MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Bài 1: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên tia By sao cho · COD = 90 0 . a/ Chứng minh CD = AC + BD b/ Kẻ OM ⊥ CD tại M, gọi N là giao điểm AD với BC. Chứng minh MN//AC (Đề thi HSG quận Tân Bình 1995 – 1996) Giải: a/ Chứng minh CD = AC + BD Nối CO cắt DB tại E. Xét ∆ ACO và ∆ BOE có: · · OAC OBE= ( = 90 0 ); · · AOC BOE= (đđ); OA = OB (gt) => ∆ ACO = ∆ BOE (g,c,g) => AC = BE và OC = OE ∆ DCE có DO là đường trung tuyến và là đường cao nên ∆ DCE cân tại D => CD = DE. Mà DE = DB + BE = DB + AC => CD = AC + BD b/ Chứng minh MN//AC: Vì ∆ DCE cân tại D => DO là phân giác; OM = OB => OM = OA => ∆ ACO = ∆ MCO (ch,cgv) => MC = CA Tương tự: ∆ ODM = ∆ ODB => MC = CA Tam giác CAN có AC//BD (cùng vuông góc với AB) nên AN AC ND BD = (hệ quả đònh lý Talet) Hay AN CM ND MD = => MN//AC Bài 2: Cho ∆ ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác góc ACB (D thuộc AB) qua D kẽ đường vuông góc với CD; đường này cắt đường thẳng CB tại E. Chứng minh BD = 1/2EC (Đề thi HSG quận 1, 95 – 96) Giải: Gọi K là trung điểm EC. Tam giác vuông EDC vuông tại D có KD là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DK = EC 2 và DK = KC Vậy tam giác KDC cân tại K => ¶ ¶ 1 2 D C= Mà ¶ ¶ 1 2 C C= (gt) => ¶ ¶ ¶ 1 1 2 D C C= = Ta có: · ¶ ¶ 1 2 DKB D C= + = ¶ ¶ 1 2 C C+ = · ACB (góc ngoài tại đỉnh K của ∆ DCK) => · · DKB DBC= (do ∆ ABC cân tại A) => ∆ DBK cân tại D => BD = DK = EC/2 Bài 3: Cho ∆ ABC có µ A = 30 0 . Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. Chứng minh AD 2 = AB 2 + AC 2 (Đề thi HSG quận 6, 97 – 98) Giải: Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chưa điểm B vẽ tia Ax sao cho · xAC = 60 0 Trên tia Ax lấy E sao cho AE = AC => ∆ AEC đều Ta có: · · · BAE BAC CAE= + = 30 0 + 60 0 = 90 0 ∆ ABE vuông tại A cho ta: BE 2 = BA 2 + AE 2 Hay BE 2 = AB 2 + AC 2 (1) Mặt khác: · · · BCE BCA ACE= + = · BCA + 60 0 => · · BCE ACD= Xét ∆ ACD và ∆ ECB có: · · BCE ACD= ; AC = CE; CD = CB => ∆ ACD = ∆ ECB (c-g-c) => DA = BE (2). Từ (1) và (2) suy ra: AD 2 = AB 2 + AC 2 A BO C D N M E A B C K D 1 1 2 E A B D C x E Bài 4: Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kỳ thuộc đoạn AC (B ≠ A; B ≠ C). Tia Bx vuông góc với AC. Trên tia Bx lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD = BA và BE = BC. a/ Chứng minh CD = AE và CD ⊥ AE b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, CD. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC. c/ Tìm vò trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trò lớn nhất. Tính giá trò lớn nhất này theo m. (Đề thi HSG toán 8 quận Tân Bình 2000 – 2001) Giải: a/ Chứng minh CD = AE và CD ⊥ AE Ta có ∆ ABE = ∆ DBC (c-g-c) => CD = AE Gọi F là giao điểm của AE và CD, ta có: · · AEB DEF= (đđ) và · · EAB BDC= ( ∆ ABE = ∆ DBC) => · · · · AEB EAB DEF BDC+ = + Mà · · AEB EAB+ = 90 0 => · · DEF BDC+ = 90 0 => · DFE = 90 0 hay AE ⊥ CD tại F b/ Gọi M’, N’, I’ lần lượt là hình chiếu của M, N, I xuống AC ∆ AEB có M là trung điểm của AE, MM’//BE (cùng vuông góc với AC) => MM’ là đường trung bình của ∆ AEB => MM’ = 1/2BE hay MM’ = 1/2BC Chứng minh tương tự, ta có NN’ là đường trung bình của ∆ BCD => NN’ = 1/2BD hay NN’ = 1/2AB Tứ giác MNM’N’ có MM’//NN’ (cùng vuông góc AC) => MNN’M’ là hình thang I là trung điểm của MN; I I’//MM’//NN’ => I I’ là đường trung bình của hình thang MNN’M’ => I I’ = MM' NN' BC AB AC m 2 4 4 4 + + = = = (không đổi) c/ Vì ∆ ABE’ = ∆ DBC nên S ABE = S DBC => S ABE + S DBC = 2S ABE 2S ABE = 2.1/2AB.BE = AB.BE = AB.BC Vì AB > 0; Bc > 0 mà tổng AB + BC = AC = m (không đổi) nên tích Onthionline.net MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC (2011 - 2012) µ = 1200 ; B µ = 1000 , C µ −D µ = 200 Tính góc C D Bài 1: Tứ giác ABCD có A µ = 2D µ Tính số đo góc A D Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD), có A Bài 3: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD) Kẻ đường cao AH, BK hình thang Chứng minh DH = CK Bài 4: Cho hình thang ABCD (AB //CD) Gọi E F theo thứ tự trung điểm AD BC Gọi K giao điểm AC EF a) Chứng minh AK = KC b) Biết AB = cm, CD = 10cm Tính độ dài EK, KF Bài 5: Một hình vuông có cạnh 1dm Tính độ dài đường chéo hình vuông Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi D, M, E theo thứ tự trung điểm AB, BC, CA a) Chứng minh tứ giác ADME hình bình hành b) Nếu tam giác ABC cân A tứ giác ADME hình gì: Vì sao? c) Nếu tam giác ABC vuông A tứ giác ADME hình gì: Vì sao? d) Nếu tam giác ABC vuông cân A tứ giác ADME hình gì: Vì sao? e) Khi tam giác ABC vuông A , cho biết AB = 6, AC = 8, Tính AM Bài 7: Cho góc vuông xOy, điểm A nằm góc Gọi B điểm dối xứng với A qua Ox, gọi C điểm đối xứng với A qua Oy Chứng minh điểm B đối xứng với điểm C qua điểm O Bài 8: Cho tam giác ABC, cạnh BC lấy hai điểm M N cho BM = MN = NC S∆AMC = 12m2 Tính diện tích tam giác ABC Bài 9: Tam giác ABC cân A có BC = cm; đường cao Ah = cm a) Tính diện tích tam giác ABC b) Tính đường cao tương ứng với cạnh bên Bài 10: Mỗi đường chéo tứ giác ABCD chia tứ giác thành hai phần có diện tích Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành Bài 11: Cho tứ giác ABCD Vẽ hình bình hành BDCE Chúng minh SABCD = SACE 1 DÙNG TÍNH DUY NHẤT CỦA HÌNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP HÌNH HỌC I-Kiến thức cơ sở: 1. Qua hai điểm phân biệt chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng. 2. Hai đường thẳng phân biệt nếu có điểm chung thì có duy nhất một điểm chung. 3. Qua điểm A ở ngài đường thẳng d chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với d. Hệ quả: Cho điểm A và đường thẳng d, chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng qua A và vuông góc với d. 4. Trên tia Ox có duy nhất một điểm M sao cho OM = m (đvđd) . Tính chất: Cho đoạn thẳng AB và số k không âm, có duy nhất một điểm M chia trong hay chia ngoài đoạn AB theo tỉ số k. Chứng minh: Xét trường hợp M chia trong đoạn AB. Ta có . 1 MA k AB k MA MB k     Do AB không đổi, k cho trước nên M là duy nhất. Xét trường hợp M chia ngoài đoạn AB. Chứng minh tương tự. 5. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox có duy nhất một tia Oy sao cho góc xOy = m. (0°<m<180°). II- Một số bài tập Phương pháp này thường được áp dụng khi giải các bài toán đảo, các bài toán liên quan đến chứng minh tính thẳng hàng và đồng quy. Bài 1: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, lấy I trên đoạn AM sao cho 2 3 AI AM  . Chứng minh I là trọng tâm của tam giác ABC 2 Hướng giải: Dựng trung tuyến BN cắt AM tại G thì G là trọng tâm tam giác ABC và AG = (2/3)AM. Suy ra AG = AI, do I, G cùng nằm trên đoạn AM nên I trùng G. Vậy I là trọng tâm tam giác ABC. Bài 2: Cho góc xOy khác góc bẹt, trên tia Ox lấy hai điểm A, B, trên tia Oy lấy điểm C: góc OCA = góc ABC. Chứng minh CO là tiếp tuyến của (ABC) Hướng giải: m A C O B Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa BC dựng tia Cm sao cho Cm là tiếp tuyến của (ABC). Thế thì góc ACm = góc ABC (hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung), nhưng góc OCA = góc ABC (gt), suy ra góc OCA = góc ACm. Hai tia CO và Cm cùng tạo với tia CA hai góc bằng nhau nên chúng trùng nhau. Mà Cm là tiếp tuyến của (ABC) nên CO là tiếp tuyến của (ABC). Cách khác: Kẻ đường kính CD của (ABC), thế thì góc ABC = góc ADC = góc OCA và góc CAD = 1v. Suy ra được góc OCD = 1v, hay CO là tiếp tuyến của (ABC) Nhận xét: Hiển nhiên, dùng tính duy nhất của hình không phải là cách duy nhất để giải bài tập. G I N M A B C m D A C O B 3 Bài 3: Cho tam giác ABC, trên đoạn thẳng BC lấy điểm D sao cho (DB/DC)= (AB/AC). Chứng minh AD là phân giác góc A. Hướng giải: Dựng tia phân giác của góc A, cắt BC tại D'. Ta đi chứng minh D trùng D'. Do AD' là phân giác góc A nên theo t/c phân giác ta có: (D'B/D'C)= (AB/AC). Suy ra (DB/DC)= (D'B/D'C). D và D' chia trong đoạn DC theo cùng một tỉ số nên D trùng D'. ta có đpcm Bài 4: Từ điểm A bên ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC tới (O). Cát tuyến AEF không qua O. Chứng minh hai tiếp tuyến tại E và F của (O) cắt nhau tại một điểm trên BC. Hướng giải: Do cát tuyến không qua O nên các tiếp tuyến tại E, F cắt nhau tại P, Khi đó dễ thấy OP vuông góc với EF tại H. Giả sử OH cắt BC tại Q ta sẽ chứng minh P trùng Q bằng cách chứng minh QE, QF cũng là tiếp tuyến của (O). Dễ thấy OA vuông góc với BC tại I. D A B C I H P =Q E C B O A F 4 Ta cũng c/m được OH.OQ = OI.OA = OB 2 =OF 2 Suy ra △OHF đồng dạng △OFQ ⇒ Một số bài hình học phẳng hay, và khó đã sưu tầm và giải. Bùi Đình Hiếu NTH 52vlpt.vn-Mạo Hỡi k2pi.net Bài 1:(Trích đề HSG số 10 diễn đàn k2pi.net năm học 2013-2014) Cho hình thang ABCD vuông ở A và B thảo mãn 11 23 AD AB BC . Gọi hình chiếu vuông góc các trung điểm của AB và CD xuống đường thẳng AC là H và N.Biết 6 13 HN  C(2; 4). Đỉnh A thuộc đường thẳng 5x+4y-4=0, đường thẳng 8x-5y- 11=0 đi qua đỉnh B. Xác định tọa độ các đỉnh A, B, D. Bài giải:(Bùi Đình Hiếu) Đây là một bài toán hay, mới,vì mình lấy ý tưởng từ bài toán hình học vec-tơ của lớp 10. Đặt AD=a. Gọi I,J là trung điểm của AB và CD. Hình chiếu vuông góc của D xuống BC là E. Ta có: 2 2 2 2 2 2 4 . 3 . ( ) . 11 .13 6 . 22 . 2 ABBD ABBA a BCBD BC BE a ACBD AB BC BD ABBD ABBD a AC BD ACIJ AC a a a                   Mặt khác: 6 13 . 13 a ACIJ ACHN a HN HN    Theo bài ra ta có a=1. Từ đó: 22 3; 13.BC AC AB BC    Chú ý bài cho C(2; 4). Đỉnh A thuộc đường thẳng 5 4 4 0;8 5 11 0x y x y      đi qua đỉnh B. Bài toán đưa về tương giao đường thẳng và đường tròn. Tìm ra 56 111 (0;1); ; 41 41 AA     C(2; 1)hoặc 418 473 ; 89 89 C    Bài 2:(Đề thi HSG k2pi.net lần 6 2013-2014) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): x-y+1=0, và đường tròn: 22 ( ): 2 4 4 0C x y x y     Tìm điểm M thuộc (d) sao cho qua M kẻ được các tiếp tuyến MA, MB, đồng thời khoảng cách từ 1 0; 2 N    đến đường thẳng đi qua A, B là lớn nhất. Lời giải: (Nguyễn Hữu Tú) Tâm I(1;-2) Ta có điểm M thuộc d nên M(a;a+1) Gọi K trung điểm của MI thì K 11 ; 22 aa    Đường tròn (C') tâm K,đường kính MI có phương trình 22 2 22 1 1 2 5 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 0 a a a a xx x y a x a y a                              Dễ thấy AB là giao điểm của (C) và (C') AB là trục đẳng phương của hai đường tròn nên có phương trình (1 ) ( 3) 2 0a x a y a      Khoảng cách từ N đến AB là / 22 7 () 2 (1 ) ( 3) Nd a d f a aa      Khảo sát hàm số f(a) ta được () 34 3 42 fa max a    Do đó 31 ; 22 M     Bài 3:(Trích đề thi HSG số 8 diễn đàn k2pi.net, năm học 2013-2014)Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AB ngoại tiếp đường tròn bán kính r và nội tiếp đường tròn bán kính R mà 2 7 3 R r  . Biết phương trình đường thẳng AB là 2x- 4y+5=0. Biết đường thẳng AD qua N(8; 5). Xác định toạ độ điểm A? Bài giải:(Bùi Đình Hiếu) Gọi E và F là trung điểm của DC,AB, và I là tâm đường tròn nội tiếp hình thang. Nên ta có I là trung điểm của EF. Đặt BAD   thì ta có: 2 . sin r AD BC   Đặt AB=x, CD=y thì: 4 cot .x y r   4 ;( ). sin r x y AB CD AD BC       1 cos 1 cos 2 . ; 2 . sin sin x r y r       2 2 2 2 2 2 2 22 1 cos 4 1 cos 2 . .cos 4 8 cos . sin sin sin r BD AB AD AB AD BAD r r                 2 22 2 2 2 2 cos 1 1 4 4 1 2 2 . 1 . sin sin sin r r BD r r                Do 2 1 2 .sin 2 1 sin BD R r      Nên theo giả thiết 2 7 3 R r  42 2 21 7sin 1 28sin 9sin 9 0. 3 sin            Giải ra ta có : 3 sin ( sin 0). 2 do   Vậy 60 . o BAD   Phương trình đường thẳng AD có dạng: ( 8) ( 5) 0 8 5 0.A MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC Bài 1: Cho đoạn thẳng AB, gọi O là trung điểm AB. Vẽ về một phía của AB các tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy C trên Ax, D trên tia By sao cho · COD = 90 0 . a/ Chứng minh CD = AC + BD b/ Kẻ OM ⊥ CD tại M, gọi N là giao điểm AD với BC. Chứng minh MN//AC (Đề thi HSG quận Tân Bình 1995 – 1996) Giải: a/ Chứng minh CD = AC + BD Nối CO cắt DB tại E. Xét ∆ ACO và ∆ BOE có: · · OAC OBE= ( = 90 0 ); · · AOC BOE= (đđ); OA = OB (gt) => ∆ ACO = ∆ BOE (g,c,g) => AC = BE và OC = OE ∆ DCE có DO là đường trung tuyến và là đường cao nên ∆ DCE cân tại D => CD = DE. Mà DE = DB + BE = DB + AC => CD = AC + BD b/ Chứng minh MN//AC: Vì ∆ DCE cân tại D => DO là phân giác; OM = OB => OM = OA => ∆ ACO = ∆ MCO (ch,cgv) => MC = CA Tương tự: ∆ ODM = ∆ ODB => MC = CA Tam giác CAN có AC//BD (cùng vuông góc với AB) nên AN AC ND BD = (hệ quả đònh lý Talet) Hay AN CM ND MD = => MN//AC Bài 2: Cho ∆ ABC cân tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác góc ACB (D thuộc AB) qua D kẽ đường vuông góc với CD; đường này cắt đường thẳng CB tại E. Chứng minh BD = 1/2EC (Đề thi HSG quận 1, 95 – 96) Giải: Gọi K là trung điểm EC. Tam giác vuông EDC vuông tại D có KD là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên DK = EC 2 và DK = KC Vậy tam giác KDC cân tại K => ¶ ¶ 1 2 D C= Mà ¶ ¶ 1 2 C C= (gt) => ¶ ¶ ¶ 1 1 2 D C C= = Ta có: · ¶ ¶ 1 2 DKB D C= + = ¶ ¶ 1 2 C C+ = · ACB (góc ngoài tại đỉnh K của ∆ DCK) => · · DKB DBC= (do ∆ ABC cân tại A) => ∆ DBK cân tại D => BD = DK = EC/2 Bài 3: Cho ∆ ABC có µ A = 30 0 . Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. Chứng minh AD 2 = AB 2 + AC 2 (Đề thi HSG quận 6, 97 – 98) Giải: Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chưa điểm B vẽ tia Ax sao cho · xAC = 60 0 Trên tia Ax lấy E sao cho AE = AC => ∆ AEC đều Ta có: · · · BAE BAC CAE= + = 30 0 + 60 0 = 90 0 ∆ ABE vuông tại A cho ta: BE 2 = BA 2 + AE 2 Hay BE 2 = AB 2 + AC 2 (1) Mặt khác: · · · BCE BCA ACE= + = · BCA + 60 0 => · · BCE ACD= Xét ∆ ACD và ∆ ECB có: · · BCE ACD= ; AC = CE; CD = CB => ∆ ACD = ∆ ECB (c-g-c) => DA = BE (2). Từ (1) và (2) suy ra: AD 2 = AB 2 + AC 2 A BO C D N M E A B C K D 1 1 2 E A B D C x E Bài 4: Cho đoạn thẳng AC = m. Lấy điểm B bất kỳ thuộc đoạn AC (B ≠ A; B ≠ C). Tia Bx vuông góc với AC. Trên tia Bx lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD = BA và BE = BC. a/ Chứng minh CD = AE và CD ⊥ AE b/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, CD. Gọi I là trung điểm của MN. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC. c/ Tìm vò trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trò lớn nhất. Tính giá trò lớn nhất này theo m. (Đề thi HSG toán 8 quận Tân Bình 2000 – 2001) Giải: a/ Chứng minh CD = AE và CD ⊥ AE Ta có ∆ ABE = ∆ DBC (c-g-c) => CD = AE Gọi F là giao điểm của AE và CD, ta có: · · AEB DEF= (đđ) và · · EAB BDC= ( ∆ ABE = ∆ DBC) => · · · · AEB EAB DEF BDC+ = + Mà · · AEB EAB+ = 90 0 => · · DEF BDC+ = 90 0 => · DFE = 90 0 hay AE ⊥ CD tại F b/ Gọi M’, N’, I’ lần lượt là hình chiếu của M, N, I xuống AC ∆ AEB có M là trung điểm của AE, MM’//BE (cùng vuông góc với AC) => MM’ là đường trung bình của ∆ AEB => MM’ = 1/2BE hay MM’ = 1/2BC Chứng minh tương tự, ta có NN’ là đường trung bình của ∆ BCD => NN’ = 1/2BD hay NN’ = 1/2AB Tứ giác MNM’N’ có MM’//NN’ (cùng vuông góc AC) => MNN’M’ là hình thang I là trung điểm của MN; I I’//MM’//NN’ => I I’ là đường trung bình của hình thang MNN’M’ => I I’ = MM' NN' BC AB AC m 2 4 4 4 + + = = = (không đổi) c/ Vì ∆ ABE’ = ∆ DBC nên S ABE = S DBC => S ABE + S DBC = 2S ABE 2S ABE = 2.1/2AB.BE = AB.BE = AB.BC Vì AB > 0; Bc > 0 mà tổng AB + BC = AC = m (không đổi) nên tích ONTHIONLINE.NET BÀI TOÁN HÌNH HỌC ÔN THI KÌ I – DÀNH CHO LỚP Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Kẻ HD ⊥ AB HE ⊥ AC ( D∈ AB , E ∈