BÀI TẬP ÔN THI LỚP 10 TOÁN. A.Phần Đại Số: I. Giải các phương trình và bất phương trình sau: 1. 2 2 2 1 ( ) 3 x x− = − Đáp số: 2 1 97 1 3 9 2 x    ÷ = + −  ÷   2. Cho tam thức bậc hai 2 ( ) axf x bx c= + + . Chứng minh rằng nếu phương trình bậc hai ( )f y x= vô nghiệm thì phương trình [ ] 2 ( ) ( )a f x bf x c x + + = cũng vô nghiệm. 3. 3 3 1 1 . 2x+ + + = Đáp số: x = 47 4. ( 1) . . . ( 1) ( 1) 4 x x x + + + = Đáp số: 2 1x = − 5. Cho a, b, c là 3 số dương thoả mãn: a + b + c = 4. Chứng minh: 3 3 3 4 4 4 2 2a b c+ + > 6. 2 35 12 1 x x x + > − Đáp số: 4 1 5 5 3 x x  < <    <   7. Cho 2 2 2 1a b+ = . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 2 1 2S a b= + + + 8. Cho a, b, c > 0 và thoả mãn: abc + a + c = b. Tìm giá trị lớn nhất: 2 2 2 2 2 3 1 1 1 P a b c = − + + + + 9. Cho a, b, c > 0 thoả mãn: 2006ac + ab + bc = 2006. Tìm giá trị lớn nhất: 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2006 1 b P a b c = − + + + + 10. Cho x, y, z dương thoả mãn: xz - zy - yx = 1. Tìm giá trị lớn nhất: 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 x y z P x y z = − + + + + 11. 3 3 3 2 3 2 2 2 3 1 3 1 2x x x x x x− + − + = + + + 12. Cho 3 số không âm a, b, c có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất: y = 30 4 2002 a b c Đáp số: 30 4 2002 2036 30 4 2002 axy = 2036 M 13. Tìm chữ số bên phải và bên trái dấu phẩy của số thập phân: 2004 ( 3 2)M = + 14. 2 2 ( 1) 2 3 1x x x x+ − + = + 15. Chứng minh nếu 1 2 ,x x là các nghiệm của phương trình : 2 6 1 0x x− + = thì: 1 2 n n x x+ là một số nguyên và không chia hết cho 5, mọi n N ∈ . 16. Các số thực dương a, b, c thoả mãn: 2 2 2 2 1a b c abc+ + + = Tìm giá trị nhỏ nhất: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 1 1 T a b c a b c = + + − + + − − − 1 17. 2 2 8 816 10 267 2003x x x x− + + + + = Đáp số: 56 31 x = − 18. Cho x, y là các số thực thoả mãn: 2 ( ) 2(3 1)x y x y xy+ = − + − Đặt A = 2 2 ax xm y+ và 2 2 minB x y= + . Tính A - B? II. Giải các hệ phương trình và hệ bất phương trình sau: 1. Cho x, y, z > 0 thoả mãn: 2 2 2 2 2 2 3 3 75 3 63 48 x xy y y z z xz x  + + =   + =   + + =   Hãy tính D = xy + 2yz + 3zx . Đáp số: D = 60. 2. 1 2 2002 1 2 2002 2003 1 1 . 1 2002 2002 2001 1 1 . 1 2002 2002 x x x x x x  + + + + + + =     − + − + + − =   Đáp số: 1 2002 i x = 3. 1 2 2 2 3 3 1 1 1 1 ( ) 2 1 ( ) 2 . 1 ( ) 2 1 ( ) 2 n n n n a x x x a x x x a x x x a x x x −  = +    = +       = +    = +   (với a > 0). Đáp số: i x a= ± 4. 2 1 2 2 2 3 2 1 2 1 1 1 1 1 n n n x x x x x x x x −  = +  = +     = +   = +  ( 2n ≥ ) 5. Cho hệ phương trình : 1 2 2007 1 2 3 2007 1 2 3 4 2007 1 2 2007 2007 . 1 ( . ) 1 ( )( . ) 1 ( . ) 1 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + = −   + + + = −   + + + + = −    + + + = −   Hỏi 1000 ?x = Đáp số: 1000 1000 0 5 x x =   = ±   6. 1 2 3 2 3 4 1 1 1 2 4 3 0 4 3 0 4 3 0 4 3 0 n n n x x x x x x x x x x x x − − + ≥   − + ≥     − + ≥  − + ≥   Đáp số: 1 2 n x x x t= = = = 2 7. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất: 2 2 2 2 2 2 4 ( ) 4 ( ) x y x x m x y y y m  + = +   + = +   Đáp số: 25 4 m > 8. Cho 4 số thực a, b, c, d thoả mãn: 2 2 ( 2) ( 2) 0 4( ) 4 a a b b c d c d − + − =   + = + −  Chứng minh : 2 2 ( ) ( ) 4(3 2 2)a c b d− + − ≤ + 9. Cho 100 số thực 1 2 100 , , .,a a a thoả mãn: 1 2 100 1 2 3 4 100 . 0 2002 . 2002 a a a a a a a a ≥ ≥ ≥ ≥   + ≤   + + + ≤  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 2 2 1 2 100 .S a a a= + + + . Tìm các số 1 2 100 , , .,a a a tương ứng. 10. Cho các số thực không âm 1 2 2003 , , .,a a a thoả mãn các điều kiện: 1 2 2003 1 2 2 3 2002 2003 2003 1 . 2 . 1 a a a a a a a a a a a + + + =   + + + + =  Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : 2 2 2 1 2 2003 .S a a a= + + + 10. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) (3 1) ( ) (3 1) ( ) (3 1) x y z x x y z y z x y y z x z y x z z x y  + = + +   + = + +   + = + +   11. 1 1 1 3( ) 4( ) 5( ) 1 x y z x y z xy yz zx  + = + = +    + + =  12. 2 2 2 2 2 2 x x y y y y z z z z x x  + =   + =   + =   13. 2 2 2 2 21 1 21 1 x y y y x x  + = − +    + = − +  B. Phần Hình học. 1. Cho tứ giác ABCD nội tiếp. Gọi P, Q, R lần lượt là chân các đường vuông góc của D xuống BC, CA, AB. Chứng minh PQ = QR khi và chỉ khi phân giác các góc ABC và ADC cắt nhau trên AC. 2. Cho hình thoi ABCD có · 0 60BAD = . Một đường thẳng d thay đổi qua C cắt AB, AD tại N, M. Gọi P là giao điểm của BM và DN. Chứng minh rằng P thuộc một đường tròn cố định. 3 3. Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Gọi O là trung điểm của BC. Đường thẳng d đi qua H cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng HM = HN khi và chỉ khi OM = ON. 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB tại T, đường thẳng CT cắt đường tròn tại K khác T. Giả sử K là trung điểm CT và CT = 6 2 . Hãy tính độ dài các cạnh của tam giác ABC. Đáp số: (12,8,8) 5. Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AB = c, B = 2A, C = 4A, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R. Tính 2 2 2 2 1 1 1 ( )T R a b c = + + 6. Cho lục giác lồi ABCDEF có AB = BC, CD = DE, EF = FA. Chứng minh rằng: 3 2 BC DE FA BE DA FC + + ≥ . 7. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M thuộc cung nhỏ BC, hạ MB' vuông góc với AC, MC' vuông góc AB. Tìm vị trí của M để B'C' lớn nhất. 8. Cho tam giác ABC và điểm M thuộc BC. Xét hình bình hành APMN, trong đó P thuộc AB và N thuộc AC và hình bình hành ABDC với đường chéo AD và BC. Gọi O là giao điểm của BN và CP. Chứng minh rằng · · · · PMO NMO BDM CDM= ⇔ = . (Đề thi trại hè Hùng Vương lần thứ hai - năm 2006) -----------------Hết---------------- Yêu cầu hoàn thành tất cả các bài tập trên ! 4 . BÀI TẬP ÔN THI LỚP 10 TOÁN. A.Phần Đại Số: I. Giải các phương trình và bất phương trình. H cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng HM = HN khi và chỉ khi OM = ON. 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc