chuyên đề: Giải bài toán chia hết I.Lí thuyết liên quan đến chuyên đề: Các tính chất chia hết 1) 0 chia hết b b 0 2) a chia hết a a 0 3) Nếu a chia hết cho b; b chia hết cho c thì a chia hết cho c 4) Nếu a chia hết cho m; b chia hết cho m thì a b chia hết cho m 5) Nếu a chia hết cho m; b không chia hết cho m thì a b không chia hết cho m 6) Nếu a b chia hết cho m; a chia hết cho m thì b chia hết cho m 7) Cho tích a 1 .a 2 . . . a n . Nếu a i chia hết cho ; i = 1; n thì a 1 .a 2 . . . a n chia hết cho m 8) Nếu a chia hết cho m thì a n chia hết cho m (n N*) 9) Nếu a chia hết cho m; b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn => a chia hết cho b thì a n chia hết cho b n . 10) Nếu a chia hết cho b; a chia hết cho c; (b; c) = 1 thì a chia hết cho bc 11) Nếu ab chia hết cho m; (b; m) = 1 thì a chia hết cho m 12) Nếu ab chia hết cho p, p là số nguyên tố thì a chia hết cho p b chia hết cho p 13) Cho a, b Z; n N; n 1 thì: (a n - b n ) chia hết cho a - b nếu a b. (a 2n + 1 + b 2n +1 ) chia hết cho (a + b) nếu a - b. Các dấu hiệu chia hết 1) Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 <=> chữ số tận cùng của nó là chữ số chẵn. 2) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9): một số chia hết cho 3 (hoặc 9) <=> tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9). * Chú ý: một số chia hết cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của nó chia cho 3 (hoặc 9) cũng d bấy nhiêu. 3) Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 <=> chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5. 4) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25): Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) <=> số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4 hoặc 25. 5) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125) <=> số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8 hoặc 125. 6) Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 <=> hiệu giữa tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn tính từ trái sang phải chia hết cho II. Các Phơng pháp giải bài toán chia hết: (I). Để chứng minh A(n): k có thể sét mọi trờng hợp về số dự khi chia n cho k. VD: Chứng minh: a) Tích của hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2 b) Tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3 c) Tổng quát: tích của n số nguyên liên tiếp chia hết cho n Giải a) A(n) = n (n+1) + Nếu n không chia hết cho 2 thì (n+1) chia hết cho 2 và ngợc lại. Trong mọi trờng hợp + A(n) luôn chứa 1 thừa số chia hết cho 2. Vậy A(n) chia hết cho 2 (đpcm). b) A(n) = n(n+1)(n+2) Xét mọi trờng hợp : n chia hết cho 3; n=3q+1; n = 3q+2 + Nếu n chia hết cho 3, hiển nhiên A(n) chia hết cho 3 + Nếu n = 3q+1 => n+2 = 3q+3 chia hết cho 3 + Nếu n= 3q+2 => n+1 = 3q+2+1 = 3q+3 chia hết cho 3 Trong mọi trờng hợp A(n) luôn chứa một thừa số chia hết cho 3. Vậy A(n) chia hết cho 3 (đpcm) c) Giả sử dãy số đó là: a; a+1; a+2; . . . ; a+(n-1) Giả sử trong dãy số không tại số nào chia hết cho n => Khi chia n số của dãy cho n sẽ có n-1 số d là 1; 2; 3; . . .; n-1 Dãy có n số mà khi chia cho n lại chỉ có n-1 số d. Vậy tồn tại ít nhất 2 số khi chia cho n có cùng số d. Giả sử 2 số đó là: a+i; a+k (0 i < k) => (a+k) - (a+i) chia hết cho n <=> (k-i) chia hết cho n mà 0 < k-i < n => (k-i) không chia hết cho n (k-i) chia hết cho n là vô lí. Vậy trong dãy phải tồn tại một số chia hết cho n => tích của cả dãy số chia hết cho n (đpcm) (II) Để chứng minh A(n) chia hết cho k có thể phân tích k ra thừa số k = p . q + Nếu (p ; q) =1 ta tìm cách chứng minh A(n) chia hết cho p và A(n) chia hết cho q + Nếu (p, q) khác 1 ta phân tích A(n)= B(n). C(n) rồi chứng minh B(n) chia hết cho p; C(n) chia hết cho q VD1: chứng minh rằng A(n) = n . ( n+1 ).(n+2) chia hết cho 6 Giải Ta có : 6 = 2.3 ; (2;3) = 1 Theo ví dụ ở phần (I) ta có A(n) chia hết cho 2; A(n) chia hết cho 3 Vậy A(n) chia hết cho 6 (đpcm) VD2: chứng minh rằng: tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 Giải: A(n) = 2n( 2n + 2 ) = 4n( n+1 ) 8 = 2.4; ( 2; 4) 1 Nhận xét : 4 chia hết cho 4 => 4.n(n+1) chia hết cho 4.2 n(n+1) chia hết cho 2 =>A(n) chia hết cho 8 (đpcm) (III) Để chứng minh A(n) chia hết k có thể viết A(n) dới dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh các hạng tử này đều chia hết cho k Để chứng minh A(n) không chia hết cho k ta có thể viết A(n) dới dạng tổng của nhiều hạng tử trong đó có duy nhất một hạng tử không chia hết cho k VD: Chứng minh rằng: a) A(n) = n 3 - 13n chia hết cho 6 b) B(n) = n 2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 (với mọi n lẻ) Giải a) A(n) = (n 3 - n) - 12n = (n-1).n(n+1) - 12n (n-1).n(n+1) chia hết cho 6 (theo ví dụ phần I) 12n chia hết cho 6 Vậy A(n) chia hết cho 6 (đpcm) b) B(n) = n 2 + 4n + 5 với n = 2k + 1 ta có: B(n) = (2k + 1) 2 + 4(2k +1) + 5 B(n) = 4k(k +1) + 8(k + 1) + 2 Nhận xét: 4k(k +1) chia hết cho 8 8(k + 1) chia hết cho 8 => B(n) = 4k(k +1) + 8(k+1) + 2 chia hết cho 8 2 không chia hết cho 8 (IV) Để chứng minh A(n) chia hết cho k có thể phân tích A(n) thành nhân tử trong đó có một nhân tử bằng k. A(n) = k . B(n). Trờng hợp này thờng sử dụng các kết quả: * (a n - b n ) chia hết cho (a - b) với (a b) * (a n - b n ) chia hết cho (a - b) với (a b; n chẵn) (a n - b n ) chia hết cho (a - b) với (a - b; n lẻ) VD: Chứng minh rằng: 2 7 + 3 7 + 5 7 chia hết cho 5 Giải Vì 7 là số lẻ nên (2 7 + 3 7 ) chia hết cho (2 + 3) hay 2 7 + 3 7 chia hết cho 5 => 2 7 + 3 7 + 5 7 chia hết cho 5 (đpcm) mà 5 7 chia hết cho 5 (V) Dùng nguyên tắc Đirichlet: Nếu nhốt k chú thỏ vào m chuồng ( k > m ) thì phải nhốt ít nhất 2 chú thỏ vào chung 1 chuồng. VD: Chứng minh rằng : Trong m+1 số nguyên bất kì bao giờ cũng tồn tại 2 số có hiệu chia hết cho m . Giải Khi chia 1 số nguyên bất kì cho m thì số d là 1 trong m số: 0; 1; 2; . . .; m - 1. Theo nguyên lí Đirichlet khi chia m + 1 số nguyên cho m thì phải có ít nhất 2 số có cùng số d. Hiệu của 2 số này chia hết cho m (đpcm). (VI) Dùng qui nạp toán học: VD: Chứng minh rằng: 16 n - 15n - 1 chia hết cho 225 Giải Đặt A(n) = 16 n - 15n - 1. + Với n = 1 => A(1) = 16 - 15 - 1 = 0 chia hết cho 225 (đúng) + Giả sử A(n) với n = k. Tức là: 16 k - 15k - 1 chia hết cho 225 Ta cần chứng minh A(n) đúng với n = k + 1 Tức là: A(k +1) chia hết cho 225 là đúng. Xét A(k +1) = 16 k + 1 - 15(k + 1) - 1 = 16.16 k - 15k - 15 -1 = (16 k - 15k -1) + (15.16 k - 15) = A(k) + 15(16 k - 1). Do A(k) chia hết cho 225 16 k - 1 chia hết cho 16 - 1 (= 15) => 15(16 k - 1) chia hết cho 225 => A(k + 1) chia hết cho 225 Khi gp nhng bi toỏn chng minh vi l s t nhiờn, ta vn thng dựng phng phỏp quy np. C th lc ca cỏch gii ny l: Gi s , ta chng minh . Nhng ý rng nu thỡ Vỡ vy cú th xem õy l mt bin dng ca phng phỏp quy np, chng minh ta qua hai bc: p dng phng phỏp ny, ta cú th gii c mt lot cỏc bi toỏn chia ht khỏ cng knh. Vớ d 1: Chng minh cú chia ht cho 125. Li gii: Cú . Xột nhng nờn (pcm) Vớ d 2: Chng minh cú chia ht cho 64. Li gii:Cú Xột Li ỏp dng phng phỏp trờn vi Một số bài tập áp dụng * Sử dụng phơng pháp (I) Bài tập 1: Chứng minh rằng(CMR): Trong k số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho k Bài tập 2: CMR: Trong m số nguyên bất kì bao giờ cũng có 1 số chia hết cho m hoặc ít nhất 2 số có tổng chia hết cho m. * Sử dụng phơng pháp (II) Bài tập 3: CMR: Tích của 1 số chính phơng với số tự nhiên đứng liền trớc nó là số chia hết cho 12. Bài tập 4: CMR: A(n) = (n - 1)(n + 1).n 2 (n 2 + 1) chia hết cho 60 n Z Bài tập 5: CMR: a) n 2 + 4n + 3 chia hết cho 8 ( n lẻ) b) n 3 + 4n 2 - n - 3 chia hết cho 48 ( n lẻ) Bài tập 6: CMR: A(n) = n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n chia hết cho 24 ( n N) *Sử dụng phơng pháp (III) Bài tập 7: Cho a, b N. CMR: a) Nếu a + 4b chia hết cho 13 thì 10a + b chia hết cho 13 và ngợc lại. b) Nếu 3a + 2b chia hết cho 17 thì 10a + b chia hết cho 17 và ngợc lại. Bài tập 8: CMR: a) Nếu 3 n + 1 chia hết cho 10 thì 3 n + 4 + 1 chia hết cho 10 b) Nếu (mn + pq) chia hết cho (m - p), thì (mq + np) chia hết cho (m - p) ( m, n, p, q Z; m p) c) Nếu a - b chia hết cho 6 thì: a + 5b chia hết cho 6; a + 17b chia hết cho b; a - 14b không chia hết cho 6. Bài tập 9: CMR: a) Nếu bx + 11y chia hết cho 31 thì k + 7y chia hết cho 31. Điều ngợc lại có đúng không ? b) (5x + 2y) chia hết cho 17 <=> 9x + 7y chia hết cho 17. *Sử dụng phơng pháp (IV) Bài tập 10: CMR: (1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 ) chia hết cho 2 3 Bài tập 11: CMR: (3 + 3 3 + 3 5 + 3 7 + . . . + 3 2n 1 ) chia hết cho 30 (n Z + ) Bài tập 12: CMR: (12 2n + 1 + 11 n +2 ) chia hết cho 133 (n Z + ) Bài tập 13: CMR: S 1 = (5 + 5 2 + 5 3 + . . . + 5 100 ) chia hết cho 6 S 2 = (2 + 2 2 + 2 3 + . . . + 2 100 ) chia hết cho 31 S 3 = (16 5 + 2 15 ) chia hết cho 33 *Sử dụng phơng pháp (V) Bài tập 14: CMR:Trong m số nguyên bất kì bao giờ cũng có 1 số chia hết cho m hoặc có ít nhất 2 số có tổng chia hết cho m BT15: CMR: Trong 6 số tự nhiên bất kì tìm đợc 2 số có hiệu chia hết cho 5 BT16: CMR: Tồn tại một bội số của 1989 đợc viết bởi toàn các chữ số 0 và 1 *Sử dụng phơng pháp (V) Bài tập 17: CMR n Z a) 4 n - 15n - 1 chia hết cho 9 b) 10 n + 18n - 28 chia hết cho 27 Bài tập 18: CMR n N n 4 + 6n 3 + 11n 2 + 6n chia hết cho 24. *Chng minh cú: 1. 2. 3. 4. . thì a chia hết cho c 4) Nếu a chia hết cho m; b chia hết cho m thì a b chia hết cho m 5) Nếu a chia hết cho m; b không chia hết cho m thì a b không chia. Nếu a chia hết cho m thì a n chia hết cho m (n N*) 9) Nếu a chia hết cho m; b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn => a chia hết cho b thì a n chia