SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Bài giảng điện tử Nguyễn Hồng Lộc Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng TP HCM — 2013 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Những khái niệm Những khái niệm Định nghĩa Độ sai lệch giá trị gần giá trị xác gọi sai số Định nghĩa Số a gọi số gần số xác A, kí hiệu a ≈ A (đọc a xấp xỉ A) a khác A không đáng kể dùng thay cho A tính toán Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Những khái niệm Định nghĩa Đại lượng ∆ = |a − A| gọi sai số thật số gần a Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Những khái niệm Định nghĩa Đại lượng ∆ = |a − A| gọi sai số thật số gần a Trong thực tế, khơng biết số xác A, ta ước lượng đại lượng dương ∆a bé tốt thỏa điều kiện |A − a| ∆a gọi sai số tuyệt đối số gần a Chú ý Trong thực tế ta ký hiệu A = a ± ∆a Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Những khái niệm Định nghĩa Sai số tương đối số gần a so với số xác A đại lượng δa tính theo công thức |A − a| δa = |A| Chú ý Trong nhiều trường hợp, A ∆a ta thay δa = 100% |a| Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Những khái niệm Ví dụ Giả sử A = π; a = 3.14 Do 3.13 = 3.14 − 0.01 < π < 3.14 + 0.01 = 3.15, nên ta chọn ∆a = 0.01 Mặt khác, 3.138 = 3.14−0.002 < π < 3.14+0.002 = 3.142, ta chọn ∆a = 0.002 Như vậy, với giá trị gần đúng, có nhiều sai số tuyệt đối khác Trong trường hợp ta chọn giá trị nhỏ chúng Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Những khái niệm Ví dụ Vận tốc vật thể đo v = 2.8m/s với sai số tương đối δv = 0.5% Khi sai số tuyệt đối 0.5 2.8m/s = 0.014m/s ∆v = v δv = 100 Ví dụ Đo độ dài hai đoạn thẳng ta a = 10cm b = 1cm với ∆a = ∆b = 0.01cm 0.01 0.01 = 0.1%, δb = = 1% hay Khi δa = 10 δb = 10δa Từ suy phép đo a xác phép đo b ∆a = ∆b Như vậy, độ xác phép đo thể qua sai số tương đối Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Biểu diễn số thập phân Chữ số có nghĩa Mọi số thực a biểu diễn dạng thập phân hữu hạn vô hạn a = ±(αm αm−1 α1α0.α−1α−2 α−n ) = m ± αk 10k , m, n ∈ N, m 0, n 1, αm = 0, k=−n αk ∈ {0, 1, 2, , 9} Ví dụ 324.59 = × 102 + × 101 + × 100 + × 10−1 + × 10−2 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Biểu diễn số thập phân Một số viết dạng thập phân gồm nhiều chữ số Ví dụ 20.25 có chữ số, 0.03047 có chữ số Định nghĩa Những chữ số có nghĩa số chữ số số kể từ chữ số khác khơng tính từ trái sang phải Ví dụ Số 20.25 có chữ số có nghĩa Số 0.03047 có chữ số có nghĩa Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Biểu diễn số thập phân Định nghĩa Làm tròn số thập phân a bỏ số chữ số bên phải a sau dấu chấm thập phân để số a ngắn gọn gần so với a Quy tắc Để làm tròn đến chữ số thứ k sau dấu chấm thập phân, ta xét chữ số thứ k + sau dấu chấm thập phân αk+1 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Bài toán Cauchy k 10 xk 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 yk 0.5000000 0.8292933 1.2114362 1.6404175 2.1088953 2.6079021 3.1264849 3.6512660 4.1659056 4.6504464 5.0805126 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) y (xk ) 0.5000000 0.8292986 1.2140877 1.6489406 2.1272295 2.6408591 3.1799415 3.7324000 4.2834838 4.8151763 5.3054720 Công thức Runge-Kutta |y (xk ) − yk | 0.0000000 0.0000053 0.0000114 0.0026515 0.0183342 0.032957 0.0000474 0.0000599 0.0000743 0.0000906 0.0001089 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 15 / 29 Bài toán Cauchy Bài tập Bài tập Cho toán Cauchy y (x) = 3x + x sin(x + 2y ), y (1) = 2.4 x Sử dụng công thức Runge-Kutta cấp xấp xỉ y (1.2) với bước h = 0.2 Giải y (1.2) = 3.1123 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 16 / 29 Hệ phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân   y1 (x) = f1 (x, y1 (x), y2 (x)), a y (x) = f2 (x, y1 (x), y2 (x)), a  y1 (a) = y1,0 , y2 (a) = y2,0 x x b, b, Lần lượt áp dụng phương pháp (Euler,Euler cải tiến, Gunge-Kutta) cho phương trình,chú ý tính theo nghiệm y = [y1 (xk ), y2 (xk )]T theo thứ tự nút xk từ thấp đến cao Ví  dụ áp dụng phương pháp Euler, ta có:  y1 (xk+1 ) = y1 (xk ) + hf1 (x, y1 (xk ), y2 (xk )) y2 (xk+1 ) = y2 (xk ) + hf2 (x, y1 (xk ), y2 (xk ))  y1 (a) = y1,0 , y2 (a) = y2,0 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 17 / 29 Phương trình vi phân bậc cao Phương trình vi phân bậc cao y (x) = f1 (x)y + f2 (x)y + f3 (x), y (a) = α , y (a) = β a x b, Thực đổi biến y = z ⇒ y ” = z , z(a) = y (a) = β Phương trình vi phân chuyển hệ:  y (x) = z(x), a x b,  z (x) = f1 (x)z + f2 (x)y + f3 (x), a x b,  y (a) = α , z(a) = β Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 18 / 29 Phương trình vi phân bậc cao Bài tập Cho toán Cauchy y (x) = 4.6y + 2x y + 2.6, , y (1) = 1.2, y (1) = 1 x 1.8 Đưa hệ phương trình vi phân cấp Sử dụng cơng thức Euler,giải gần phương trình vi phân đoạn [1; 1.8] với bước h = 0.2 Giải y (1.2) = 1.4000, Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) y (1.8) = 6.6665 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 19 / 29 Bài tốn biên tuyến tính cấp Đặt vấn đề Các phương pháp tìm nghiệm gần phương trình vi phân thường đòi hỏi điều kiện cho thời điểm ban đầu Đối với phương trình vi phân bậc hai, ta cần giá trị y (x0 ) y (x0 ) Tuy nhiên, nhiều toán thực tế cho thấy điều kiện hàm cần tìm cho nhiều thời điểm khác Vấn đề dẫn tới việc tìm nghiệm gần dạng toán thứ hai gọi toán biên Trong phần xét tốn biên phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai với điều kiện biên cho điểm có dạng   p(x)y (x) + q(x)y (x) + r (x)y (x) = f (x), a < x < b,  y (a) = α, y (b) = β với phương pháp sai phân hữu hạn Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 20 / 29 Bài toán biên tuyến tính cấp Phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp sai phân hữu hạn Chọn số tự nhiên n > Chia đoạn [a, b] thành n đoạn điểm chia x0 = a, xk = x0 + kh, k = 1, 2, , n − 1, xn = b với b−a h= n Tại nút xk , k = 1, 2, , n − bên đoạn [a, b] sử dụng công thức sai phân hướng tâm, ta có yk+1 − yk−1 y (xk+1 ) − y (xk−1 ) = 2h 2h y (xk+1 ) − 2y (xk ) + y (xk−1 ) yk+1 − 2yk + yk−1 y (xk ) ≈ = h h2 Thay vào phương trình cho ta yk+1 − 2yk + yk−1 yk+1 − yk−1 pk + qk + rk yk = fk , h 2h ∀k = 1, 2, , n − với pk = p(xk ), qk = q(xk ), rk = r (xk ) fk = f (xk ) y (xk ) ≈ Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 21 / 29 Bài tốn biên tuyến tính cấp Phương pháp sai phân hữu hạn Từ điều kiện biên y0 = α, yn = β sau biến đổi ta thu hệ phương trình  y0 = α, yn = β  qk pk qk k )y + ( + ( phk2 − 2h )yk−1 + (rk − 2p k 2h )yk+1 = fk h2 h2  ∀k = 1, 2, , n − Đây hệ phương trình đại số tuyến với A ma trận  p1 q1 r1 − 2p + 2h h2 h2  p22 − q2 r2 − 2p22 p22 + q2 2h 2h h h h A=  0 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN tính cấp n − : AY = B     2pn−1 rn−1 − h2 TP HCM — 2013 22 / 29 Bài tốn biên tuyến tính cấp Phương pháp sai phân hữu hạn Y = [y1 , y2 , , yn−1 ]T    B=   Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) q1 )α f1 − ( hp12 − 2h f2 fn−2 pn−1 n−1 fn−1 − ( h2 + q2h )β PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN       TP HCM — 2013 23 / 29 Bài tốn biên tuyến tính cấp Ma trận đường chéo Ma trận A ma trận đường chéo Để giải hệ phương trình ta dùng phương pháp phân rã LU   a11 a12 0  a21 a22 a23 0     a32 a33 0    A=     0 an−1,n−1 an−1,n  0 an,n−1 ann Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 24 / 29 Bài tốn biên tuyến tính cấp Ma trận đường chéo Khi phân rã Doolit cho ta  0  21  L= 32   0    U=   Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) u11 u12 0 u22 u23 0 u33 0    ,   unn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN       TP HCM — 2013 25 / 29 Bài tốn biên tuyến tính cấp Trường hợp n=4  p1 q1 r1 − 2p + 2h h2 h2  p22 − q2 r2 − 2p22 2h h h p3 q3 − 2h h Trường hợp n=4    f1 − ( hp12 − Y1 p2 q2   f2 Y2  =  + 2h h2 p3 2p3 f − ( + Y r3 − h2 3 h2 q1 2h )α q3 2h )β   Ví dụ Xét tốn biên   y − y − 2y = cos x, < x < π π  y (0) = −0.3, y ( ) = −0.1 có nghiệm xác y (x) = −0.1(sin x + cos x) Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn xấp xỉ nghiệm gần so sánh với nghiệm xác π trường hợp h = Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 26 / 29 Bài toán biên tuyến tính cấp Ta có hệ phương trình   ( − −1 2h )yk−1 + (−2 −  h2 Trường hợp n=4 )y h2 k + ( h12 y0 = −0.3, y4 = −0.1 + −1 2h )yk+1 = cos(xk ) ∀k = 1, 2,     y0 = −0.3, y4 = −0.1 1 ( h12 + 2h )y0 + (−2 − h22 )y1 + ( h12 − 2h )y2 = cos( π8 ) ⇔ 1 1  ( h2 + 2h )y1 + (−2 − h2 )y2 + ( h2 − 2h )y3 = cos( π4 )   1 )y2 + (−2 − h22 )y3 + ( h12 − 2h )y4 = cos( 3π ( h2 + 2h )   (−2 − h22 )y1 ( + 2h )y1 ⇔  h2 0y1 )y2 +( h12 − 2h +(−2 − h22 )y2 +( h12 + 2h )y2 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) +0y3 +( h12 − 2h )y3 +(−2 − h22 )y3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN = = = cos( π8 ) − ( h12 + 2h )y0 cos( π4 ) cos( 3π ) − ( h12 − 2h )y4 TP HCM — 2013 27 / 29 Bài tốn biên tuyến tính cấp k xk π π 3π π yk −0.30000 −0.31569 −0.28291 −0.20700 −0.10000 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) y (xk ) −0.30000 −0.31543 −0.28284 −0.20719 −0.10000 Trường hợp n=4 |y (xk ) − yk | 0.00000 0.00025 0.00007 0.00019 0.00000 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TP HCM — 2013 28 / 29 Bài toán biên tuyến tính cấp Trường hợp n=4 Bài tập Cho tốn biên tuyến tính cấp xy + 12y − 4.6y = + 2(x + 2)2 , y (0.4) = 1.3, y (1.2) = 4.6 0.4 ≤ x ≤ 1.2 Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn,hãy xấp xỉ giá trị hàm y (x) đoạn [0.4; 1.2] với bước h = 0.2 Giải y (0.6) = 3.2924, Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) y (0.8) = 3.3097, PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN y (1.0) = 3.9643 TP HCM — 2013 29 / 29 ... A tính tốn Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 / 30 Số gần sai số Những khái niệm Định nghĩa Đại lượng ∆ = |a − A| gọi sai số thật số gần a Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM)... 1159.2503 Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 23 / 30 Bài tập Bài tập Bài Biết A có giá trị gần a = 3.5833 với sai số tương đối δa = 0.28% Ta làm tròn a thành a∗ = 3.58 Tính. .. số đáng tin Nguyễn Hồng Lộc (BK TPHCM) SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ TP HCM — 2013 26 / 30 Bài tập Bài tập Bài Cho biểu thức f = x + xy + y 3.Biết x = 1.9501 ± 0.0050 y = 3.4740 ± 0.0083 Tính sai số