Đang tải... (xem toàn văn)
Công nghệ xử lý tín hiệu số là công nghệ bùng nổ nhanh chóng trong ngành công nghiệp điện tử và viễn thông hiện nay. Xử lý tín hiệu số có nhiều ứng dụng đa dạng, ví dụ như trong lĩnh vực điện t
ChChương 2ương 2: BI: BIẾN ĐỔIẾN ĐỔI Z V Z VÀ ỨNG DỤNG VÀO À ỨNG DỤNG VÀO HHỆ THỐNG LTI RỜI RẠCỆ THỐNG LTI RỜI RẠCBài 1 BIBài 1 BIẾN ĐỔIẾN ĐỔI Z Z Bài 2 CBài 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI ÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI ZZBài 3 BIBài 3 BIẾN ĐỔI Z NGƯỢCẾN ĐỔI Z NGƯỢCBài 4 HBài 4 HÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠCÀM TRUYỀN ĐẠT CỦA HỆ LTI RỜI RẠCBài 5 GIBài 5 GIẢIẢI PTSP D PTSP DÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍAÙNG BIẾN ĐỔI Z 1 PHÍA Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)Nếu x(n) nhân quả thì : (*) (**)Ký hiệu:Ký hiệu:x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)}x(n) X(z) hay X(z) = Z{x(n)} X(z) X(z) x(n) hay x(n) = Z x(n) hay x(n) = Z-1-1{X(z)} {X(z)} BÀI 1 BIBÀI 1 BIẾẾN N ĐỔIĐỔI Z Z1. 1. ĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔIĐỊNH NGHĨA BIẾN ĐỔI Z: Z:∑∞=−=0nnznxzX )()(→←Z →←−1Z≡ Biểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phíaBiểu thức (*) còn gọi là biến đổi Z hai phíaBiBiến đổi Z của dãyến đổi Z của dãy x(n): x(n):Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):Biến đổi Z 1 phía dãy x(n):(*)(*)(**)(**)Trong Trong đóđó Z – bi Z – biến số phứcến số phức∑∞−∞=−=nnznxzX )()( Miền hội tụ của biến đổi ZMiền hội tụ của biến đổi Z - - ROC (Region Of Convergence) ROC (Region Of Convergence) llà tập hợp tất cả à tập hợp tất cả ccác giá trị Z nằm trong mặt phẳng phứcác giá trị Z nằm trong mặt phẳng phức sao sao cho X(z) hcho X(z) hội tụội tụ 2. MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)2. MIỀN HỘI TỤ CỦA BIẾN ĐỔI Z (ROC)+++=∑∞=)2()1()0()(0xxxnxn1)(lim1<∞→nnnx00Im(Z)Re(z)Rx+Rx-ROCĐểĐể tìm ROC c tìm ROC củủa X(z) ta a X(z) ta áp dụngáp dụngtitiêu chuẩnêu chuẩn Cauchy CauchyTiTiêu chuẩnêu chuẩn Cauchy: Cauchy:MMột chuỗi có dạngột chuỗi có dạng::hhội tụ nếuội tụ nếu:: Ví dụ 1Ví dụ 1: : Tìm biến đổi Z & ROC của:Tìm biến đổi Z & ROC của: Giải:Giải:( )nnaz∑∞=−=01111)(−−=azzXazaznnn>⇔<−∞→1lim11∑∞−∞=−=nnznxzX )()([ ]∑∞−∞=−=nnnznua )(∑∞=−=0.nnnza)()( nuanxn=0ROCROCIm(z)Re(z)/a/Theo tiTheo tiêuêu chu chuẩẩn Cauchy, n Cauchy, X(z) sX(z) sẽẽ h hộội ti tụụ::NNếu:ếu:VVậy:ậy:aazzX>−=−Z:ROC;11)(1 )1()( −−−= nuanxn( )mmza∑∞=−−=11az <⇔ 1lim11<−∞→nnnza∑∞−∞=−=nnznxzX )()([ ]∑∞−∞=−−−−=nnnznua )1(∑−−∞=−−=1.nnnza( )101+−=∑∞=−mmza( )1)(01+−=∑∞=−nmzazX111 −−=az0ROCROCIm(z)Re(z)/a/Ví dụ 2Ví dụ 2: : Tìm biến đổi Z & ROC của:Tìm biến đổi Z & ROC của: Giải:Giải:Theo tiTheo tiêuêu chu chuẩẩn Cauchy, n Cauchy, X(z) sX(z) sẽẽ h hộội ti tụụ::NNếu:ếu: BÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI ZBÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z1) 1) Tuyến tínhTuyến tính RROC : )()(222=→←zXnxZ RROC : )()(111=→←zXnxZ)()()()(22112211zXazXanxanxaZ+→←+)1()()(−−−=nubnuanxnnba <GiGiải:ải:Nếu:Nếu:Thì:Thì:Ví dụ 1Ví dụ 1: : Tìm biến đổi Z & ROC của:Tìm biến đổi Z & ROC của:vvớiớiROC ROC chchứa ứa RR11∩∩ R R22 Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được:111)(−−→←aznuaZnzbnubZn111)1(−−→←−−−bzR <:2→←−−−Znnnubnua )1()(111111−−−+− bzaz0ROCROCIm(z)Re(z)/a/0ROCROCIm(z)Re(z)/b/azR >:1bzaRRR <<∩= :210ROCROCIm(z)Re(z)/b//a/Theo vTheo ví dụ 1 và 2, ta có:í dụ 1 và 2, ta có: 2) 2) Dịch theo thời gianDịch theo thời gianaaznuaZn>−→←−z:ROC;11)(1)1()(−=nuanxn)1()(−=nuanxn)1(.1−=−nuaanazazazZ>−→←−−:111 RROC : )()( =→← zXnxZ R'ROC : )()(00=→←−−zXZnnxnZ RR R'=trừ giá trị z=0, khi n0>0trừ giá trị z=∞, khi n0<0Ví dụ 3Ví dụ 3: : Tìm biến đổi Z & ROC của:Tìm biến đổi Z & ROC của: NNếu:ếu:ThThì:ì:VVới:ới:Giải:Giải:Theo vTheo ví dụ 1:í dụ 1:VVậy:ậy: 3) 3) NhNhân với hàm mũ aân với hàm mũ ann)()(1nuanxn=aR'azzaXnuanxaZnn>−=→←=−−z:;11)()()(11 RROC : )()( =→← zXnxZR ROC : )()(1azaXnxaZn= →←−)()(2nunx =1)()()()(−∞−∞=∑=→←=znuzXnunxnZGiải:Giải: NNếu:ếu:ThThì:ì:Ví dụ 4Ví dụ 4: : XXét ét biến đổi Z & ROC của:biến đổi Z & ROC của:vvàà1:;111>−=−zRz 4) 4) Đạo hàm X(z) theo zĐạo hàm X(z) theo z)()( nunangn=aazzXnuanxZn>−=→←=−z:ROC;11)()()(1 RROC : )()( =→← zXnxZRROC : )(=−→←dzdX(z)znxnZdzzdXzzGnnxngZ)()()()(−=→←=azazaz>−=−−:)1(211Giải:Giải: Theo vTheo ví dụ 1:í dụ 1:NNếu:ếu:ThThì:ì:Ví dụ 5Ví dụ 5: : TTìm ìm biến đổi Z & ROC của:biến đổi Z & ROC của: [...]... bởi: )1( 1 )2( 2 )2( 1)( 2 − + − + − = z z zz zX 1 )1( 4 52 2 2 = − +− = =Z z zz dz d 2 2 ) 12( ) 12( 1 )2( )( )! 12( 1 = − − − − = Z z z zX dz d K 2 )1( 4 52 2 2 = − +− = =Z z zz 2 2 )22 ( )22 ( 2 )2( )( ) !22 ( 1 = − − − − = Z z z zX dz d K 1 3 )1( )( = −= Z z z zX K 1 )2( 4 52 1 2 2 = − +− = =Z z zz )1( 1 )21 ( 2 )21 ( 1 )( 121 1 1 −− − − − + − + − =⇒ zz z z zX 2: > zROC )() (2) (2) (... 1 1 ∀ ∀ z z u(n) u(n) /z/ >1 /z/ >1 -u(-n-1) -u(-n-1) /z/ <1 /z/ <1 a a n n u(n) u(n) /z/ > /a/ /z/ > /a/ -a -a n n u(-n-1) u(-n-1) /z/ < /a/ /z/ < /a/ na na n n u(n) u(n) /z/ > /a/ /z/ > /a/ -na -na n n u(-n-1) u(-n-1) /z/ < /a/ /z/ < /a/ cos( cos( ω ω o o n)u(n) n)u(n) (1-z (1-z -1 -1 cos cos ω ω o o )/( 1 -2 z )/( 1 -2 z -1 -1 cos cos ω ω o o + + z z -2 -2 ) ) /z/ >1 /z/ >1 sin( sin( ω ω o o n)u(n) n)u(n) (z (z -1 -1 sin sin ω ω o o )/( 1 -2 z )/( 1 -2 z -1 -1 cos cos ω ω o o + + z z -2 -2 ) ) /z/... CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z x(n) x(n) X(z) X(z) R R a a 1 1 x x 1 1 (n)+a (n)+a 2 2 x x 2 2 (n) (n) a a 1 1 X X 1 1 (z)+a (z)+a 2 2 X X 2 2 (z) (z) Chứa Chứa R R 1 1 ∩ ∩ R R 2 2 x(n-n x(n-n 0 0 ) ) Z Z -n0 -n0 X(z) X(z) R’ R’ a a n n x(n) x(n) X(a X(a -1 -1 z) z) R R nx(n) nx(n) -z dX(z)/dz -z dX(z)/dz R R x(-n) x(-n) X(z X(z -1 -1 ) ) 1/R 1/R x*(n) x*(n) X*(z*) X*(z*) R R x x 1 1 (n)x (n)x 2 2 (n) (n) R R 1... n n ≥ ≥ 0 0 : : )2( )( 1 − = − z z zzX n n có 1 điểm cực đơn Z có 1 điểm cực đơn Z c1 c1 =2 =2 Thặng dư tại Z Thặng dư tại Z c1 c1 =2: =2: 2 )2( Res = − Z n z z 2 )2( )2( = − − = Z n z z z n 2 = n<0 n<0 : : n n zz zzX − − − = )2( 1 )( 1 Z Z c1 c1 =2 đơn =2 đơn , , Z Z c2 c2 =0 bội m =0 bội m m zz )2( 1 − = Với: Z Với: Z c1 c1 =2 =2 2 )2( 1 Res = − Z m zz m 2 1 = 2 )2( )2( 1 = − − = Z m z zz Chọn... BÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z BÀI 2 CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Z 1) 1) Tuyến tính Tuyến tính RROC : )()( 22 2 =→← zXnx Z RROC : )()( 111 =→← zXnx Z )()()()( 22 1 122 11 zXazXanxanxa Z +→←+ )1()()( −−−= nubnuanx nn ba < Gi Gi ải: ải: Nếu: Nếu: Thì: Thì: Ví dụ 1 Ví dụ 1 : : Tìm biến đổi Z & ROC của: Tìm biến đổi Z & ROC của: v v ới ới ROC ROC ch ch ứa ứa R R 1 1 ∩ ∩ R R 2 2 2: )1) (22 ( )( 2 > −+− − =... >1 /z/ >1 sin( sin( ω ω o o n)u(n) n)u(n) (z (z -1 -1 sin sin ω ω o o )/( 1 -2 z )/( 1 -2 z -1 -1 cos cos ω ω o o + + z z -2 -2 ) ) /z/ >1 /z/ >1 1 1 1 − − z 1 1 1 − − az 21 1 )1( − − − az az Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: Áp dụng tính chất tuyến tính, ta được: 1 1 1 )( − − →← az nua Z n zb nub Z n 1 1 1 )1( − − →←−−− bzR <: 2 →←−−− Z nn nubnua )1()( 11 1 1 1 1 −− − + − bzaz 0 ROC ROC Im(z) Re(z) /a/ 0 ROC ROC Im(z) Re(z) /b/ azR... -1 -1 ) ) 1/R 1/R x*(n) x*(n) X*(z*) X*(z*) R R x x 1 1 (n)x (n)x 2 2 (n) (n) R R 1 1 ∩ ∩ R R 2 2 x(n) x(n) nhân quả nhân quả x(0)=lim X(z -& gt; x(0)=lim X(z -& gt; ∞) ∞) x x 1 1 (n)*x (n)*x 2 2 (n) (n) X X 1 1 (z)X (z)X 2 2 (z) (z) Chứa Chứa R R 1 1 ∩ ∩ R R 2 2 dvv v z XvX j C 1 21 )( 2 1 − ∫ π BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG BIẾN ĐỔI Z MỘT SỐ DÃY THÔNG DỤNG x(n) x(n) X(z) X(z) ROC ROC δ δ (n) (n)... − −− − = − m m m m )2( )1()!1( )!1( 1 1 m 2 1 −= Vậy, với Vậy, với n<0: n<0: 0 2 1 2 1 =−= mm suy ra suy ra 0 :2) ( ≥= nnx n hay hay ) (2) ( nunx n = Với: Z Với: Z c2 c2 =0 bội m: =0 bội m: 0 )2( 1 Res = − Z m zz 0 1 1 )2( 1 )!1( 1 = − − − − = Z m mm m z zzdz d m Vậy Vậy X(z)/z X(z)/z có biểu thức là: có biểu thức là: Với các hệ số được tính bởi: Với các hệ số được tính... 2: )1) (22 ( )( 2 > −+− − = z zzz z zX Ví dụ 7 Ví dụ 7 : : Tìm x(n) biết: Tìm x(n) biết: Giải Giải : : )1) (22 ( 1)( 2 −+− − = zzz z zX [ ][ ] )1()1()1( 1 −−−+− − = zjzjz [ ] [ ] )1()1()1( 3 * 11 − + −− + +− = z K jz K jz K [ ] 2 1 )1()1( 1 1 1 = −−− − = += jZ zjz K 1 )22 ( 1 1 2 3 −= +− − = =Z zz K [ ] [ ] )1( 1 )1(1 2/ 1 )1(1 2/ 1 )( 111 −−− − − + −− + +− =⇒ zzjzj zX 2 > z TỔNG KẾT CÁC TÍNH CHẤT... )()( (*) (*) (**) (**) Đồng nhất (*) & (**), rút ra: Đồng nhất (*) & (**), rút ra: n anx = )( Ví dụ 2 Ví dụ 2 : : Tìm x(n) biết: Tìm x(n) biết: ) 321 )(1()( 21 2 −− +−+= zzzzX Giải Giải : : Khai triển X(z) ta được: Khai triển X(z) ta được: ∞<< zROC 0: 21 2 324 2)( −− +−+−= zzzzzX ∑ −= − = 2 2 )( n n znx Suy ra: Suy ra: 2) 2) Dịch theo thời gian Dịch theo thời gian a az nua Z n > − →← − z:ROC; 1 1 )( 1 )1()( −= nuanx n )1()( −= nuanx n )1(. 1 −= − nuaa n az az az Z > − →← − − : 1 1 1 . (1-z(1-z- 1-1 coscosωωoo)/( 1 -2 z)/( 1 -2 z- 1-1 coscosωωoo++zz- 2- 2 ))/z/ >1/z/ >1sin(sin(ωωoon)u(n)n)u(n)(z(z- 1-1 sinsinωωoo)/( 1 -2 z)/( 1 -2 z- 1-1 coscosωωoo++zz- 2- 2 ))/z/. CÁC TÍNH CHẤT BIẾN ĐỔI Zx(n)x(n)X(z)X(z)RRaa11xx11(n)+a(n)+a22xx 22( n)(n)aa11XX11(z)+a(z)+a22XX 22( z)(z)Chứa Chứa RR1 1 ∩∩ R R22x(n-nx(n-n00))ZZ-n0 -n0 X(z)X(z)R’R’aan