CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng khơng gian LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh cịn gặp nhiều lúng túng tìm tọa độ điểm viết phương trình đường thẳng khơng gian thỏa mãn tính chất đó; việc vận dụng quan hệ vng góc, song song em vào tốn cịn nhiều hạn chế Hơn nữa, kể từ học sinh học sách giáo khoa theo chương trình phân ban phương trình tổng quát đường thẳng không gian không sử dụng nên tốn dạng: " Tìm tọa độ điểm, viết phương trình đường thẳng khơng gian" chủ yếu sử dụng phương trình tham số đường thẳng Với suy nghĩ tơi xin trình bày số kinh nghiệm vể việc sử dụng phương trình tham số đường thẳng vào giải tốn: " Tìm tọa độ điểm, viết phương trình đường thẳng khơng gian" nhằm trao đổi với thầy giáo, cô giáo; đồng thời giúp em học sinh 12 ôn tập tốt hơn, nâng cao chất lượng học tập Trong phần phương pháp tọa độ khơng gian phải “Tìm tọa độ điểm, Viết phương trình đường thẳng khơng gian ” việc sử dụng kiến thức sách giáo khoa ta nên ý đến tính chất quan hệ vng góc, quan hệ song song tính đối xứng hai điểm, điểm đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng kết hợp với tọa độ điểm theo phương trình tham số đường thẳng vào tốn Khi tốn hình học đơn giản “đại số hóa” nên học sinh tiếp cận nhanh cách giải toán gọn gàng Buôn Ma Thuột – Tháng 10 Năm 2010 Người viết Trần Đình Khiết Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng khơng gian NỘI DUNG ĐỀ TÀI A CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHIẾU VNG GĨC Bài tốn 1: Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M(6; -1; -5) mp(P): 2x + y -2z - = ● Nhận xét: Bài tốn ta viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với mp(P) hình chiếu H giao điểm d mp(P) ●Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M vuông góc với mp(P) có phương M  x   2t trình:  y  1  t  z  5  2t  d H Gọi H = d  (P) Ta có H  d  H(6 + 2t; -1 +t; -5-2t) P Vì H  (P)  2(6+2t) + (-1+t) - 2(-5-2t) - =  t = -2 Vậy H(2; -3; -1) Bài tốn 2: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:  x   4t   y  1  2t (t  R)  z  5  3t  mp(P): 2x + y - 2z - = ● Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M  d, tìm hình chiếu M (P), hình chiếu đường thẳng d mp(P) đường thẳng qua H song song với d M ●Hướng dẫn giải: d Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP u = (4; -2; 3) mp(P) có VTPT n = (2; 1; -2) u n = M  (P) nên: d // (P) H (P) Gọi H hình chiếu M (P) suy ra: H(2; -3; -1) (Bài tốn 1) Hình chiếu d (P) đường thẳng qua H song song với d nên có phương  x   4t  trình :  y  3  2t  z  1  3t  Trần Đình Khiết – Trường THPT Bn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng không gian Bài tốn 3: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:  x   5t   y  1  2t  z  5  5t  (t  R) mp(P): 2x + y - 2z - = ● Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A d (P) sau lấy M  d, tìm hình chiếu H M (P), hình chiếu đường thẳng d mp(P) đường thẳng qua H có VTCP AH ●Hướng dẫn giải: M Gọi A giao điểm d (P) d Ta có: A  d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t) Vì A  (P)  2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - =  t=1 H A (P) Do A(1; 1; 0) Ta lại có: M(6; -1; -5) d Gọi H hình chiếu M (P) suy ra: H(2; -3; -1) ( Bài tốn 1) Hình chiếu d (P) đường thẳng qua H có VTCP AH = (1; -4; -1) nên có phương trình :  x  2t   y  3  4t (t  R)  z  1  t  Bài tốn 4: Tìm tọa độ hình chiếu H điểm M(-1; -2; 4) đường thẳng d:  x  2  3t   y   2t  z  1 t  ● Nhận xét: Bài tốn ta lấy H  d, H hình chiếu M r uuuur r đường thẳng d u MH = ( u VTCP d) d ● Hướng dẫn giải: M r Đường thẳng d có VTCP u = (3; -2; 1) H Gọi H  d suy ra: H(-2+3t; 2-2t; 1+t) nên: uuuur MH =(-1+3t; 4-2t; -3+t) r uuuur H hình chiếu M d  u MH =  3(-1+3t) - 2(4-2t) + (-3+t) =  t = Trần Đình Khiết – Trường THPT Bn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng không gian Vậy H(1; 0; 2) * Cách khác: - Tính độ dài đoạn MH - Tìm giá trị nhỏ đoạn MH theo t, từ suy tọa độ điểm H NHẬN XÉT: Từ toán nêu ta thấy: Với toán dạng này, ta chọn điểm đường thẳng cho trước sau dựa vào quan hệ vng góc điểm với đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng để tìm hình chiếu vng góc điểm đường thẳng hay mặt phẳng Từ kết luận (nếu tốn tìm hình chiếu) viết phương trình hình chiếu đường thẳng dựa vào hình chiếu vừa tìm vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d: x 1 y  z    mặt phẳng tọa độ x  t Bài 2: Cho đường thẳng d :  y   4t mặt phẳng (P): x + y + z - = Viết  z   2t  phương trình hình chiếu vng góc d mp(P) Bài 3: Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M(1; -1; 2) mặt phẳng (  ) : 2x - y + 2z + 11 = Bài 4: Cho đường thẳng d mặt phẳng (  ) có phương trình là: d: x  y 1 z 1 ; (  ): 2x + y + z- 8= Viết phương trình hình chiếu vng   góc d (  ) Bài 5: Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm A(1; -1; 3)  x2  đường thẳng d :  y   t  z  2t  Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng khơng gian B CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỐI XỨNG Bài tốn 5: Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M(6; -1; -5) qua mp(P): 2x + y - 2z - = ● Nhận xét: Bài tốn ta viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với mp(P), lấy M '  d (M '  M) , M ' đối xứng với M qua (P) d(M;(P))=d(M ';(P)) ● Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M vng góc với mp(P) có phương  x   2t trình:  y  1  t  z  5  2t  M d Gọi M '(6+2t; -1+t; -5-2t) d M '  M  t  M ' đối xứng với M qua (P)  d(M;(P))=d(M ';(P))  18  (P) 9t  18 M'  t = -  t = (loại) Vậy M '(-2; -5; 3) CHÚ Ý: Có thể giải theo phương pháp sau:  Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc ( P)  Tìm giao điểm H d ( P)  Dùng công thức trung điểm suy tọa độ điểm M’ Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:  x   4t   y  1  2t  z  5  3t  qua mp(P): 2x + y - 2z - = ● Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M  d, tìm M ' đối xứng với điểm M qua (P), đường thẳng d ' qua M ' song song với d M d ● Hướng dẫn giải: Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP u = (4; -2; 3) mp(P) có VTPT n = (2; 1; -2) (P) u n = M  (P) nên: d //(P) d' M' Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M '(-2; -5; 3) ( Bài tốn5) Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng khơng gian - x  2  4t ' ' Đường thẳng d qua M song song với d nên có phương trình:  y  5  2t  z   3t  Bài tốn 7: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:  x   5t   y  1  2t  z  5  5t  qua mp(P): 2x + y - 2z - = ●Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A d (P) sau lấy M  d, tìm M ' đối xứng với điểm M qua (P), đường thẳng d ' qua M ' có VTCP AM ' ● Hướng dẫn giải: Gọi A giao điểm d (P) M Ta có: A  d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t) d A  (P)  2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - = A  t=1 Do A(1; 1; 0) (P) Ta lại có: M(6; -1; -5)  d Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) d' M' suy ra: M '(-2;-5;3) ( Bài toán5) Đường thẳng d ' qua M ', có VTCP AM ' = (-3; -6; 3) = 3(-1; -2; 1) nên có phương  x  2  t  trình:  y  5  2t (t  R)  z  3t  Bài tốn 8: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d  x   2t  có phương trình :  y  1  t  z  2t  ●Nhận xét: Bài toán ta lấy H  d, H hình chiếu A lên đường r uuur thẳng d u AH = ( u VTCP d), ta có H trung điểm AA/ từ suy tọa độ A/ ●Hướng dẫn giải: Trần Đình Khiết – Trường THPT Bn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng không gian -d r Đường thẳng d có VTCP u = (2; -1; 2) A Gọi H  d suy ra: H(1+2t ; -1-t ; 2t) H uuur A ' nên: AH =(2t ; 1-t ; 2t-5) r uuur H hình chiếu A d  u AH =  2(2t) - (1- t) + 2(2t + 5) =  t = -1 suy ra: H(-1;0;-2)  x A/  3 Ta có H trung điểm AA nên:  y A/   z / 1  A / Vậy: A/ (-3 ; ; 1) NHẬN XÉT: Từ toán nêu ta thấy: Với toán dạng này, ta lấy điểm cho trước chọn điểm đường thẳng cho trước sau tìm điểm đối xứng điểm qua đường thẳng hay mặt phẳng Từ kết luận (nếu tốn tìm điểm đối xứng) viết phương trình đường thẳng đối xứng dựa vào điểm đối xứng vừa tìm vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng, đường thẳng MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN  x  2t Bài 1: Cho điểm A(1; 0; 0) đường thẳng  :  y   2t  zt  a/ Tìm tọa độ điểm H hình chiếu điểm A đường thẳng  b/ Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A qua đường thẳng  Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) đường thẳng: d1: x2 y 2 z 3   ; 1 d2 : x 1 y 1 z 1   1 a/ Tìm tọa độ A/ đối xứng với A qua đường thẳng d1 b/Viết phương trình đường thẳng  qua A vng góc với đường thẳng d1 cắt đường thẳng d2 (Đề thi ĐH khối D năm 2006) Bài 3: Cho điểm M(2; 1; 0) mặt phẳng (  ) : x + 3y - z - 27 = Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng với M qua mặt phẳng (  ) Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng khơng gian Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d:  x  1 t   y   5t qua mặt phẳng (  ) : x + y + z - =  z   2t  Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng :  x  1 t,  d2:  y   2t ,  z  4  3t ,   x  2  6t d1:  y   5t  z   4t  a/ Tìm tọa độ giao điểm d1 d2 b/ Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d1 qua d2 C CÁC BÀI TỐN VỀ CẮT NHAU, VNG GĨC, SONG SONG:  x  1 t Bài tốn 9: Cho đường thẳng d mp (P) có phương trình: d:  y   2t ;  z   2t  mp(P): 2x + z - = a/ Xác định tọa độ giao điểm A d (P) b/ Viết phương trình đường thẳng d ' qua A, nằm (P) vng góc với d ● Nhận xét: Bài tốn ta tìm tọa độ A, đường thẳng d ' qua A r r r r r  có véctơ phương v  u, n  ; u VTCP d, n VTPT mp(P) d ●Hướng dẫn giải: a/ A = d  (P) Ta có A d  A(1 + t; + 2t; + 2t) d' Vì A  (P)  2(1 + t) + (3 + 2t) - =  t = Vậy: A(1; 2; 3) A (P) r r b/ d có VTCP u = (1; 2; 1); mp(P) có VTPT n = (2; 0; 1) r r r ' ' '  Đường thẳng d  (P) d  d nên d có véctơ phương v  u, n  = (2; 1; -4)  x   2t r  Đường thẳng d qua A có VTCP v nên có phương trình :  y   t '  z   4t  Trần Đình Khiết – Trường THPT Bn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng không gian Bài tốn 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : x 1 y  z    1 mặt phẳng (P) : 2x + y - 2z + = a/ Tìm tọa độ điểm I  d cho khoảng cách từ I đến mp(P) b/ Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P).Viết phương trình đường thẳng  nằm mp(P),biết  qua A vng góc với d (Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2005) ● Nhận xét: Câu a ta lấy I  d sử dụng công thức khoảng cách, câu b cách làm toán ●Hướng dẫn giải:  x  1 t a/ Đường thẳng d có phương trình tham số:  y  3  2t  z  3t  I1 I  d suy ra: I(1-t; -3 + 2t; 3+t) d Khoảng cách từ I đến mp(P) nên: 2(1  t )  (3  2t )  2(3  t )  2    2t  A (P) t4   t  2 I2 Vậy có điểm I1 (-3; 5; 7), I2 (3; -7; 1) b/ Vì A  d suy ra: A(1-t; -3 + 2t; 3+t) Ta có A  (P)  2(1-t) + (-3 + 2t) - 2(3 + t) + =  t=1 Do A(0; -1; 4) r r Đường thẳng d có VTCP u = (-1; 2; 1), mp(P) có VTPT n =(2; 1; -2) r r r   v  u Đường thẳng   (P)   d nên  có véctơ phương  , n  =(-5; 0; -5)  xt  Phương trình đường thẳng  :  y  1 z   t  Trần Đình Khiết – Trường THPT Bn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng không gian -Bài tốn 11: Viết phương trình đường thẳng  qua I(-1; -2; 4) vng góc  x  2  3t cắt đường thẳng d:  y   2t (t  R)  z  1 t  r uuur ●Nhận xét: Bài tốn ta lấy H  d, H   u IH = uuur r ( u VTCP d); đường thẳng  qua I có VTCP IH d ● Hướng dẫn giải: I r Đường thẳng d có VTCP u = (3; -2; 1) H  Gọi H d suy ra: H(-2 + 3t; - 2t; + t) nên: uuur IH =(-1 + 3t; - 2t; -3 + t) r uuur H    u IH =  3(-1 + 3t) - 2(4 - 2t) + (-3 + t) =  t=1 suy H(1; 0; 2) uuur Đường thẳng  qua I có VTCP IH =(2; 2; -2) nên có phương trình :  x  1  t   y  2  t  z  4t  Bài tốn 12: Viết phương trình đường thẳng  qua A(2; 1; -3) cắt đường  x  3t thẳng d1:  y  1  2t (t  R) vng góc với đường thẳng d2:  z  4t   x   4t   y   t (t  R)  z  5  t  r uuur ● Nhận xét: Bài toán ta lấy H  d1, H   u AH = uuur r ( u VTCP d2); đường thẳng  qua I có VTCP AH ● Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d2 có VTCP u = (4; 1; 1) d1 Gọi H  d1 suy ra: H(3+t; -1-2t; 4+t) nên: uuur AH =(1+t; -2-2t; 7+t) r uuur H    u AH = H  d2 A  4(1+t) + (-2-2t) + (7+t) =  t = -3 suy H(0; 5; 1) Trần Đình Khiết – Trường THPT Bn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 10 CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng không gian Đường thẳng  uuur qua A có VTCP AH =(2; -4; -4) = 2(1; -2; -2) nên có  x  2t phương trình :  y   2t (t  R)  z  3  2t  Bài tốn 13: Viết phương trình đường thẳng  cắt đường thẳng d1:  xt   y  2  3t ; d2:  z  1 t   x   2t / x 1 y z   /    y  1  3t song song với đường thẳng d:  z  4t/  ● Nhận xét: Bài toán ta lấy A  d1, B d2 A, B   hai r uuur r r vectơ u , AB phương ( u VTCP d), đường thẳng  qua A có VTCP u ●Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d có VTCP u = (3; 2; 1) d d2 Gọi A d1 suy ra: A(t; -2-3t; 1+t) d1 / / B / B  d2 suy ra: B(1+2t ; -1+3t ; 4-t ) uuur nên: AB = (2t/ - t + 1; 3t/ + 3t + 1; -t/ - t + 3) uuur r A, B    u AB phương   A 2t /  t  3t /  3t   t /  t    5t /  2t   /  t t 1 t  1   / t  suy A(-1;1;0)  x  1  3t r Đường thẳng  qua A có VTCP u = (3;2;1) nên có phương trình :  y   2t   zt Bài tốn 14: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d 1: x y 1 z    1  x  1  2t d2:  y   t  z3  Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = cắt đường thẳng d1 , d2 (Đề thi ĐH khối A năm 2007) Trần Đình Khiết – Trường THPT Bn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 11 CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng không gian ●Nhận xét: Đây đề thi ĐHCĐ, cách giải đáp án, tương tự tốn 13, ta giải nhanh cách lấy A  d1, B d2 A, B  d r r r uuur u , AB phương ( u VTCP d); đường thẳng d qua A có VTCP u ● Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d  (P) nên d có VTCP u = (7; 1; -4)  x  2t /  Đường thẳng d1 có phương trình tham số:  y   t /  z  2  t /  Gọi A d1 suy ra: A(2t/ ; 1- t/ ; -2+ t/ ) d B  d2 suy ra: B(-1+ 2t ; 1+ t ; 3) A uuur nên: AB = (2t - 2t/ - 1; t + t/ ; - t/ ) r uuur A, B    u , AB phương d1 d2 B 2t  2t /  t  t /  t /    4 4t  3t /  5  / 5t  9t  1 t  2   / t 1 (P) suy A(2; 0; -1)  x   7t r Đường thẳng d qua A có VTCP u = (7; 1; -4) nên có phương trình :  y  t  z  1  4t  Bài tốn 15: Viết phương trình đường vng góc chung đường thẳng  x   3t chéo d:  y   t (t  R) d/ :  zt   x  2  t /  / /  y  7  3t (t  R)  z  t/  ● Nhận xét: Bài toán học sinh lấy A  d1, B d2; AB đường vng góc r uuur u AB  chung d d/  r uuur ; đường vng góc chung qua A có  v AB  uuur VTCP AB A d ●Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d có VTCP u = (3; 1; 1) d' B Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 12 CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng khơng gian r v Đường thẳng d có VTCP = (1; 3; -1) / Gọi A  d suy ra: A(5+3t; 2+t; t) B  d/ suy ra: B(-2+t/ ; -7+3t/ ; 4-t/ ) uuur / nên: AB =(t - 3t - 7; 3t/ - t - 9; -t/ - t + 4) r uuur u AB  AB đường vng góc chung d d/   r uuur  v AB  3(t /  3t  7)  (3t /  t  9)  (t /  t  4)   / / / (t  3t  7)  3(3t  t  9)  (t  t  4)  5t /  11t  26  / 11t  5t  38  t  1  / t  uuur suy ra: A(2; 1; -1); AB =(-1; 1; 2) uuur Đường vng góc chung qua A có VTCP AB =(-1; 1; 2) nên có phương  x  2t trình :  y   t (t  R)  z  1  2t  NHẬN XÉT: Từ toán nêu ta thấy tốn dạng có độ khó Tuy nhiên phương pháp chung để giải là: Chọn điểm điểm (có chứa tham số) đường thẳng đường thẳng bị cắt (cho trước), sau dựa vào yếu tố song song, vng góc để tìm tham số Từ viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu toán MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 cắt hai đường thẳng d2 d3, biết phương trình d1, d2 d3 là:  x 1 d1  y  2  4t  z  1 t  ; x 1 y  z  d2:   ;  x  4  5t '  d3:  y  7  9t '  z  t'  Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) đường  x  3  2t thẳng d:  y   t , Viết phương trình đường thẳng  qua A, cắt vng góc với  z  1  4t  đường thẳng d (Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2004) Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 13 CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng khơng gian - x 8t  x y 1 z 1 Bài 3: Cho hai đường thẳng: d 1:  y   2t d2: Viết    z 8t  phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng Bài 4: Cho hai đường thẳng: d:  x  1 t d :  y  2  t  z  3t  x y 1 z    ' a.Viết phương trình đường vng góc chung d d' b Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt d d ' Bài 5: Viết phương trình đường thẳng  vng góc với mặt phẳng tọa độ  xt (Oxz) cắt đường thẳng d :  y  4  t ;  z  3t   x   2t /  d/ :  y  3  t /  z   5t /  Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng  : x2 y2 z mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + = Viết phương trình đường   1 1 thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng  (Đề thi ĐH khối D năm 2009) D CÁC BÀI TỐN VỀ CỰC TRỊ Bài tốn 16: Trong khơng gian với hệ tọa độ Đềcác vng góc Oxyz cho  x   3t điểm M(1; 3; -2) đường thẳng d:  y   t  z  2  t  Tìm tọa độ điểm H  d cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ ● Nhận xét: Bài toán ta lấy H  d, độ dài MH nhỏ r uuuur r MH  d  u MH = ( u VTCP d) ● Hướng dẫn giải: r Đường thẳng d có VTCP u = (3; 1; -1) Gọi H  d suy ra: H(5 + 3t; 2+ t; -2 - t) nên: d M uuuur MH =(4 + 3t; -1 + t; - t) H MH nhỏ  MH  d Trần Đình Khiết – Trường THPT Bn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 14 CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng không gian -r uuuur  u MH =  3(4+3t) + (-1 + t) - (- t) =  t = - Vậy H(2; 1; -1) *CÁCH KHÁC: - Tính độ dài đoạn MH - Tìm giá trị nhỏ MH theo t Bài tốn 17: Trong khơng gian Oxyz cho M (1; 2; 3), N ( 4; 4; 5) Tìm điểm I  mp(Oxy) cho IM + IN nhỏ ●Nhận xét: Bài toán ta kiểm tra M, N nằm hay hai phía mặt phẳng Nếu M, N nằm hai phía mặt phẳng I giao điểm MN mặt phẳng, M, N nằm phía mặt phẳng I giao điểm M 'N mặt phẳng M ' điểm đối xứng M qua mặt phẳng ● Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z = Trước hết ta xét xem M N có hai phía với mp (Oxy) hay khơng? Dể thấy z M zN = = 15>0  M, N phía với mp (Oxy)  x 1 Đường thẳng d qua M vng góc mp(Oxy) có pt:  y  z   t  Gọi H giao điểm d với mp(Oxy) M Ta có H  d  H (1; 2; + t) d Vì H  (Oxy)  + t =  t = -3  H( 1; 2; 0) N H I Ox y Gọi M' đối xứng với M qua mp(Oxy) uuuuur H trung điểm MM' nên M' (1; 2; -3) M ' N = (3; 2; 8) M' Ta có IM + IN = IM' + IN  M'N  Min ( IM + IN) = M'N  I giao điểm M'N mp(Oxy)  x   3t , uuuuu r  M'N qua M ' có VTCP M ' N = (3; 2; 8) nên có phương trình:  y   2t ,  z  3  8t ,  Điểm I ( + 3t', + 2t', -3 + 8t')  d I  (Oxy)  -3 + 8t' =  t' = Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 15 CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng khơng gian -17 11 Vậy I  ; ;0    Bài toán 18: Trong k/gian Oxyz cho: M (3; 1; 1), N ( 4; 3; 4) đường thẳng d  x  7t có phương trình:  y   2t Tìm điểm I  d cho: IM + IN nhỏ  z  9t  ●Nhận xét: Ta có MN  d nên IM + IN nhỏ I = d  (P) (P) mặt phẳng qua MN vng góc với d ●Hướng dẫn giải: r uuuur Ta có: MN = (1; 2; 3), d có VTCP u = ( 1; -2; 1), uuuur r MN u =0  MN  d Mặt phẳng( P) qua MN vng góc với d có phương trình là: x - 2y +z - = Gọi H = d  (P), H  d  H(7 + t; - 2t; + t) d Vì H  (P) nên: (7 + t) - 2(3 - 2t) +(9 + t) - = I 17 17 23  t =   H  ; ;   3  M H Với I d, ta có: IM + IN  HM + HN (P) N  IM + IN nhỏ  IM + IN = HM + HN  I  H 17 17 23 Vậy: I  ; ;   3  Bài tốn 19: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-3; 0; 1), B(1; -1; 3) mặt phẳng (P): x - 2y + 2z - = Trong đường thẳng qua A song song với (P), viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ (Đề thi ĐH khối B năm 2009) ● Nhận xét: Ta gọi d đường thẳng cần tìm; d chứa mp(Q) qua A song song với (P), khoảng cách từ B đến đường thẳng d nhỏ d qua H (H hình chiếu B (Q)) ●Hướng dẫn giải: Gọi d đường thẳng cần tìm; d chứa mp(Q) qua A song song với (P) Ta có phương trình (Q): x - 2y + 2z + = Gọi I, H hình chiếu B d, (Q) Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 16 CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng khơng gian -Ta có d(B;d) = BI  BH nên d(B;d) nhỏ d qua H Đường thẳng d ' qua B vuông góc (Q) B  x  1 t có phương trình:  y  1  2t  z   2t  ' d' H A ' H = d  (Q), H  d nên H(1+ t; -1 - 2t; + 2t) I (Q) d Vì H  (Q) nên: (1+ t) -2(-1 - 2t) + 2(3 + 2t) + =  t=  10  11   H ; ;   9 9 (P)  x  3  26t uuur 26 11 Đường thẳng d qua A có VTCP AH  ( ; ;  ) có phương trình:  y  11t 9  z   2t  Bài toán 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;4;2),  x  1 t B(-1;2;4) đường thẳng d có phương trình:  y  2  t  z  2t  uuur uuur a/ Tìm tọa độ điểm M  d cho MA  MB nhỏ b/ Tìm tọa độ điểm I  d cho diện tích  AIB nhỏ c/ Viết phương trình đường thẳng qua A cắt d cho khoảng cách từ B đến đường thẳng đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ uuur uuur uuur uuur ● Nhận xét: Ta lấy M  d; câu a, ta tìm MA + MB  MA  MB suy M - Câu b, c ta tìm diện tích  AIB, khoảng cách vận dụng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, từ suy kết ●Hướng dẫn giải: uuur uuur a/ M  d  M ( 1-t; -2+t; 2t)  MA =(t; 6-t; 2-2t), MB =(-2+ t; -t; -2t) uuur uuur Do đó: MA + MB = (-2 + 2t; 10 - 2t; - 4t) uuur uuur  MA  MB = (2  2t )2  (10  2t )2  (6  4t )2 = 24(t  2)2  44  11 uuur uuur Suy ra: Min MA  MB = 11  t-2 =  t = Vậy: M(-1; 0; 4) CÁCH KHÁC: Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 17 CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng khơng gian -uuur uuur  Gọi H trung điểm đoạn AB, ta có: MA  MB = 2MH uuur  uuur Suy Min MA  MB MH nhỏ nhất, điều xảy MH vng uuuur r góc với d hay MH a  , từ suy tọa độ điểm M uur uuur b/ I  d  I(1-t; -2+t; 2t) ta có: AI = (- t; - + t; - + 2t) AB = ( -2; -2; 2) uur uuur   AI , AB  = ( 6t - 16; -2t + 4; 4t - 12) Diện tích  AMB: uur uuur SAIB =  AI , AB  = (6t  16)2  (2t  4)2  (4t  12)2 = 56t  304t  416 = 14t  76t  104 ( t  R) Xét hàm f (t) = 56t - 304t + 416  f / (t) = 112t - 304; f / (t) =  t = BBT: 304 19 = 112 -  t +  19/ f ' ( t ) - + +  +  f( t ) f (19/ 7) 19 Từ suy ra: SAIB đạt GTNN t = Vậy: I   ; ;   7  12 38 c/ Gọi đường thẳng d1 qua A cắt d M ( 1- t; -2 + t; 2t) Khi d  B; d1  uuuur uuur  AM , AB  =  uuuur  = AM Xét hàm g(t) = 28t  152t  208 3t  10t  20 56t  304t  416 6t  20t  40 = 28t  152t  208 3t  10t  20  t  2 16(11t  8t  60) / g (t) = ; g (t) =  11t - 8t - 60 =   30 2 t  (3t  10t  20)  11 / g (t )  Ta có xlim  BBT: 28 t -  -2 + f ' ( t ) +  30/11 - 12 + 28/3 f( t ) 28/3 4/35 Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 18 CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng khơng gian  x  1 t Max d  B; d1  = Khi t = -2  Đường thẳng d1:  y   4t  z   3t   x   15t 35 30  Min d  B; d1  = Khi t =  Đường thẳng d2:  y   18t 35 11  z   19t  Vậy có đường thẳng thỏa mãn yêu cầu toán là:  x  1 t d1:  y   4t  z   3t   x   15t d2:  y   18t  z   19t  NHẬN XÉT: Đây tốn khó, để giải cần phải vận dụng dạng toán Tuy nhiên, ta thấy phương pháp chung để giải là: Chọn điểm (có chứa tham số) đường thẳng cho trước, sau dựa vào yếu tố hình chiếu vng góc đưa hàm số sau tìm tham số Từ tìm điểm viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu toán MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho A (1; 2; -1), B (7; -2; 3) đường thẳng d có pt: x 1 y  z    2 Tìm điểm I  d cho IA + IB nhỏ Bài 2: Cho mp(  ): 2x - y + z + = hai điểm A( 3; 1; 0), B( -9; 4; ) uur uur a/ Tìm điểm I  ( ) cho IA  IB đạt GTNN b/ Tìm điểm M  ( ) cho: MA  MB đạt GTLN Bài 3: Cho: A (1; 1; 0) B ( 3; -1; 4) đ/t d: x  y 1 z    Tìm d 1 điểm I cho: IA + IB bé Bài 4: Cho A (5; -1; 3), B (7; -1; 1) mặt phẳng (P) có phương trình: x - y + z - = Tìm điểm I  (P) cho IA + IB nhỏ Bài 5: Cho hai đường thẳng d1: x 1 y  z 1 x 1 y  z     điểm ; d2: 1 1 Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 19 CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng khơng gian A ( 1; 4; 2) Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt d cho khoảng cách d d2 lớn E PHẦN KẾT LUẬN Từ toán nêu cách giải chúng, ta thấy vận dụng tốt quan hệ vuông góc, song song , tính chất đối xứng điểm với tọa độ điểm theo phương trình tham số đường thẳng ta giải nhiều dạng toán, đơn giản toán, hạn chế việc " sợ " tốn hình học khơng gian học sinh, tạo hứng thú cho em, góp phần chung vào việc nâng cao chất lượng dạy học phát huy tính tích cực học sinh, khơi gợi cho em tìm tịi, sáng tạo q trình giải tốn Trên kinh nghiệm thực tiễn thân qua nhiều năm giảng dạy mơn tốn phần phương trình đường thẳng khơng gian, với đề tài hy vọng giúp cho em học sinh biết cách vận dụng quan hệ vng góc, song song, tính chất đối xứng vào giải toán cải tiến phương pháp học tập Cuối cùng, xin cảm ơn thầy cô tổ tốn đọc, góp ý giúp đỡ tơi hồn thành đề tài F TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ 2/ Hình học 12- Chuẩn ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội năm 2008) 3/ Hình học 12- Chuẩn- Sách giáo viên ( Trần Văn Hạo - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội năm 2008) 4/ Hình học 12- Nâng cao ( Đồn Quỳnh - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội năm 2008) 5/ Hình học 12- Nâng cao - Sách giáo viên ( Đoàn Quỳnh - Nhà xuất Giáo dục - Hà Nội năm 2008) 6/ Các đề thi Tuyển sinh Đại học ( Từ năm 2002 – 2009) Trần Đình Khiết – Trường THPT Bn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 20 CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng không gian Trần Đình Khiết – Trường THPT Buôn Ma Thuột – Năm học 2010 -2011 Trang 21 ... CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng khơng gian Bài tốn 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d... -2011 Trang CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng không gian -Bài tốn 11: Viết phương trình đường thẳng  qua I(-1;... Trang 19 CHUYÊN ĐỀ: Tìm tọa độ điểm – Viết phương trình đường thẳng không gian A ( 1; 4; 2) Viết phương trình đường thẳng d qua A cắt