Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán A Đặt vấn đề: Toán môn học chương trình phổ thông Học toán hay giải toán yêu cầu thường xuyên hoạt động suy nghĩ Do dạy học toán nói chung trình dạy học giải toán đại số nói riêng người dạy người học cần phải tạo cho thói quen là: Sau học xong lý thuyết để vận dụng vào việc thực hành có hiệu Người giáo viên phải biết cách phân tích lựa chọn dạng tập Qua thân giáo viên dạy toán suy nghĩ làm để học sinh nắm bài, hiểu biết vân dụng đạt kết cao kỳ thi Cho nên tìm tòi học hỏi đồng nghiệp, tài liệu tham khảo … để hướng dẫn học sinh biết vận dụng sáng tạo, có hiệu “Giải toán vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán” loại toán quen thuộc với học sinh để biết cách phân tích khó Đó điều băn khoăn trăn trở trình giảng dạy Từ nghĩ đế việc vận dụng sáng tạo, có hiệu giải toán vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp hay mà em học sinh chưa biết sử dụng B Nội dung: I Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1) Phương pháp đặt nhân tử chung: A.B + A.C = A ( B + C) 2) Phương pháp dùng đẳng thức: Dùng hạng tử đa thức có dạng đẳng thức 1.( A + B )2 = A2 + 2AB + B2 2.( A - B )2 = A2 - 2AB + B2 3.A2 - B2 = ( A + B )( A - B ) 4.( A + B )3 = A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 5.( A - B )3 = A3 – 3A2B + 3AB2 - B3 6.A3 - B3 = ( A - B )( A2 + AB + B2) 7.A3 + B3 = ( A + B )( A2 - AB + B2) 3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử: 4) Phối hợp phương pháp bản: + Phương pháp đặt nhân tử chung + Phương pháp dùng đẳng thức + Phương pháp nhóm nhiều hạng tử 5)Phương pháp tìm mghiệm đa thức: Người thực : Nguyễn Đình Thanh Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán 6)Phương pháp thêm, bớt hạng tử: 7) Phương pháp tách hạng tử: 8) Phương pháp đặt biến phụ: 9)Phương pháp hệ số bất định: 10.Phương pháp dự vào số mủ: II Một số dạng toán thường gặp: Dang 1: Phân tích đa thức thành nhân tử Dang 2: Tính chia hết Dang 3: Tìm nghiệm nguyên Dang 4: Rút gọn phân thức Dang 5: Giải phương trình Dang 6: Chứng minh Dang 7: Bài toán tìm cực trị III Bài tập vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 1) Các phương pháp thông thường a, Cách làm: + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử + Phối hợp nhiều phương pháp b, Ví dụ: Ví dụ1: Phân tích thành nhân tử A = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm hạng tử) = 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC dùng đẳng thức) = (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung) Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử B = a2 - b2 - 2a + 2b = (a2 - b2) - (3a - 2b) (Nhóm hạng tử) = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC) Người thực : Nguyễn Đình Thanh Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: C = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 C = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 (Nhóm hạng tử) C = 5(a2 - b2) + (a + b)2 (Đặt NTC) C = 5(a + b) (a - b) + (a + b)2 (Đặt NTC) C = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)] (Đặt NTC) C = (a + b)(8a – 2b) Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử D= 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy D = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) (Đặt NTC) D = xy[(x2 - 2x + ) - (y2 + 2y z + z2)] (Nhóm hạng tử) D = 3xy [( x - 1)2 - ( y + z)2] (Dùng đẳng thức) D = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) (Dùng đẳng thức) 2) Một số phương pháp phân tích đa thức khác a) Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung * Cách làm: Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung, đẳng thức * Ví dụ: Ví dụ 1: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) Ví dụ 2: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) Người thực : Nguyễn Đình Thanh Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán b) Phương pháp tìm nghiệm đa thức *Cách làm: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm theo định lý Bơ du ta có: Nếu m nghiệm (1) m chứa nhân tử (x - m), dùng phép chia đa thức ta có: ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai phân tích tiếp dựa vào phương pháp nêu Các phương pháp tìm nghiệm đa thức bậc 3: + Nếu tổng hệ số: a + b + c + d = đa thức có nghiệm x = ⇒ đa thức chứa nhân tử chung (x - 1) + Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ tức a - c = b +d đa thức có x = -1 ⇒ đa thức chứa nhân tử chung (x + 1) + Nếu không xét tổng hệ số ta xét ước hệ số tự d (hệ số không đổi) Nếu ước d làm cho đa thức có giá trị ước nghiệm *Ví dụ: Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – x2 - Ta nhìn thấy nghiệm f(x) có x = ±1; ±2; ±4 , có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: ( x3 − 2x2 ) + ( x2 − 2x ) + ( 2x − 4) = x2 ( x − 2) + x(x − 2) + 2(x − 2) x3 – x2 – = ( ( x − ) x2 + x + = ) Cách 2: ( ) ( ) x3 − x − = x3 − − x2 + = x3 − − x − = ( x − 2)( x2 + x + 4) − ( x − 2)( x + 2) ( )   = ( x − )  x + x + − ( x + 2)  = ( x − 2)( x + x + 2)   Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Nhận xét: ±1, ±5 không nghiệm f(x), f(x) nghiệm nguyên Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ Người thực : Nguyễn Đình Thanh Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán Ta nhận thấy x = nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = ( ) ( ) 3x3 − x − x2 + x + 15 x − = 3x3 − x − x − x + ( 15 x − ) = x (3x −1) − x(3x −1) + 5(3x −1) = (3x −1)( x − x + 5) Vì x − x + = ( x2 − x + 1) + = ( x −1)2 + > với x nên không phân tích thành nhân tử Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Nhận xét: Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Và x4 - x3 + x2 - x - nghiệm nguyên nghiệm hữu tỉ nên không phân tích Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử E1 = x3 + 3x2 - xét tổng hệ số ta thấy a + b + c = + + (-4) = ⇒ x1 = E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) (chia E1 Cho (x - 1) ) Sau dùng phương pháp học để phân tích tiếp E1 = (x - 1) (x + 2)2 Ví dụ 6: Phân tích đa thức thành nhân tử E2 = x3 - 3x + Xét Ư(2) = ± có x = -2 nghiệm E2 ⇒ E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2)) E2 = (x + 2) (x -1)2 Người thực : Nguyễn Đình Thanh Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán c) Phương pháp đặt ẩn phụ * Cách làm: - Làm xuất nhân tử chung - Làm xuất đẳng thức * Ví dụ: Ví dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Ta thấy nghiệm đa thức Ta có: x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – x + ) x = x2 [(x2 + Đặt x - 1 ) + 6(x )+7] x x 1 = y x2 + = y2 + 2, x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 x = (x2 + 3x – 1)2 Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 Ví dụ 3: A = ( x2 + y + z )( x + y + z )2 + ( xy + yz +zx)2 2 2   =  ( x + y + z ) + 2( xy + yz +zx)  ( x + y + z ) + ( xy + yz +zx)   Đặt x + y + z = a, xy + yz + zx = b ta có A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Người thực : Nguyễn Đình Thanh Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán = ( x + y + z + xy + yz + zx)2 Ví dụ 4: B = 2( x4 + y + z ) − ( x2 + y + z )2 − 2( x2 + y + z )( x + y + z )2 + ( x + y + z )4 Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta cú: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 Ta lại có: a – b2 = - 2( x y + y z + z x ) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó; B = - 4( x y + y z + z x ) + (xy + yz + zx)2 = −4 x2 y − y z − z x2 + x y + y z + z x + 8x yz + xy z + 8xyz = xyz ( x + y + z ) Ví dụ 5: (a + b + c)3 − 4(a3 + b3 + c3 ) − 12abc Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + (a + b + c)3 − 4(a3 + b3 + c3 ) − 12abc ) Ta có: C = (m + c)3 – m + 3mn − 4c3 − 3c(m2 - n ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) Ví dụ 6: Phân tích thành nhân tử: D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 y = x2+ x = x(x + 1) D1 = y2 + 4y - 12 D = (y2 - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y) D = y (y - 2) + 6(y - 2) D = (y – 2)(y + 6) Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2) Người thực : Nguyễn Đình Thanh Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán d) Ph ương pháp hệ số bất định : * Cách làm: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) số a-1 a+1 nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự * Ví dụ: Ví dụ x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: số ± 1, ± không nghiệm đa thức, đa thức nghiệm nguyên nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd  a + c = −6  ac + b + d = 12    ad + bc = −14  đồng đa thức với đa thức cho ta có: bd = Xét bd = với b, d ∈ Z, b ∈ { ±1, ±3} với b = d = hệ điều kiện trở thành  a + c = −6  ac = −8 2c = −8 c = −4  ⇒ ⇒  a + c = − 14 ac =  a = −2  bd = Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví dụ 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) Người thực : Nguyễn Đình Thanh Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán  a − = −3 b − 2a = −7 a =   ⇒ b = −5  c − 2b = c = −4   − c = = 2x + (a - 4)x + (b - 2a)x + (c - 2b)x - 2c ⇒  Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví dụ 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy –  ac = 12 bc + ad = −10  a = c =   ⇒ 3c − a = bd = −12 b = −6  d = d − b = 12  ⇒ ⇒ 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) 10.Phương pháp dự vào số mủ: *Cách làm: Đa thức xa + xb + Nếu có a chia dư 2, b chia dư Thêm bớt hạng tử để biến đổi đa thức xa + xb + tích có chứa nhân tử x2 + x + * Ví dụ: Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử x5 + x4 + = x5 + x4 + x3 – x3 – x2 – x + x2 +x + = x3(x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1) + x2 + x + = (x2 + x + 1)(x3 – x + 1) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử x10 + x5 + = x10 + x9 + x8 - x9– x8 – x7 + x7 + x6 +x5 – x6 –x5 – x4 + x5 + x4 + x3 – x3 – x2 – x + x2 + x + = x8(x2 + x + 1) - x7 (x2 + x + 1) + x5(x2 + x + 1) – x4(x2 + x + 1) +x3(x2 + x + 1) - x2(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)( x8- x7 + x5 – x4 +x3 - x2 + 1) Người thực : Nguyễn Đình Thanh Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán IV Một số tập phân tích đa thức thành nhân tử tập vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử ( Gợi ý: Dùng đẳng thức) a) 25x2 - 10xy + y2 b) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3 c) 81x2 – 64y2 d) (xy + 4)2 – (2x + 2y)2 e) ( a + b − ) − ( ab + ) 2 f) ( a + b + c ) − a − b − c 3 ( Dùng đẳng thức số 3) ( Dùng đẳng thức số 7) Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhóm hạng tử) 2 2 a) x + x + x + b) x z + x yz − x z − xyz c) x2y + xy2 – x – y d) 8xy3 – 5xyz – 24y2 + 15z e) x3 + y(1 – 3x2) + x(3y2 – 1) – y3 f) x3 + 3x2y + x + 3xy2 + y + y3 Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp tách hạng tử) a) x2 - 6x + b) x2 – 8x + 12 2 c) a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a − b ) d) x3 – 7x – ( Tách c - a = c - b + b - a) ( Tách - 7x = -4x - 3x ) Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp thêm - bớt hạng tử ) a) x4 + b) a4 + 64 c) x5 + x + d) x5 + x - Bài 4*: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp đặt ẩn phụ) Bài giải mẫu : (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Đặt: x2 + x + = y , ta có x2 + x + = y + Ta có: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12 = y2 – + y – = (y – 3)(y + 3) + (y – 3) = (y – 3)(y + 4) Thay x2 + x + = y , ta : (x2 + x + – 3)( x2 + x + + 4) = (x2 + x – 2)( x2 + x + 5) = [(x – 1)(x + 1) + (x – 1)]( x2 + x + 5) = (x - 1)(x + 2)( x2 + x + 5) a) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15 b) (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) – 24 2 c) (x + 8x + 7)( x + 8x + 15) + 15 d) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phối hợp nhiều phương pháp ) a) x2 + 4xy + 3y2 b) 2x2 - 5xy + 2y2 ( Tách -5xy = -4xx - xy) c) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) d) 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2 Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm) Định lí ( Bedu) : Dư phép chia f(x) cho x - a số a Suy : Nếu f(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, f(x) có nhân tử x – a f(x) viết dạng f(x) = (x – a).q(x) Bài giải mẫu : Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 3x + thành nhân tử Với x = -1 ( Dùng MTBT để tìm nghiệm) Ta có : (-1)3 - 5.(-1)2 + 3.(-1) + = -1 - -3 + = Vậy x = -1 nghiệm đa thức nên đa thức chia hết cho x - (-1) = x + Từ sở trên, ta phân tích đa thức thành : x3 – 5x2 + 3x + = x3 + x2 – 6x2 - 6x + 9x + ( Để làm xuất hiên nhân tử x + 1) Người thực : Nguyễn Đình Thanh 10 Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán = ( x3 + x2) – ( 6x2 + 6x) + ( 9x + ) = x2( x + 1) - 6x( x + 1) + 9( x + 1) = (x + 1)( x2 - 6x + 9) = ( x + 1)( x - 3)2 a) x2 – 7x + 10 b) x2 – 3x – c) x − x − 12 d) x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) e) bc(b + c) + ac(c – a) – ab(a + b) f) x2 y + xy2 + x2 z + xz2+ y2 z + yz2 + 2xyz Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm hoán vị vòng) Bài giải mẫu : Phân tích đa thức a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) thành nhân tử Xem đa thức với ẩn a Thay a = b Ta có : b(b2 – c2) – b(b2 – c2) + c(b2 – b2) = Vậy a = b nghiệm đa thức nên đa thức chia hết cho a - b Mặt khác: a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2) nên vai trò a, b c nhau, suy đa thức chia hết cho b - c; c -a + Bậc đa thức cho Suy : a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = k(a-b)(b-c)(c-a) Với k ∈ Z Cho a = 0; b = 1; c = Ta có : ×( 12 − 2 ) − ×( 02 − 2 ) + ×( 02 − 12 ) = k ( − 1) ( − ) ( − ) ⇔ = 2k ⇔ k = Vậy a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) = (a-b)(b-c)(c-a) a) (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3 b) (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 c) ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) d) bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc 2.BÀI TẬP VẬN DỤNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Tìm x , biết : a) (2x – 1)2 – (x +3)2 = b) 5x(x – 3) + – x = 2 2 c) (5x + 3x – ) = (4x – 3x – ) d) x3 + 27 + (x + 3)(x – 9) = Bài 2: Chứng minh rằng: n3 – n chia hết cho với n ∈ Z Bài 3: Cho a, b , c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh : a3 + b3 + c3 = 3abc Bài 4: Chứng minh rẳng : a) 24 n M b) 55n+1 – 552 chia hết cho 54 15 Bài 5: Cho x + y = -3 x.y = -28 Tính giá trị biểu thức sau theo m,n a) x2 + y2 b) x3 + y3 c) x4 + y4 2 Bài 6: a) Cho a + b + c + = ( a + b + c ) Chứng minh : a = b = c = b) Cho ( a + b + c ) = ( ab + ac + bc ) Chứng minh : a = b = c ( nhân vế cho 2) Chuyển dạng bình phương tổng hiệu Bài 7: Người thực : Nguyễn Đình Thanh 11 Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán a) Cho a +b +c = a2 + b2 + c2 = 2.Tính giá trị : a4 + b4 + c4 b) Cho số x,y,z thỏa mãn điều kiện : x + y + z = xy + yz + zx = Hãy tính giá trị Biếu thức : S = (x-1)2011 + (y - 1)2012 + (z +1)2013 Bài 8: Chứng minh rằng: a) a + b + c + d ≥ ab + ac + ad b) a + 4b + 4c ≥ 4ab − 4ac + 8bc Bài 9: Chứng minh rằng: Nếu x + y + z = x3 + y3 + z = 3xyz Bài 10: Chứng minh : a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc ( Viết dạng bình phương tổng) Bài 11: Rút gọn tính giá trị biểu thức M= a − 4a − a + với a = 102 a − a + 14a − Bài 12: Giải phương trình sau: a) y2 - 5y + = Bài 13: Chứng minh đa thức sau a) A = (a2 + 3a + 1)2 - chia hết cho 24 Với a số tự nhiên b) B = 25m4 + 50m3 - n2 - 2n chia hết cho 24 Với n số nguyên dương tuỳ ý Bài 14: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12 Người thực : Nguyễn Đình Thanh 12 ... đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán IV Một số tập phân tích đa thức thành nhân tử tập vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài 1: Phân tích. .. Thanh Chuyên đề: Vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: C = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 C = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 (Nhóm hạng tử) C = 5(a2... + 2xyz Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử : ( Dùng phương pháp nhẩm nghiệm hoán vị vòng) Bài giải mẫu : Phân tích đa thức a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2) thành nhân tử Xem đa thức với