Đề Thi Tuyển Sinh Vào Lớp 10 Năng Khiếu Toán Năm Học 2007-2008 (PTNK ĐHQG TPHCM) Thời Gian Làm Bài : 150 phút Câu 1. a) Giải hệ phương trình : b) Cho . Chứng Minh Rằng Là Nghiệm Của Một Phương Trình Bậc Với Hệ Số Nguyên c) Cho . Chứng Minh Rằng là nghiệm của phương trình bậc với hệ số nguyên. Câu 2. Cho tam giác nội tiếp . là điểm di động trên cung không chứa . Hạ lần lượt vuông góc với . a) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua điểm cố đinh. b) Xác định vị trí của điểm sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Câu 3. a) Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh bất đẳng thức b) Cho là các số dương thỏa mãn điều kiện . CHứng minh bất đẳng thức Câu 4. CHo hình thang có đáy và . Biết rằng đường tròn đường kính đi qua trung điểm các cạnh bên và tiếp xúc với . Hãy tìm số đo các góc của hình thang. Câu 5. a) Cho là các số thực dương phân biệt có tổng bằng . Chứng minh rằng trong phương trình có ít nhất phương trình có nghiệm phân biệt và có ít nhất một phương trình vô nghiệm. b) Cho là tập hợp gồm số tự nhiên có tính chất : tổng phần tử tùy ý của S là số chính phương ( Ví dụ S ={5;20;44} hoặc S= {10;54;90} là các tập hợp thỏa mãn điều kiện trên ). Chứng minh rằng trong tập có không quá số lẻ. Giải: Câu 1) a) Cộng hai pt lại ta có Thay vào pt(1) ta có hay b) áp dụng vi-et ta có tương tự Ta có => a, b là nghiệm của pt X^2-6X+7=0 có các hệ số nguyên c)Ta có Vậy . Vậy Từ đó ta được . Mặt khác ta cũng có Theo định lí Vi-ét đảo ta có là hai nghiệm của phương trình suy ra đpcm Câu 2) a)Hạ => cố định Do nội tiếp nên ; mà (cùng bù ) => => => thẳng hàng => luôn đi qua điểm cố định(đpcm) b) mà nên <=> => là điểm chính giữa cung không chứa Câu 3) mà tương tự =>(1) đúng, vậy bđt được cm b) tương tự ta có ta có tương tự => bđt (1) đúng=> đpcm Câu 4) Gọi trung điểm của AB,BC,CD,DA lần lượt là M,K,N,O MN giao với KO ở H Dễ dàng chứng minh được ABCD là hình thang cân Gọi bán kính đường tròn đầubài là R ON=OK=OM=OC=OD=R dễ dàng chứng minh OH=R/2 Mà ON=R NHO vuông ở O =30 =30 Mà ONC cân ở O = =75 Vậy hình thang ABCD có các góc có số đo là 75 và 105 Câu 5 ) a) gọi Ta có dễ dàng cm được dấu = xảy ra khi (trái đk bài toán) =>có ít nhất 1 pt có 2 no phân biệt Giả sử tất cả các pt đều có nghiệm(giả sử pt 1 có 2 nghiệm phân biệt) <=> từ đây có thể suy ra trái với giả thiết Vậy có ít nhất 1 => pt đó vô nghiệm câu 5) b) Mọi số chính phương khi chia cho 4 có số dư là 0 hay1 Giả sử ba số tự nhiên là a, b, c th: cả 3 số đều lẻ Các số lẻ chia 4 dư 1 hay 3. Vì cả 3 đều lẻ nên có 2 số có cùng số dư khi chia 4 Tổng 2 số đó khi chia 4 dư 2 ko thể là số chính phương TH : có 2 số lẻ(giả sử là a và b) Nhận thấy để tổng 2 số trên có thể là số chính phương thì chúng phải có số dư khác nhau khi chia cho 4 giả sử Xét c là 1 số chẵn hay Nếu ko là số chính phương ko là số chính phương Vậy có ko quá 1 số lẻ . Đề Thi Tuyển Sinh Vào Lớp 10 Năng Khiếu Toán Năm Học 2007-2008 (PTNK ĐHQG TPHCM) Thời Gian Làm Bài : 150 phút Câu. là 75 và 105 Câu 5 ) a) gọi Ta có dễ dàng cm được dấu = xảy ra khi (trái đk bài toán) =>có ít nhất 1 pt có 2 no phân biệt Giả sử tất cả các pt đều có