Đang tải... (xem toàn văn)
mot so bai toan lop 5 cuc hay 45282 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các l...
Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập The Inequalities Trigonometry 101 Chương 6 : H ướng dẫn giải bài tập 1.4.1. Chứng minh ( ) 9 cotcotcot cotcotcot 3 333 CBA CBA ++ ≥++ và 3cotcotcot ≥++ CBA 1.4.2. Xé t hà m ( ) 4 sin x xf = v ớ i ( ) π ;0∈x Ch ứ ng minh ( ) 0'' <xf và 2 32 12 sin − = π Cu ố i cù ng s ử dụ ng Jensen . 1.4.3. Ta ñã có : 2 33 sinsinsin ≤++ CBA và theo AM – GM thì : ( ) 9 sin 1 sin 1 sin 1 sinsinsin ≥ ++++ CBA CBA 1.4.4 B ấ t ñẳ ng th ứ c c ầ n ch ứ ng minh t ươ ng ñươ ng v ớ i : ( ) 8 1 2 sin 2 sin 2 sin 4 7 2 sin 2 sin 2 sin2coscoscos3 ≤⇔ ≥+++− CBA CBA CBA 1.4.5. Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập The Inequalities Trigonometry 102 Chứng minh C B A CBA CBA sin sin sin 2 sinsinsin cotcotcot 222 ++ =+++ và 4 9 sinsinsin 222 ≤++ CBA 1.4.6. ðể ý 0 2 cos 2 cos 2 cos > CBA nên b ấ t ñẳ ng th ứ c c ầ n ch ứ ng minh t ươ ng ñươ ng v ớ i : ( )( )( ) CBAACCBBA CBA ACCBBACBA sinsinsin8sinsinsinsinsinsin sinsinsin8 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos8 ≥+++⇔ ≥ − − − Ti ế p theo dù ng AM – GM ñể ch ứ ng minh ti ế p. 1.4.7. ðặ t 1 2 tan; 2 tan; 2 tan =++⇒=== zxyzxy C z B y A x Theo BCS thì : ( ) ( ) 2 222222 3 zxyzxyxzzyyx ++≥++ ( ) 1 3 1 222222 ≥++⇒ xzzyyx Theo AM – GM thì : ( ) 2133 33 1 3 3 222 ≤⇔≤ ⇒ ≥ + + xyzxyzzyx zxyzxy T ừ ( ) 1 suy ra : 3 4 1 222222 ≥+++ xzzyyx và theo ( ) 2 có xyz34 3 4 ≥ D ẫ n ñế n : ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CBACBA z z y y x x z z y y x x xyzzyxzyx xyzxzzyyx xyzxzzyyx sinsinsin3coscoscos1 1 2 1 2 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 38111111 3822 341 2222 2 2 2 2 2 222222 222222 222222 ≥+⇔ + ⋅ + ⋅ + ≥ + − ⋅ + − ⋅ + − +⇔ ≥−−−++++⇔ ≥+++⇔ ≥+++ 1.4.8. Theo AM – GM ch ứ ng minh ñượ c : + − + − + − ≥ − + − + − pcpbpapcpbpap 3111 3 111 4 Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập The Inequalities Trigonometry 103 và ⇒≥ + − + − + − Spcpbpap 3 343111 3 ñpcm. 1.4.9. & 1.4.10. Ta có : ( ) ( ) ( ) 222 2 2 232 cbaam a ++=+ 32 1 32 222 222 cba am cba am a a ++ ≥⇒ ++ ≤⇒ ( ) ( ) ++ ≥ ++ ≥ ⇒ 2 32 1 32 222 2 222 2 cba m a m cba a m a aa a Tương tự ( ) 1 : 222 2 222 2 32 32 cba c m c cba b m b c b ++ ≥ ++ ≥ 32≥++⇒ cba m c m b m a T ươ ng t ự ( ) 2 : 222 2 222 2 32 32 c b a m c m cba m b m cc bb ++ ≥ ++ ≥ 2 33 ≥++ ⇒ c m b m a m cba 1.4.11. Ch ứ ng minh : ( ) ( ) ( ) 2 222 22 cb bcacbap lm aa + −+− = và ( ) ( ) ( ) 4 22 2 2 4 222 cbacb bcacb +−+ ≥−+ ( ) applm aa −≥ ⇒ T ươ ng t ự cho bb lm và cc lm r ồ i c ộ ng cá c b ấ t ñẳ ng th ứ c lạ i ⇒ ñ pcm. 1.4.12. Truòng THPT chuyên Lý Tự Trọng Bất ñẳng thức lượng giác Chương 6 Hướng dẫn giải bài tập The Inequalities Trigonometry 104 Ta có : 2 1 1 2 2 2 cb a ma cb m a a + >⇒ + < ⇒≥ + + + + + ++ >++⇒ abc baaccb cba mcmbma cba 3 2 2 2 111 111 222 222 ñpcm. 1.4.13. Theo AM – GM thì : ( )( ) ⇒≤−− 4 2 c bpap ñ pcm. 1.4.14. Chứng minh : rhhh aaa 1111 =++ r ồ i dù ng AM – GM . 1.4.15. Xé t hà m ( ) ( ) π ;0sin ∈∀= xxxf có ( ) 0'' <xf Á p dụ ng Jensen thì : 4 sin3sin 4 3 sin BABA + ≥ + Á p dụ ng AM – GM thì : 4 3 sinsin 4 sin3sin BA BA ≥ + T ừ ñó suy ra ñ pcm. 2.6.1. Chú ý ( ) 03 2 ≥−+ OCOBOA v ớ i O là tâm ñườ ng trò n ngoạ i ti ế p ABC ∆ . 2.6.2. Chú Onthionline.net DẠNG TOÁN VỀ PHÂN TÍCH CẤU TẠO SỐ I Lý thuyết Một vài ví dụ phân tích cấu tạo số tự nhiên ab = a x 10 + b abc = a x 100 + b x 10 + c = ab x 10 + c = a x 100 = bc abcd = a x 1000 + b x 100 + c x 10 + d = abc x 10 + d I Bài tập Bài 1: Tìm số có ba chữ số, biết chữ số hàng đơn vị 1/9 tổng hai chữ số Chữ số hàng trăm gấp lần tổng chữ số hàng chục đơn vị Bài 2: Tìm y biết: a) y3 + 3y = 12 x 11 b) y04 + 40y = 101 x 11 c) y0y04 + 40y0y + y040y = 20202 x 11 Bài 3: Hãy xem kết sau hay sai? Giải thích sao? bc x bc = 2003 Bài 4: Cho số có hai chữ số, viết thêm số vào ta số có ba chữ số Biết hiệu hai số 270 Hãy tìm số Bài 5: Tìm hai số tự nhiên liên tiếp biết ½ tích chúng số có ba chữ số giống Bài 6: Thay chữ A chữ số lẻ B chữ số chẵn để 12 thừa số A579B Bài 7: Tìm số tự nhiên có chữ số biết viết thêm chữ số vào đằng trước số ta số lần số phải tìm Bài 8: Tìm số tự nhiên có chữ số biết viết thêm chữ số vào đằng trước, đằng sau số ta hai số có chữ số số viết đằng trước số viết đằng sau 1107 đơn vị Bài 9: Tìm số tự nhiên có chữ số biết số chia cho tổng chữ số dư Bài 10: Tìm số có chữ số, biết rằn tích hai chữ số 40, tích hai chữ số 28, chữ số hàng nghìn nhỏ chữ số hàng đơn vị,chữ số hàng trăm nhỏ chữ số hàng chục Bài 11: tìm số có chữ số, chữ số hàng nghìn 1/10 tổng bốn chữ số Chữ số hàng trăm gấp lần tổng chữ số hàng chục hàng đơn vị Bài 12: Thay chữ số thích hợp: abcd + abc + ab + a = 11106 Bài 13: Tìm số tự nhiên có có ba chữ số biết số gấp lần tích chữ số Một số bài toán dùng cực và đối cực Cực và đối cực được áp dụng để giải khá nhiều các bài toán hình học phẳng. Nhiều bài toán nếu không dùng cực và đối cực thì con đường đến lời giải có lẽ sẽ phức tạp hơn rất nhiều. Trong bài viết này tôi xin trình bày một số bài toán có sử dụng cực và đối cực để giải quyết. Rất mong được sự góp ý của các bạn. 1. Các bài toán nhỏ Đây là các bài toán chủ yếu được suy ra khá trực tiếp từ những tính chất cơ bản của cực và đối cực. Vì thế lời giải của chúng thường rất ngắn gọn. Cũng có một số bài toán dùng cực và đối cực làm một bước đệm trong lời giải của chúng. Bài toán 1 (Australian-Polish 98): Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F thuộc một đường tròn sao cho các tiếp tuyến tại A và D, đường thẳng BF, CE đồng quy. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BC, EF hoặc đôi một song song hoặc đồng quy. Trường hợp 3 đường thẳng đó đôi một song song dễ thấy nên ta chỉ xét khi chúng có cắt nhau. Nếu gọi điểm đồng quy của BF, CE là K thì KA, KD là các tiếp tuyến của K với đường tròn nên AD là đường đối cực của K. Theo như tính chất của tứ giác nội tiếp thì BC và EF sẽ cắt nhau tại 1 điểm thuộc đường đối cực của K, tức thuộc AD. Bài toán 2: Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. K là một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng EF. BK, CK cắt AC, AB lần lượt tại E’, F’. Chứng minh rằng E’F’ tiếp xúc với (I). Gọi giao điểm của DK và (I) là J và qua J kẻ tiếp tuyến với (I) cắt AC, AB tại M, N. Ta thấy rằng EF, DJ, BM và CN đồng quy. Rõ ràng điểm đồng quy đó là K nên M trùng với E’, N trùng với F’, tức E’F’ tiếp xúc với (I). Chú ý là trong bài toán này thì điểm K có thể di chuyển trên cả đường thẳng EF mà kết quả không thay đổi. Hơn nữa nếu gọi D’ là giao điểm của E’F’ với BC thì tương tự cũng có CF’, AD’, FD và AD’, BE’, DE đồng quy. Phát biểu lại thì có điều kiện cần và đủ để một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn nội tiếp như sau: Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng l cắt các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D’, E’, F’. Chứng minh rằng l tiếp xúc với (I) khi và chỉ khi một trong 3 điều kiện sau xảy ra: i) giao điểm của BE’, CF’ thuộc EF. ii) giao điểm của CF’, AD’ thuộc FD. iii) giao điểm của AD’, BE’ thuộc DE. Cần chú ý thêm một chút nữa rằng cả 3 điều kiện trên là tương đương nên xảy ra 1 điều kiện cũng có nghĩa là cả 3 điều kiện đều xảy ra. Bài toán 3 (MOP 95): Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp (O). Tiếp điểm thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q. AN, AP cắt (O) tại E, F. Chứng minh rằng ME, QF, AC đồng quy. Gọi K là cực của AC. Xét tứ giác nội tiếp MNPQ thì theo tính chất cực và đối cực của tứ giác nội tiếp ta có MQ và NP cắt nhau tại K. Lại xét đến tứ giác nội tiếp EFPN thì cũng có EF và NP cắt nhau tại Một số bài tập về “HOÀN THÀNH CÔNG VIỆC” Bài 1: Cho hai số có tổng là 7,7. Nếu gấp số thứ nhất lên 4 lần. Gấp số thứ hai lên 7 lần thì thì được hai số mới có tổng là 37,7. Tìm hai số đó? Bài 2: Tổng đúng của một số thập phân và một số tự nhiên là 62,42. Nhưng khi cộng hai số này bạn Tí đã quên mất dấu phảy ở số thập phân và đặt tính như đối với số tự nhiên nên được kết quả là 3569. Tìm hai số đó? Bài 3: Cho hai vòi nước cùng chảy vào một cáI hồ. Vòi 1 chảy đầy hồ sau 15 giờ. Vòi hai chảy đầy hồ sau 21 giờ. Khi 3 1 hồ đã có nước, người ta cho vòi 2 chảy vào hồ trong 5 giờ rồi cho tiếp vòi 1 cùng chảy vào. Tính thời gian để hai vòi cùng chảy đến khi đầy hồ? Bài 4: Hai người làm chung một công việc thì sau 5 giờ sẽ xong. Sau khi làm được 2 giờ thì người thứ hai có việc phảI nghỉ và người thú nhất phảI làm thêm 9 giờ nữa mới xong. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phảI làm trong bao lâu? Bài 5: Người thợ thứ nhất làm xong một công việc trong 9 giờ. Người thứ hai làm xong công việc đó trong 15 giờ. Lúc đầu người thứ nhất làm trong một thời gian rồi nghỉ sau đó người thứ hai làm nốt công việc còn lại. Thời gian cả hai người làm hết công việc là 11 giờ. Hỏi mỗi người làm trong mấy giờ. Bài 6: Vòi 1 chảy trong 2 giờ thì đầy hồ. Vòi 2 có sức chảy bằng 3 1 vòi 1. Vòi 3 tháo hết hồ đầy nước trong 4 giờ. Nếu 5 2 hồ có nước. Mở cả 3 vòi cùng một lúc thì sau bao lâu hồ đầy? Bài 7: Để xây xong một cáI nhà nhóm I làm trong 15 ngày. Nhóm II làm trong 20 ngày. Nhóm III làm trong 24 ngày. Người chủ nhà thuê 4 3 nhóm I ; 3 2 nhóm II; 5 2 nhóm III cùng làm . Sau bao nhiêu ngày thì xây xong nhà? 1 Bài 8: Hai người làm chung công việc thì 7 giờ sẽ xong. Nhưng người thợ cả mới chỉ làm cùng với người thợ hai trong 4 giờ thì nghỉ do đó người thợ thứ hai phảI làm 9 giờ nữa mới xong chỗ còn lại. Hỏi mỗi người làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong? Bài 9: Người thứ I cần 9 giờ để làm xong công việc. Người thứ hai cần 15 giờ để làm xong công việc đó. Người ta để người thứ nhất làm trong 6 giờ rồi nghỉ còn người thứ hai làm tiếp cho đến khi xong công việc. Hỏi người thứ hai còn phảI làm trong bao lâu? Một số bài tập về “HOÀN THÀNH CÔNG VIỆC” Bài 10: Bạn Hoàng cần 10 ngày để làm xong một công việc. Minh cần 15 ngày để làm xong công việc đó. Bình làm một mình cần số ngày gấp 5 lần số ngày của Hoàng, Minh cùng làm để xong công việc. Nếu 3 người làm chung thì sau bao lâu sẽ xong công việc? Bài 11: Một bể nuôI cá không có nước, khi mở vòi nước I; II; III thì bể đầy trong 72 giây. Khi mở vòi II; III; IV thì bể đầy trong 90 giây. Khi mở vòi I và vòi IV thì bể đầy trong 120 giây. Hỏi nếu mở 4 vòi cùng một lúc thì bể đầy trong bao lâu? Bài 12: Bốn bạn nhận nhiệm vụ chuyển sách sang thư viện. Trong 1 giờ Hồng chuyển được 7 2 số sách. Hà chuyển được 40 11 số sách. Toán chuyển được 70 23 số sách. Thơ chuyển được 35 9 số sách. Bốn bạn dự định làm trong 1 giờ. Theo em sau 1 giờ 4 bạn có chuyển xong số sách đó không? Bài 13: Hai bạn A và B cùng làm xong một công việc thì sau 48 ngày sẽ xong. Cũng công việc đó A làm một mình trong 63 ngày sau đó B làm tiếp 28 ngày nữa thì hoàn thành. Hỏi A làm một mình thì sau bao nhiêu ngay sẽ hết toàn bộ công việc đó? Bài 14: Có một bể nước, nếu cho vòi A chảy vào bể thì sau 2 4 1 giờ bể đầy. 2 Vòi B cách đáy bể 3 1 chiều cao của bể. Nếu bể đầy nước, mở vòi B thì sau 3 giờ vòi B không chảy nữa. Giả sử bể không có nước, mở cả hai vòi cùng một lúc thì thì sau bao lâu bể đầy? Bài 15: Hai người làm một công việc. Người thứ I làm 10 giờ xong. Người thứ hai làm 15 giờ xong. Người thứ I làm một thời gian sau đó nghỉ và người thứ hai làm tiếp cho đến lúc xong. Biết tổng thời gian hai người làm là 11 giờ. Tính thời gian mỗi người làm? Bài 15: Hai người làm chung một công việc sau 12 ngày thì xong. Người thứ nhất lầm trong 9 ngày rồi nghỉ để người thứ hai làm 14 ngày nữa thì xong. a, Hỏi mỗi người làm riêng sau bao lâu sẽ xong? b, Hai người làm trong 1 ngày được bao nhiêu % công Sở Giáo Dục – Đào Tạo Quảng Trị Trường Trung Học Phổ Thông Đakrông Tổ: Toán SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài : “Các cách tiếp cận, phân tích để giải một số bài toán” Polya Giáo viên thực hiện: Ngô Văn Khôi Năm học: 2008 -2009 Đakrông, 5.2009 I.LỜI NÓI ĐẦU Việc dạy học đối với các tiết bài tập nói chung là quan trọng, bởi vì đây là tiết học mà các em học sinh có thời gian để làm các bài tập toán và đưa ra các dạng toán và phương pháp thích hợp để giải các dạng toán đó. Do đó trước khi lên lớp giáo viên nên chuẩn bị một số lượng bài tập hợp lí và đặc biệt là cách giải các dạng bài tập toán đó. Để giúp học sinh có cách nghĩ khác về công việc giải toán người giáo viên phải định hướng cách giải quyết các bài toán cho học sinh càng nhiều cách càng tốt nhằm giúp các em học sinh biết cách khai thác cách giải một bài toán nhằm phát triển tư duy, tính linh hoạt khi làm toán cho các em. Để làm rõ cho ý tưởng này tôi xin nêu ra một số bài tập cơ bản tương tự trong SGK Đại Số và Giải Tích 11. Bài tập 1: Giải phương trình Sin2x = Cosx (1) * Phân tích1: vế trái là hàm Sin, vế phải là hàm Cos như vậy để giải được bài toán học sinh chuyển Cos về Sin ( Hoặc chuyển Sin về Cos ) * Mấu chốt của bài toán là sử dụng công thức : Cosx = Sin( 2 x π − ) hoặc Sin2x = Cos( 2 2 x π − ) Ta có các cách giải trong trường hợp phân tích này như sau : - Cách giải1 : (1) <=> Sin2x = Sin( 2 x π − ) <=> 2 2 2 , 2 ( ) 2 2 x x K K Z x x K π π π π π = − + ∈ = − − + <=> 2 3 2 6 3 2 , 2 2 2 2 x K x K K Z x K x K π π π π π π π π π = + = + ⇔ ∈ = − + = + - Cách giải 2 : (1) <=> Cos( 2 2 x π − ) = Cosx <=> 2 2 2 , 2 2 2 x x K K Z x x K π π π π − = + ∈ − = − + <=> 2 3 2 6 3 2 , 2 2 2 2 x K x K K Z x K x K π π π π π π π π = + − = − + − ⇔ ∈ − = − + = − Chú ý : Theo cách phân tích 1 học sinh có thể chuyển vế và dùng các công thức biến đổi tổng thành tích để giải. Chẳng hạn: - Cách giải 3 : Sin2x = Sin( 2 x π − ) <=> Sin2x – Sin( 2 x π − ) = 0 <=> 2Cos( 2 4 x π + )Sin( 3 2 4 x π − ) = 0 <=> os( + ) = 0 2 4 3x Sin( - ) = 0 2 4 x C π π <=> x = +K2 + = +K 2 2 4 2 , 2 3x x = +K - = K 6 3 2 4 x K Z π π π π π π π π π <=> ∈ * Phân tích2:vế trái cung 2x, vế phải là cung x như vậy để giải được bài toán học sinh chuyển cung 2x v ề cung x. * Mấu chốt của bài toán là sử dụng công thức : Sin2x = 2SinxCosx Ta có cách giải trong trường hợp phân tích này như sau : - Cách giải 4 : (1)<=> 2SinxCosx = Cosx <=> Cosx(2Sinx – 1) = 0 <=> osx = 0 1 Sinx = 2 C + Cosx = 0 <=> x = , 2 K K Z π π + ∈ + Sinx = 1 2 <=> Sinx = Sin 6 π <=> x = 2 6 , 5 x = 2 6 K K Z K π π π π + ∈ + Bài tập tương tự : a) Sin2x = 2Cosx b) Cos2x = - Sinx Bài tập 2: ( bài tập 4b sgk Tr.179) Trong một bệnh viện có 40 bác sĩ ngoại khóa. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ca mổ, nếu ca mổ gồm một bác sĩ mổ và bốn bác sĩ phụ ? * Mấu chốt của bài toán là sử dụng quy tắc đếm ( cụ thể là quy tắc nhân ) * Phân tích1 : Số bác sĩ mổ là 1 được chọn trong 40 người ( còn lại 39 người ) Số bác sĩ phụ là 4 được chon trong 39 người còn lại - Cách giải 1. + Chọn 1 bác sĩ mổ trong 40 bác sĩ có 1 40 C ( cách ) + Chọn 4 bác sĩ phụ trong 39 bác sĩ còn lại có 4 39 C ( cách ) Theo quy tắc nhân ta có tổng số cách chọn là : 1 40 C . 4 39 C ( cách ) * Phân tích2 : Số bác sĩ cần cho ca mổ là 5. Do đó Chọn 5 bác sĩ trong 40 bác sĩ Trong 5 bác sĩ được chọn ta chọn 1 bác sĩ mổ ( hoặc 4 bác sĩ phụ ) - Cách giải2 . + Chọn 5 bác sĩ cho ca mổ có 5 40 C ( cách ) + Chọn 1 bác sĩ mổ 1 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c ta có: 3 2 a b c b c c a a b Giải: Xét các biểu thức sau a b c S b c c a a b b c a A b c c a a b c a b B c b c a a b Ta có A + B = 3. Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy thì: 3 a b b c c a SA b c c a a b 3 a b b c c a SA b c c a a b Cộng theo vế ta có A + B +2S ≥3 S≥ 3 2 (Điều phải chứng minh) Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số thực không âm a, b, c, d ta có: 2 a b c d b c c d d a a b Giải : Đặt a b c d S b c c d d a a b b c a a A b c c d d a a b c d a b B b c c d d a a b Theo bất đẳng thức Cauchy thì: http://kinhhoa.violet.vn 2 4 a b b c c d d a SB b c c d d a a b a c b d c a d b SA b c c d d a a b a c c a b d d b b c d a c d a b 4( )ac a b c d 4( ) 4 bd a b c d Cộng theo vế ta có A+B+2S ≥8 mà A+B=4 vậy S≥ 4 (Điều phải chứng minh) Bài 3: Cho x, y, z >0 và xyz = 1, chứng minh rằng: 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 xyz y z z x x y Ta có: 3 11 3 (1 )(1 ) 8 8 4 x y z x yz Tương tự ta có: 3 11 3 (1 )(1 ) 8 8 4 y x z y zx 3 11 3 (1 )(1 ) 8 8 4 z x y z xy Cộng theo vế rồi rút gọn ta có: 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 xyz y z z x x y 3 3 3 2 2 2 xyz x y z vậy 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 xyz y z z x x y http://kinhhoa.violet.vn 3 Bài 4: Cho a, b, c, d >0 và ab+bc+cd+da = 1, chứng minh rằng: 3 3 3 3 1 3 a b c d b c d c d a a b d a b c Ta có (a + b + c + d) 2 = [(a + c)+(b + d)] 2 ≥4(a + c)(b + d) = 4(ab + bc + cd + da) = 4 a + b + c + d ≥ 2 ( a, b, c, d >0) 3 12 8 6 12 3 a b c d a a b c d Tương tự ta có 3 12 8 6 12 3 b a c d b b c d a 3 12 8 6 12 3 c a b d c c a b d 3 12 8 6 12 3 d a b c d d abc Cộng theo vế các bất đẳng thức ta có: 3 3 3 3 1 2 1 1 3 3 3 3 3 a b c d a b c d b c d c d a a b d a b c vậy 3 3 3 3 1 3 a b c d b c d c d a a b d a b c Bài 5: Cho a, b, c>0, chứng minh rằng: 2 1 1 1 27 ( ) ( ) ( ) 2( )a a b b b c c a c a b c (1) Giải: VT(1) ≥ 3 3 3 13 3 ( )( )( ) ( )( )( ) abc a b b c c a abc a b b c c a http://kinhhoa.violet.vn 4 2 3 27 2( ) 2( ) * 33 a b c a b c abc Dấu ‘=’ xảy ra abc a b b c c a a=b=c Bài 6:Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta luôn có: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc a c abc abc Giải a, b, c >0 ta luôn có (a - b) 2 (a + b) ≥0 (a - b)(a 2 - b 2 ) ≥0 a 3 +b 3 -a 2 b-ab 2 ≥0 a 3 +b 3 ≥ a 2 b+ab 2 a 3 +b 3 ≥ab(a+b) 33 () abc abc c a b abc ab a b abc a b c Tương tự ta có 33 () abc abc a b c abc bc b c abc a b c 33 () abc abc b a c abc ac a c abc a b c Cộng theo vế ta có: 3 3 3 3 3 3 1 abc abc abc a b c a b abc b c abc a c abc a b c 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc a c abc abc Bài 7: Cho các số thực dương x, y, z dương thoả mãn điều kiện x 2 + y 2 +z 2 =3. Chứng minh rằng: 3 xy yz zx z x y (1) http://kinhhoa.violet.vn 5 Giải : Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x y y z x y z x y z z x z x y z x z y x y 2 2 2 2 x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z z x z x y 2