ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI Năm học: 2005 – 2006 Bài 1 (2 điểm). Cho biểu thức A(x) = (x 2 – 4x + 3) 2005 .(x 2 + 4x + 3) 2006 . Gọi S là tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức đã cho. Hãy tính S Giải: Tổng các hệ số của đa thức sau khi bỏ dấu ngoặc là: S = A(1) = (1 – 4 + 3) 2005 (1 + 4 + 3) 2006 = 0 Bài 2 (3 điểm). Chứng minh rằng không thể tìm được hai số lẻ mà tổng các bình phương của chúng bằng bình phương của một số nguyên Giải: Giả sử hai số lẻ có dạng 2m + 1 và 2n + 1 (m, n ∈ Z). Ta có: (2m + 1) 2 + (2n + 1) 2 = 4m 2 + 4m + 1 + 4n 2 + 4n + 1 = 4k + 2 (k ∈ Z) Ta cần chứng minh không có số chính phương nào có dạng 4k + 2. Thật vậy: Xét số nguyên a bất kì, ta có: a = 4q, 4q + 1, 4q + 2, 4q + 3. Khi đó: (4q) 2 = 16q 2 có dạng 4k (4q + 1) 2 = 16q 2 + 16q + 1 có dạng 4k + 1 (4q + 2) 2 = 16q 2 + 16q + 4 có dạng 4k (4q + 3) 2 = 16q 2 + 24q + 9 có dạng 4k + 1 Do đó: không có số chính phương nào có dạng 4k + 2 hoặc 4k + 3 Vậy: không thể tìm được hai số lẻ mà tổng các bình phương của chúng bằng bình phương của một số nguyên Bài 3 (5 điểm). Cho a > 0 a) Chứng minh rằng: Nếu 1 1 a a a a − = + (1) thì: 5 1 =− a a b) Tính giá trị của a Giải: a) (1) ⇔ 1 1 1 a a a a a a      + − = +  ÷ ÷  ÷      ⇔ 1 a 1 a − = Bình phương hai vế: 1 a 3 a + = . Mặt khác ta có: 2 2 2 1 1 1 a a 4 a 5 a a a       − = + − ⇔ − =  ÷  ÷  ÷       Suy ra: 1 a 5 a − = ± . Theo: (1) 1 1 a a a a − = + > 0. Vậy: 1 a 5 a − = b) Từ a) ta có: 1 a 3 a 1 a 5 a  + =     − =   ⇒ 3 5 2a 3 5 a 2 + = + ⇔ = Bài 4 (5 điểm). Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh rằng: ba bất đẳng thức sau không thể đồng thời xảy ra: a + b < c + d (1) (a + b)(c + d) < ab + cd (2) (a + b)cd < (c + d)ab (3) Cách 1: Đặt A = c + d – a – b > 0, B = ab – ac – ad – bc – bd + cd > 0, C = abc + abd – acd – bcd > 0. Xét phương trình P(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = 0 ⇔ x 4 + Ax 3 + Bx 2 + Cx + abcd = 0 Phương trình P(x) = 0 có các hệ số dương, do đó không thể có nghiệm dương. Theo cách đặt thì phương trình P(x) = 0 lại có 2 nghiệm dương a và b (vô lí) ⇒ đpcm. C ách 2: Giả sử 3 bất đẳng thức trên là đúng. Từ (1) và (2) ⇒ (a + b) 2 < ab + cd (*). Từ (2) và (3) ⇒ (a + b) 2 cd < (ab + cd)ab (**). Từ (*) ⇒ a 2 + b 2 + 2ab < ab + cd ⇔ ab + cd > a 2 + b 2 + 2ab ≥ 2ab + 2ab = 4ab 4ab < ab + cd ⇒ cd > 3ab (4) Từ (**) ⇒ 4abcd < (ab + cd)ab ⇒ 4cd < ab + cd ⇒ ab < 3cd (5). Từ (4) và (5) ⇒ đpcm Bài 5 (5 điểm). Cho ∆ABC cho các cạnh BC = a, AC = b, AB = c. Diện tích ∆ABC bằng S. Phân giác của góc A cắt BC ở D và cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ở E. a) Chứng minh: AD 2 = AB.AC – BD.DC b) Chứng minh: cb a AB BD + = c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC theo a, b, c, S Giải: a) ΔADB ΔCDE (g.g) ⇒ AD BD CD DE = ⇒ AD.DE = CD.BD Hay: AD(AE – AD) = BD.CD ⇔ AD 2 = AD.AE – BD.CD (1) ΔABD ΔACE (g.g) ⇒ AB AE AD AC = ⇒ AD.AE = AB.AC (2) Từ (1) và (2) suy ra: AD 2 = AB.AC – BD.CD b) Theo tính chất đường phân giác: AB BD AC CD = ⇒ AB.CD = AC.BD Hay: AB(BC – BD) = AC.BD ⇔ AB.BC = AB.BD + AC.BD ⇔ AB.BC = BD(AB + AC) Do đó: BD BC BD a Hay : AB AB AC AB b c = = + + c) Kẻ đường kính AF và đường cao AH. Ta có: S = 1 2 a.AH ΔAHD ΔAEF (vì có: µ $ D F= ) ⇒ AH AD AE AF = ⇒ AH = AD.AE 2R (3) Từ (1) và (3): bc AH 2R = . Do đó: S = 1 bc a. 2 2R ⇒ R = abc 4S F H D E C B A . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI Năm học: 2005 – 2006 Bài 1 (2 điểm). Cho biểu thức A(x). hai số lẻ mà tổng các bình phương của chúng bằng bình phương của một số nguyên Giải: Giả sử hai số lẻ có dạng 2m + 1 và 2n + 1 (m, n ∈ Z). Ta có: