5 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HAY THƯỜNG GẶP TRONG CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI – THI ĐẠI HỌC Chuyên đề 1: Phương pháp tìm số hạng tổng quát Phần 1 : XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT DỰA TRÊN CẤP SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG CUẢ DÃY : Loại 1 : Dãy số ( ) xác định bởi : Vì nên là cấp số cộng. Do đó + (n-1)d = + (n-1)d Loại 2 Dãy số xác định bởi : Vì nên là một cấp số nhân do đó Loại 3 Dãy số ( ) xác định bởi Ta có :  – = a( – ) (*) Đặt – ; – Thay vào (*) : = a suy ra là một cấp số nhân q = a . Vậy . = với – – Do đó – )  – = ( – )  = + ( – ) + b ( ) Các trường hợp a = 0 và a = 1 , b= 0 quy về loại 1 và 2 . Loại 4 Dãy số ( ) xác định bởi : Xét phương trình – cx – d = 0 (1) ( phương trình đặc trưng của dãy ). a) nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và thì trong đó : e1 , e2 là nghiệm của hệ b) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép r khác 0 thì : Trong đó e1 , e2 là nghiệm của hệ Chứng minh công thức (*) , (**) dựa trên phương pháp chứng minh quy nạp . ta cũng có thể là như sau với dạng 4 để mọi người hiểu rõ hơn , ta tìm 2 số a,b sao cho a + b = c và ab= -d ,a ,b sẽ là nghiệm của phương trình lúc này ta có tương đương với ) đặt ta được dãy số với n = 2,3 . vậy theo loại 2 và kết hợp với trên ta được (1); lý luận tương tự ta cũng có (2); lấy (2) - (1 ) vế theo vế ta được số theo n , chuyển vế là được số hạng tổng quát Ví dụ minh họa : VD1 : Xác định số hạng tổng quát của dãy fibonacci . giải : Phương trình đặc trưng của dãy :: là nghiệm của hệ do đó theo (*) : hay VD2 Xác định số hạng tổng quát của dãy số xác định bởi : Giải giả thuyết ta có : (1) rtrong (1) thay n+1 bởi n ta có : (2) (1) - (2) theo vế , ta có : = 0 (3) Giả thuyết : (4) trong (4) thay n+1 bởi n : (5) từ (4) và (5) ( do > 0 ) do đó từ (3) từ giả thuyết như vậy dãy đã cho xác định lại như sau : bài toán rơi vào loại 4 giải tương tự ví dụ 1 Sau đây là bài tập áp dụng từ các đề thi 1 2 3 4 5 6 Phần 2 : XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT DỰA VÀO DÃY SỐ PHỤ : VD1 : dãy số ( n = 1,2,3, .) được sác định bởi , với mọi n = 1,2,3, . hãy tìm công thức tổng quátcuar theo n . giải từ giả thuyết suy ra với mọi n thuộc N*và với n =1 , 2, . đặt ta có và với n = 1,2, . suy ra : hay : (1) đặt và b = 2002 , từ (1) ta có : = . = = suy ra : với n = 1,2 . từ đó VD2 cho dãy số ( ) xác định bởi n= 1,2 . hãy xác định số hạng tổng quát ( ) của dãy : giải đặt ( n=1,2, .) (1) ta có (2) (3) từ (1),(3) suy ra nên ( ) và cấp số cộng có công sai d = -1 từ (2) , suy ra : kết hợp với (1) ta được phew xong rùi giờ là bài tập ứng dụng bài 1 cho dãy số ( ) , n thuộc N* ,xác định như sau : với mọi n thuộc N* hãy tính tổng của 2001 số hạng đầu tiên của dãy số (HSGQG 2000-2001 bảng B ; TH và TT 10/2001) bài 2 dãy số được xác định bởi a) hãy xác đinh số hạng tổng quát của dãy số trên b) chứng minh rằng số có otheer biểu diễn được thành tổng bình phương của ba số nguyên liên tiếp ( với n >= 1) ( đề olimpic 30-4 2001 lương văn chánh phú yên ) bài 3 : cho số thực a khác 0 cva fcho dãy số với mọi x thuộc N* xác đinh bởi với mọi n thuộc N* a) tìm số hạng tổng quát cảu dãy trên b) chứng minh rằng dãy trên có giới hạn hữu hạn khi n tiến về dương vô cùng , Hãy tìm giới hạn đó . (HSGQG 2002-2003 bảng b TH và TT 1/2004 bài 4 cho dãy số n thuôc N thỏa điều kiện với n thuôc N tính ( đề thi olimpic đong bằng sông cửu long năm 2000) Chuyên đề 2: Sử dụng tính chất đơn điệu giải phương trình chứa căn Phương trình vô tỉ là mảng kiến thức thường gặp trong các đề thi đại học , cách giải của phương trình vô tỉ rất đa dạng và sau đây mình xin giới thiệu phương pháp sử dụng tính đơn điệu. I)Dạng I: Giả sử Vậy phương trình đã cho tương đương với Ví dụ 1)Giải phương trình : Điều kiện Giả sử Vậy II)Dạng II trong đó Ví dụ II)Giải phương trình: Điều kiện: Phương trình đã cho tương đương với: Giả sử: suy ra Vậy phương trình có nghiệm là x=1. Sau đây là một số bài tập áp dụng: Giải phương trình: Bài 1) Bài 2) Bài 3) Bài 4: Bài 5) Chuyên đề 3: Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT .Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô- Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu. Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Bài giải: Ta luôn có : Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: (đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có: Ta có: