I. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: 1/ NÕu hµm sè ( )u u x= ®¬n ®iÖu vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®o¹n [ ] ;a b sao cho ' ( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du= = th× ( ) ( ) ( ) ( ) u b b a u a I f x dx g u du= = ∫ ∫ . NÕu hµm sè ( )u u x= ®¬n ®iÖu vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®o¹n [ ] ;a b sao cho ' ( ) ( ( )) ( ) ( )f x dx g u x u x dx g u du= = th× ( ) ( ) ( ) ( ) u b b a u a I f x dx g u du= = ∫ ∫ . B ài tập 1. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 2. 2 2 3 3 sin xcos xdx π π ∫ 3. 2 0 sin 1 3 x dx cosx π + ∫ 3. 4 0 tgxdx π ∫ 4. 4 6 cot gxdx π π ∫ 5. 6 0 1 4sin xcosxdx π + ∫ 6. 1 2 0 1x x dx+ ∫ 7. 1 2 0 1x x dx− ∫ 8. 1 3 2 0 1x x dx+ ∫ 9. 1 2 3 0 1 x dx x + ∫ 10. 1 3 2 0 1x x dx− ∫ 11. 2 3 1 1 1 dx x x + ∫ 12. 1 2 0 1 1 dx x+ ∫ 13. 1 2 1 1 2 2 dx x x − + + ∫ 14. 1 2 0 1 1 dx x + ∫ 15. 1 2 2 0 1 (1 3 ) dx x+ ∫ 16. 2 sin 4 x e cosxdx π π ∫ 17. 2 4 sin cosx e xdx π π ∫ 18. 2 1 2 0 x e xdx + ∫ 19. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 20. 2 sin 4 x e cosxdx π π ∫ 21. 2 4 sin cosx e xdx π π ∫ 22. 2 1 2 0 x e xdx + ∫ 23. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 24. 2 2 3 3 sin xcos xdx π π ∫ 25. 2 0 sin 1 3 x dx cosx π + ∫ 26. 4 0 tgxdx π ∫ 27. 4 6 cot gxdx π π ∫ 28. 6 0 1 4sin xcosxdx π + ∫ 29. 1 2 0 1x x dx+ ∫ 30. 1 2 0 1x x dx− ∫ 31. 1 3 2 0 1x x dx+ ∫ 32. 1 2 3 0 1 x dx x + ∫ 33. 1 3 2 0 1x x dx− ∫ 34. 2 3 1 1 1 dx x x + ∫ 35. 1 1 ln e x dx x + ∫ 36. 1 sin(ln ) e x dx x ∫ 37. 1 1 3ln ln e x x dx x + ∫ 38. 2ln 1 1 e x e dx x + ∫ 39. 2 2 1 ln ln e e x dx x x + ∫ 40. 1 sin(ln ) e x dx x ∫ 41. 1 1 3ln ln e x x dx x + ∫ 4. 2ln 1 1 e x e dx x + ∫ 43 2 2 1 ln ln e e x dx x x + ∫ 44. 2 2 1 (1 ln ) e e dx cos x+ ∫ 45. 1 2 3 0 5+ ∫ x x dx 46. ( ) 2 4 0 sin 1 cos+ ∫ x xdx π 47. 4 2 0 4 x dx− ∫ 2/Nếu hàm số dới dấu tích phân có chứa căn dạng 2 2 2 2 ,a x a x+ và 2 2 x a (trong trong đó a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất căn thức, cụ thể là: Với 2 2 a x , đặt sin , ; 2 2 x a t t = hoặc [ ] cos , 0;x a t t = . Với 2 2 a x+ , đặt , ; 2 2 x atgt t = ữ hoặc ( ) , 0;x acotgt t = . Với 2 2 x a , đặt { } , ; \ 0 sin 2 2 a x t t = hoặc ; cos a x t = [ ] 0; \ 2 t . B i tp : Hãy tính các tích sau: a) 4 2 0 4 x dx b) 1 2 0 1 dx x+ c) 9 2 0 9 x dx d) 2 2 0 4 dx x+ e) 2 2 2 2 0 x dx 1 x f) + 32 5 2 4xx dx g) 1 2 0 1 x dx h) 3 5 2 0 1x x dx+ II. PHNG PHP TCH PHN TNG PHN: Cụng thc tớch phõn tng phn : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( ) b b b a a a x d u x v x v x u x dx= @ Da ng 1 sin ( ) ax ax f x cosax dx e t ( ) '( ) sin sin cos ax ax u f x du f x dx ax ax dv ax dx v cosax dx e e = = = = @ Da ng 2: ( )ln( )f x ax dx t ln( ) ( ) ( ) dx du u ax x dv f x dx v f x dx = = = = @ Da ng 3: sin . cos ax bx e dx bx t: 1 cos sin ax ax du ae dx u e dv bxdx v bx b = = = = Bi tp 1) 1 0 3 . dxex x 2) 2 0 cos)1( xdxx 3) 6 0 3sin)2( xdxx 4) 2 0 2sin. xdxx 5) e xdxx 1 ln 6) e dxxx 1 2 .ln).1( 7) 3 1 .ln.4 dxxx 8) + 1 0 2 ).3ln(. dxxx 9) + 2 1 2 .).1( dxex x 10) 0 .cos. dxxx 11) 2 0 2 .cos. dxxx 12) + 2 0 2 .sin).2( dxxxx 13) 2 5 1 ln x dx x 14) 2 2 0 x cos xdx 15) 1 x 0 e sin xdx 16) 2 0 sin xdx 17) e 2 1 x ln xdx 18) 3 2 0 x sin x dx cos x + 19) 2 0 x sin x cos xdx 20) 4 2 0 x(2 cos x 1)dx III.Tích phân một số hàm số thờng gặp 1. Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tổng quát sau: ( ) 2 0 dx I a ax bx c = + + . (trong đó 2 0ax bx c + + với mọi [ ] ;x ) Xét 2 4b ac = . +)NÕu 0 ∆ = th× 2 2 dx I b a x a β α =   −  ÷   ∫ tÝnh ®îc. +)NÕu 0 ∆ > th× ( ) ( ) 1 2 1 dx I a x x x x β α = − − ∫ , (trong ®ã 1 2 ; 2 2 b b x x a a − + ∆ − − ∆ = = ) ( ) 1 1 2 2 1 ln x x I a x x x x β α − ⇒ = − − . +) NÕu 0 ∆ < th× 2 2 2 2 2 4 = = + +     −∆   + +    ÷  ÷         ∫ ∫ dx dx I ax bx c b a x a a β β α α §Æt ( ) 2 2 2 1 1 2 4 2 −∆ −∆ + = ⇒ = + b x tgt dx tg t dt a a a , ta tÝnh ®îc I. b) TÝnh tÝch ph©n: ( ) 2 , 0 mx n I dx a ax bx c β α + = ≠ + + ∫ . (trong ®ã 2 ( ) mx n f x ax bx c + = + + liªn tôc trªn ®o¹n [ ] ; α β ) +) B»ng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè, ta t×m A vµ B sao cho: cbxax B cbxax baxA cbxax nmx ++ + ++ + = ++ + 222 )2( +)Ta cã I= ∫ β α dx cbxax B dx cbxax baxA dx cbxax nmx ++ + ++ + = ++ + ∫∫ 222 )2( β α β α . TÝch ph©n dx cbxax baxA ++ + ∫ 2 )2( β α = β ε cbxaxA ++ 2 ln TÝch ph©n 2 dx ax bx c β α + + ∫ tÝnh ®îc. c) Tính tích phân ( ) ( ) b a P x I dx Q x = với P(x) và Q(x) là đa thức của x. Nếu bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì dùng phép chia đa thức. Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì có thể xét các trờng hợp: + Khi Q(x) chỉ có nghiệm đơn 1 2 , , ., n thì đặt 1 2 1 2 ( ) . ( ) n n A A AP x Q x x x x = + + + . + Khi ( ) ( ) 2 2 ( ) , 4 0Q x x x px q p q = + + = < thì đặt 2 ( ) . ( ) P x A Bx C Q x x x px q + = + + + + Khi ( ) ( ) 2 ( )Q x x x = với thì đặt ( ) 2 ( ) ( ) AP x B C Q x x x x = + + . Bi tp a/ 1 2 0 4 11 5 6 x dx x x + + + b/ 1 2 0 1 dx x x+ + c/ 1 2 3 2 0 1 x dx x d/ + + 0 2 2 32 22 dx xx x e/ ++ 1 1 2 52xx dx f/ + 5 3 2 23 12 dx xx x g/ ++ b a dx bxax ))(( 1 h/ + ++ 1 0 3 1 1 dx x xx i/ ++ 1 0 2 34xx dx k/ + ++ 3 2 3 2 23 333 dx xx xx l/ + 3 2 1 2 dx x x m/ dx x xx + ++ 1 0 2 3 32 IV.Tích phân hàm vô tỉ .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản Ví dụ : Tính tích phân: 1 0 1 dx I x x = + + . .Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm lợng giác Dạng 3: Biến đổi làm mất căn Gồm: Đổi biến số t là toàn bộ căn thức ViÕt biÓu thøc trong c¨n díi d¹ng b×nh ph¬ng ®óng VÝ dô :TÝnh ∫ −= 1 0 23 1 dxxxI Bài tập: a/ x 2 5 2 dx x 2+ + − ∫ b/ ∫ −+ 2 1 11 dx x x c/ ∫ ++ 1 0 311 x dx d/ 2 2 2 1 x 4 x dx− ∫ e/ 2 2 2 2 0 x dx 1 x− ∫ f/ ∫ + 32 5 2 4xx dx V. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 1. ∫ − − 3 3 2 1dxx 2. ∫ +− 2 0 2 34 dxxx 3. dxxx ∫ − 2 0 2 4. 4 2 1 x 3x 2dx − − + ∫ 5. 3 1 2x dx− ∫ 6. 2 2 2 1x dx − − ∫ . 32 IV .Tích phân hàm vô tỉ .Dạng 1: Biến đổi về tích phân vô tỉ cơ bản Ví dụ : Tính tích phân: 1 0 1 dx I x x = + + . .Dạng 2: Biến đổi về tích phân hàm. xdx 20) 4 2 0 x(2 cos x 1)dx III .Tích phân một số hàm số thờng gặp 1. Tích phân hàm số phân thức a)Tính tích phân dạng tổng quát sau: ( ) 2 0 dx I a