SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức PHẦN I: LÍ LỊCH Họ tên: PHẠM XUÂN HÀ Chức vụ : Phó hiệu trưởng Đơn vị công tác : Trường THCS Đình Cao Tên sáng kiến kinh nghiệm : PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC N¨m häc 2013-2014 Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức PHẦN II: NỘI DUNG A - MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề : 1) Thực trạng vấn đề Ngày phát triển tất nghành khoa học ứng dụng vào tất ngành công nghiệp then chốt : dầu khí , viễn thông , hàng không , thiếu toán học Sự đời phát triển mạnh mẽ công nghệ thông tin dẫn đến bùng nổ ứng dụng toán học, đưa lại hiệu to lớn cho đời sống xã hội Toán học có vị trí đặc biệt việc nâng cao phát triển dân trí Toán học không cung cấp cho học sinh ( người học toán) kĩ tính toán cần thiết mà điều kiện chủ yếu rèn luyện khẳ tư lôgic , phương pháp luận khoa học Trong việc dạy học toán việc tìm phương pháp dạy học giải tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc , hệ thống tập , sử dụng phương pháp dạy học để góp phần hình thành phát triển tư học sinh Đồng thời qua việc học toán học sinh cần bồi dưỡng , rèn luyện phẩm chất đạo đức, thao tác tư để giải tập toán có tập bất đẳng thức toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư , trí tuệ cho học sinh Tuy nhiên giải toán bất đẳng thức toán khó phạm vi kiến thức rộng đặc biệt với học sinh THCS Là giáo viên dạy THCS thấy thực trạng dạy toán bất đẳng thức là: - Giáo viên dạy bất đẳng thức chữa tập xong , khai thác , phân tích đề tài mở rộng toán dẫn đến học sinh gặp toán khác chút không giải - Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức kiến thức không liền mạch, phương pháp giải hạn chế , toán bất đẳng thức thường khó , phải áp dụng kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng nên học Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức sinh hay ngại học sinh chưa vận dụng toán bất đẳng thức vào để giải toán khó : cực trị , hàm số Vì vậy: phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức cần thiết Trong năm giảng dạy thực tế ,tôi tích luỹ số kiến thức toán bất đẳng thức xin trình bày góc độ nhỏ 2)Ý nghĩa, tác dụng đề tài: *Đối với giáo viên : - Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho trình giảng dạy - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức *Đối với học sinh: - Giúp học sinh học tập môn toán nói chung việc giải tập chứng minh bất đẳng thức nói riêng.Trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học môn toán giúp em tiếp thu cách chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan đến bất đẳng thức - Gây hứng thú cho học sinh làm tập SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải số tập - Giải đáp thắc mắc , sửa chữa sai lầm hay gặp giải toán bất đẳng thức trình dạy học - Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phương pháp vận dụng thành thạo phương pháp để giải tập - Thông qua việc giải toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học toán học tốt toán bất đăng thức 3)Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài: -Đối tượng nghiên cứu: Phát triển lực tư học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức học sinh lớp lớp THCS - Phạm vi nghiên cứu: Một số toán Bất đẳng thức chương trình Toán lớp lớp THCS Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức I) Phương pháp tiến hành 1) Cơ sở lý luận thực tiễn: Thế tư duy? “Tư trình nhận thức phản ánh thuộc tính chất, mối quan hệ có tính quy luật vật tượng thực khách quan” ( Phạm Minh Hạc, Phạm Hoàng Gia, Trần Trọng Thủy, Nguyễn Quang Uẩn (1992), (trong Tâm lý học, Nxb Giáo dục, Hà Nội) “Tư trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngôn ngữ- trình tìm tòi sáng tạo yếu, trình phản ánh cách phần hay khái quát thực tế phân tích tổng hợp Tư sinh sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính vượt xa giới hạn nó” (Sacđacov M N (1970), Tư học sinh, Nxb Giáo dục, Hà Nội) Năng lực tư khả năng, phẩm chất tâm sinh lý óc người, vừa tự nhiên bẩm sinh, “sẵn có”, vừa sản phẩm lịch sử, sản phẩm lịch sử phát triển xã hội Cái vốn có tự nhiên thông qua rèn luyện thực tiễn trở nên sức mạnh thật có hiệu người xã hội Tư toán học không thành phần quan trọng trình hoạt động toán học học sinh, thành phần mà, thiếu phát triển cách có phương hướng đạt dược hiệu việc truyền thụ cho học sinh hệ thống kiến thức kỹ toán học” Vì , Việc phát triển tư cho học sinh qua môn Toán nói chung phần bất đẳng thức nói riêng cần thiết thực theo ba hướng liên quan chặt chẽ với nhau: * Làm cho học sinh nắm vững, hiểu sử dụng liên kết logic: và, hoặc, thì, phủ định, lượng từ tồn khái quát, * Phát triển khả định nghĩa làm việc với định nghĩa * Phát triển khả hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh độc lập tiến hành chứng minh vá suy luận mở rộng 2) Các biện pháp tiến hành: - Nghiên cứu đưa hệ thống lý thuyết dựa vào SGK , tài liệu tham khảo Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức - Đưa tập mẫu (tình có vấn đề) , sai lầm thường gặp cách khắc phục -Hệ thống tự giải (Hs tự luyện) -Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, suy luận logic tìm hướng giải B – NỘI DUNG I) Mục tiêu:.Phát triển tư học sinh thông qua: -Một số kiến thức bất đẳng thức phù hợp với trình độ nhận thức học sinh THCS -Trang bị cho học sinh số phương pháp giải toán bất đẳng thức , áp dụng để làm tập -Rút số nhận xét ý làm phương pháp -Chọn lọc , hệ thống số dạng tập hay gặp cho phù hợp với phương pháp giải , cách đổi biến -Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải toán cực trị, giải số phương trình dạng đặc biệt II) Nội dung: II.1/ Một số kiến thức bất đẳng thức(BĐT) 1) Định nghĩa : Các mệnh đề dạng "a < b", "a > b", "a ≤ b" "a ≥ b" gọi bất đẳng thức Trong kí hiệu a b biểu thức biến., a gọi là vế trái, b vế phải BĐT Các tính chất bất đẳng thức : 2.1 a>b ⇔ bb, b>c ⇔ a>c 2.3.Tính chất đơn điệu phép cộng : cộng số vào hai vế bất đẳng thức: a>b ⇔ a+c>b+c 2.4.Cộng vế hai bất đẳng thức chiều bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho: a>b, c > d ⇔ a+c > b+d * Chú ý : Không trừ vế hai bất đẳng thức chiều Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức 2.5.Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ Nếu a > b , c < d a-c > b-d 2.6 Tính chất đơn điệu phép nhân : a) Nhân hai vế bất đẳng thức với số dương a > b , c>0 ⇔ a.c > b.c b) Nhân hai vế bất đẳng thức với số âm a >b , cd≥ ac>bd 2.8 Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế bất đẳng thức a>b>0 ⇔ an >bn a>b ⇔ an >bn với n= 2k ( k ∈ Z) 2.9 So sánh hai luỹ thừa số với số mũ nguyên dương Với m > n > : - Nếu a >1 am > an - Nếu a=1 am = an - Nếu 0 a< b” ( dấu “0 Đẳng thức xảy a=b a b a+b • a b + ≥ với ab>0 Đẳng thức xảy a=b b a • (a x+by)2 ≤ (a2 + b2) (x2 + y2) với a,b ,x,y Đẳng thức xảy a b = ( BĐT Bunhia cop-ki cho số (a,b) (x,y)) x y II.2- Một số toán chứng minh bất đẳng thức đại số Chứng minh BĐT dạng toán mà học sinh ‘ngại’ dạng toán mức độ tương đối khó,phải vận dụng khả kinh nghiệm thân làm Chính để giải tốt toán BĐT , học sinh cần có kiến thức lý thuyết vững vàng, hệ thống tri thức phương pháp đầy đủ, tư hướng (đặc biệt khó, áp dụng BĐT phụ…) Sau số phương pháp ví dụ áp dụng từ đơn giản đến phức tạp để học sinh có hướng rèn luyện phát triển tư duy: Phương pháp dùng định nghĩa 1.1 Cơ sở toán học: A ≥B ⇔ A-B ≥ nên Để chứng minh A ≥B ta chứng minh A-B ≥ Tương tự để chứng minh A ≤ B ta chứng minh A-B ≤ 1.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Chứng minh: 2(x2 + y2) ≥( x+y)2 với x,y Giải: Xét hiệu 2(x2+y2) – (x+y)2 = 2x2+ 2y2-x2-y2-2xy = x2-2xy+y2 = (x-y)2 ≥ ∀x, y Dấu “=” xảy x=y Vậy 2(x2+y2) ≥ ( x + y ) ∀x, y Dấu “=” xảy x=y Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a ≥ b a3 ≥ b Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức Giải: Xét hiệu: a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2) Thừa số (a-b) ≥ giả thiết a ≥ b b Thừa số (a2+ab+b2) = a2+2a + b Do (a+ )2 ≥ ; b 3b + 4 b = (a+ )2+ 3b 3b ≥ nên a2+ab+b2 ≥ Vậy a3- b3 ≥ suy a3 ≥ b3 Dấu “=” xảy a=b 3x2+y2 + z2 +1 ≥ 2x(y +z+1) Ví dụ 3: Chứng minh Giải: Xét hiệu: 3x2+y2 + z2 +1 - 2x(y +z+1)= 3x2+y2 + z2 +1- 2xy - 2xz – 2x = (x2 -2xy+ y2) + (x2 -2xz +z2) + ( x2 – 2x+1) = (x-y)2 + (x-z)2 + (x-1)2 ≥ ∀x, y ,z Dấu “=” xảy x=y=z=1 *Nhận xét chung : Nếu toán chứng minh bất đẳng thức đơn với số mũ biến tương đối nhỏ ta nên dùng phương pháp với trợ giúp đẳng thức đáng nhớ 1.3: Bài tập tự giải: Chứng minh bất đẳng thức sau: 1) 3) a3 + b3  a + b  ≥  với a>0 ,b>0   2) x3 + 4x + > x2 với x ≥ c2 + d2 +cd ≥ 3ab với a+b = c+d 2)Phương pháp biến đổi tương đương 2.1 : Cơ sở toán học: : Để chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta biến đổi tương đương( dựa vào tính chất bất đẳng thức ) :A ≥ B ⇔ … ⇔ C ≥ D Cuối đạt bất đẳng thức hiển nhiên C ≥ D Vì phép biến đổi tương đương nên A ≥ B 2.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Chứng minh rằng: ∀ a,b,c ta có: a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca Giải: Ta có: a2+b2+c2 ≥ ab+bc+ca (1) ⇔ 2a2+2b2+2c2 ≥ 2ab+2bc+2ac ⇔ 2a2+2b2+2c2- 2ab-2bc-2ac ≥ ⇔ (a2-2ab+b2) + (b2-2bc+c2) + (c2-2ac+a2) ≥ ⇔ (a-b)2 +(b-c)2+(c-a)2 ≥ (2) Vì (a-b)2 ≥ ∀a, b ;(b-c)2 ≥ ∀b, c ;(c-a)2 ≥ ∀a, c Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức Nên (2) (1) ∀ a,b,c a − b =  Dấu “=” xảy ⇔ b − c = c − a =  ⇔ a=b=c a4+b4 ≥ a3b+ab3 ∀a, b Ví dụ 2: Chứng minh a4+b4 ≥ a3b+ab3 ⇔ ( a4 – a3b)+(b4-ab3) ≥ Giải: ⇔ a3(a-b) – b3(a-b) ≥ ⇔ (a-b)(a3-b3) ≥  b 3b  ( a + ) + ⇔ ≥ ⇔  ≥  2 2 (a-b) (a +ab+b ) (a-b) Bất đẳng thức cuối a4+b4 ≥ a3b+ab3 ∀a, b a3 + b3  a + b  ≥ Ví dụ 3: Chứng minh  với a>0 ,b>0   a+b a + b ( a + b) a3 + b3  a + b  ≥ (a – ab + b2) ≥  ⇔ 2   Giải: ⇔ a − ab + b ≥ ( a + b ) (vì a>0, b>0 suy a+b>0) ⇔ 4a − 4ab + 4b ≥ a + 2ab + b ⇔ 3a − 6ab + 3b ≥ ( ) ⇔ a − 2ab + b ≥ ⇔ 3( a − b ) ≥ Bất đẳng thức cuối suy a3 + b3  a + b  ≥    * Nhận xét chung : a) Để dùng phép biến đổi tương đương ta ý bất đẳng thức sau: (A ± B)2 = A2 ± 2AB+B2 (A+B+C)2 = A2 +B2 +C2+2AB+2AC+2BC b) Sẽ mắc sai lầm lời giải thay dấu “ ⇔ ”bằng dấu “ ⇒ ”.Thật ,nếu từ BĐT(1) ⇒ BĐT (2) mà bất đẳng thức (2) chưa thể kết luận bất đẳng thức (1) có hay không! Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức c)Khi sử dụng phép biến đổi tương đương ,học sinh thường bỏ qua phép biến đổi tương đương có điều kiện dẫn đến không chặt chẽ Vì cần lưu ý phép biến đổi tương đương có điều kiện ,chẳng hạn ví dụ 2.3 Bài tập tự giải :Chứng minh 1,a2 + b2+ c2+ d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) với a,b,c,d,e 2, a +2 a +1 ≥ 2∀a ∈R x 3) x −1 ≥ 2∀x >1 3) Phương pháp dùng tính chất bất đẳng thức 3.1 Cơ sở toán học - Xuất phát từ bất đẳng thức biết vận dụng tính chất bất đẳng thức để suy bất đẳng thức phải chứng minh - Thường áp dụng tính chất bất đẳng thức (đó phần trên) 3.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho a+b >1 chứng minh a4 + b4 > Giải Ta có a+b>1>0 (1) Bình phương hai vế (1) ta : ( a+b)2 >1 ⇔ a2 +2ab+ b2>1 (2) Mặt khác (a-b)2≥0 ⇔ a2 – 2ab +b2 ≥0 (3) cộng vế (2) (3) ta được: 2(a2+b2) >1 ⇒ ( a2+b2)> bình phương hai vế (4) ta : a4+2a2b2+b4 > Mặt khác : (a2-b2)≥0 ⇔ a4 – 2a2b2 +b4 ≥0 (4) (5) (6) cộng vế (5) (6) ta được:2(a4 +b4) > hay a4 +b4 > *Nhận xét : Từ giả thiết ta có bậc a,b bậc để làm xuất bậc điều cần chứng minh ta cần suy nghĩ đến việc nâng bậc BĐT điều kiện (giả thiết) phương án lựa chọn nên chọn bình phương vế Ví dụ 2: Cho a, b, c ba cạnh tam giác chứng minh rằng: a2b(a-b) +b2c(b-c) + c2a(c-a) ≥ Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 10 SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức Vì hai vế bất đẳng thức không âm nên ta nhân vế ⇔ bất đẳng thức ta được: (y+z) 2(x+z)2(x+y)2 ≥ 64x2y2z2 [ ( y + z )( x + z )( x + y ) ] ≥ ( 8xyz ) ⇒ (2) C/m Dấu xảy x = y = z Vậy (1) chứng minh Dấu “=”xảy a = b = c Ví dụ 2: cho a + b + c = CMR : a2 + b2 + c2 ≥ Giải :Đặt a = 1 + x ; b = +y ; c = +z Do a + b + c = nên x + y + z = 3 2 1  1  1  1    Ta có: a + b + c =  + x   + y   + z  =  + x + x   + y + y   + z + z  3  3  3  9    2 3 = + ( x + y + z) + x2 + y + z = + x2 + y + z ≥ Xảy dấu đẳng thức x = y = z = ⇔ a = b = c = 1/3 *Nhận xét : Khi dùng phương pháp đổi biến để chứng minh bất đẳng thức cần ý : * Đặt biến theo hệ biến cũ , kèm theo điều kiện biến * Nắm phép biến đổi , BĐT để áp dụng * Đổi biến cũ 7.3 Bài tập tự giải : 1/ cho a , b, c ba cạnh tam giác Chứng minh : a b c + + ≥3 b+c−a a+c−b a+b−c 2/ cho a; b; c ≥ CMR: a4 b4 c4 a2 + b2 + c2 + + ≥ b2 + c2 a2 + c2 a2 + b2 Phương pháp tam thức bậc hai 8.1 Cơ sở toán học : Ta dùng định lý dấu tam thức bậc hai , dấu nghiệm tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức Cho tam thức bậc hai : F(x) = ax2 + bx + c với a ≠ Có ∆ = b2 – 4ac + Nếu ∆ < a.F(x) >0 với ∀x ∈ R b a + Nếu ∆ = a.F(x) >0 với ∀x ≠ − ⇒ F(x) dấu với a Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 18 SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức + Nếu ∆ > tồn x1, x2 cho x2 > x1 Ta có : x nằm hai khoảng nghiệm : x < x1 ; x > x ⇔ a.F ( x) > x nằm khoảng hai nghiệm : x1 < x < x ⇔ a.F ( x) < 8.2 Ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1: Cho − ≤ a ≤ 2;−1 ≤ b ≤ 2;−1 ≤ c ≤ a + b +c = CMR: a2 + b2 +c2 ≤ Giải Theo tính chất dấu tam thức bậc hai : -1 ≤ a ≤ ⇒ (a – 2)(a + 1) ≤ (1) ; -1 ≤ b ≤ ⇒ (b – 2)(b + 1) ≤ (2) -1 ≤ c ≤ ⇒ (c – 2)(c + 1) ≤ (3) Cộng vế (1), (2), (3) ta : a2 –a – + b2 –b -2 + c2 – c -2 ≤ ⇔ a2 + b2 + c2 –(a + b + c)≤ Vì a +b +c =0 nên a2 + b2 +c2 ≤ (đpcm) Ví dụ 2: cho số a, b, c, d thoả mãn : a + d = b+ c CMR lấy số m cho : 2m > ad − bc với x ∈ R ta có (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)+m2 ≥ Giải (1) Dựa vào giả thiết cho : a + d = b + c nên ta có : (1) ⇔ [ x − (a + d ) x + ad ][ x − (b + c) x + bc ] + m ≥ Vỡ a + d = b + c nên đặt : y = x 2- (a + d)x = x2 –(b + c)x ta bất đẳng thức : (y + ad)(y + bc) +m2 ≥ ⇔ y2 + (ad + bc)y + abcd + m2 ≥ Đặt F(y) = y2 + (ad + bc)y + abcd +m2 2 2 Ta có : ∆ y = (ad + bc) − 4.1(abcd + m ) = (ad − bc) − 4m Vỡ 2m > ad − bc nên 4m2 ≥ (ad-bc)2 ⇔ ∆y ≤ A =1> ⇔ F( y ) ≥ Hay (x – a)(x – b)(x – c)(x – d)+ m2≥ (đpcm) *Nhận xét : Chú ý sử dụng tam thức bậc hai cần : + Nắm định lý dấu tam thức bậc hai +Thường dùng phép biến đổi tương đương để đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng ; F(x) ≥ hay F(x) ≤ Trong F(x) tam thức bậc hai biến x 8.3 Bài tập tự giải Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 19 SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức 1/Chứng minh với a ∈ R ta có a2 + a +1 ≤ ≤3 a2 − a −1 2/Cho a; b; c thoả mãn hệ thức ; a + b2 + c2 =2 ab +bc +ca =1 Chứng minh : − ≤ a; b; c ≤ 3/cho b>c> d CMR với a ∈ R ta có :( a + b +c +d)2 > 8(ac+bd) 4/ cho số a; b; c; d; m; n thoả mãn : a +b2 + c2 +d2 < m2 +n2 Chứng minh : (m2 – a2 –b2) (n2 –c2 –d2) ≤ (mn –ac-bd)2 II.3) Giải toán bất đẳng thức hình học Một số kí hiệu thường dùng để yếu tố tam giác 1.1 a; b; c tương ứng độ dài cạnh BC; AC; AB ∆ABC 1.2 α ; β ; γ tương ứng độ lớn góc đỉnh A; B; C 1.3 ma ;mb; mc tương ứng độ dài đường trung tuyến dựng từ đỉnh A; B; C 1.4 ; hb; hc tương ứng độ dài đường cao hạ từ đỉnh A; B; C 1.5 la; lb ; lc tương ứng độ dài đường phân giác dựng từ đỉnh A; B; C 1.6 R r tương ứng độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp ∆ABC 1.7 SABC diện tích ∆ABC 1.8 ra; rb; rc tương ứng độ dài bán kính đường tròn bàng tiếp góc A; B; C ∆ABC 1.9 Kí hiệu góc : “ ∠ ” Một số kiến thức cần dùng 2.1 Với điểm A; B; C ta có A AB ≤ AC + BC Dấu “=” xảy C nằm điểm A B B 2.2 Trong tam giác góc đối diện C với cạnh lớn góc lớn Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 20 SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức Cạnh đối diện với góc lớn A cạnh lớn hơn: AB ≤ AC ≤ BC ⇔ Cˆ ≤ Bˆ ≤ Aˆ 2.3 Trong tam giác vuông cạnh C B huyền lớn cạnh góc vuông: CA > AB > BC A 2.4 Trong tam giác góc đối diện với cạnh lớn góc lớn 2.5 Trong hai đường xiên kẻ từ điểm đến đường thẳng, đường B C H có hình chiếu lớn lớn A ngược lại: AB ≤ AC ⇔ BH ≤ HC 2.6 Trong tam giác ABC có : AB – AC < BC < AB + AC C B AB – BC < AC < AB + BC AC – BC < AB < AC – BC C D B A 2.7 Trong đường tròn hay O hai đường tròn : + Cung lớn dây căng cung lớn + Đường kính dây cung lớn CD ≤ AB = 2R Một số cách chứng minh bất đẳng thức hình học 3.1 Sử dụng bất đẳng thức tam giác Bài 1: Cho ∆ ABC.Chứng minh : b+c−a b+c < ma < 2 Giải: B Gọi M trung điểm BC Người viết: Phạm Xuân Hà - D THCS Đình Cao 21 M C SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức Xét ∆ ABM có : AM > AB- BM Xét ∆ ADM có: AM > AC – CM Cộng vế bất đẳng thức ta được: 2AM > AB + AC – (BM + CM) ⇒ 2AM > AB + AC – BC ⇒ ma > b+c−a (1) A Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho :MA= MD ⇒∆ ABM = ∆ DCM ⇒AB = CD Xét ∆ ACD có : AD< AC + CD = AC + AB., AD=2AM ⇒ 2AM < AC + AB ⇒ ma < Từ (1)và (2) ⇒ b+c (2) b+c−a b+c < ma < (điều phải chứng minh) 2 3.2-Sử dụng bất đẳng thức Côsi Bài 2: Cho ∆ ABC có góc nhọn Gọi H trực tâm ∆ ABC, K chân đường cao vẽ từ A ∆ ABC Chứng minh : KH.KA ≤ BC Giải Xét ∆ AKB ∆ CKH có : ∠ AKB = ∠ CKH = 90 A ∠ BAK = ∠ HCK H (2 góc có cạnh tương ứng vuông góc) ⇒∆ AKB đồng dạng với ∆ CKH (g.g) ⇒ KA KC = ⇒ KA KH = KB KC KB KH B K C Theo bất đẳng thức Côsi ta có : 2KB.KC ≤ KB2+KC2 nên 4KB.KC ≤ (KB+KC)2 KB + KC  BC BC KB.KC ≤  Vậy KH.KA ≤ (điều phải chứng minh)  = 4   Dấu “=” xảy KB = KC hay K trung điểm BC ⇔ ∆ ABC cân A Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 22 SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức Bài 3: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh BC CD Gọi P trung điểm AB Chứng minh rằng: a)SABCD ≤ (AM + BN)2 b) PN ≤ (AD + BC) Dấu “=” xảy nào? Giải Gọi I giao điểm AM BD Ta có : SABCD = SABC + SADC B Mà ∆ ABM ∆ AMC có : BM = MC (gt)⇒ SABM = SAMC ⇒ M P SABC = 2SAMC I ∆ ANC ∆ AND có : CN = ND O N ⇒ SADC = 2SACN ⇒ SABCD = 2(SABC + SANC)= C A (gt) ⇒ SANC = SAND D 2SMCNA = 2(SAMN + SMNC) Ta lại có : MN đường trung bình ∆ CBD ⇒ MN // BD ⇒∆ MNC ∆ MDN có đường cao ⇒SIMN = SMCN ⇒SABCD = 2(SAMN + SIMN) Mặt khác: SIMN ≤ SAMN ⇒ SABCD ≤ 2(SAMN + SAMN) = 4SAMN ≤ 2AM AN⇒ SABCD ≤ 2AM AN ≤ AM AN= (AM+BN)2 (đpcm) 2 Gọi O trung điểm AC, ta có : PN ≤ PO + ON = BC AD + = ( AD + BC ) 2 Dấu “=” xảy AD //BC Tứ giác ABCD hình thang 3.3) Sử dụng phép đối xứng giải toán bất đẳng thức hình học Bài 4: Cho ∆ ABC Chứng minh : ha≤ p ( p − a) Với p nửa chu vi ∆ ABC, đường cao hạ từ A Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 23 SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức Giải Qua A kẻ Ax // BC Thực phép đối xứng C' B' trục Ax ta có SAx : B  B’ A x C  C’ b Ta có : AB + AC = AB’ + H B AC ≥ CB’ a C Xét tam giác vuông CC’B’ ta có : CB’ = b+ c ≥ C ' C + C ' B' ⇔ + a ⇔ (b+ c)2 ≥ 4ha2 + a2 ⇔ ha2 ≤ = [(b+c)2 – a2] (b + c- a)(b + c+ a)= p(p-a)⇔ ha2 ≤ p(p-a) ⇔ ≤ p ( p − a) (đpcm) Bài 5: Gọi a, b, c cạnh tam giác, đường cao tương ứng , hb, hc Chứng minh rằng: (a + b + c) 2 + hb + hc ≥4 Giải Qua A kẻ Cx // AB Lấy E đối xứng với A qua đường A thẳng Cx⇒ HE = HA x c Nối C với E, B với E ⇒ ∆ CAE cân H b K C⇒ CE = CA = b E Hạ CK ⊥ AB ⇒ CK = hc Ta có : B C CK = AH = HE⇒AE = 2hc Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 24 SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức Với điểm E,B, C ta có : BE ≤ BC + CE ⇒ BE ≤ a+ b Theo định lý Pi tago tam giác vuông ABE ta có : AE2 + AB2 = BE2 ⇔ (2hc)2 + c2 ≤ (a+b)2 ⇔ 4hc2 ≤ (a+b)2– c2 Tương tự ta chứng minh được: 4ha2 ≤ (b+c)2– a2 4hb2 ≤ (a+c)2– b2 ⇒4(ha2 + hb2+ hc2) ≤ (a+b)2-c2 + (b+c)2 –a2 +(a+c)2 – b2 ⇔4(ha + h + hc ) ≤ (a+b+c) ⇔ 2 b 2 (a + b + c) 2 + hb + hc ≥ (ĐPCM) Dấu “=” xảy a = b = c ⇔ ∆ ABC 3.4.Sử dụng bất đẳng thức đại số Bài 5: Cho ∆ ABC điểm tam giác, tia AO,BO,CO cắt BC,CA,AB P,Q,R Chứng minh rằng: 1/ OP OQ OR + + =1 AP PQ CR 2/ PQ CR AP + OQ + ≥ 9.Dấu xảy OP OR ? Giải 1/Từ A kẻ AH ⊥ BC,OK ⊥ BC⇒OK // AH Xét ∆ AHP có : SBOC = OP OK = ; (Định lí Talet) AP AH A 1 OK BC , SABC = OH BC ⇒ 2 O S OBC OK OP = = S ABC AH AP S BOA B OR S AOC Q R H K P C OQ Tương tự :Ta có S = , = PQ , CR S ABC ABC Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 25 SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức ⇒ S OBC S BOA S AOC OP OQ OR + + + + =1 S ABC S ABC S ABC AP PQ CR OQ OP OR 2/ Đặt = a1, AQ =b1 , = c1 áp dụng bất đẳng thức: AP CR (a +b + c ) ( Mà 1 OP OQ OR AP PQ CR + + ) ≥ :Ta ( + + )( + + )≥ a b c AP PQ CR OP OQ OR OP OQ OR AP PQ CR + PQ + =1.Nên + + ≥ (ĐPCM) AP CR OP OQ OR Bài 6: Cho tứ giác ABCD Chứng minh AB.CD +AD.BC ≥ AC.BD Dấu xảy tứ giác ABCD nội tiếp Giải Vẽ tia Ax cho : ∠ Dax = ∠ CBD C Vẽ tia Dy cho ∠ Ady = ∠ BDC D x Gọi K giao điểm Ax Dy K Xét ∆ ADK ∆ BDC có B A ∠ DAK = ∠ DBC (cách dựng) y ∠ ADK = ∠ BDC (cách dựng) ⇒∆ ADK đồng dạng với tam giác ∆ BDC (gg) AD AK DK = = ⇒ BC.AD = BD.AK (1) BD BC DC AD AK DK Vì ∠ ADB= ∠ CDK = = ⇒∆ ADB đồng dạng với ∆ KCD (cgc) BD BC DC ⇒ ⇒ AB BD = ⇔AB.CD = BD.KC (2) KC CD Từ (1) (2) ⇒AB.CD + BC.AD = BD.AK+ BD.KC = BD.(AK +KC); Mà AK +KC ≥ AC ⇒AB.CD + BC.AD ≥ AC.BD (ĐPCM) Dấu “=” xảy : AK + KC = AC ⇒ k ∈ AC ⇔∠ DAK = ∠ DAC = ∠ DBC ⇔∠ DAC = ∠ DBC ⇔Tứ giác ABCD nội tiếp Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 26 SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức Từ ta có định lí Prôtôlêmê:Điều kiên cần đủ cho tứ giác nội tiếp đường tròn : Tổng tích cạnh đối diện tích hai đường chéo 4) Bài tập tự giải: Bài 1: Chứng minh với a, b, c cạnh tam giác ta có: a) a b c + + ≥ b+c−a c+a−b a+b−c a b c + + ≥ b+c c+a a+b b) Bài 2: Cho tam giác ABC với m a; mb; mc đường trung tuyến ứng với 1 cạnh a, b, c Chứng minh rằng: a m + b m + c m ≥ abc a b c III) Kết Trong sách giáo khoa toán 8,9 vấn đề giải toán BĐT đại số hình học phương diện lý thuyết đề cập không nhiều, có khối lượng không nhỏ tập liên quan tới chủ đề này, triển khai đề tài lớp dạy để kiểm tra đối chứng thay đổi tư học sinh dạng toán chứng minh BĐT Cách làm cụ thể sau: Chọn Lớp 9B trường THCS Đình Cao 20 học sinh có học lực từ TB trở lên, tham gia ôn tập chủ đề BĐT có áp dụng ôn tập theo đề tài Chọn Lớp 9C trường THCS Đình Cao 20 học sinh có học lực từ TB trở lên, ôn tập bình thường theo chủ đề BĐT không theo quy trình đề tài Kết thúc chủ đề , nhóm làm kiểm tra 90 phút ( Hình +Đại) (nội dung đề kiểm tra theo chủ đề BĐT), thang điểm 10 Kết cho bảng thống kê điểm sau: Lớp Số hs Số 1(5%) 2(10%) Điểm 8( 40%) 8( 40%) 10 1(5%) 9B 20 20 9C 20 20 3(15%) 4(20%) 9(45%) 4(20%) Kết cho thấy tỷ lệ học sinh khá, giỏi 9B cao hơn, số học sinh điểm yếu 9B 9C Qua cho thấy việc áp dụng đề tài vào giải tập giúp học sinh nắm vững kiến thức hơn, tư nhạy bén dẫn đến ham học toán BĐT không Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 27 SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức e ngại gặp toán BĐT Đề tài áp dụng cho việc cho việc dạy học giáo viên học sinh đặc biệt ôn tập nâng cao theo chủ đề, chuyên đề , ôn luyện thi HSG hay ôn vào THPT C KẾT LUẬN 1) Nhận định chung: - Với đề tài “ Phát triển lực tư học sinh THCS thông qua việc giải toán bất đẳng thức” nội dung trình bày hạn hẹp so với toàn chuyên đề bất đẳng thức Việc áp dụng số phương pháp giải toán bất đẳng thức vào chương trình toán THCS vấn đề rộng, nội dung phong phú đa dạng Nhưng trình bày số phương pháp, số tập chương trình toán THCS.Chắc chắn đề tài giúp hiểu cách sâu sắc vấn đề nghiên cứu vấn đề việc giải toán bất đẳng thức Hy vọng đề tài tham khảo nhỏ giúp ích cho đồng nghiệp em học sinh Qua việc việc làm đề tài cảm thấy giải toán bất đẳng thức hoạt động trí tuệ cao gian khổ, đòi hỏi tư logic có hệ thống biện pháp phát triển tư vô hiệu học sinh THCS Đồng thời qua việc nghiên cứu tài liệu để viết sáng kiến thêm sáng tỏ nhiều vấn đề bổ ích, ứng dụng sáng tạo vững tin việc giảng dạy môn toán THCS 2) Những triển vọng áp dụng sáng kiến: -Khi chưa áp dụng đề tài : học sinh giải toán đơn giản , hay mắc sai lầm ,hay gặp khó khăn , ngại làm tập bất đẳng thức - Nếu thực đề tài học sinh có hứng thú giải toán bất đẳng thức , làm tập tốt hơn, tự giải tập bất đẳng thức có dạng tương tự , hạn chế nhiều sai lầm giải toán BĐT Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 28 SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức 3) Những đề xuất khuyến nghị a) Đối với nhà trường -Thường xuyên tổ chức chuyên đề cấp trường, cấp tổ liên quan tới vấn đề khó ( đề tài này) - Tăng cường hệ thống sách tham khảo chủ đề bất đẳng thức - Triển khai đề tài đạt giải cao,áp dụng dạy học thực tế với học sinh b Đối với Phòng giáo dục Đào tạo -Thường xuyên tổ chức chuyên đề viết SKKN, nghiên cứu khoa học, nghiệp vụ sư phạm cho trường học tập triển khai Đề tài hoàn thành với giúp đỡ quý báu thầy em học sinh Lớp 8;9 THCS Đình Cao nỗ lực thân, nhiên , cố gắng tìm tòi ,nghiên cứu trình độ có hạn chắn chắn đề tài có thiếu sót ,hạn chế , mong góp ý Hội đồng khoa học cấp đồng nghiệp để nội dung đề tài phong phú đầy đủ hơn.Tôi xin chân thành cám ơn! Lời cam đoan: “Đây sáng kiến kinh nghiệm thân viết , không chép nội dung người khác” Đình Cao, ngày 20 tháng năm 2014 Người viết sáng kiến PHẠM XUÂN HÀ Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 29 SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức MỤC LỤC Nội dung Trang 2 2 4 4 5 5 Phần I: Lý lịch Phần II : Nội dung A.Mở đầu I.Đặt vấn đề 1.Thực trạng vấn đề 2.Ý nghĩa giải pháp 3.Đối tượng phạm vi nghiên cứu II Phương pháp tiến hành 1.Cơ sở lý luận thực tiễn 2.Các biện pháp tiến hành B.Nội Dung I.Mục tiêu II.Nội dung II.1-Một số kiến thức BĐT II.2-Một số tập BĐT đại số III.3-Một số tập BĐT hình học III.Kết C.Kết luận 1.Nhận định chung 2.Những triển vọng áp dụng sáng kiến 3.Khuyến nghị đề xuất Tài liệu tham khảo 20 27 27 27 28 28 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Phương pháp giải toán hình –Trần Văn Kì 2) Toán nâng cao chuyên đề đại số –Nguyễn Ngọc Đạm –Vũ Dương Thuỵ Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 30 SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức 3) 255 Bài toán hình học chọn lọc –Nguyễn Ngọc Đạm –Vũ Dương Thuỵ 4) Toán bồi dưỡng học sinh giỏi 9-Vũ Hữu Bình –TôngThân 5) 400 Bài toán đại số chọn lọc –Vũ Dương Thuỵ –Trương Công Thành 6) 23 Chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp –Nguyễn Văn Vỉnh –Nguyễn Đức Đồng 7) 23 Chuyên đề giải 1001 toán đại số –Nguyễn Văn Vỉnh –Nguyễn Đức Đồng 8) Giúp học tốt hình học –Nguyễn Bá Kim –Nguyễn Tiến Quang 9) Các toán bất đẳng thức hay khó –Nguyễn Đễ –Vũ Hoàng Lâm XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG THCS ĐÌNH CAO Tổng điểm: Xếp loại : T/M Hội đồng khoa học Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 31 SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức Hiệu Trường Nguyễn Văn Hạnh XÁC NHẬN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC Phòng Giáo dục đào tạo huyện Phù Cừ Tổng điểm: Xếp loại : T/M Hội đồng khoa học Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao 32 ... nên học Người viết: Phạm Xuân Hà - THCS Đình Cao SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức sinh hay ngại học sinh chưa vận dụng toán bất đẳng thức vào để giải toán. .. Hà - THCS Đình Cao SKKN:Phát triển tư cho học sinh thông qua việc giải toán bất đẳng thức 2.5.Trừ vế hai bất đẳng thức ngược chiều bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ Nếu a > b , c