TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Giảng viên hướng dẫn: Lê Thị Bạch Liên Sinh viên thực : Nguyễn Thị Kiều Oanh Lớp : CĐ sư phạm Tốn - Tin K56 Đồng hới, 5/2017 Khóa luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Được cho phép Khoa Khoa Học Tự Nhiên Trường Đại Học Quảng Bình, đồng ý Cô giáo hướng dẫn TS Lê Thị Bạch Liên em thực đề tài “ Phương pháp đặt ẩn phụ để giải số phương trình vơ tỉ ” Để hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành lòng kính trọng sâu sắc cơ, người tận tình dẫn động viên em q trình thực hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Khoa Học Tự Nhiên tận tình hướng dẫn, giảng dạy suốt trình học tập Mặc dù có nhiều cố gắng để thực đề tài cách hoàn chỉnh Song buổi đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học củng hạn chế kiến thức kinh nghiệm nên khơng thể tránh thiếu sót định mà thân chưa thấy Em mong góp ý q thầy, giáo để khóa luận hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! Quảng Bình, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Kiều Oanh MỤC LỤC Mở đầu Lí chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Thời gian nghiên cứu Nội dung Chương Phương trình vô tỉ 1.1 Định nghĩa 1.2 Các kiến thức thức 1.3 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ Chương Phương pháp đặt ẩn phụ để giải số phương trình vơ tỉ 2.1 Phương pháp dùng ẩn phụ đưa phương trình theo ẩn phụ 2.2 Phương pháp dùng hai ẩn phụ đưa hệ phương trình 2.3 Phương pháp dùng ẩn phụ khơng hồn tồn Kết luận Tài liệu tham khảo MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học mang tính trừu tượng, mơ hình ứng dụng rộng rãi gần gũi lĩnh vực đời sống xã hội, khoa học lí thuyết khoa học ứng dụng Tốn học mơn học giữ vai trò quan trọng suốt bậc học phổ thơng Tuy nhiên, mơn học khó, khơ khan đòi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, giáo viên dạy tốn việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học Để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu việc truyền thụ kiến thức Toán học cho học sinh công việc cần phải làm thường xuyên Dạy học sinh học Tốn khơng cung cấp kiến thức bản, dạy học sinh giải tập sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng hình thành cho học sinh phương pháp chung để giải dạng tốn, từ giúp em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hồn thiện nhân cách Giải tốn vấn đề trung tâm phương pháp giảng dạy, lẽ việc giải toán việc mà người học lẫn người dạy thường xuyên phải làm, đặc biệt học sinh bậc THCS việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn Trong chương trình Tốn bậc THCS, chuyên đề phương trình chuyên đề xuyên suốt năm học học sinh, bắt đầu từ tốn “Tìm x biết ” dành cho học sinh lớp 6, đến việc cụ thể hóa vấn đề phương trình cuối năm học lớp hoàn thiện nội dung phương trình đại số lớp Đây nội dung quan trọng bắt buộc học sinh bậc THCS phải nắm bắt có kĩ giải phương trình cách thành thạo Trong vấn đề phương trình, phương trình vơ tỉ lại trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ngỡ ngàng bối rối giải loại phương trình Thực ra, cũng vấn đề khó Đặc biệt, với học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi vấn đề quan trọng mà bắt buộc học sinh phải vượt qua Như biết có nhiều trường hợp giải phương trình vơ tỉ mà ta biến đổi tương đương sẽ phương trình phức tạp, bậc cao…Có lẽ phương pháp hữu hiệu để giải vấn đề đặt ẩn phụ để chuyển phương trình đơn giản dễ giải Để nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện nhà trường nói chung, giáo viên trực tiếp giảng dạy nói riêng cần phải có giải pháp tích cực để nâng cao chất lượng môn đại số học sinh trung học sở củng trung học phổ thơng Nhằm mục đích nâng cao chất lượng học sinh học mơn đại số nói chung phương trình vơ tỉ nói riêng, với mong muốn cung cấp thêm cho học sinh số kĩ đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỉ, với lòng đam mê nghiên cứu gợi ý giáo viên hướng dẫn em định chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ” Mục tiêu nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập phương trình vơ tỷ sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Giúp học sinh nâng cao trách nhiệm học tập, khắc phục tính chủ quan tự mãn, đặc biệt phát triển lực tự đánh giá Giúp người thầy tự điều chỉnh hoạt động dạy học cho phù hợp Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp phân tích, nghiên cứu tài liệu sở tổng hợp, chứng minh vấn đề nghiên cứu, đồng thời trình bày tập có liên quan Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Học sinh THCS THPT Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung nghiên cứu dạng tập phương pháp giải phương trình vơ tỉ cách đặt ẩn phụ Thời gian nghiên cứu Năm học 2016-2017 B Nội dung Chương Một số khái niệm phương trình vơ tỉ 1.1 Định nghĩa phương trình vơ tỷ Khái niệm phương trình khái niệm quan trọng tốn học Khi nói đến phương trình ta hiểu hai biểu thức chứa biến số nối với dấu “ = ” mà ta phải tìm giá trị biến số để giá trị tương ứng hai biểu thức Có thể định nghĩa phương trình vơ tỷ sau: “Phương trình vơ tỉ phương trình chứa ẩn dấu căn” Ví dụ: a) n b) n c) f ( x) =a f ( x) =g(x) n f ( x) = n g ( x) Trong đó: f(x), g(x) đa thức Các kiến thức thức 1.2  Căn bậc 2: Ta có cơng thức sau: A2 = A A B với AB = A B A2 B = A A = B= A B với A A2 B  A,B  0 B > B với A,B  A B = AB B A B = A B B C = C ( A 2B) với A B AB C A B = với AB  B  với B > A C( A  B ) với A B  A A,B   B2 A  B Đó thức cần nhớ, sau số thức gọi “Căn thức tạp” a b  a  a2  b a  a2  b  2 a b  a  a2  b a  a2  b  2  Căn bậc bậc n: Am  nk Amk với A > k,m số tự nhiên n m n n AB  n A n B n A  B  A n 1.3 A  mn A với m n n A B A > 0, m > với A,B > với A,B >  n Am với A > m số tự nhiên khác Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ  Phương pháp 1: Biến đổi dạng Ví dụ 1: Giải phương trình sau: 3x  x   x   Ví dụ 2: Giải phương trình sau: x   x  3x   Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x   x   x    Phương pháp 2: Đặt điều kiện (nếu có) nâng lên lũy thừa để khử thức Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x    x  3x   Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ Phương pháp: Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện ẩn phụ ( có) Bước 2: Chuyển phương trình cho phương trình chứa ẩn phụ Giải phương trình chứa ẩn phụ Đối chiếu với điều kiện ẩn phụ nêu để tìm nghiệm thích hợp phương trình Bước 3: Tìm nghiệm phương trình ban đầu theo hệ thức đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Giải phương trình sau: ( x  5)(2  x)  x  3x x    x  ( x  1)(4  x)  Ví dụ 2: Giải phương trình sau:  x   x  4  x  10  3x ( x  R ) Ví dụ 3: Giải phương trình sau: (x+4) - x3  3x  13  Phương pháp 4: Biến đổi phương trình dạng tích số A.B=0 A.B.C=0 Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x2  3x    x 3x  x   x  x    x  8x   Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 10 x   3x   x   x  2 3x    x  3x2  14 x   x2  x  22  x  x  x  Chương Phương pháp đặt ẩn phụ để giải số phương trình vơ tỷ 2.1 Phương pháp dùng ẩn phụ đưa phương trình theo ẩn phụ Phương pháp: Đối với phương trình vơ tỷ, để giải đặt t= f(x) ý điều kiện t phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa biến t quan trọng hơn, ta giải phương trình theo t việc đặt ẩn phụ xem “hồn tồn” Ví dụ 1: Giải phương trình: x  x   x  x   2.(1) Hướng dẫn: Điều kiện: x  Nhận xét: x  x2  x  Đặt t = x  x2  Thì phương trình có dạng: x  =1 t    t  2t    t  t Thay t=1 vào phương trình (1) tìm x=1 Ví dụ 2: Giải phương trình x2  x 1  4x  5.(2) Hướng dẫn: Điều kiện: x   Đặt t  4x  (t  ) t2  x Thay vào phương trình (2), ta có phương trình sau: t  10t  25  (t  5)   t 16  t  22t  8t  27   (t  2t  7).(t  2t  11)  Ta tìm nghiệm là: t  1  2  t  1  2  t    t   Do t  nên nhận giá trị t  1  2  t    u   Đặt  v    x2 2x 1 x3 2x 1 u  v  Phương trình trở thành  3 u  v  u  u  Giải hệ ta   v  v  Thay vào ta nghiệm (2.4) x=2 x=-3; x  1 u  x   Cách 2: Đặt  v  x  phương trình trở thành   w  x  u  v  w u  v  w   3 3 u  v  w  (u  v)  (u  v )  u  v  5 u  v  5   u  v  w   (u  v)uv  u  v3  5  Giải hệ thay vào ta cũng sẽ ba nghiệm x=2 x=-3 ,x=1/2 Như vậy, phương trình dạng (2.2) với n=3 thỏa mãn  f ( x)  g ( x)  k   f ( x )  g ( x )  h( x ) (2.5) Thì ta có thêm cách giải: Đặt u  f ( x)  v  g ( x )   w  h( x) Lúc ta giải hệ : u  v  w  3 u  v  w u  v  k  Ví dụ 10: Giải phương trình: x2  x   x  x   x  13x  12  (Đề thi đề nghị Olympic 30.4 THPT chuyên KonTum) Hướng dẫn: u  x  x    Đặt v  x  x    w  x  13 x  12 u  v  w   3 u  v  w  27 phương trình trở thành (2.6) u  v  w=3  3 3 u  v  w  (u  v  w) u  v  w=3  3(u  v)(v  w)(w  u )  Giải hệ vào ta nghiệm phương trình là: 75 x  ; x  5; x  ; x   29 2 Nhận xét Ta tổng qt hóa tốn thành tốn: Giải phương trình: f ( x)  g ( x)  h( x)  a (2.7) Với f(x) + g(x) + h(x) = a3 (2.8) Ví dụ 11: Giải phương trình x   3x   x   x  Hướng dẫn: u    v   Đặt  z    t  8x   3x   x   Khi đó, phương trình trở thành 2x   (3.1) u  v  z  t (a )  2 2 u  v  z  t (b) Từ (b) suy ( u + v )( u – v ) = ( z + t )( z – t ) Do u + v ≥ u,v không đồng thời nên u – v = z - t Suy u = z Thay vào ta giải x = nghiệm phương trình Nhận xét: Ta tổng qt hóa tốn sau: Giải phương trình: f ( x)  g ( x)  h( x)  t(x ) (3.2) Với f(x ) - g(x) = h(x) –t (x) u  f ( x)    v  g ( x )  Khi đó, cách đặt   z  h( x )    t  t ( x)  trình u  v  z  t giải hệ  2 2 u  v  z  t Ví dụ 12: Giải phương trình Hướng dẫn: Đặt (3.3) ta sẽ chuyển việc giải phương ta có hệ      Thay u,v vào, ta giải nghiệm phương trình ban đầu là: x=0 Ta xét tổng quát: Giải phương trình: =c Với F(x) – g(x) = k c,k Khi cách đặt  Ta thu hệ Đây hệ đối xứng loại biết phương pháp giải Ví dụ12 Giải phương trình =4 Hướng dẫn: Đặt phương trình trở thành  Giải hệ ta Suy nghiệm phương trình ban đầu la: x=0 Ví dụ 13: Giải phương trình Hướng dẫn: Điều kiện x Đặt Ta có hệ   Đặt S = u + v, P = uv, P Hệ phương trình trở thành   Thế vào ta có x=3 nghiệm phương trình ban đầu Nhận xét Ta xét toán tổng quát: Giải phương trình Với + Đặt = =k c,k ;c , Ta đưa hệ phương trình Điểm cần ý gặp toán biến đổi + dạng = ta phải để áp dụng phương pháp Ví dụ14: Giải phương trình ( Đề thi 40 năm tạp chí THTT) =6 Hướng dẫn: Điều kiện Đặt ta có hệ phương trình , v=5+      => , nên có hai giá trị u thảo mãn Vì ; => hai nghiệm phương trình cho ; 2.3 Phương pháp dùng ẩn phụ khơng hồn tồn - Phương pháp: Từ phương trình tích  2x   x    x  1  x 1  x   ;  x   x   Khai triển rút gọn ta sẽ phương trình vơ tỷ khơng tầm thường chút nào, độ khó phương trình dạng phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát Từ tìm cách giải phương trình dạng Phương pháp giải thể qua ví dụ sau: x3   2x  Ví dụ 1: Giải phương trình: Hướng dẫn Đặt t  x   x  t 1  x3   2t Khi ta có hệ  t   x 1  2 Lấy (1) trừ (2) ta có: x3  t  2t  x   x  t   x  xt  t    x  t     x  t   x  xt  t     xt  t  (Vì x  xt  t    x    t   ) 2  Với t  x ta có 2 x3   x  x  x     x  1  x  x  1    x  1  1  x    x  1    Vậy phương trình có nghiệm S  1;   Ví dụ 2: 1 1   ;  2   Giải phương trình 3x2+x+3+(8x−3) 2x + =0 Hướng dẫn: Phương trình tương đương với (3 2x + −x)( 2x + +3x−1)=0 Đến phương trình trở nên đơn giản,dễ dàng giải tiếp Khi nhìn vào lời giải khơng người thắc mắc cách phân tích thành nhân tử phương trình trên,một lời giải gọn đẹp lại có cách phân tích trên,chúng ta sẽ tìm lời giải đáp Mặc dù máy tính Casio tìm nghiệm phương trình,chúng ta dựa vào nghiệm vơ tỷ nghiệm phức để tìm nhân tử,nhưng phương trình khơng có nghiệm vơ tỷ sao.phương pháp áp dụng cho hai trường hợp Bài tốn có lời giải khác: Đặt 2x + =t ,phương trình trở thành: 3t2+(8x−3)t−3x2+x=0 Ta có : Δt =100x2−60x+9=(10x−3)2 Từ dễ dàng giải tiếp Nhìn hai cách giải có liên quan đến nhau.Từ lời giải dễ dàng suy lời giải Ở cách giải thứ 2,hệ số t2 3,nếu hệ số khác có làm cho Δ phương khơng,đáp án khơng Vậy số thỏa mãn Chúng ta gọi hệ số m, phương trình trở thành Mong muốn : 3t2+(8x−3)t−3x2+x=0 mt2+(8x−3)t+3x2+x+3−m(2x2+1) = ( : + mt2 −m(2x2+1) trở lại) Chúng ta tìm m để Δt phương: t  (8x  3)2  4m 3x  x   m(2 x  1)  = 8m2  12m  64 x2  (4m  48) x  4m2  4m  Δt phương phương trình Δ = có nghiệm nhất,tức là: ΔΔt = 0⇔−16m(8m3−36m2+117m−243)=0 Dễ dàng thấy phương trình có nghiệm m=3,từ suy cách biến đổi phương trình để có hai lời giải Tổng quát: Phương trình (ax+b) cx + dx + e = px2+qx+z Viết lại phương trình thành: px2+qx+z−(ax+b) cx + dx + e = Đặt cx + dx + e = t Ta sẽ biến đổi phương trình thành : mt2−(ax+b)t+P(x) = 0(1) Với P(x)=x2+qx+z−m(cx2+dx+e) Δt biểu thức phương,nhiệm vụ phải tìm giá trị m thoả mãn yêu cầu Viết lại phương trình (1) thành: mt2−(ax+b) cx + dx + e +(1−mc)x2+(q−md)x+(z−e) = Δt = (ax+b)2−4m[(1−mc)x2+(q−md)x+(z−e)] = (a2−4m+4m2c)x2+(2ab−4mq+4m2d)x+(b2−4mz+4me) = Ax2+Bx+C Để Δt phương phương trình Δ= có nghiệm nhất,tức ΔΔt = Hay B2−4AC = 0⇒(2ab−4mq+4m2d)2−4(a2−4m+4mc)(b2−4mz+4me)=0 Khai triển vế trái phương trình ta phương trình có dạng m(a1x3+a2x2+a3x+a4)=0,phương trình ln có hai nghiệm phân biệt có nghiệm m=0 Sau tìm giá trị m,ta dễ dàng giải phương trinh (1) VD: Giải phương trình −4x2+7+(2x−4) - x =0 Đặt - x =t phương trình thành: −4x2+7+(2x−4) t =0 mt2−4x2+7+(2x−4) t −m(2-x2) = mt2+(2x−4) t −4x2+7−m(2-x2) = Bước tìm m Δt = (2x−4)2−4m[−4x2+7−m(2−x2)]=(−4m2+16m+4)x2−16x+8m2−28m+16 Δ′Δt = 64−(−4m2+16m+4)(8m2−28m+16)=32m4−240m3+480m2−144m = m(32m3−240m2+480m−144) = Giải phương trình ta tìm nghiệm m = Phương trinh viết lại thành 3t2+(2x−4)t−4x2+7−3(2−x2)=0 ⇔3t2+2(x−2)t−x2+1=0 Δ′=(x−2)2−3(1−x2)=(2x−1)2 ⇒t =1−xt = x+13 Vậy tốn giải Ví dụ 3: Giải phương trình x4  3x3  x2   x4  x3   x  Hướng dẫn: Dễ thấy x=1 nghiệm phương trình Xét x  Đặt x4  3x3  x2   a  0; x4  x3   b  Suy mối liên hệ: a2  b2  x3  x2   ( x 1)(2 x2  x  1)(*) Phương trình cho trở thành: a  b  x  1(**) (a  b)(a  b)  ( x  1)(2 x  x  1) Giải (*) (**) suy ra:  a  b  x  a  x  x  b  x  a  b  x    a  b  x   x2  x     x  3x3  x   ( x  1)  x  x3   ( x  1)  2  1 x  x  x  2  ( x  1)( x  x  1)  Vậy phương trình cho có nghiệm: x  1; x  1 Ví dụ 4: Giải phương trình: x4  x2  x   x4  3x2  x   x2  Hướng dẫn: Đặt a  x4  x2  x  b  x  3x  x  Suy mối liên hệ: a2  b2  ( x2  1)2  ( x2  1)2  x4  x2  2(*) Phương trình cho trở thành: a  b  x2  1(**) Giải hệ gồm (*) (**) phương pháp ta được: a  x4  x2  x   x2  b  x  3x  x   x  Giải tiếp suy phương trình có nghiệm: x = 1; x = Ví dụ 5: Giải phương trình x8  x4  x2  x   ( x  1) x  x  Hướng dẫn: Đặt a  x8  x  x  x  b  2x4  x   Suy mối liên hệ: a  b2  x8  x  x  1(*) Phương trình cho trở thành: a   ( x2  1)b(**) Thay a vào (*) ta được: 1  ( x   1)b  b  x8  x  x   (1  ( x  1)2 )b2  2( x  1)b  ( x  1) x ( x  x  2)  b  x     x ( x  x  2) b 0   ( x  1) Dễ thấy:  x ( x  x  2) 0 x0  ( x  1) x = không làm cho b = Suy b  x4  x   x2  Thay vào (**) được: a  x8  x  x  x  x Suy x  0; x  1; x  1  Phương trình cho có nghiệm: x  0; x  1; x  1  Ví dụ 6: Giải phương trình: x8  x3    ( x2  1) x4  x3  x2  Hướng dẫn: Đặt a  x8  x   b  x  x3  x   Suy mối quan hệ: a  b2  x5  x  x3  1(*) Phương trình cho trở thành: a   ( x2  1)b(**) Thay a vào (*) ta được: 1  ( x 1)b   b  1  ( x  1)  b 2 2  x8  x  x   2( x  1)b  ( x  1) x ( x  x  2)  b  x     x ( x  x  2) b 0   ( x  1) Dễ thấy  x ( x  x  2) 0 x0  ( x  1) x = không làm cho b = Suy b  x4  x2  2x2   x2  Thay vào (**) được: a  x8  x   x Suy x  Phương trình cho có nghiệm: x  Ví dụ 7: giải phương trình: x8  x5    ( x2  1) x5  x  x  Hướng dẫn: Đặt x8  x   a  x5  x  x   b  Suy mối liên hệ: a  b2  x8  x  x  1(*) Phương trình cho trở thành: a   ( x2  1)b(**) Thay a vào (*) ta được: 1  ( x 1)b   b  1  ( x  1)  b 2 2  x8  x  x   2( x  1)b  ( x  1) x ( x  x  2)  b  x     x ( x  x  2) b 0   ( x  1) Dễ thấy:  x ( x  x  2) 0 x0  ( x  1)2 x = không làm cho b = Suy ra: x5  x  x3   x  Thay vào (**) được: x8  x   x Suy ra: x   Vậy phương trình cho có nghiệm: x   TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thái Hoè, Dùng ẩn dụ để giải toán, NXB Giáo dục, 2003 [2] Phạm Quốc Phong, Các chuyên đề nâng cao toán PTTH ĐS>, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [3] Nguyễn Đức Tấn, Phạm Ngọc Thảo, Phương trình hệ bất phương trình khơng mẫu mực, NXB Giáo dục, 2003 [4] Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục 2002 [5] Phan Đức Chính, Vũ Dương Thuỵ, Đào Tam, Lê Thống Nhất, Các giảng luyện thi môn (T2), NXB Giáo dục, 1999 [6] Phan Huy Khải, Giới thiệu dạng toán luyện thi đại học (Phần 2) , NXB Hà Nội, 2000 [7] Lê Trần Chính, Nguyễn Quý Di, Nguyễn Văn Lộc, Tuyển tập 200 thi vơ địch tốn (tập 2), NXB Giáo dục, 2004 [8] Trần Minh Quang, Đức Huyên, Phương pháp giải cdạng toán đại số, NXB đại hoạ sư phạm 2003 ... Chương Phương trình vơ tỉ 1.1 Định nghĩa 1.2 Các kiến thức thức 1.3 Một số phương pháp giải phương trình vơ tỉ Chương Phương pháp đặt ẩn phụ để giải số phương trình vơ tỉ 2.1 Phương pháp dùng ẩn phụ. .. cho học sinh số kĩ đặt ẩn phụ giải phương trình vơ tỉ, với lòng đam mê nghiên cứu gợi ý giáo viên hướng dẫn em định chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ” Mục tiêu... phụ Phương pháp: Bước 1: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện ẩn phụ ( có) Bước 2: Chuyển phương trình cho phương trình chứa ẩn phụ Giải phương trình chứa ẩn phụ Đối chiếu với điều kiện ẩn phụ nêu để tìm nghiệm