Đang tải... (xem toàn văn)
3. Cac bai toan hinh hoc on thi vao lop 10 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất c...
x Hình 01 O K H M E D C B A CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO LỚP 10 Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh AB // EM. 3. Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD và BC của hình thang lần lượt ở H và K. Chứng minh M là trung điểm HK. 4. Chứng minh 2 1 1 HK AB CD = + BÀI GIẢI CHI TIẾT (hình 01) 1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp. Ta có : · 1 2 EAC = sđ » AC (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AE và dây AC của đường tròn (O)) Tương tự: · 1 2 xDB = sđ » DB (Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE) Mà AC = BD (do ABCD là hình thang cân) nên » » AC BD= Do đó · · EAC xDB= Vậy tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh AB // EM. Tứ giác AEDM nội tiếp nên · · EAD EMD= (cùng chắn cung ED) Mà · · EAD ABD= (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn cung AD) Suy ra: · · EMD ABD= . Do đó EM // AB. 3. Chứng minh M là trung điểm HK. DAB∆ có HM // AB HM DH AB DA ⇒ = CAB ∆ có MK // AB MK CK AB CB ⇒ = Mà DH CK DA CB = (định lí Ta let cho hình thang ABCD) Nên HM MK AB AB = . Do đó MH = MK. Vậy M là trung điểm HK. 4. Chứng minh 2 1 1 HK AB CD = + . Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được: HM DM AB DB = (1) // = O M H K D C B A Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác BCD có KM // CD ta được: KM BM CD BD = (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: 1 HM KM DM BM DM BM BD AB CD DB BD BD BD + + = + = = = Suy ra: 2 2 2 HM KM AB CD + = , mà MH = MK nên 2HM = 2KM = HK Do đó: 2 HK HK AB CD + = . Suy ra: 2 1 1 HK AB CD = + (đpcm) Lời bàn: 1.Do AC = BD ¼ ¼ ADC BCD⇒ = nên để chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp ta xử dụng phương pháp : Nếu tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc đối của đỉnh của đỉnh đó thì tứ giác đó nội tiếp. Với cách suy nghĩ trên chỉ cần vẽ tia Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE thì bài toán giải quyết được dễ dàng. Có thể chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp bằng cách chứng minh khác được không? (phần này dành cho các em suy nghĩ nhé) 2. Câu 3 có còn cách chứng minh nào khác không? Có đấy. Thử chứng minh tam giác AHM và tam giác BKM bằng nhau từ đó suy ra đpcm 3. Câu 4 là bài toán quen thuộc ở lớp 8 phải không các em? Do đó khi học toán các em cần chú ý các bài tập quen thuộc nhé. Tuy vậy câu này vẫn còn một cách giải nữa đó. Em thử nghĩ xem? Bài 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC. Gọi M là điểm chính giữa cung AC. Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM ở K và cắt tia OM ở D. OD cắt AC tại H. 1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp. 2. Chứng minh CD = MB và DM = CB. 3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn. 4. Trong trường hợp AD là tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O) theo R. BÀI GIẢI CHI TIẾT 1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp. · 0 90AMB = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) AM MB ⇒ ⊥ Mà CD // BM (gt) nên AM ⊥ CD . Vậy · 0 90MKC = . ¼ ¼ AM CM= (gt) OM AC ⇒ ⊥ · 0 90MHC⇒ = . Tứ giác CKMH có · · 0 180MKC MHC+ = nên nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh CD = MB và DM = CB. Ta có: · 0 90ACB = (góc nội Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO LỚP 10 (Dành tặng cho em học sinh lớp chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 không chuyên) Bài Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) A D chúng cắt E Gọi M giao điểm hai đường chéo AC BD Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD BC hình thang H K x Chứng minh M trung điểm HK Chứng minh 1 HK AB CD D C M BÀI GIẢI CHI TIẾT (hình 01) E H Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp K O A B Ta có : EAC sđ AC (góc tạo tia tiếp tuyến AE dây AC đường tròn (O)) Hình 01 Tương tự: xDB sđ DB (Dx tia đối tia tiếp tuyến DE) Mà AC = BD (do ABCD hình thang cân) nên AC BD Do EAC xDB Vậy tứ giác AEDM nội tiếp đường tròn Chứng minh AB // EM Tứ giác AEDM nội tiếp nên EAD EMD (cùng chắn cung ED) Mà EAD ABD (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung với góc nội tiếp chắn cung AD) Suy ra: EMD ABD Do EM // AB Chứng minh M trung điểm HK Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT DAB có HM // AB HM DH MK CK CAB có MK // AB Mà AB DA AB CB DH CK HM MK (định lí Ta let cho hình thang ABCD) Nên Do MH = MK DA CB AB AB Vậy M trung điểm HK Chứng minh 1 HK AB CD Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được: HM DM (1) Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác BCD có KM // CD ta AB DB được: KM BM (2) CD BD Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: Suy ra: HM KM DM BM DM BM BD AB CD DB BD BD BD HM KM , mà MH = MK nên 2HM = 2KM = HK AB CD Do đó: HK HK 1 Suy ra: (đpcm) AB CD HK AB CD Lời bàn: Do AC = BD ADC BCD nên để chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp ta sử dụng phương pháp: Nếu tứ giác có góc đỉnh góc đối đỉnh đỉnh tứ giác nội tiếp Với cách suy nghĩ cần vẽ tia Dx tia đối tia tiếp tuyến DE toán giải dễ dàng Có thể chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp cách chứng minh khác không? (phần dành cho em suy nghĩ nhé) Câu có cách chứng minh khác không? Có Thử chứng minh tam giác AHM tam giác BKM từ suy đpcm Câu toán quen thuộc lớp phải không em? Do học toán em cần ý tập quen thuộc Tuy câu cách giải Em thử nghĩ xem? Bài Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC Gọi M điểm cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D OD cắt AC H Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp Chứng minh CD = MB DM = CB Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật tài liệu hay, Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn Trong trường hợp AD tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần tam giác ADC đường tròn (O) theo R BÀI GIẢI CHI TIẾT Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp AMB 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) AM MB Mà CD // BM (gt) nên AM CD Vậy MKC 900 D AM CM (gt) OM AC MHC 90 K C // Tứ giác CKMH có MKC MHC 1800 nên nội tiếp M = đường tròn H A Chứng minh CD = MB DM = CB B O Ta có: ACB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hình Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB hình bình hành Suy ra: CD = MB DM = CB Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AD tiếp tuyến nửa đường tròn AD tiếp tuyến đường tròn (O) AD AB ADC có AK CD DH AC nên M trực tâm tam giác Suy ra: CM AD Vậy AD AB CM // AB AM BC Mà AM MC nên AM BC AM MC BC = 600 D K Tính diện tích phần tam giác ADC (O) theo R: đường tròn (O) S1 diện tích tứ giác AOCD // M Gọi S diện tích phần tam giác ADC C = H A O B S2 diện tích hình quạt góc tâm AOC Ta có: S = S1 – S2 hình Tính S1: AD tiếp tuyến đường tròn (O) AM MC BC 600 AOD 600 1 R2 AD AO R 3.R 2 Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật tài liệu hay, Do đó: AD = AO tg 600 = R SADO = Thaygiaongheo – Video – Tài liệu học toán THPT AOD COD (c.g.c) SAOD = SCOD SAOCD Tính S2: AC 1200 S quạt AOC = Tính S: S = S1 – S2 = R – R2 = SADO = = R2 R 1200 R = 360 R 3R R R = = 3 (đvdt) 3 Lời bàn: Rõ ràng câu 1, hình vẽ gợi ý cho ta cách chứng minh góc H K góc vuông, để có góc K vuông ta cần MB AM CD// MB Điều suy từ hệ góc nội tiếp giả thiết CD // MB Góc H vuông suy từ kết số 14 trang 72 SGK toán tập Các em lưu ý tập vận dụng vào việc giải tập khác Không cần phải bàn, kết luận gợi liền cách chứng minh phải không em? Rõ ràng câu hỏi khó số em, kể hiểu giải , có nhiều em may mắn vẽ ngẫu nhiên lại rơi vào hình từ nghĩ vị trí điểm C nửa đường tròn Khi gặp loại toán đòi hỏi phải tư cao Thông thường nghĩ có kết toán xảy điều ? Kết hợp với giả thiết kết từ câu ta tìm lời giải toán Với tập phát M trực tâm tam giác khó, nhiên cần kết hợp với tập 13 trang 72 sách Toán 9T2 giả thiết M điểm cung AC ta tìm vị trí C Với cách trình bày mệnh đề “khi khi” kết hợp với suy luận cho ta lời giải chặt chẽ Em viết lời giải cách khác cách đưa nhận định trước chứng minh với nhận định có kết , nhiên phải trình bày phần đảo: ...x Hình 01 O K H M E D C B A CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO LỚP 10 (Dành tặng cho các em học sinh lớp 9 đang chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 không chuyên) Bài 1 Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh AB // EM. 3. Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD và BC của hình thang lần lượt ở H và K. Chứng minh M là trung điểm HK. 4. Chứng minh BÀI GIẢI CHI TIẾT (hình 01) 1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp. Ta có : sđ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AE và dây AC của đường tròn (O)) Tương tự: sđ (Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE) Mà AC = BD (do ABCD là hình thang cân) nên . Do đó . Vậy tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh AB // EM. Tứ giác AEDM nội tiếp nên (cùng chắn cung ED). Mà (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn cung AD). Suy ra: . Do đó EM // AB. 3. Chứng minh M là trung điểm HK. có HM // AB . có MK // AB . Mà (định lí Ta let cho hình thang ABCD). Nên . Do đó MH = MK. Vậy M là trung điểm HK. 4. Chứng minh . Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được: (1). Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác BCD có KM // CD ta được: (2). Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: . Suy ra: , mà MH = MK nên 2HM = 2KM = HK. Do đó: . Suy ra: (đpcm). Lời bàn: 2 1 1 HK AB CD = + · 1 2 EAC = » AC · 1 2 xDB = » DB » » AC BD= · · EAC xDB= · · EAD EMD= · · EAD ABD= · · EMD ABD= DAB∆ HM DH AB DA ⇒ = CAB∆ MK CK AB CB ⇒ = DH CK DA CB = HM MK AB AB = 2 1 1 HK AB CD = + HM DM AB DB = KM BM CD BD = 1 HM KM DM BM DM BM BD AB CD DB BD BD BD + + = + = = = 2 2 2 HM KM AB CD + = 2 HK HK AB CD + = 2 1 1 HK AB CD = + // = O M H K D C B A // = O M H K D C B A 1. Do AC = BD nên để chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp ta sử dụng phương pháp: Nếu tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc đối của đỉnh của đỉnh đó thì tứ giác đó nội tiếp. Với cách suy nghĩ trên chỉ cần vẽ tia Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE thì bài toán giải quyết được dễ dàng. Có thể chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp bằng cách chứng minh khác được không? (phần này dành cho các em suy nghĩ nhé) 2. Câu 3 có còn cách chứng minh nào khác không? Có đấy. Thử chứng minh tam giác AHM và tam giác BKM bằng nhau từ đó suy ra đpcm. 3. Câu 4 là bài toán quen thuộc ở lớp 8 phải không các em? Do đó khi học toán các em cần chú ý các bài tập quen thuộc nhé. Tuy vậy câu này vẫn còn một cách giải nữa đó. Em thử nghĩ xem? Bài 2 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC. Gọi M là điểm chính giữa cung AC. Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM ở K và cắt tia OM ở D. OD cắt AC tại H. 1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp. 2. Chứng minh CD = MB và DM = CB. 3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn. 4. Trong trường hợp AD là tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O) theo R. BÀI GIẢI CHI TIẾT 1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp. (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) . Mà CD // BM (gt) nên AM CD . Vậy . (gt) . Tứ giác CKMH có nên nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh CD = MB và DM = CB. Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hình 2 Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB là hình bình hành. Suy ra: CD = MB và DM = CB. 3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn. AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) . có AK CD và DH AC nên M là trực tâm tam giác . Suy ra: CM AD. Vậy CM // AB . Mà nên = 60 0 . 4. Tính diện tích phần tam giác ADC ở ngoài x Hình 01 O K H M E D C B A CÁC BÀI TOÁN HÌNH ÔN THI VÀO LỚP 10 (Dành tặng cho các em học sinh lớp 9 đang chuẩn bị ôn thi vào lớp 10 không chuyên) Bài 1 Cho hình thang cân ABCD (AB > CD, AB // CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh AB // EM. 3. Đường thẳng EM cắt cạnh bên AD và BC của hình thang lần lượt ở H và K. Chứng minh M là trung điểm HK. 4. Chứng minh 2 1 1 HK AB CD BÀI GIẢI CHI TIẾT (hình 01) 1. Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp. Ta có : 1 2 EAC sđ AC (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AE và dây AC của đường tròn (O)) Tương tự: 1 2 xDB sđ DB (Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE) Mà AC = BD (do ABCD là hình thang cân) nên AC BD . Do đó EAC xDB . Vậy tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh AB // EM. Tứ giác AEDM nội tiếp nên EAD EMD (cùng chắn cung ED). Mà EAD ABD (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung với góc nội tiếp cùng chắn cung AD). Suy ra: EMD ABD . Do đó EM // AB. 3. Chứng minh M là trung điểm HK. DAB có HM // AB HM DH AB DA . CAB có MK // AB MK CK AB CB . Mà DH CK DA CB (định lí Ta let cho hình thang ABCD). Nên HM MK AB AB . Do đó MH = MK. Vậy M là trung điểm HK. 4. Chứng minh 2 1 1 HK AB CD . Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác ADB có HM // AB ta được: HM DM AB DB (1). Áp dụng hệ quả định lí Ta let cho tam giác BCD có KM // CD ta được: KM BM CD BD (2). Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: 1 HM KM DM BM DM BM BD AB CD DB BD BD BD . Suy ra: 2 2 2 HM KM AB CD , mà MH = MK nên 2HM = 2KM = HK. Do đó: 2 HK HK AB CD . Suy ra: 2 1 1 HK AB CD (đpcm). Lời bàn: 1. Do AC = BD ADC BCD nên để chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp ta sử dụng phương pháp: Nếu tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc đối của đỉnh của đỉnh đó thì tứ giác đó nội tiếp. Với cách suy nghĩ trên chỉ cần vẽ tia Dx là tia đối của tia tiếp tuyến DE thì bài toán giải quyết được dễ dàng. Có thể chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp bằng cách chứng minh khác được không? (phần này dành cho các em suy nghĩ nhé) 2. Câu 3 có còn cách chứng minh nào khác không? Có đấy. Thử chứng minh tam giác AHM và tam giác BKM bằng nhau từ đó suy ra đpcm. 3. Câu 4 là bài toán quen thuộc ở lớp 8 phải không các em? Do đó khi học toán các em cần chú ý các bài tập quen thuộc nhé. Tuy vậy câu này vẫn còn một cách giải nữa đó. Em thử nghĩ xem? Bài 2 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB= 2R, dây cung AC. Gọi M là điểm chính giữa cung AC. Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM ở K và cắt tia OM ở D. OD cắt AC tại H. 1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp. 2. Chứng minh CD = MB và DM = CB. 3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn. 4. Trong trường hợp AD là tiếp tuyến cửa nửa đường tròn (O), tính diện tích phần tam giác ADC ở ngoài đường tròn (O) theo R. BÀI GIẢI CHI TIẾT 1. Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp. 0 90AMB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính AB) AM MB . Mà CD // BM (gt) nên AM CD . Vậy 0 90MKC . // = O M H K D C B A // = O M H K D C B A AM CM (gt) OM AC 0 90MHC . Tứ giác CKMH có 0 180MKC MHC nên nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh CD = MB và DM = CB. Ta có: 0 90ACB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hình 2 Do đó: DM // CB, mà CD // MB(gt) nên tứ giác CDMB là hình bình hành. Suy ra: CD = MB và DM = CB. 3. Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn. AD là tiếp tuyến của đường tròn (O) AD AB . ADC có AK CD và DH AC nên M là trực tâm tam giác . Suy ra: CM AD. Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10 CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO 10 A LÝ THUYẾT VÀ DẠNG TOÁN Trong trình giải toán thức bậc hai ta cần ý điều sau đây: A có nghĩa A Điều kiện để biểu thức Ta có A A với điều kiện A (định nghĩa bậc 2) Ta có đẳng thức Ta có AB Tuy nhiên A A A2 A Do A A A A2 A A B A 0, B AB A A B A 0, B B A B A 0, B Tương tự cho quy tắc khai thương Ví dụ Xét biểu thức P x 1 x 3 Điều kiện có nghĩa x x x x x Khi đó, P x x x A B Ta có A2 B A B Do đó, để A2 B A B ta cần phải có điều kiện AB (điều kiện dấu hai vế) A2 B Tức A B AB Chú ý Có trường hợp thường gặp A A B B (điều kiện dấu hai vế) A B2 Tuy nhiên, từ điều kiện A B ta suy A Do B AB A B Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10 Ví dụ Rút gọn biểu thức A Cách 1: Để viết biểu thức dấu bậc hai thành bình phương tổng hay hiệu ta nhân hai vế biểu thức A với Khi ta có: A 62 62 1 1 1 1 1 1 Từ suy A 2 2 Cách 2: Ta có A 3 3 A2 3 3 A2 2 3 3 A2 A Mặt khác A Từ suy A Các kiến thức sau thường sử dụng giải toán: Cho số thực a dương Khi x a a x a x a x2 a2 x a x a a x a x a x a x a Sau yêu cầu rút gọn biểu thức đại số P thường có dạng câu hỏi kèm theo: Dạng Tính giá trị P với giá trị cho trước biến Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10 Dạng Tìm giá trị biến số để P a, P Q Dạng Tìm giá trị biến số để P b (hay P b ) Dạng Chứng minh với biến số thỏa mãn điều kiện xác định P a hay P b hay a Pb Dạng Tìm giá trị nguyên biến số để P có giá trị nguyên Dạng Tìm giá trị biến (thỏa mãn điều kiện xác định) để P có giá trị nguyên Dạng Tìm giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất) P Dạng So sánh P P Dạng So sánh P P Dạng 10 So sánh P P2 B VÍ DỤ MẪU 1 a a a a a a Cho biểu thức A a 1 a Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị biểu thức A a 1 1 Tìm giá trị a để biểu thức A có giá trị Tìm giá trị a để biểu thức A 25 Tìm giá trị a để A Tìm giá trị a để biểu thức P A nguyên a2 Tìm giá trị a để A D với D 6a 5a So sánh A A So sánh A2 A LỜI GIẢI: 1 a a Điều kiện: 1 a a a Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10 Ta có 1 a 1 a a 1 a a a a 1 a a a 1 a 1 a 1 a Mặt khác 1 a 1 a a 1 a a a a 1 a a a 1 a 1 a 1 a Do A a 1 a Rõ ràng với a 2 1 a 2 1 a 1 2 2 2 Ta có A 1 1 3 2 Theo câu a) ta có A 1 a với điều kiện a Khi A 1 a a a 2 Mặt khác a Do a Theo câu a) ta có A 1 a với điều kiện a Khi biểu thức: 5 a a A 25 1 a 52 5 a 4 a 1 a a 4 So sánh với điều kiện a 1, ta a a Theo câu a) ta có A 1 a với điều kiện a Khi Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10 A 1 a 1 a 4 1 1 a 4 a a a 4 So sánh với điều kiện, ta có a a 4 1 a A a 2a 1 Ta có P a a2 a2 a2 a2 Do biểu thức P nhận giá trị nguyên khi: a a a a ước a 1 a a Mặt khác, a 1, biểu thức P nhận giá trị nguyên a Ta có: A D a 1 6a 5a 1 5a 3a 3a 3a 2a 3a a 1 a 1 a 1 a 1 5a a a So sánh với điều kiện a 1, ta a Để so sánh A A ta xét hiệu H A A a 1 a a a 1 Mặt khác, a 1 với a Chuyên đề rút gọn ôn thi vào 10 Do dấu âm hay dương H phụ thuộc vào dấu P a 1 1 a a Ta có P a a 1 a Mà a 1, nên P a Tóm lại A A a A A a 2, a Tương tự câu k) Tuyển tập toán hình học lớp ôn thi vào lớp 10 ∠ CDH = 900 ( Vì AD đường cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 Bài Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt H cắt đường tròn (O) M,N,P Chứng minh rằng: Tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC H M đối xứng qua BC Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Lời giải: Xét tứ giác CEHD ta có: ∠ CEH = 900 ( Vì BE đường cao) Mà ∠ CEH ∠ CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEC = 900 CF đường cao => CF ⊥ AB => ∠BFC = 900 Như E F nhìn BC góc 900 => E F nằm đường tròn đường kính BC Vậy bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn Xét hai tam giác AEH ADC ta có: ∠ AEH = ∠ ADC = 900 ; Â góc chung AE AH = => ∆ AEH ∼ ∆ADC => => AE.AC = AH.AD AD AC * Xét hai tam giác BEC ADC ta có: ∠ BEC = ∠ ADC = 900 ; ∠C góc chung BE BC = => ∆ BEC ∼ ∆ADC => => AD.BC = BE.AC AD AC Ta có ∠C1 = ∠A1 ( phụ với góc ABC) ∠C2 = ∠A1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BM) => ∠C1 = ∠ C2 => CB tia phân giác góc HCM; lại có CB ⊥ HM => ∆ CHM cân C => CB đương trung trực HM H M đối xứng qua BC Theo chứng minh bốn điểm B,C,E,F nằm đường tròn => ∠C1 = ∠E1 ( hai góc nội tiếp chắn cung BF) Cũng theo chứng minh CEHD tứ giác nội tiếp ∠C1 = ∠E2 ( hai góc nội tiếp chắn cung HD) ∠E1 = ∠E2 => EB tia phân giác góc FED Chứng minh tương tự ta có FC tia phân giác góc DFE mà BE CF cắt H H tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AD, BE, cắt H Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp Bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Lời giải: A Chứng minh ED = BC Chứng minh DE tiếp tuyến đường tròn (O) O Tính độ dài DE biết DH = Cm, AH = Cm H B D E C Tuyển tập toán hình học lớp ôn thi vào lớp 10 Xét tứ giác CEHD ta có: ∠ CEH = 900 ( Vì BE đường cao) ∠ CDH = 900 ( Vì AD đường cao) => ∠ CEH + ∠ CDH = 1800 Mà ∠ CEH ∠ CDH hai góc đối tứ giác CEHD , Do CEHD tứ giác nội tiếp Theo giả thiết: BE đường cao => BE ⊥ AC => ∠BEA = 900 AD đường cao => AD ⊥ BC => ∠BDA = 900 Như E D nhìn AB góc 90 => E D nằm đường tròn đường kính AB Vậy bốn điểm A, E, D, B nằm đường tròn Theo giả thiết tam giác ABC cân A có AD đường cao nên đường trung tuyến => D trung điểm BC Theo ta có ∠BEC = 900 Vậy tam giác BEC vuông E có ED trung tuyến => DE = BC 4.Vì O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O trung điểm AH => OA = OE => tam giác AOE cân O => ∠E1 = ∠A1 (1) Theo DE = BC => tam giác DBE cân D => ∠E3 = ∠B1 (2) Mà ∠B1 = ∠A1 ( phụ với góc ACB) => ∠E1 = ∠E3 => ∠E1 + ∠E2 = ∠E2 + ∠E3 Mà ∠E1 + ∠E2 = ∠BEA = 900 => ∠E2 + ∠E3 = 900 = ∠OED => DE ⊥ OE E Vậy DE tiếp tuyến đường tròn (O) E Theo giả thiết AH = cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông E ta có ED2 = OD2 – OE2 ED2 = 52 – 32 ED = 4cm Bài Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R Từ A B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt tiếp tuyến Ax , By C D Các đường thẳng AD BC cắt N 1.Chứng minh AC + BD = CD Lời giải: 2.Chứng minh ∠COD = 900 AB 3.Chứng minh AC BD = 4.Chứng minh OC // BM 5.Chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD 5.Chứng minh MN ⊥ AB 6.Xác định vị trí M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ 1.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2.Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: OC tia phân giác góc AOM; OD tia phân giác góc BOM, mà ∠AOM ∠BOM hai góc kề bù => ∠COD = 900 3.Theo ∠COD = 900 nên tam giác COD vuông O có OM ⊥ CD ( OM tiếp tuyến ) áp dụng hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta có OM2 = CM DM, AB Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R2 => AC BD = 4 Theo ∠COD = 900 nên OC ⊥ OD (1) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có: DB = DM; lại có OM = OB =R => OD trung trực BM => BM ⊥ OD (2) Từ (1) Và (2) => OC // BM ( Vì vuông góc với OD) 5.Gọi I trung điểm CD ta có I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO bán kính Tuyển tập toán hình ... bàn: (Đây đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2 010 tỉnh Hà Nam) Từ câu đến câu trình ôn thi vào lớp 10 chắn thầy cô ôn tập, em ôn thi nghiêm túc chắn giải ngay, khỏi phải bàn, em thi năm qua... (Trích đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2 010 sở GD&ĐT Tỉnh Bắc Ninh) BÀI GIẢI CHI TIẾT x Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập nhật Mtài liệu hay, Q I C Thaygiaongheo –... cung AC Đường thẳng kẻ từ C song song với BM cắt tia AM K cắt tia OM D OD cắt AC H Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp Chứng minh CD = MB DM = CB Ghé thăm blog thaygiaongheo.net thường xuyên để cập