( x, t) (0, 1) (0, ∞), (11) liên kết với điều kiện biên Robin dạng độc lập u x (0, t) h0 u(0, t) = g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) = g1 (t), điều kiện đầu u ( x, 0) = u0 ( x ) , h0 , h1 số, u0 , µ1 , µ2 , g, f , f , g0 , g1 hàm số cho trước (12) (13) Cũng trình bày phần nội dung thứ 2, điều kiện biên (12), so với điều kiện (6), ta thấy khơng có xuất số hạng µi (0, t), µi (1, t) (i = 1, 2) nên gọi điều kiện điều kiện độc lập với ý nghĩa điều kiện độc lập với phương trình xét Phương trình (11) với µ1 = µ2 µ điều kiện biên dạng (6) xét chương 2, kết tồn nghiệm yếu, tính bùng nổ tắt dần mũ nghiệm thiết lập Liên quan đến mơ hình dạng với số hạng nhớ xuất biên khảo sát số tác giả, chẳng hạn Fang [Abstr Appl Anal 2013 (2013), Bound Value Probl 2014 (197) 2014], Han [C R Acad Sci Paris, Ser I 353 (2015)] Trong Fang [Abstr Appl Anal 2013 (2013) Bound Value Probl 2014 (197) 2014], với giả thiết nhân g khả vi tắt dần mũ, cách xây dựng phiếm hàm Lyapunov phù hợp sử dụng phương pháp nhiễu lượng, tác giả thu kết tính tắt dần mũ đa thức nghiệm tồn cục cho phương trình ut ∆u + Z t g(t Z t g(t s) div[ a( x )ru( x, s)]ds = 0, x Ω, t > (14) Trong Han [C R Acad Sci Paris, Ser I 353 (2015)], tác giả xét phương trình ut ∆u + s)∆u( x, s)ds = 0, (15) chứng minh nghiệm yếu bùng nổ lượng ban đầu âm nhờ phương pháp nhiễu lượng lý luận hàm lõm Như mở rộng kết nêu [Y2], khảo sát tốn (11)-(13) Chúng tơi tìm lại kết cho toán (5)-(7) cho toán (11)-(13) với giả thiết phương pháp thực tinh tế hơn, đặc biệt kết bùng nổ tắt dần mũ nghiệm xét tốn với µ1 hàm hai biến x, t µ2 hàm biến x, chương xét với µ hàm số biến x Hơn nữa, kết tắt dần mũ nghiệm xét toán với điều kiện nguồn phi tuyến f (u) dành cho lớp hàm rộng so với điều kiện f (u) chương Kết cơng bố [Y3] Tồn kết trình bày luận án công bố [Y1, Y2, Y3] Một phần số kết báo cáo "Hội nghị khoa học Miền Trung Tây Nguyên", Qui Nhơn 08/2015, Hội thảo khoa học "Tốn học Giải tích Ứng dụng", Đại học Hồng Đức-Thanh Hóa 26-28/05/2016, "Hội nghị Khoa học Trường ĐHKHTN TP HCM lần thứ 10, 11/11/2016" số hội nghị khác Chương Phương trình nhiệt phi tuyến khơng chứa số hạng đàn hồi nhớt Nội dung chương khảo sát tốn Robin cho phương trình nhiệt phi tuyến dạng ut ∂ [µ( x, t)u x ] + f (u) ∂x u x (0, t) h0 u(0, t) u ( x, 0) = f ( x, t), ( x, t) (0, 1) = = (0, T ), g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) = g1 ( t ) , (1.0.1) (1.0.2) (1.0.3) u0 ( x ) , h0 , h1 số u0 , µ, f , f , g0 , g1 hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Các kết liên quan đến tốn trình bày mục, từ mục 1.1 đến 1.3 Trong mục 1.1, chứng minh tồn nghiệm yếu toán (1.0.1)-(1.0.3) Mục 1.2 đề cập đến tính chất bị chặn nghiệm yếu với giả thiết điều kiện đầu bị chặn Cuối cùng, mục 1.3, dáng điệu tiệm cận nghiệm t ! +∞ với đánh giá sai số tiệm cận tắt dần mũ xét đến Các kết chương công bố [Y1] 1.1 Sự tồn nghiệm yếu Ta thành lập giả thiết sau: ( H1 ) h0 , h1 ( H2 ) u0 cho h0 + h1 > 0, L2 , ( H3 ) g0 , g1 W 1,1 (0, T ), ( H4 ) µ C1 ([0, 1] [0, T ]), µ( x, t) µ0 > 0, 8( x, t) [0, 1] [0, T ], ( H5 ) f L2 ( Q T ), ( H6 ) f C0 (R) cho tồn số dương C1 , C10 , C2 p > thỏa (i ) u f ( u ) (ii ) j f (u)j C1 juj p C10 , với u R, C2 (1 + juj p ), với u R Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi hàm u L∞ (0, T; L2 ) \ L2 (0, T; H ) thỏa điều kiện tu L∞ (0, T; H ), tut L2 (0, T; L2 ) nghiệm yếu toán (1.0.1)-(1.0.3) u (0) = u0 với v H , ta có d hu(t), vi + a(t; u(t), v) + h f (u(t)), vi dt = h f ( t ), v i µ(0, t) g0 (t)v(0) µ(1, t) g1 (t)v(1) (1.1.1) a.e t (0, T ), a(t; u, v) = Z µ( x, t)u x ( x )v x ( x )dx + h0 µ(0, t)u(0)v(0) + h1 µ(1, t)u(1)v(1), 8u, v H (1.1.2) Định lý 1.1.2 Giả sử ( H1 ) ( H6 ) thỏa Khi đó, với T > 0, tốn (1.0.1)-(1.0.3) có nghiệm yếu u Hơn nữa, f thỏa thêm điều kiện ( H7 ) (y z)( f (y) f (z)) δ jy zj2 , với y, z R, với δ > 0, nghiệm yếu Trong chứng minh Định lý 1.1.2, sử dụng bổ đề sau ∂a Bổ đề 1.1.4 Ký hiệu (t; u, v) dạng song tuyến tính H H xác định ∂t ∂a (t; u, v) = µ0 ( , t)u x , v x + h0 µ0 (0, t)u(0)v(0) + h1 µ0 (1, t)u(1)v(1), ∂t với u, v H Khi ∂a e (i ) (t; u, v) a T kuk H kvk H , với u, v H , ∂t d ∂a (ii ) a(t; um (t), um (t)) = 2a(t; um (t), u0m (t)) + (t; um (t), um (t)), dt ∂t e a T = (1 + 2h0 + 2h1 ) sup( x,t)2[0,1] [0,T ] jµ0 ( x, t)j Bổ đề 1.1.5 Đặt λ0 = Khi đó, ta có C10 C1 1/p , m0 = Z λ0 λ0 j f (y)j dy f (z) = p j z j , z R p Bổ đề 1.1.7 Giả sử u nghiệm yếu toán ∂ ut ∂x [µ( x, t)u x ] = fe( x, t), < x < 1, < t < T, > > > > > > u x (0, t) h0 u(0, t) = u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0, > > < u( x, 0) = 0, > > > > u L∞ (0, T; L2 ) \ L2 (0, T; H ) \ L p ( Q ), > T > > > : ∞ tu L (0, T; H ), tut L ( Q T ) Khi Z t Z tD E a(s; u(s), u(s))ds = fe(s), u(s) ds ku(t)k2 + m0 f (z) C2 jzj + Z z f (y)dy, z R (1.1.3) (1.1.4) 1.2 Tính bị chặn nghiệm Trong mục này, chúng tơi xét tính bị chặn nghiệm Để phục vụ cho mục đích ngồi giả thiết ( H3 ) ( H6 ) trên, ta cần thêm giả thiết sau: ( H10 ) h0 > h1 > 0, ( H20 ) u0 L∞ , ( H50 ) f L2 ( Q T ), f ( x, t) 0, a.e ( x, t) Q T , ( H60 ) f C0 (R) thỏa điều kiện ( H6 ), ( H7 ) u f (u) 0, 8u R, juj ku0 k L∞ Khi đó, ta có định lý sau Định lý 1.2.1 Giả sử ( H10 ), ( H20 ), ( H3 ), ( H4 ), ( H50 ), ( H60 ) thỏa mãn Khi nghiệm yếu toán biên ban đầu (1.0.1)-(1.0.3), định lý 1.1.2, thuộc L∞ ( Q T ) Hơn nữa, ta có 1 (1.2.1) k g0 k L∞ (0,T ) , kg k ∞ kuk L∞ (QT ) max ku0 k L∞ , h0 h1 L (0,T ) Dáng điệu tiệm cận nghiệm t ! +∞ Trong mục này, giả sử T > 0, giả thiết ( H1 ) ( H7 ) Khi đó, tồn nghiệm yếu u toán (1.0.1)-(1.0.3) cho ( u L∞ (0, T; L2 ) \ L2 (0, T; H ) \ L p ( Q T ), 1.3 tu L∞ (0, T; H ), tut L2 ( Q T ) Để xét dáng điệu tiệm cận nghiệm u(t) t ! +∞, ta cần bổ sung thêm giả thiết hàm µ( x, t), f ( x, t), g1 (t), g2 (t) sau: ( H300 ) ( H400 ) ( H500 ) ( H600 ) g0 , g1 W 1,1 (R+ ), µ C1 ([0, 1] R+ ), µ( x, t) µ0 > 0, 8( x, t) [0, 1] f L∞ (0, ∞; L2 ), R+ , Tồn số dương C1 , γ1 , g0∞ , g1∞ hàm µ∞ C1 ([0, 1]), f 1∞ L2 , cho: (i ) (ii ) j g0 ( t ) g0∞ j C1 e γ1 t , j g1 ( t ) g1∞ j C1 e γ1 t , (iii ) kµ(t) (iv) k f (t) C1 e µ∞ k L∞ f 1∞ k C1 e 8t 0, 8t 0, γ1 t , γ1 t , 8t 8t 0, µ∞ ( x ) µ0 > 0, x [0, 1], Trước hết, ta xét toán dừng sau ∂ < [µ ( x )u x ] + f (u) = f 1∞ ( x ), < x < 1, ∂x ∞ : u x (0) = h0 u(0) + g0∞ , u x (1) = h1 u(1) + g1∞ (1.3.1) Định nghĩa 1.3.1 Ta gọi hàm u∞ H nghiệm yếu toán (1.3.1) a∞ (u∞ , v) + h f (u∞ ), vi = h f 1∞ , vi với v H , a∞ (u, v) = Z µ∞ (0) g0∞ v(0) µ∞ (1) g1∞ v(1) (1.3.2) µ∞ ( x )u x ( x )v x ( x )dx + h0 µ∞ (0)u(0)v(0) +h1 µ∞ (1)u(1)v(1), 8u, v H (1.3.3) Định lý 1.3.2 Giả sử ( H6 ), ( H300 ) ( H600 ) thỏa mãn Khi đó, tốn (1.3.1) có nghiệm yếu u∞ Hơn nữa, f thỏa thêm giả thiết ( H700 ) f (u) + δu hàm không giảm theo biến u, với < δ < a0 , nghiệm Liên quan đến dáng điệu tiệm cận nghiệm u(t) t ! +∞ Ta có định lý sau Định lý 1.3.3 Dưới giả thiết ( H1 ) , ( H2 ) , ( H6 ) , ( H300 ) ( H600 ) , ( H700 ) Khi ta có 4C e 2γt , 8t 0, k u ( t ) u ∞ k2 k u0 u ∞ k2 + ε ( γ1 γ ) < γ < minfγ1 , a0 δ 4εg, < 4ε < a0 δ (1.3.4) Nhận xét chương Nhờ giả thiết ( H6 ) mà ta thu bất đẳng thức tích phân (1.1.3), bất đẳng thức tìm thấy Long [J Comput Appl Math 196 (2006)] Giả thiết ( H6 ) hàm f (u) đủ rộng để chứa lớp hàm đủ lớn cho toán biên phi tuyến, chẳng hạn k hàm f (u) = ∑ a i j u j pi u, pi > 1, > (i = 1, 2, , k ) thuộc lớp hàm i =1 Chương Phương trình nhiệt phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết với điều kiện biên Robin phụ thuộc Trong chương này, chúng tơi khảo sát phương trình nhiệt phi tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt Z ut ∂ ∂x t [µ( x, t)u x ] + g(t ∂ s) ∂x [µ( x, s)u x ( x, s)] ds = f (u) + f ( x, t), (2.0.1) < x < 1, t > 0, liên kết với điều kiện biên Robin dạng phụ thuộc µ(0, t)u x (0, t) = h0 u(0, t) + g0 (t), µ(1, t)u x (1, t) = h1 u(1, t) + g1 (t), (2.0.2) điều kiện đầu u( x, 0) = u0 ( x ), (2.0.3) h0 0, h1 số thỏa h0 + h1 > 0, µ, g, f , f , u0 , g0 , g1 hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Các kết liên quan đến tốn trình bày ba mục, từ mục 2.1 đến mục 2.3 Trong mục 2.1, phương pháp xấp xỉ Feado-Galerkin phương pháp compact, thiết lập kết tồn nghiệm yếu với kiện thỏa điều kiện "yếu" "mạnh" Trong mục 2.2 2.3, xét tốn với µ = µ( x ) độc lập với t: Mục 2.2, thu kết bùng nổ nghiệm thời gian hữu hạn Mục 2.3, cách xây dựng phiếm hàm Lyapunov phù hợp tính tắt dần mũ nghiệm thiết lập Một kết đặc sắc mà luận án thu phần tồn nghiệm yếu số hạng phi tuyến f (u) cho toán cần giả thiết f liên tục, bỏ qua điều kiện bị chặn hàm lũy thừa dương juj , mà điều kiện cần phải có tốn trước Để làm điều này, phát tính chất cổ điển là: Mọi hàm f liên tục bị chặn hàm Φ dương, khơng giảm liên tục [xem Bổ đề 2.1.2] Theo hiểu biết chúng tôi, trước biết hàm liên tục bên trái, kiểm tra liên tục áp dụng để chứng minh tồn nghiệm toán nói Các kết chương công bố [Y2] 2.1 Sự tồn nghiệm yếu Ta thành lập giả thiết sau: ( H1 ) h0 , h1 ( H2 ) g0 , g1 W 1,∞ (0, T ); ( H3 ) µ C1 ([0, 1] ( H4 ) cho h0 + h1 > 0; [0, T ]), µ( x, t) µ0 > 0, 8( x, t) [0, 1] [0, T ]; W 1,∞ (0, T ); g2 ( H5 ) f L2 ( Q T ); ( H6 ) f C (R; R) Định nghĩa 2.1.1 Ta gọi hàm u nghiệm yếu toán (2.0.1)-(2.0.3) (0, T ) thỏa u L∞ (0, T; H ), u0 L2 (0, T; L2 ) u (0) = u0 với v H , ta có Z t u0 (t), v + a(t; u(t), v) g(t = h f (u(t)), vi + h f (t), vi với a.e t (0, T ), gei (t) = gi (t) a(t; u, v) = Z H1 , với u, v Z t g(t s) a(s; u(s), v)ds ge0 (t)v(0) ge1 (t)v(1), s) gi (s)ds, i = 0, 1, µ( x, t)u x ( x )v x ( x )dx + h0 u(0)v(0) + h1 u(1)v(1), t (2.1.1) (2.1.2) T Trước hết, để thiết lập định lý tồn nghiệm, ta cần hai bổ đề sau: Bổ đề 2.1.2 [Y2] Với f C (R; R) ta đặt < sup j f (u)j , r > 0, juj r Φ (r ) = : j f (0)j , r = 0, Φ C (R+ ; R+ ) hàm số không giảm cho (2.1.3) Φ (juj) , 8u R j f (u)j (2.1.4) Bổ đề 2.1.3 [Y2] Giả sử x : [0, T ] ! R+ hàm liên tục thỏa mãn bất đẳng thức x (t) M+ Đặt Ψ(u) = (i) Nếu x (t) k (s)ω ( x (s))ds, t [0, T ], 0, k : [0, T ] ! R+ hàm liên tục ω : R+ ! (0, ∞) hàm liên tục khơng giảm M Khi Z t Z u dy , u ω (y) Z +∞ dy Ψ ω (y) = +∞ ta có đánh giá Ψ( M) + Z t k (s)ds , 8t [0, T ]; (ii) Nếu Z +∞ dy ω (y) Ψ x (t) < +∞ ta có đánh giá Ψ( M) + T xác định Z T k (s)ds < Z +∞ M Z t k (s)ds , 8t [0, T ], dy ω (y) Định lý 2.1.4 Giả sử ( H1 ) ( H6 ) thỏa mãn kiện đầu u0 H Khi đó, Z +∞ dy (i) Nếu p = +∞ tốn (2.0.1)-(2.0.3) có nghiệm yếu (0, T ) + y + Φ2 y (ii) Nếu Z +∞ dy p < +∞ tốn (2.0.1)-(2.0.3) có nghiệm yếu (0, T ), + y + Φ2 y với T đủ nhỏ Hơn nữa, f thỏa thêm điều kiện ( H ) M > 0, 9CM > : j f (u) nghiệm f (v)j CM ju vj , 8u, v [ M, M ] Tiếp theo ta khảo sát tính trơn nghiệm Muốn vậy, ta cần thêm giả thiết sau: ( H50 ) ( H60 ) f , f 10 L2 ( Q T ); f C1 (R, R) Ta có định lý sau Định lý 2.1.6 Giả sử ( H1 ) tương thích sau ( H4 ), ( H50 ), ( H60 ) kiện đầu u0 H Giả sử điều kiện µ(0, 0)u0x (0) = h0 u0 (0) + g0 (0), (2.1.5) µ(1, 0)u0x (1) = h0 u0 (1) + g1 (0) thỏa mãn Khi đó, Z (i) Nếu +∞ dy p = +∞ tốn (2.0.1)-(2.0.3) có nghiệm yếu (0, T ) thỏa + y + Φ2 y u L∞ (0, T; H ), u0 L2 (0, T; H ) \ L∞ (0, T; L2 ) (2.1.6) Z +∞ dy (ii) Nếu p < +∞ tốn (2.0.1)-(2.0.3) có nghiệm yếu (0, T ) + y + Φ2 y thỏa u L∞ (0, T ; H ), u0 L2 (0, T ; H ) \ L∞ (0, T ; L2 ), (2.1.7) với T đủ nhỏ 2.2 Tính bùng nổ nghiệm Trong mục này, ta xét toán (2.0.1) – (2.0.3) với g0 = g1 0, f sau Z t > ∂ ∂ > ut ∂x [µ( x )u x ] + g(t s) ∂x [µ( x )u x ( x, s)] ds = f (u), > > > > > < < x < 1, t > 0, > > > µ(0)u x (0, t) h0 u(0, t) = µ(1)u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0, > > > > : u( x, 0) = u0 ( x ) 10 µ( x, t) µ( x ) (2.2.1) Trước hết, để thu kết bùng nổ nghiệm, ta thành lập giả thiết sau: ( H3 ) µ C1 ([0, 1]), µ( x ) ( H6 ) f C (R; R) cho tồn hai số p > 2, γ > thỏa µ0 > 0, với x [0, 1]; (i) f (0) = 0, γ j y j p , y R, (ii) y f (y) (iii) y f (y) ( H4 ) p Z y f (z)dz, 8y R; g C1 (R+ ; R) thỏa điều kiện g(0), g(0) > 0, g0 (t) (i) g(t) (ii) < Z +∞ p g(s)ds < p 2+ p 0, Z +∞ g(s)ds = L > 0, Chú thích 2.2.1 Một ví dụ hàm f thỏa giả thiết ( H ) sau f (y) = γ jyj p N y + ∑ βi j y j qi y, i =1 γ > 0, p > 2, βi 0, qi > số, với < p qi , i = 1, 2, , N Bây giờ, ta định nghĩa phiếm hàm lượng liên kết với toán (2.2.1) sau E(t) = Z t đặt H (t) = E(t) = g(s)ds ku(t)k2a + ( g u)(t) 2 Z t g(s)ds ku(t)k2a Z dx Z u( x,t) ( g u)(t) + Z t > > ( g v)(t) = g(t s) kv(s) v(t)k2a ds, > > > > < p kuk a = a(u, u), > > > Z > > > : a(u, v) = µ( x )u x ( x )v x ( x )dx + h0 u(0)v(0) + h1 u(1)v(1) f (z)dz, Z dx Z u( x,t) (2.2.2) f (z)dz, (2.2.3) (2.2.4) Khi ta có kết sau Định lý 2.1.2 Giả sử ( H1 ), ( H ), ( H ), ( H ) thỏa mãn Khi đó, với u0 H cho H (0) = Z Z u0 ( x ) dx f (z)dz > 0, ta có nghiệm yếu u toán (2.2.1) bùng nổ thời gian hữu ku0 k2a + 0 hạn 2.3 Tính tắt dần mũ nghiệm Trong mục này, ta xét tính tắt dần mũ nghiệm cho toán (2.0.1) - (2.0.3) với g0 = g1 µ( x, t) µ( x ) Ta chứng minh ku0 k2a p Z dx Z u0 ( x ) f (z)dz > lượng ban đầu đủ nhỏ, k f (t)k đủ nhỏ, lượng nghiệm tắt dần mũ t ! +∞ Với mục đích này, ta 11 thành lập giả thiết sau: µ C1 ([0, 1]), µ( x ) ( H3 ) ( H4 ) µ0 > 0, với x [0, 1]; g C1 (R+ ; R) thỏa điều kiện g(0), g(0) > 0, g0 (t) g(t) (i) (ii) g0 (t) ( H5 ) ξ g ( t ), t Z +∞ 0, g(s)ds = L > 0, 0, ξ > 0; f L2 (R+ ; L2 ), tồn hai số dương C0 , γ0 cho k f (t)k ( H6 ) C0 e γ0 t , 8t 0; p > 2, d2 > p, d20 > thỏa f C (R; R) cho tồn số q (i) f (0) = 0, y f (y) > 0, 8y R, y 6= 0, (ii) y f (y) Z y (iii) d2 Z y f (z)dz f (z)dz, 8y R, d j y j p + j y j q , y R Chú thích 2.3.1 Một ví dụ hàm f thỏa giả thiết ( H ) sau f (y) = γ jyj p y + β jyjq y, γ > 0, β 0, p > 2, q > số, với < p q Trước tiên, ta xây dựng phiếm hàm Lyapunov sau δ L(t) = E(t) + ku(t)k2 E(t) + δL1 (t), với δ > chọn sau E(t) Z t 1 g(s)ds ku(t)k2a + 1 ( g u)(t) + 2 p = = với I (t) = Z t g(s)ds ku(t)k2a p Z 1 ( g u)(t) Z t dx (2.3.1) Z dx Z u( x,t) g(s)ds ku(t)k2a + Z u( x,t) f (z)dz I ( t ), p (2.3.2) f (z)dz (2.3.3) 1 ξ ( g u)(t) + k f (t)k2 , 2ε1 (2.3.4) Khi đó, ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.3.2 Hàm lượng E(t) thỏa ε1 E0 (t) u0 (t) g(t) ku(t)k2a 2 với ε1 > 0 Bổ đề 2.3.3 Giả sử ( H1 ), ( H ), ( H ) η =L p ( p 2)/2 pd2 C p E q (q + Cq E ( H ) thỏa mãn Giả sử I (0) > p 2)/2 >1 > 0, d2 12 (2.3.5) E = 2p E (0) + ( p 2) L Khi I (t) > 0, 8t Z ∞ k f (t)k2 dt , Cr = sup 06 = v H k v k Lr , r > kvk a Bổ đề 2.3.4 Giả sử I (0) > (2.3.5) Đặt E1 (t) = ( g u)(t) + ku(t)k2a + I (t) (2.3.6) β1 E1 (t) (2.3.7) Khi đó, tồn hai số dương β1 , β2 cho L(t) β2 E1 (t), 8t Bổ đề 2.3.5 Giả sử I (0) > (2.3.5) Khi hàm L1 (t) thỏa đánh giá L10 (t) 2ε2 ( g u) (t) d2 p (1 ε3 d2 p (1 2ε2 I (t) + k f (t)k2 ε3 ) η ) + d2 p với ε2 > ε3 (0, 1) ε2 Z t g(s)ds ε2 2 C2 ku(t)k2a , (2.3.8) Định lý 2.3.6 Giả sử ( H1 ), ( H ), ( H ) ( H ) thỏa mãn u0 H Giả sử I (0) > lượng ban đầu E(0) thỏa (2.3.5) Khi đó, tồn số dương C, γ cho E1 (t) Ce γt , 8t (2.3.9) Nhận xét chương Bổ đề 2.1.2 đóng vai trò quan trọng việc chứng minh tồn nghiệm Chính kết giúp cho làm nhẹ giả thiết cho hàm f (u) nhiều mà thu kết mong muốn, điều trường hợp nhiều chiều không thực (xem Liu [Acta Appl Math 103 (2008)]) Bổ đề 2.1.3 cho phép ta số T đánh giá tiên nghiệm cho hai trường hợp với ý nghĩa tồn nghiệm toàn cục địa phương Trong áp dụng bổ đề Gronwall-Bellman-Bihari, ta thu nghiệm địa phương mà bỏ qua kết tồn nghiệm toàn cục Hiển nhiên f (u) hàm tuyến tính nghiệm thu tồn cục Các kết thu chương góp phần tổng quát phần kết Fang [J KSIAM 16 (4) (2012)], Liu [Math Meth Appl Sci 37 (2014)], Messaoudi [Abstr Appl Anal 2005 (2) (2005)] Trường hợp hàm µ( x, t) µ( x ) hàm phụ thuộc theo biến x xét đến mục 2.2 mục 2.3 Còn trường hợp µ( x, t) phụ thuộc x t vấn đề mở mà tiếp tục nghiên cứu Chương Phương trình nhiệt phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết với điều kiện biên Robin độc lập 13 Trong chương này, khảo sát phương trình nhiệt phi tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt dạng ut ∂ ∂x [µ1 ( x, t)u x ] + Z t g(t ∂ s) ∂x [µ2 ( x, s)u x ( x, s)] ds = f (u) + f ( x, t), (3.0.1) < x < 1, t > 0, liên kết với điều kiện biên Robin độc lập dạng u x (0, t) h0 u(0, t) = g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) = điều kiện đầu (3.0.2) g1 ( t ) , u( x, 0) = u0 ( x ), (3.0.3) h0 0, h1 số thỏa h0 + h1 > 0, µ1 , µ2 , g, u0 , f , f , g0 , g1 hàm cho trước thỏa điều kiện mà ta sau Chương thu tất kết chương trường hợp µ1 ( x, t) = µ2 ( x, t) Hơn nữa, kết tính chất bùng nổ tắt dần chương với µ2 = µ2 ( x ), µ1 = µ1 ( x, t) (µ1 phụ thuộc x, t), phương pháp kỹ thuật xử lý chương bị hạn chế làm với hàm µ = µ( x ) độc lập với t cho phần bùng nổ tắt dần Mặt khác phương pháp điều kiện đặt chương khơng giải hai ví dụ chương trường hợp tắt dần Các kết chương công bố [Y3] Các điểm khác biệt hai chương 3: Với hai hàm µ1 ( x, t), µ2 ( x, t) xuất chương cho thấy phương trình chương tổng quát chương 2, điều kiện biên khác hai chương, khơng thể nói hai tốn trường hợp riêng nhau, điều khơng có nghĩa chương tổng quát chương Hơn xử lý mặt ý tưởng kỹ thuật chương khác chương 2, chẳng hạn xử lý họ dạng song tuyến tính a(t; u, v) [xem (2.1.2), trang 8] ak (t; u, v), k = 1, [xem (3.1.3), trang 13] khác nhiều Việc trình bày hai chương 2, luận án cho thấy khác biệt, đồng thời làm bậc kết hai báo [Y2], [Y3] 3.1 Sự tồn nghiệm yếu Ta thành lập giả thiết sau: ( A1 ) h0 , h1 ( A2 ) g0 , g1 H (0, T ); ( A3 ) µ1 C1 ([0, 1] [0, T ]), µ1 ( x, t) µ > 0, 8( x, t) [0, 1] [0, T ]; ( A4 ) µ2 C1 ([0, 1] [0, T ]), µ2 ( x, t) µ > 0, 8( x, t) [0, 1] [0, T ]; ( A5 ) f C0 (R; R); ( A6 ) g H (0, T ); ( A7 ) cho h0 + h1 > 0; f L2 ( Q T ) Định nghĩa 3.1.1 Ta gọi hàm u nghiệm yếu toán (3.0.1)-(3.0.3) (0, T ) u L∞ (0, T; H ), u0 L2 (0, T; L2 ) thỏa u (0) = u0 14 (3.1.1) với v H , ta có Z t u0 (t), v + a1 (t; u(t), v) g(t s) a2 (s; u(s), v)ds = h f (u(t)), vi + h f (t), vi ge0 (t)v(0) ge1 (t)v(1), với a.e t (0, T ), Z t > > e g(t s)µ2 (i, s) gi (s)ds, (i = 0, 1), g ( t ) = µ ( i, t ) g ( t ) i > < i Z (3.1.2) ak (t; u, v) = µk ( x, t)u x ( x )v x ( x )dx + h0 µk (0, t)u(0)v(0) > > > : + h1 µk (1, t)u(1)v(1), 8u, v H , t T (k = 1, 2) (3.1.3) Trong chương ta sử dụng hàm Φ tương ứng với hàm f bổ đề 2.1.2 chương Khi ta có Định lý 3.1.2 Giả sử ( A1 ) ( A7 ) thỏa mãn kiện đầu u0 H Khi đó, Z +∞ dy (i) Nếu p = +∞ tốn (3.0.1)-(3.0.3) có nghiệm yếu (0, T ) + y + Φ2 y (ii) Nếu Z +∞ dy p < +∞ tốn (3.0.1)-(3.0.3) có nghiệm yếu (0, T ), + y + Φ2 y với T đủ nhỏ Hơn nữa, f thỏa thêm điều ( A7 ) M > 0, 9CM > : j f (y) nghiệm yếu f (z)j zj , 8y, z [ M, M ], CM jy 3.2 Tính bùng nổ nghiệm Trong phần này, ta xét toán (3.0.1) - (3.0.3) với g0 = g1 0, f µ2 ( x, t) sau Z t ∂ ∂ > < ut ∂x [µ1 ( x, t)u x ] + g(t s) ∂x [µ2 ( x )u x ( x, s)] ds = f (u), < x < 1, t > 0, > : u x (0, t) h0 u(0, t) = u x (1, t) + h1 u(1, t) = 0, u( x, 0) = u0 ( x ), µ2 ( x ), (3.2.1) Trước tiên, để thu kết bùng nổ nghiệm, ta thành lập giả thiết sau: ∂µ1 ∂t ( A30 ) µ1 C1 ([0, 1] ( A40 ) µ2 C1 ([0, 1]), µ2 ( x ) ( A50 ) f C (R; R) cho tồn hai số p > 2, γ > thỏa R+ ), µ1 ( x, t) 0, với ( x, t) [0, 1] µ > 0, với x [0, 1]; γ j u j p , u R, (i) u f (u) (iii) u f (u) ( A60 ) µ > 0, pF (u) p Z u f (z)dz, 8u R; g C1 (R+ ; R+ ) thỏa điều kiện g(t) > 0, g0 (t) (i) g(0) (ii) < Z +∞ g(s)ds < µ µ2 0, 1 (p Chú thích 3.2.1 15 1)2 , với µ2 = max µ2 ( x ) x R+ ; Một ví dụ hàm f thỏa giả thiết ( A50 ) sau f (u) = γ juj p N u + ∑ α i j u j qi (3.2.2) u, i =1 γ > 0, p > 2, αi 0, qi > số, với < p qi , i = 1, 2, , N Một ví dụ khác hàm f thỏa giả thiết ( A50 ) f (u) = juj p u lnk (e + u2 ), k > 1, p > số Trên H , ta xét dạng song tuyến tính a( , ), a( , ), a(u, v) = Z b(u, v) = ∂a1 (t; u, v) ∂t = Z Z (3.2.3) ∂a1 (t; , ) sau ∂t u x ( x )v x ( x )dx + h0 u(0)v(0) + h1 u(1)v(1), µ2 ( x )u x ( x )v x ( x )dx + h0 µ2 (0)u(0)v(0) + h1 µ2 (1)u(1)v(1), µ10 ( x, t)u x ( x )v x ( x )dx + h0 µ10 (0, t)u(0)v(0) + h1 µ10 (1, t)u(1)v(1), với u, v H Dễ dàng kiểm tra dạng song tuyến tính đối xứng a( , ), b( , ) liên tục H H , chuẩn sinh dạng song tuyến tính a( , ), b( , ): p p 1/2 ba v 7! kvk a = a(v, v), v 7! kvkb = b(v, v), với v 7! kvk H = kvk2 + kv x k2 H1 chuẩn tương đương H Hơn nữa, ta có bổ đề sau Bổ đề 3.2.2 Tồn số dương a, a, µ , µ1 , µ , µ2 cho a(u, u) (ii) j a(u, v)j (iii) b(u, u) (iv) jb(u, v)j (v) a1 (t; v, v) (vi) j a1 (t; u, v)j = µ1 µ kuk2H , µ2 k u k H k v k H , = µ kvk2a , µ1 k u k a k v k a , 0, 0, sup µ1 ( x, 0), µ2 = max µ2 ( x ), x a1 a kuk H1 kvk H1 , ∂a1 (t; v, v) ∂t với u, v H , với t (vii) a kuk2H , (i) x 1 minf1; maxf h0 , h1 gg, a1 = + 2h0 + 2h1 Bổ đề 3.2.3 Trên H , chuẩn v 7! kvk a , v 7! kvkb tương đương p p µ2 k v k a , v H µ kvk a kvkb 16 Bây giờ, ta định nghĩa phiếm hàm lượng liên kết với toán (3.2.1) sau E(t) = 1 ( g u) (t) + a1 (t; u(t), u(t)) 2 Z t Z Z u( x,t) g(s)ds ku(t)k2b dx f (z)dz, 0 ( g v)(t) = Z t g(t (3.2.4) v(t)k2b ds s) kv(s) Khi ta có kết sau Định lý 3.2.3 Giả sử ( A1 ), ( A30 ) ( A60 ) thỏa mãn Khi đó, u0 H cho E(0) < 0, ta có nghiệm yếu u toán (3.2.1) bùng nổ thời gian hữu hạn 3.3 Tính tắt dần mũ nghiệm Trong mục này, ta xét tính tắt dần mũ nghiệm cho tốn (3.0.1) - (3.0.3) với g0 = g1 0, µ2 ( x, t) µ2 ( x ) Ta chứng minh I (0) = a1 (0; u0 , u0 ) p Z dx Z u0 ( x ) f (z)dz > lượng ban đầu đủ nhỏ, k f (t)k đủ nhỏ, lượng nghiệm tắt dần mũ t ! +∞ Với mục đích này, ta thành lập giả thiết sau: ( A500 ) f C (R; R) cho tồn số d2 > 0, d2 > p > 2, qi > 2, với 2 0, 8u R, u 6= 0, ( A600 ) (ii) u f (u) d2 F ( u ) (iii) F (u) = Z u Z u f (z)dz, 8u R, d2 juj p + ∑iN=1 jujqi , 8u R; f (z)dz g C1 (R+ ; R) thỏa điều kiện (i) < g(t) (ii) g0 (t) ( A700 ) d2 g (0), g ( t ) ζ g ( t ), t 0, 8t 0, L µ µ2 Z +∞ g(s)ds > 0, 0, ζ > 0; f L2 (R+ ; L2 ), tồn hai số dương C0 , γ0 cho k f (t)k C0 e γ0 t , 8t Chú thích 3.3.1 Một ví dụ hàm f thỏa giả thiết ( A500 ) lấy sau f (u) = γ juj p N u + ∑ α i j u j qi γ > 0, p > 2, αi (3.3.1) u, i =1 0, qi số, với < p Một ví dụ khác hàm f thỏa giả thiết ( A500 ) f (u) = juj p u lnk (e + u2 ), 17 qi , i = 1, 2, , N (3.3.2) k > 1, p > 2k số Trước tiên, ta xây dựng phiếm hàm Lyapunov sau δ L(t) = E(t) + ku(t)k2 E(t) + δL1 (t), E(t) = = (3.3.3) 1 ( g u)(t) + a1 (t; u(t), u(t)) 2 Z Z u( x,t) Z t dx f (z)dz g(s)ds ku(t)k2b 0 1 ( g u)(t) + I (t) p Z t 1 g(s)ds , + a1 (t; u(t), u(t)) ku(t)k2b p với Z t ku(t)k2b I (t) = I (u(t)) = a1 (t; u(t), u(t)) g(s)ds p Z dx Z u( x,t) (3.3.4) f (z)dz Khi đó, ta có bổ đề sau: Bổ đề 3.3.2 Hàm lượng E(t) thỏa ε1 E0 (t) u0 (t) g(t) ku(t)k2b 2 Bổ đề 3.3.3 Giả sử ( A1 ), ( A30 ), ( A40 ), ( A500 ) η =L e pp R p pd2 D thỏa mãn, s R = 2p ( p 2) L Khi I (t) > 0, 8t N e qi qi + ∑ i =1 D qi R E (0) + Z ∞ 1 ζ ( g u)(t) + k f (t)k2 , 8ε1 > (3.3.5) 2ε1 ( A007 ) thỏa mãn Giả sử I (0) > p > µ1 > 0, (3.3.6) d2 e r = sup kvk Lr , r > k f (t)k2 dt , D kvk a 06 = v H Bổ đề 3.3.4 Giả sử I (0) > (3.3.6) Đặt E1 (t) = ( g u)(t) + ku(t)k2a + I (t) Khi đó, tồn hai số dương β1 , β2 cho β1 E1 (t) L(t) β2 E1 (t), 8t (3.3.7) Bổ đề 3.3.5 Giả sử I (0) > (3.3.6) Khi hàm L1 (t) thỏa đánh giá L10 (t) ε3 d2 I (t) + ( g u) (t) k f (t)k2 2ε2 p 2ε2 d d2 ε2 e (1 ε3 ) η µ1 D ku(t)k2a p p 2 Z t d2 ε2 ku(t)k2b g(s)ds, p 18 (3.3.8) với ε2 > ε3 (0, 1) Định lý 3.3.6 Giả sử ( A1 ), ( A30 ), ( A40 ), ( A500 ) ( A007 ) thỏa mãn u0 H Giả sử I (0) > lượng ban đầu E(0) thỏa (3.3.6) Khi đó, tồn số dương C, γ cho E1 (t) Ce γt , 8t (3.3.9) Nhận xét chương Các kết thu chương góp phần tổng quát phần kết Fang [J KSIAM 16 (4) (2012)], Liu [Math Meth Appl Sci 37 (2014)], Messaoudi [Abstr Appl Anal 2005 (2) (2005)] [Y2] Trường hợp hàm µ1 ( x, t) µ1 ( x, t), µ2 ( x, t) µ2 ( x ) xét đến mục 3.2 mục 3.3 Còn trường hợp µ2 ( x, t) phụ thuộc x t vấn đề mở mà chúng tơi tiếp tục nghiên cứu Kết luận Trong luận án chúng tơi sử dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến để khảo sát số toán biên cho phương trình nhiệt phi tuyến chiều Nội dung luận án tập trung vào ba toán biên cho ba phương trình nhiệt phi tuyến có liên quan đến mơ hình cổ điển khoa học kỹ thuật, vật lý, hóa học, sinh học, Thứ tốn biên cho phương trình nhiệt phi tuyến không chứa số hạng đàn hồi nhớt (Chương 1) Thứ hai thứ ba toán biên cho phương trình nhiệt phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt (Chương 2, Chương 3) Những kết trình bày luận án bao gồm: Chứng minh tồn nhất, tính bị chặn dáng điệu tiệm cận nghiệm yếu phương trình nhiệt phi tuyến dạng ∂ ut [µ( x, t)u x ] + f (u) = f ( x, t), ( x, t) (0, 1) (0, T ), ∂x kết hợp với điều kiện biên Robin u x (0, t) h0 u(0, t) = g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) = g1 (t), điều kiện đầu u ( x, 0) = u0 ( x ) Bài toán biên cho phương trình nhiệt phi tuyến có chứa số hạng đàn hồi nhớt dạng Z t > ∂ ∂ > u µ ( x, t ) u + g(t s) ∂x [ ] [µ( x, s)u x ( x, s)] ds = f (u) + f ( x, t), t x > ∂x > > < x (0, 1), t > 0, > > > µ ( 0, t ) u ( 0, t ) h u ( 0, t ) = g ( t ) , µ ( 1, t ) u ( 1, t ) + h u ( 1, t) = g1 (t), x x 0 > > : u( x, 0) = u0 ( x ), có nghiệm yếu Hơn tính trơn nghiệm phụ thuộc vào tính trơn kiện u0 , f , f thiết lập Ngoài số giả thiết thích hợp, chúng tơi thu kết tính bùng nổ nghiệm thời gian hữu hạn tính tắt dần mũ nghiệm t ! +∞ Chứng minh với giả thiết thích hợp, phương trình Z t ∂ ∂ ut [µ1 ( x, t)u x ] + g(t s) [µ2 ( x, s)u x ( x, s)] ds = f (u) + f ( x, t), ∂x ∂x 0 < x < 1, t > 0, 19 liên kết với điều kiện Robin dạng u x (0, t) h0 u(0, t) = g0 (t), u x (1, t) + h1 u(1, t) = g1 (t), điều kiện đầu u( x, 0) = u0 ( x ), có nghiệm yếu Hơn thu kết tính bùng nổ nghiệm thời gian hữu hạn tính tắt dần mũ nghiệm t ! +∞ Trên sở kết có, để kết thúc, chúng tơi nêu số vấn đề nghiên cứu, phát triển tiếp sau: Nghiên cứu tồn tại, số tính chất nghiệm yếu toán (1.0.1)-(1.0.3) f (u) vế phải phương trình điều kiện biên Robin tuyến tính thay điều kiện biên Robin phi tuyến Nghiên cứu tính chất bùng nổ tắt dần nghiệm yếu tốn (2.0.1)-(2.0.3) µ hàm số phụ thuộc hai biến x t Nghiên cứu tính chất bùng nổ tắt dần nghiệm yếu tốn (3.0.1)-(3.0.3) µ2 hàm số phụ thuộc hai biến x t 20 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ [Y1] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Van Y, Alain Pham Ngoc Dinh, Nguyen Thanh Long, On a nonlinear heat equation associated with Dirichlet - Robin conditions, Numerical Functional Analysis and Optimization, 33 (2) (2012) 166-189 (SCIE) http://dx.doi.org/10.1080/01630563.2011.594198 [Y2] Le Thi Phuong Ngoc, Nguyen Van Y, Tran Minh Thuyet, Nguyen Thanh Long, On a nonlinear heat equation with viscoelastic term associated with Robin conditions, Applicable Analysis, 96 (16) (2017) 2717-2736 (SCIE) https://doi.org/10.1080/00036811.2016.1238461 [Y3] Nguyen Thanh Long, Nguyen Van Y, Le Thi Phuong Ngoc, Exponential decay and blow-up results for a nonlinear heat equation with a viscoelastic term and Robin conditions, Annales Polonici Mathematici, 119 (2) (2017) 121-145 (SCIE) ... sát toán giá trị biên ban đầu cho phương trình nhiệt phi tuyến cần thiết có ý nghĩa thực tiễn Luận án trình bày kết nghiên cứu cho ba toán biên cụ thể cho ba dạng phương trình nhiệt phi tuyến. .. tục nghiên cứu Kết luận Trong luận án sử dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến để khảo sát số tốn biên cho phương trình nhiệt phi tuyến chiều Nội dung luận án tập trung vào ba tốn biên cho. .. tiếp tục nghiên cứu Chương Phương trình nhiệt phi tuyến chứa số hạng đàn hồi nhớt liên kết với điều kiện biên Robin độc lập 13 Trong chương này, chúng tơi khảo sát phương trình nhiệt phi tuyến có
