CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2016 - 2017 SỞ GD&ĐT THANH HĨA ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2015-2016 MƠN: TỐN –KHỐI 11 (Thời gian làm bài: 180 phút) Câu I (4,0 điểm) Giải phương trình sau: cos2x  cos x   2 sin x  sin x  cos x  sin x  Câu II (4,0 điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x 2010 khai triển nhị thức Niu-tơn:   x   x   2016 ; x  0 Đội văn nghệ nhà trường gồm học sinh lớp 11A, học sinh lớp 11B học sinh lớp 11C Chọn ngẫu nhiên học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn lễ bế giảng năm học Tính xác suất cho lớp có học sinh chọn có học sinh lớp 11A Câu III (4,0 điểm) x x   3x   x 1 x2 1 Tính giới hạn sau: A  lim Từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; thành lập số tự nhiên, số có chữ số khác nhau, ln có mặt chữ số Câu IV (4,0 điểm.) Cho hình chóp SABC có SC   ABC  tam giác ABC vuông B với AB  a; AC  a ; H, K hình chiếu C lên SA, SB biết CHK   với sin   13 19 Chứng minh CK  ( SAB), SA  (CHK ) Tính độ dài SC theo a www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2016 - 2017 Câu V (4,0 điểm)  x  y  x  y   (x  y)2  x  y  (x, y  R) Giải hệ phương trình:  x  x  y   x  y   Cho ba số dương a, b, c thay đổi thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị lớn của biểu thức : S ab bc ca   ab  2c bc  2a ca  2b Hết Thí sinh khơng sử dụng tài liệu, cán coi thi không giải thích thêm www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2016 - 2017 ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN 11 NĂM HỌC 2015-2016 Câu Nội dung Điểm 2 cos2x  cos x    2cos x   cos x    2cos x  cos x  I.1  cos x   2 2  k 2 , x    k 2 (k  Z )   x   k , x   cos x   3  2 2  k 2 , x    k 2 (k  Z ) 3 sin x  sin x  cos x  sin x   sin x  cos x 2 sin x  1   sin x  cos x  sin x     x   k 2    tan x  sin x   x   k   x    k 2  Đáp số: x  I.2  Xét khai triển:  x  II.1  Số hạng chứa x 2010 2  x2   2,0  k , x  2016 k 2016   k x 2016 3 k  Ck2016 x 2016 k  x    k C2016 k 0 k 0   ứng với 2016  3k  2010  k  22 C22016 x 2010 có hệ số 2016 2,0  2,0 2 22 C2016  4C2016 Gọi không gian mẫu phép chọn ngẫu nhiên  Số phần tử không gian mẫu là: C95  126 Gọi A biến cố “Chọn học sinh từ đội văn nghệ cho có học sinh ba lớp có học sinh lớp 11A” Chỉ có khả xảy thuận lợi cho biến cố A : II.2 1,0 + học sinh lớp 11A, học sinh lớp 11B, học sinh lớp 11C + học sinh lớp 11A, học sinh lớp 11B, học sinh lớp 11C + học sinh lớp 11A, học sinh lớp 11B, học sinh lớp 11C Số kết thuận lợi cho biến cố A là: C42 C31.C22  C42 C32 C21  C43 C31 C21  78 Xác suất cần tìm P  78 13  126 21 1,0 x x   3x   x x    3x    lim x 1 x 1 x2 1 x2 1  x x  1 3x   1  lim    x 1 x2    x 1 Ta có lim III.1 www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2016 - 2017     x3  x  3x   lim    x 1   3  x 1 x 2x 1 1 x 1 3x  2  3x             2,0      x2  x   lim    x 1   x  1 x x    x  1   3x    3 x   1         3   Số cần lập có dạng a1a 2a a 4a , ln có mặt chữ số Xảy trường hợp: Trường hợp 1: Nếu a1  Khi đó, ta chọn chữ số chữ số III.2 0;1;2;3;4;5 cho vị trí lại  trường hợp có A 64 số Trường hợp 2: Nếu a1  , có cách chọn vị trí chữ số Khi đó, có cách chọn a1  1;2;3;4;5 Sau chọn a1 vị trí cho chữ số 6, lại 2,0 vị trí chọn từ chữ số lại, nên số cách chọn A 35  trường hợp có 4.5 A 35 số Vậy số số thoả mãn yêu cầu A 64 + 4.5 A 35 =1560 Vì H, K hình chiếu C lên SA, SB Do : S CK  ( SAB), SA  (CHK ) IV.1 H 2,0 x Suy CHK vuông K SA  KH K C A B Đặt SC  x  Trong tam giác vuông SAC ta có IV.2 1 3a x 2    CH  CH CA CS 3a  x Tương tự, tam giác vng SBC ta có CK  www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 2,0 2a x 2a  x Trang | CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2016 - 2017 Ta có sin   13 CK 13 2(3a  x ) 13      x  6a , x > Vậy 19 CH 19 3(2a  x ) 19 SC  6a  x  y  x  y   (x  y)2  x  y (1)  (x, y  R) Giải hệ:  x  x  y   x  y  (2)  x  y  (*) x  y  Điều kiện:  Đặt t  x  y  , từ (1) ta có: t  t   t2  t  t  t2  t   t   t(1  t)     (1  t)  t  t 3 2 t  3(1  t)  t  (Vì t   0 t 3 2 t   0, t  ) 2,0 t 3 2 t V.1 Suy x  y   y   x (3).Thay (3) vào (2) ta có: x2   ( x   2)  ( 2x   1)   x   2x   x2    2x  0 2x     x 1  (x  1)     2x     x 3 2  x  (Vì x 1 x2   2  2x    0, x  ) Suy (x = 1; y = 0), thoả mãn (*) Vậy hệ cho có nghiệm ( x = 1; y = 0) V.2 Ta có ab ab   ab  2c ab   a  b  c  c www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 ab 1 a b      a  c  b  c   a  c b  c  2,0 Trang | CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2016 - 2017 a b  ac bc bc 1 b c  ca 1 c a        Tương tự ta có ,  bc  2a  b  a c  a  ca  2b  c  b a  b   ab bc ca  Cộng vế ta S      2 ab bc ca  Đẳng thức xảy www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | CHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA MƠN TỐN NĂM 2016 - 2017 GIÁO VIÊN VÀ HUẤN LUYỆN VIÊN HÀNG ĐẦU - Học Online trực tiếp với Thầy, Cô chuyên gia bồi dưỡng HSG Quốc gia chuyên môn cao, giàu kinh nghiệm đạt nhiều thành tích Học kèm Online trực tiếp với Huấn luyện viên giỏi anh chị tham gia đạt giải cao kì thi HSG Quốc gia năm trước Chương trình xếp hệ thống, khoa học, toàn diện giúp học sinh nắm bắt nhanh kiến thức tối ưu kết học tập CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ - Lớp học Online học sinh: Mỗi lớp từ - 10 em để Giáo viên Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học mức cao Thời gian học linh động, xếp hợp lý giúp em dễ dàng lựa chọn cho khung thời gian tốt để học Mỗi học chia thành nhiều buổi học (mỗi có tối thiểu buổi học): + Buổi huấn luyện viên hướng dẫn em học Online trực tiếp: Phần lý thuyết, phương pháp giải tốn - ví dụ minh họa điển hình & tập tự luyện giáo viên cung cấp Trong trình học em trao đổi, thảo luận Online trực tiếp với bạn học huấn luyện viên để nắm rõ hiểu sâu thêm vấn đề học + Buổi học tiếp theo: Sau nhà em làm tập tự luyện buổi học Huấn luyện viên đánh giá làm em sửa Trong trình sửa em thảo luận Online trực tiếp với HLV, bạn lớp để hoàn thiện làm mở rộng thêm dạng toán HỌC CHỦ ĐỘNG – HỌC THOẢI MÁI VÀ TIẾT KIỆM - Các em không cần đến lớp, không cần lại thời gian, cơng sức, tiền Hãy chọn cho góc học tập n tĩnh, tập trung 01 máy tính có kết nối internet chúng bắt đầu học Online trực tiếp lớp Mỗi tuần học buổi, có nhiều lớp học, ca học ngày giúp em hồn tồn chủ động thời gian học tập Các chun đề ln mở giúp em học nhanh chương trình, thời gian ngắn Kết nối với thầy cô, huấn luyện viên Online trực tiếp giúp việc giải đáp vấn đề nhanh - hiệu Được kết giao với bạn học khác học sinh yêu thích, đam mê giỏi tốn tồn quốc Học phí phù hợp Đội ngũ tư vấn, cskh nhiệt tình, tận tâm hỗ trợ em suốt trình học www.vclass.hoc247.vn - Hotline: 0981 821 807 Trang | ... “Chọn học sinh từ đội văn nghệ cho có học sinh ba lớp có học sinh lớp 11A” Chỉ có khả xảy thuận lợi cho biến cố A : II.2 1,0 + học sinh lớp 11A, học sinh lớp 11B, học sinh lớp 11C + học sinh lớp. .. học sinh lớp 11B, học sinh lớp 11C + học sinh lớp 11A, học sinh lớp 11B, học sinh lớp 11C + học sinh lớp 11A, học sinh lớp 11B, học sinh lớp 11C Số kết thuận lợi cho biến cố A là: C42 C31.C22... học tập CÁCH HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC THÚ VỊ - HIỆU QUẢ - Lớp học Online học sinh: Mỗi lớp từ - 10 em để Giáo viên Huấn luyện viên bám sát, hỗ trợ kịp thời cho em nhằm đảm bảo chất lượng khóa học