Tiết 60 ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng ?1 Nhắc lại định lí mối liên hệ diện tích hình thang cong tích phân? Định lí: Cho hàm số y = f(x) liên tục, không âm đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox, đường thẳng x =a, x= b là: b S = ∫ f ( x)dx a H1 Nhãm 1: Tính diện tích hình tròn bán kính R giới hạn đường tròn có phương trình : x2 + y2 = R2 Thực tập sau: Nhóm 2: + Tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x2, trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = + Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 từ so sánh diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = - x2 trục hoành hai đư ờng thẳng x = 1, x = với kết Nhãm 3: Tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x3 3x2 + 6, trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = Nhóm 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 2x + 1, trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = Lời giải Xét đường tròn có phương trình: x2 + y2 = R2 N1 Diện tích hình trịn bán kính R là: S = 4S’ S’ diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = R − x hai đường thẳng x = x = R Ta có: R S' = ∫ R − x dx Đặt x = Rsint, dx = Rcostdt x = t = 0; x = R t = π/2  π R − x = R − R sin t = R cos t (t ∈ 0;  )  2 R S' = ∫ R − x dx π π π + cos 2t R  sin 2t  πR = ∫ R cos t R cos tdt = R ∫ dt = t + 2 = 2  0 0 Vậy S = 4S’ = πR2 Quay lại… N2 Vậy diện tích hình thang cong giới hạn tích hình thang y = giới hạn + Diệnbởi đồ thị hàm sốcongf(x) liên đồtục, âm đoạn [a;b], trụcOx hai thị hàm số y = x2, trục Ox hai thẳng x = 1, x = a, x đườngđường thẳng x = là:= b gì? y y = x2 x3 S1 = ∫ x 2dx = 1 = x + Căn vào hình vẽ nhận thấy: Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm sốthang x2, trục Ox Diện tích hình y = - cong giới hạn đồ thị hàm thẳng x = 1, x = là: hai đường số y = f(x) liên tục, âm đoạn [a;b], trục Ox hai đường thẳng x S2 = S1 = = a, x = b là: b S = ∫ − f ( x )dx a y = - x2 Tiếp tục… N3 Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + , trục Ox hai đường thẳng x = 1, x = là: S = ∫ ( x − 3x + 6)dx  x4 3 =  − x + 6x   1    81  1  =  − 27 + 18  −  − +    4  =6 Quay lại… N4 Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x2 – 2x + , trục Ox hai đường thẳng x = 1, x = là: S = ∫ ( x − 2x + 1)dx  x3 3 =  − x + x  1    27  1  =  − +  −  − + 1   3  = Quay lại… Nhận xét: Từ kết nhóm nhóm Diện tích hình phẳng giới hạn 4, tính diện tích hình phẳng giới đồ thị hàm số: hạn thị hàm số: đồ y = x – 2 + , y = x2 3x y = x3 – 3x + , y = x2 - 2x + 2x + hai đường thẳng x = 1, x hai đường thẳng x = 1, x = ? = là: y= x 2- 2x + y S = S3 – S4 Vậy 10 diện tích hình phẳng =giới hạn đồ thị hàm 6− = số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a;b] hai đường thẳng x = a, x = b bằng? x +6 = ∫ ( x − x + 6)dx − ∫ ( x − x + 1)dx y = x – 3x Tiếp tục… Một số cơng thức cần nhớ a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a;b], trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b là: b S = ∫ f ( x ) dx a b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), = g(x) liên tục đoạn [a;b] hai đường thẳng x = a, x = b b S = ∫ f ( x ) − g( x ) dx a Quay lại… y Một số ví dụ Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 – 1, trục tung, trục hoành đường thẳng x = y Lời giải: Đặt f(x) = x3 – y = x3 - Ta có: f(x) ≤ [0;1] f(x) ≥ [1; 2] Diện tích hình phẳng cần tìm là: S = ∫ x − 1dx = ∫ (1 − x )dx + ∫ ( x −1)dx 11 = + = 4 x Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: f1(x) = x3 – 3x f2(x) = x Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số f1(x) = x3 – 3x f2(x) = x là: y f1(x) =x – 3x  x = −2 x − 3x = x ⇔ x − x = ⇔  x =  x=2  Diện tích hình phẳng cần tìm là: S= ∫ x − x dx −2 x = ∫ ( x − x )dx + ∫ (4 x − x )dx −2  x4   x4  =  − 2x    − +  2x −        = 4+4 =8 f2(x) =x Bài tập vận dụng Thực H1 H1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = – x2, H2 sách đường thẳng x = 3, trục tung trục hồnh giáo khoa! H2 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y = x + Parabol y = x2 + x - H1: Giải: Đặt f(x) = – x2, f(x) ≥ [0; 2] f(x) ≤ [2; 3] nên: 3 23 S = ∫ − x dx = ∫ (4 − x )dx + ∫ ( x − 4)dx = 0 2 H2: 2 Giải: PT hoành độ giao điểm: x2 + x - = x + x = -2; x = Vậy: 32 S = ∫ − x dx = −2 Chú ý: + Để khử dấu giá trị tuyệt đối công thức: b S = ∫ f ( x) − g ( x) dx a Ta thực sau: • Giải phương trình f(x) – g(x) = đoạn [a; b], giả sử pt có nghiệm c, d (a ≤ c < d ≤ b) • Trên đoạn [a;c], [c;d], [d;b] f(x) – g(x) khơng đổi dấu • Trên đoạn đó, chẳng hạn đoạn [c; d], ta có: d d c c S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ [f ( x ) − g ( x )]dx Củng cố: y= - Ghi nhớ công thức tính diện tích hình phẳng y - Bài tập đề nghị: y = x2 - 4x + Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = x2 – 4x +3, y = - 2x + y = 2x – -2 x [ ] + ∫ x − x + − ( x − 6) dx 2 = 2x ] S = ∫ x − x + − ( −2 x + 2) dx y= [ -6 +2 x ... ∫ [f ( x ) − g ( x )]dx Củng cố: y= - Ghi nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng y - Bài tập đề nghị: y = x2 - 4x + Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = x2 – 4x +3, y = - 2x... 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 – 1, trục tung, trục hoành đường thẳng x = y Lời giải: Đặt f(x) = x3 – y = x3 - Ta có: f(x) ≤ [0;1] f(x) ≥ [1; 2] Diện tích hình phẳng. .. tập vận dụng Thực H1 H1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số: y = – x2, H2 sách đường thẳng x = 3, trục tung trục hoành giáo khoa! H2 :Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng