Đang tải... (xem toàn văn)
Tóm tắt lý thuyết, hướng dẫn làm bài tập, giải ví dụ, bài tập và bài giải môn toán cao cấp phần đại số tuyến tính gồm các chương: Chương 1: ma trận định thức Chương 2: hệ phương trình tuyến tính Chương 3: không gian véc tơ Chương 4: Ánh xạ tuyến tính Chương 5 : Không gian EUCLIDE và dạng toàn phương
Chương MA TRẬN - ĐỊNH THỨC MA TRẬN 1.1 Đònh nghóa ma trận Một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng n cột ⎛ a11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 ⎜ ⎜a ⎝ m1 a12 a 22 a m2 a1n ⎞ ⎟ a 2n ⎟ ⎟ ⎟ a mn ⎟⎠ ( ) hay A = ⎡⎣a ij ⎤⎦ , m× n a ij số hạng nằm dòng thứ i , cột thứ j ma trận A gọi ma trận cấp m × n , ký hiệu A = a ij m×n Tập hợp tất ma trận cấp m × n ký hiệu Mm×n Với A ∈ Mm×n , số hạng nằm dòng thứ i , cột thứ j , i = 1, m , j = 1, n , A ký hiệu ⎡⎣ A ⎤⎦ ij ⎛ 3⎞ Ví dụ Với A = ⎜ ⎟ ∈ M2×3 , ⎝ ⎠ [ A ]11 = 1; [ A ]12 = 2; [ A ]13 = 3; [ A ]21 = 4; [ A ]22 = 5; [ A ]23 = Chú ý việc xử lý bảng công cụ quen thuộc đời sống Chẳng hạn, để ghi số lượng bán mặt hàng ngày, ta dùng số Số lượng bán n mặt hàng ngày biểu diễn n số mà ta gọi vectơ n – chiều, hay ma trận cấp × n Số lượng bán n mặt hàng m ngày biểu diễn m vectơ n – chiều, hay ma trận cấp m × n Trong xử lý ảnh, ảnh đen trắng biểu diễn ma trận bít , Trong thống kê ứng dụng, khảo sát biến phụ thuộc theo k biến độc lập, người ta thu thập n số liệu, số liệu gồm k + số giá trò k biến độc lập giá trò biến phụ thuộc tương ứng Một số liệu tạo thành ma trận cấp n × ( k + 1) , Giống khái niệm khác toán học, ma trận biểu diễn nhiều đối tượng khác toán ứng dụng cụ thể Về mặt toán học, ta xét biểu diễn quan trọng ma trận việc khảo sát hệ phương trình tuyến tính, hệ thống gồm nhiều phương trình bậc theo nhiều ẩn số Xét hệ phương trình ⎧ x − y + z = ⎪ ⎨ − x + 2y + z = ⎪−2x + 3y + z = ⎩ (1.1) x, y, z ẩn số cần tìm Vai trò ký hiệu ẩn x, y, z ý nghóa đònh Chẳng hạn, hệ phương trình viết lại thành ⎧ x1 ⎪ ⎨ − x1 ⎪−2x ⎩ − x2 + x3 + 2x2 + x3 + 3x + x3 = (1.2) = = với ẩn x1 , x , x , Nói khác đi, hệ phương trình tuyến tính hoàn toàn xác đònh số hạng kèm theo ẩn mà ta gọi hệ số số hạng vế phải mà ta gọi hệ số tự Cụ thể, hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số hoàn toàn xác đònh ma trận cấp m × n hệ số ma trận cấp m × hệ số tự Chẳng hạn, hệ phương trình (1.1) hay (1.2) hoàn toàn xác đònh ma trận ⎛ −1 ⎞ ⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ B = ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ngoài ra, ta gom chung hai ma trận lại ma trận, gọi ma trận hệ số mở rộng ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ hay A B = ⎜ −1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( ) 1.2 Ma trận Hai ma trận A B gọi chúng có cấp số hạng tương ứng chúng đôi một, nghóa ⎡⎣ A ⎤⎦ = ⎡⎣ B⎤⎦ với ij i, j Ví dụ Cho hai ma trận A, B ∈ M2×3 , ⎛p q 4⎞ ⎛1 ⎞ A=⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝s 2⎠ Ta có A = B p = , q = s = ij 1.3 Các ma trận đặc biệt i) Ma trận không : ma trận mà số hạng số Ma trận không cấp m × n ký hiệu m×n hay vắn tắt ⎛ 0 0⎞ Ví dụ 02×3 = ⎜ ⎟ ma trận không cấp × ⎝ 0 0⎠ ii) Ma trận vuông : ma trận có số dòng số cột Ma trận vuông cấp n × n gọi tắt ma trận vuông cấp n Tập hợp tất ma trận vuông cấp n ký hiệu Mn Với ma trận vuông A ∈ Mn , số hạng ⎡⎣ A ⎤⎦ , 11 ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ gọi nằm đường chéo (chính) A Các số hạng 22 nn ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ gọi nằm đường chéo phụ A n1 n −1,2 1n Ví dụ Ma trận ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜0 ⎟ ⎜ −5 ⎟ ⎝ ⎠ ma trận vuông cấp Các số hạng nằm đường chéo : ⎣⎡ A ⎦⎤ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = −5 11 22 33 Các số hạng nằm đường chéo phụ : ⎣⎡ A ⎦⎤ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = , ⎡⎣ A ⎤⎦ = 31 22 13 iii) Ma trận chéo cấp n : ma trận vuông cấp n mà số hạng không nằm đường chéo số Ví dụ Ma trận ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −7 ⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ ma trận chéo cấp iv) Ma trận đơn vò cấp n : ma trận chéo cấp n , ký hiệu In , mà số hạng nằm đường chéo Để biểu diễn ma trận đơn vò, người ta dùng ký hiệu Kronecker : ⎧1 δij = ⎨ ⎩0 khi i= j i≠ j đó, ma trận đơn vò cấp n viết dạng ⎛1 ⎜ In = ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝0 ⎞ ⎟ ⎟ = δij ⎟ ⎟ ⎟⎠ ( ) i, j =1,n Ví dụ Ma trận đơn vò cấp cấp ⎛ 0⎞ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ I2 = ⎜ ⎟ ; I3 = ⎜ ⎟ ⎝0 1⎠ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ v) Ma trận tam giác (dưới) : ma trận vuông mà phần tử phía (ở phía trên) đường chéo Ví dụ Ma trận ⎛ b11 ⎜ ⎜ B=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ b12 b22 b1n ⎞ ⎟ b2n ⎟ ⎟ ⎟ bnn ⎟⎠ ma trận tam giác ma trận ⎛ c11 ⎜ ⎜c C = ⎜ 21 ⎜ ⎜c ⎝ n1 c22 cn2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ cnn ⎟⎠ ma trận tam giác vi) Ma trận có dòng gọi ma trận dòng, ma trận có cột gọi ma trận cột Các ma trận dòng ma trận cột xem vectơ gọi vectơ dòng vectơ cột Khi đó, ma trận xem tạo nhiều vectơ dòng hay tạo nhiều vectơ cột Với ma trận A ∈ Mm×n , dòng thứ i A gồm phần tử ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ ký hiệu ⎡⎣ A ⎤⎦ ; cột i1 i2 in i j thứ j gồm phần tử ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ , ký hiệu ⎡⎣ A ⎤⎦ 1j 2j mj Ví dụ i) Ma trận A = ( −1) ma trận dòng ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ii) Ma trận B = ⎜ ⎟ ma trận cột ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ iii) Ma trận ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ −1 ⎟ ∈ M3×4 ⎜ −1 −1 ⎟ ⎝ ⎠ tạo vectơ dòng ⎡⎣C ⎤⎦ = (1 1) ; ⎡⎣C ⎤⎦ = ( −1 ) ; ⎣⎡C ⎦⎤ = ( −1 −1) , hay tạo vectơ cột ⎛1⎞ ⎛2⎞ ⎛ 0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ −1 ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ ⎟ ; ⎡⎣C⎤⎦ = ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜1⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1.3 Các phép toán ma trận 1.3.1 Phép cộng hai ma trận nhân số với ma trận Với hai ma trận A, B ∈ Mm×n với số thực h ∈ , ta đònh nghóa : Ma trận tổng A B , ký hiệu A + B , ma trận cấp m × n xác đònh ⎡⎣ A + B ⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ + ⎡⎣ B⎤⎦ với i, j ij ij ij Ma trận tích số h với A , ký hiệu hA , ma trận cấp m × n xác đònh ⎡⎣ hA ⎤⎦ = h ⎡⎣ A ⎤⎦ với i, j ij ij ⎛ 3⎞ ⎛ −1 ⎞ Ví dụ Với A = ⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟ ⎝ −1 −1 ⎠ ⎝ 6⎠ ⎛2 4⎞ ⎛2 ⎞ ⎛ −4 −4 ⎞ A+B=⎜ ⎟ , 2A = ⎜ ⎟ −4B = ⎜ ⎟ ⎝3 5⎠ ⎝ 10 12 ⎠ ⎝ −4 ⎠ ∗ Chú ý : Hai ma trận cộng với chúng có cấp ma trận tổng có cấp cấp hai ma trận cho Ma trận −1 A , ký hiệu − A , ( ) gọi ma trận đối ma trận A Từ đó, ta đònh nghóa phép trừ ma trận A − B ≡ A + ( −B ) = A + ( −1) B Tính chất Với ma trận A, B, C ∈ Mm×n h, k ∈ (i) A + B = B + A (tính giao hoán), (ii) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (tính kết hợp), (iii) A + = A ( : ma trận không cấp m × n ), (iv) A + ( − A ) = , , ta có (v) h ( kA ) = ( hk ) A , (vi) h ( A + B ) = hA + hB , (vii) ( h + k ) A = hA + kA , (viii) 1.A = A Các tính chất kiểm chứng cách dễ dàng coi tập Tập hợp M m×n với hai phép cộng hai ma trận phép nhân ma trận với số thỏa tính chất nêu nên sau ta nói có cấu trúc không gian vectơ (xem chương 3) 1.3.2 Phép nhân hai ma trận Cho hai ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p Ta đònh nghóa ma trận tích hai ma trận A, B ma trận cấp m × p , ký hiệu AB , xác đònh ⎡⎣ AB⎤⎦ = ik n ∑ ⎡⎣ A ⎤⎦ ij j =1 ⎡⎣B⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦ + ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦ + + ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ B⎤⎦ jk i1 1k i2 2k in nk với i = 1, m , k = 1, p Trong công thức tính số hạng ⎡⎣ AB ⎤⎦ ma trận tích AB , số hạng ik ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ tạo thành dòng thứ i , ⎡⎣ A ⎤⎦ , ma trận A số hạng i2 in i k ⎡⎣ A ⎤⎦ , i1 ⎡⎣ B ⎤⎦ , 1k ⎡⎣ B ⎤⎦ , , ⎡⎣ B ⎤⎦ tạo thành cột thứ k , ⎡⎣ B ⎤⎦ , ma trận B Khi đó, số hạng ⎡⎣ AB ⎤⎦ 2k nk ik k tích vô hướng hai vectơ ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣B ⎤⎦ i Ví dụ 10 Cho ⎛ 2⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ ∈ M3×2 , B = ⎜ ⎟ ∈ M2×2 − ⎝ ⎠ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ Các số hạng ma trận AB ∈ M3×2 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ ( −2) = − , 11 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ = , 12 1 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = − ⋅ + ⋅ ( −2 ) = − , 21 2 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = − ⋅ + ⋅ = − , 22 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ ( −2 ) = − , 31 ⎡⎣ AB⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⋅ ⎡⎣ B⎤⎦ = ⋅ + ⋅ = , 32 ⎛ −2 ⎞ ⎜ ⎟ AB = ⎜ −4 −2 ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠ Chú ý với phép nhân ma trận vậy, ta biểu diễn hệ phương trình tuyến tính phương trình ma trận Chẳng hạn, trở lại với hệ phương trình tuyến tính ⎧ x1 ⎪ ⎨ − x1 ⎪−2x ⎩ − x2 + 2x2 + 3x + x3 = + x3 = + x3 (1.3) = với ma trận hệ số ma trận hệ số tự do, ⎛ 2⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 ⎟ B = ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎜7⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ Gọi X = ⎜ x2 ⎟ ma trận ẩn số Phương trình (1.3) viết lại thành ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠ A⋅X = B (1.4) Tính chất (i) Tính kết hợp : Với ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p C ∈ Mp×q , ta có A ( BC ) = ( AB ) C (ii) Tính phân bố : Với ma trận A, B ∈ Mm×n C ∈ Mn×p , ta có ( A + B) C = AC + BC , với ma trận C ∈ Mm×n A, B ∈ Mn×p , ta có C ( A + B ) = CA + CB (iii) Với ma trận A ∈ Mm×n , B ∈ Mn×p h ∈ , ta có h ( AB ) = ( hA ) B = A ( hB ) * Chú ý i) Để nhân ma trận A với ma trận B , ta cần điều kiện số cột ma trận A phải số dòng ma trận B : Số dòng ma trận tích AB số dòng ma trận A Số cột ma trận tích AB số cột ma trận B Do đó, với hai ma trận A, B cho trước, không thiết tích AB tồn tích AB tồn tại, tích BA không thiết tồn ii) Tích hai ma trận nói chung tính giao hoán, nghóa tổng quát ta có AB ≠ BA Ví dụ 11 Với hai ma trận ⎛0 1⎞ ⎛ 0⎞ A=⎜ ⎟, B = ⎜ ⎟, ⎝ 0⎠ ⎝1 0⎠ ⎛ 0⎞ ⎛ 0⎞ ta có AB = ⎜ ⎟ ≠ BA = ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝0 1⎠ Trong trường hợp hai ma trận tích AB BA tồn thỏa đẳng thức AB = BA , ta nói hai ma trận A B giao hoán với Chẳng hạn, ma trận đơn vò In giao hoán với ma trận vuông A cấp n In A = AIn = A Tổng quát, B ma trận cấp m × n , ta có Im B = BIn = B , Im , In ma trận đơn vò cấp m n Ví dụ 12 Cho ⎛ 3⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ Ta có ⎛ 0⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ I2 A = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 6⎠ ⎛1 0⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 3⎞ AI3 = ⎜ ⎟ ⎜ 0⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ ⎜ 0 ⎟ ⎝ 6⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 −3 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ví dụ 13 Cho A = ⎜ −1 ⎟ C = ⎜ −1 −2 ⎟ Ta có ⎜ −2 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛1 0⎞ ⎜ ⎟ A ⋅ C = C ⋅ A = ⎜ ⎟ = I3 , ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ (1.5) đó, hai ma trận A C giao hoán với Thực ra, ma trận C thỏa (1.5) nêu gọi ma trận nghòch đảo A (xem phần 3), ký hiệu A −1 Khi đó, cách nhân (bên trái) hai vế đẳng thức (1.4) cho C, ta C ( AX ) = C ⋅ B Do C ( AX ) = ( CA ) X = I3 ⋅ X = X , đẳng thức cho ⎛ −1 −3 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ X = C ⋅ B = ⎜ −1 −2 ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ đó, ta nhận x1 = ; x = ; x = Nói khác đi, ta giải hệ phương trình tuyến tính (1.3) 1.4 Các phép biến đổi sơ cấp dòng Xét ma trận A ∈ Mmxn với m vectơ dòng ⎡⎣ A ⎤⎦ , ⎡⎣ A ⎤⎦ , , ⎡⎣ A ⎤⎦ Các phép biến m đổi dòng nhằm mục đích thay đổi dòng ma trận A , biến thành ma trận A ′ ∈ Mm×n ( A ′ cấp với A ) Ta có phép biến đổi sơ cấp dòng sau : ( i ) ∼ ( j) i) Phép biến đổi : Hoán vò hai dòng i j , ký hiệu A ⎯⎯⎯⎯→ A ′ , nhằm đổi chỗ hai dòng i , j ma trận A, nghóa dòng khác dòng i , j A A′ nhau, dòng thứ i A′ dòng thứ j A dòng thứ j A ′ dòng thứ i A , ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ k ≠ i, j , ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ k k i j j i Ví dụ 14 ⎛3 ⎜ A=⎜ ⎜1 ⎜⎜ ⎝ −1 ⎛1 5⎞ ⎟ ⎜ 3⎟ (1 ) ∼ ( ) ⎜ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜3 2 4⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ 0⎠ ⎝ −1 4⎞ ⎟ 3⎟ 5⎟ ⎟ ⎟⎠ ( i ) :=α ( i ) ii) Phép biến đổi : Nhân dòng i với số α ≠ , ký hiệu A ⎯⎯⎯⎯⎯ → A′ , nhằm nhân dòng thứ i A với α , nghóa dòng khác dòng i A A ′ nhau, dòng thứ i A ′ dòng thứ i A nhân với α , ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ k ≠ i ⎡⎣ A ′⎤⎦ = α ⋅ ⎡⎣ A ⎤⎦ k k i i Ví dụ 15 ⎛ −3 ⎞ ⎛ −3 ⎞ ( 3):= 15 ( 3) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ A = ⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ iii) Phép biến đổi : Thay dòng i dòng i cộng với α lần dòng j , ký hiệu ( ) ( ) ( ) → A ′ nhằm thay dòng thứ i A dòng cộng với α nhân A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ cho dòng thứ j A, nghóa dòng khác dòng i A A ′ nhau, dòng thứ i A′ dòng thứ i A cộng với α lần dòng thứ j A, i := i + α j ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ k ≠ i ⎡⎣ A ′⎤⎦ = ⎡⎣ A ⎤⎦ + α ⋅ ⎡⎣ A ⎤⎦ k k i i j Ví dụ 16 ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( ) : = (1 ) + ( ) A = ⎜ −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −2 ⎠ ⎝ −2 ⎠ ⎛ −1 ( 3) := ( ) + ( 3) ⎜ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎜0 ⎝ 0⎞ ⎟ −1 ⎟ −1 ⎟⎠ Chú ý ma trận cuối có phần tử nằm phía đường chéo số nên ma trận tam giác Đối với ma trận tam giác mà phần tử nằm đường chéo khác 0, phép biến đổi sơ cấp dòng, ta biến thành ma trận đơn vò Ví dụ 17 ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ ) : = − (1 ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ( → − 1 ⎜ −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎜ ⎟ ( 2):= −1.( 2) ⎜ 0 −1 ⎟ ⎜0 ⎟ (3):=−1.(3) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (1):= (1) + (2) (1):= (1) + (2) ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → ⎜ ⎟ = I3 (2):= (2) + (3) ⎜0 ⎟ ⎜0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tổng quát : Ta dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để chuyển ma trận vuông ma trận tam giác phần tử đường 10 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Bài tốn mở đầu: Mối quan hệ tập hợp người tập hợp tháng sinh Xét mối quan hệ tập hợp người P tập tháng sinh M Đối với người p ∈ P có phần tử m ∈ M người sinh tháng định Ta diễn tả mối quan hệ ánh xạ f: P → M , phần tử p ∈ P gọi phần tử gốc (đối), phần tử m tương ứng với p gọi ảnh p, ta viết f(p) = m 1.1 Tập hợp phép tốn tập hợp 1.1.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp coi khái niệm ban đầu tốn học (khơng định nghĩa) Người ta hiểu tập hợp tụ tập đối tượng có tính chất chung Các đối tượng gọi phần tử tập hợp xét Việc phần tử thuộc tập hợp tương quan 1.1.2 Mơ tả tập hợp Để mơ tả tập hợp người ta thường dùng hai phương pháp sau: Phương pháp Liệt kê phần tử tập hợp Các ví dụ: (1) Tập hợp số tự nhiên = {0,1, 2, 3, , n, } ; * = {1, 2, 3, , n, } (2) Tập hợp số ngun = { , − n, , −2, −1, 0,1, 2, , n, } (3) Tập hợp số hữu tỷ ⎧p ⎫ _ = ⎨ p, q số ngun; q ≠ ⎬ ⎭ ⎩q Các số hữu tỷ viết thành số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn Chẳng hạn, = 0, 75; − = − 1,333 = −1, ( 3) (4) Một số vơ tỷ số viết dạng số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn Chẳng hạn = 1.414213563 , π = 3.14159 (5) Tập hợp tất số hữu tỷ vơ tỷ gọi tập số thực, ký hiệu Phương pháp Chỉ tính chất mà phần tử tập hợp có Ví dụ tập hợp A gồm phần tử x có tích chất p(x), ta viết A = { x | p(x)} Ví dụ: Tập hợp số chẵn A = { m | m = 2n, n ngun } Để diễn tả tập hợp hình ảnh cách khái qt, người ta dùng Biểu đồ Ven (h.1.1) biểu diễn tập hợp Đó đường cong kín, phẳng khơng tự cắt, phần bên đường cong chứa tất phần tử tập hợp Hình 1 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Để x phần tử tập A, ta viết x ∈ A Nếu y khơng thuộc A , ta viết y ∉ A Tập hợp khơng chứa phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu ∅ Ví dụ, tập nghiệm thực phương trình x = −1 tập rỗng 1.1.3 Một số khái niệm Mệnh đề tốn học: Là khẳng định tốn học sai (khơng thể vừa đúng, vừa sai), ký hiệu chữ in A, B, C, Ví dụ : A : 20 > 12 mệnh đề B : = mệnh đề sai Mệnh đề kéo theo: Nếu từ mệnh đề A suy mệnh đề B ta viết: A ⇒ B (đọc A kéo theo B ) a < b ⇒ (a + c) < (b + c) Ví dụ: Mệnh đề tương đương: Nếu A ⇒ B B ⇒ A ta viết A ⇔ B (đọc A tương đương B, A B, hay A điều kiện cần đủ để có B ) Ví dụ: (a < b) ⇔ (b > a) Các lượng từ: • Lượng từ phổ biến: Để với phần tử x tập X có tính chất p(x), ta viết: ∀x ∈ X : p(x) ∀x ∈ Ví dụ: : x2 +1 > • Lượng từ tồn tại: Để có phần tử x tập X có tính chất p(x), ta viết: ∃x ∈ X : p(x) Ví dụ: ∃x ∈ 1.1.4 : x − 3x + = , x = 1, x = Quan hệ tập hợp 1.1.4.1 Tập Định nghĩa: Nếu phần tử tập A phần tử tập B ta nói A tập B Ký hiệu A ⊂ B ⎧A bao h m B ⎪ Đọc ⎨B chøa A ⎪A lμ tËp cđa B ⎩ BB A A Ví dụ: ` ⊂ ] ⊂ _ ⊂ \ Ta coi ∅ ⊂ A Do định nghĩa A ⊂ A Tính bắc cầu Hình ⎧A ⊂ B ⇒A⊂C ⎨ ⎩B ⊂ C Bài 1: Tập hợp − ánh xạ 1.1.4.2 Sự hai tập hợp Định nghĩa: Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B ngược lại, phần tử tập hợp B thuộc tập hợp A ta nói A B hay trùng ⎧A ⊂ B A=B⇔⎨ ⎩B ⊂ A Ví dụ: 1.1.5 Nếu: A = {x, y, , Δ} B = { y, , x, Δ} có A = B Các phép tốn tập hợp B 1.1.5.1 Phép hợp Định nghĩa 1.1: Hợp hai tập A B tập hợp tạo tất phần tử thuộc A thuộc B (h.1.3) A Ký hiệu A ∪ B Hình 1.3 Đọc A hợp B ( x ∈ A ∪ B ) ⇔ ( x ∈ A x ∈ B) Ví dụ 1: A = {a; b; c; d}⎫⎪ ⎬ A ∪ B = {a; b;c;d;e;f } B = {c; d; e; f } ⎪⎭ Tính chất 1.1 (1) A ∪ A = A (tính lũy đẳng) ( 2) A ∪ B = B ∪ A (tính giao hốn) ( 3) A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C (tính kết hợp) ( 4) ∅∪A = A ∪∅ = A 1.1.5.2 Phép giao Định nghĩa 2: Giao hai tập hợp A B tập hợp tạo phần vừa thuộc A vừa thuộc B (h.1.4) Ký hiệu A ∩ B Đọc A giao B B A ( x ∈ A ∩ B ) ⇔ ( x ∈ A x ∈ B ) Ví dụ 2: Trong điều kiện ví dụ 1, ta có: A ∩ B = {c; d} Hình 1.4 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Tính chất 1.2 (1) A ∩ A = A (tính lũy đẳng) ( ) A ∩ B = B ∩ A (tính giao hốn) ( 3) A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ B ∩ C (tính kết hợp) ( 4) ∅ ∩ A = A ∩ ∅ = ∅ Việc chứng minh tính chất khơng khó dành cho bạn đọc CHÚ Ý Khi A ∩ B = ∅ ta nói A B rời Tính chất (Tính chất chung ∪ ∩ ) (1) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) : Tính phân phối ∪ ∩ ( ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) : Tính phân phối ∩ ∪ Chứng minh tính chất (1): ⎡x ∈ A ⎡x ∈ A ⎢ ⇒ ⎢⎧x ∈ B x ∈ A ∪ ( B ∩ C) ⇒ ⎢ ⎣ x ∈ ( B ∩ C ) ⎢⎨x ∈ C ⎣⎩ ⎧⎡ x ∈ A ⎪⎢ ⎪⎣ x ∈ B ⎧⎪ x ∈ ( A ∪ B ) ⇒⎨ ⇒⎨ ⇒ x ∈ ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) ⎪ ⎡ x ∈ A ⎩⎪ x ∈ ( A ∪ C ) ⎪ ⎢⎣ x ∈ C ⎩ ⇒ A ∪ ( B ∩ C ) ⊂ ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) Ngược lại ⎧⎪ x ∈ ( A ∪ B ) x ∈ ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) ⇒ ⎨ ⎪⎩ x ∈ ( A ∪ C ) ⎧⎡ x ∈ A ⎪⎢ ⎪⎣ x ∈ B ⇒⎨ ⇒ ⎪⎡ x ∈ A ⎪ ⎢⎣ x ∈ C ⎩ ⎡x ∈ A ⎢ ⎢ ⎧⎨ x ∈ B ⎢⎣ ⎩ x ∈ C ⇒ x ∈ A ∪ ( B ∩ C ) ⇒ ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C ) ⊂ A ∪ ( B ∩ C) Việc chứng minh tính chất (2) làm tương tự Bài 1: Tập hợp − ánh xạ 1.1.5.3 Hiệu hai tập hợp Định nghĩa 1.3: Hiệu tập A tập B tập tạo tất phần tử thuộc A mà khơng thuộc B (h.1.5) A Ký hiệu A\ B ⇔ (x ∈ A x ∉ B) Ví dụ 3: Trong điều kiện ví dụ 1, ta có: B A \ B = {a; b} Hình 1.5 1.1.5.4 Tập bù Khi A ⊂ E E \ A gọi bù A E , E ký hiệu CE A hay A (h.1.6) A A Ví dụ 4: Gọi A tập nghiệm phương trình Hình 1.6 (1) x − 3x + = Gọi B tập nghiệm phương trình x − 4x + = ( 2) Giải (1) a + b + c = ⇒ x1 = 1, x = ⇒ A = {1; 2} Giải (2) a + b + c = ⇒ x1 = 1, x = ⇒ B = {1;3} A ∪ B = {1; 2;3} ; A ∩ B = {1} ; A \ B = {2} Tập nghiệm phương trình (x − 3x + )( x − 4x + 3) = A ∪ B = {1; 2; 3} Luật DeMorgan ∀A, B ∈ E ta có A∪B = A∩B A∩B = A∪B (1) ( 2) Xét chứng minh (1) ⎧x ∉ A x ∈ A ∪ B ⇒ x ∉ ( A ∪ B) ⇒ ⎨ ⎩x ∉ B ⎧⎪ x ∈ A ⇒⎨ ⇒ x ∈ A ∩ B ⎪⎩ x ∈ B Tương tự ta chứng minh chiều ngược lại Việc chứng minh (2) tương tự Bài 1: Tập hợp − ánh xạ 1.1.5.5 Tích hai tập hợp (tích Đề các) Định nghĩa 1.4: Tích tập hợp A với tập hợp B (theo thứ tự ấy) tập hợp gồm tất cặp thứ tự ( x; y ) với x ∈ A y ∈ B (h.1.7) Ký hiệu B A.B Đọc A nhân B ( x; y ) ∈ A × B ⇔ ( x ∈ A y ∈ B ) y A.B B O A Hình 1.7: Mặt phẳng tọa độ xOy đồng với tích Đề x \.\ CHÚ Ý Tích hai tập hợp khơng có tính giao hốn ( x; y ) ≠ ( y; x ) x ≠ y; ( 2;3) ≠ ( 3; ) Ví dụ: A = {1;3} ; B = {2; x} A.B = {(1; ) ; (1; x ) ; ( 3; ) ; ( 3; x )} B.A = {( 2;1) ; ( 2;3) ; ( x;1) ; ( x;3)} A.B ≠ B.A 1.1.5.6 Phân hoạch Ta nói tập A1 , A , , A n tập X tạo nên phân hoạch X nếu: n (1) ∪ Ai = X i =1 ( ) Ai ∩ A j = ∅ 1.2 Quan hệ 1.2.1 Khái niệm quan hệ hai ngơi i≠ j Giả sử cho tập X khác rỗng tính chất R thỏa mãn với số cặp phần tử a, b X Khi đó, ta nói a có quan hệ R với b viết a R b , R gọi quan hệ hai ngơi X Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Ví dụ: Trong tập \ số thực, quan hệ "a = b " hc quan hƯ "a < b " quan hệ hai ngơi Trong tập đường thẳng mặt phẳng, quan hệ vng góc hai đường thẳng quan hệ hai ngơi Trên tập `* số ngun dương, "a lμ −íc sè cđa b " quan hệ hai ngơi Trên tập số tự nhiên `* “a ngun tố với b” quan hệ hai ngơi 1.2.2 Các tính chất có quan hệ tập hợp Quan hệ R tập X (tức R ⊂ X ) có tính chất sau: • Tính phản xạ: a R a, ∀a ∈ X (tức ( a, a ) ∈ R, ∀a ∈ X) Ví dụ: Quan hệ “ a = b ” \ có tính phản xạ a = a • Tính đối xứng: a R b ⇒ b R a (tức (a, b) ∈ R (b, a) ∈ R) Ví dụ: Quan hệ “ a = b ” \ có tính đối xứng a = b ⇒ b = a • Tính phản đối xứng: (a R b b R a) ⇒ a = b Ví dụ: Quan hệ a < b \ phản đối xứng, từ a < b khơng thể có b < a • Tính bắc cầu: (a R b ⇒ b R c) ⇒ a R c Ví dụ: Quan hệ “a = b” \ có tính bắc cầu a = b b = c ⇒ a = c Quan hệ a < b \ có tính bắc cầu, từ a < b b < c suy a < c Các quan hệ định nghĩa mục tỏ đặc biệt quan trọng nhiều lĩnh vực tốn học 1.2.3 Quan hệ tương đương Quan hệ R tập X gọi quan hệ tương đương có tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu Trong trường hợp này, ta viết a ~ b thay v× a R b Ví dụ: Trong `, ], _, \ quan hệ “a = b” quan hệ tương đương Trong tập đường thẳng khơng gian quan hệ “đường thẳng D đồng phương với đường thẳng D′ quan hệ tương đương Các lớp tương đương: Giả sử ~ quan hệ tương đương X Với phần tử a ∈ X, ta ký hiệu C ( a ) tập hợp phần tử thuộc X tương đương với a gọi lớp tương đương chứa a C ( a ) = {x ∈ X | x ~ a} Do tính phản xạ a ~ a nên tập C ( a ) khơng rỗng Hơn nữa, C ( a ) ∩ C ( b ) ≠ ∅ th× C ( a ) = C ( b ) Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Thật vậy, giả sử c ∈ C ( a ) ∩ C ( b ) , ta có: c ∈ C ( a ) vμ c ∈ C ( b ) Tức c ~ a vμ c ~ b hay b ~ c ~ a Từ đó, tính bắc cầu, suy b ~ a Vậy b ∈ C ( a ) Lập luận tương tự có a ∈ C ( b ) , tøc lμ C ( a ) = C ( b ) Ta thu định lý sau: Định lý Một quan hệ tương đương X xác định phân hoạch X, phần tử phân hoạch lớp tương đương Họ lớp tương đương gọi tập thương, ký hiệu X / ~ Ví dụ: Trong tập số ngun ] Xét quan hệ R : aR b ⇔ a − b = 2p với a, b, p ∈ Ta có: (a R a) ⇔ a − a = 2p (p = 0) (phản xạ) (a R b) ⇔ a − b = 2p ⇔ ( b − a ) = −2p ⇔ (b R a) (đối xứng) a − b = 2p; b − c = 2q ⇒ (a − c) = (a − b) + ( b − c) = ( p + q ) (bắc cầu) Vậy R quan hệ tương đương Ta có: a = b + 2p Lớp tương đương ứng với b = số chẵn Lớp tương đương ứng với b = số lẻ 1.2.4 Quan hệ thứ tự Định nghĩa 1.5: Quan hệ R tập X gọi quan hệ thứ tự (hay quan hệ thứ tự phận) có tính phản xạ, phản đối xứng bắc cầu Nếu ngồi ra, với hai phần tử x ∈ X, y ∈ X có x R y y R x quan hệ thứ tự gọi thứ tự tồn phần (hay thứ tự tuyến tính) Khi R quan hệ thứ tự X, ta nói X xếp thứ tự R, thay x R y ta viết x ≤ y đọc « x bé y » « x trước y » Ta viết y ≥ x đọc « y lớn x » « y sau x » Nếu x ≤ y x ≠ y ta viết x < y ( hay y > x ) Ví dụ 1: Quan hệ < ≤ thơng thường tập hợp số thực quan hệ thứ tự tồn phần, \ tập thứ tự Ví dụ 2: Quan hệ bao hàm ⊂ tập P (X) tập tập X quan hệ thứ tự phận Tuy nhiên, khơng thứ tự tồn phần Ví dụ 3: Quan hệ "a b " tức a bội số b `* quan hệ thứ tự phận Tập X xác định quan hệ thứ tự gọi tập xếp Bài 1: Tập hợp − ánh xạ 1.3 Ánh xạ 1.3.1 Khái niệm ánh xạ Định nghĩa 1.6: Cho X Y hai tập hợp tùy ý khác rỗng Một ánh xạ f từ X đến Y quy tắc cho ứng với phần tử x ∈ X phần tử xác định Y Khi ta viết y = f(x) Người ta thường ký hiệu ánh xạ từ X đến Y sau: f : X → Y x ∈ X y∈Y Tập X gọi miền xác định hay nguồn ánh xạ, tập Y gọi đích ánh xạ Phần tử y ∈ Y ứng với phần tử x ∈ X quy tắc cho gọi ảnh phần tử x , ký hiệu y = f ( x ) Nói riêng, X Y tập hợp số khái niệm ánh xạ trở thành khái niệm hàm số Cho f : X → Y ánh xạ từ X vào Y A ⊂ X tập X B ⊂ Y tập Y Ta gọi ảnh A f tập Y xác định { } f (A) = f (x) x ∈ A Đặc biệt f ( X ) , ảnh miền xác định X gọi miền giá trị ánh xạ f ký hiệu f ( X ) = Im f Nghịch ảnh tập B ⊂ Y ánh xạ f tập X xác định f −1 ( B ) = {x ∈ X f ( x ) ∈ B} Khi A = {x} , B = { y} ta viÕt f ( x ) thay f ({x}) ;f −1 ( y ) thay f −1 ({ y}) gọi tắt ảnh x nghịch ảnh y theo trình tự tương ứng Cần để ý f −1 ( B ) , B ≠ ∅ tập rỗng 1.3.1.1 Đơn ánh – Tồn ánh – Song ánh Trong số ánh xạ, ánh xạ giữ vai trò quan trọng: • Ánh xạ f gọi đơn ánh f ( x1 ) = f ( x ) x1 = x , nói cách khác hai phần tử khác có ảnh khác Ví dụ: Xét * + tập số thực dương ánh xạ f: * + → \ diễn tả x x2 + đơn ánh • Ánh xạ f gọi tồn ánh, f ( X ) = Y , nói cách khác ∀y ∈ Y tồn x ∈ X cho f ( x ) = y 10 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Ví dụ: Ánh xạ f: \* → \* diễn tả x x2 + khơng phải tồn ánh Một ánh xạ vừa đơn ánh vừa tồn ánh gọi song ánh Ta gọi ánh xạ đối (ánh xạ – 1) Ví dụ: Ánh xạ f: \ → \ diễn tả x x3 song ánh Nếu f : X → Y đơn ánh f : X → Im f tồn ánh, song ánh Ánh xạ f : X → X cho f ( x ) = x, ∀x ∈ X gọi ánh xạ đồng X, ký hiệu i X Dễ thấy, i X song ánh Trường hợp X = \ tập số thực i ánh xạ y = x thơng thường 1.3.2 Ánh xạ hợp ánh xạ Cho ba tập hợp X, Y, Z hai ánh xạ f : X → Y g : Y → Z Như x ∈ X tạo f y ∈ Y , f(x) = y y ∈ Y tạo g z ∈ Z , g(y) = z Do x ∈ X tạo (qua trung gian y) z ∈ Z xác định g[f(x)] = z Vậy có ánh xạ từ X tới Z xác định sau: x∈X z = g[f(x)] ∈ Z Định nghĩa 1.7: Ánh xạ h : X → Z xác định ∀x ∈ X, h ( x ) = g ( f ( x ) ) gọi hợp thành ánh xạ f g, ký hiệu h = g f theo thứ tự đó, h gọi ánh xạ hợp hay tích ánh xạ f g Ví dụ: f g ánh xạ từ \ vào \ f ( x ) = sin x, g ( y ) = y ( g f )( x ) = ( sin x ) = sin x Từ định nghĩa suy tính chất • Nếu f : X → Y, g : Y → Z, k : Z → S k (g f ) = (k g) f (tính kết hợp) Do tính chất này, mở rộng phép tốn hợp ánh xạ từ hai sang số hữu hạn ánh xạ cho trước, ký hiệu k g f có ý nghĩa hồn tồn xác định • Giả sử f : X → Y g : Y → Z ánh xạ Nếu f g đơn ánh g f đơn ánh Nếu f g song ánh g f song ánh Nếu f g tồn ánh g f tồn ánh 1.3.3 Ánh xạ ngược (của song ánh) Giả sử f : X → Y song ánh với y ∈ Y tồn phần tử x ∈ X cho f ( x ) = y Ánh xạ f −1 : Y → X xác định f −1 ( y ) = x ⇔ y = f ( x ) gọi ánh xạ ngược f Ta thấy ánh xạ ngược f −1 lại ánh xạ f, f f −1 cặp song ánh ngược Nói riêng, Y = X f −1 = f nghĩa f −1 ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ X f gọi ánh xạ nội quy (involution) hay ánh xạ đối hợp 11 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Chẳng hạn, \* tập số thực khác ánh xạ f: \* → \* xác định f (x) = ánh xạ nội quy x Ánh xạ f: \ → \ xác định f ( x ) = x có ánh xạ ngược f −1 ( x ) = x ⎡ π π⎤ Ánh xạ f : ⎢ − ; ⎥ → [ −1;1] xác định f ( x ) = sin x có ánh xạ ngược ⎣ 2⎦ −1 f ( x ) = arcsin x Nếu f : X → Y song ánh ánh xạ hợp f −1 f ánh xạ đồng X , tức f −1 f = i X Tương tự, f f −1 = i Y ánh xạ đồng Y Nếu f : X → Y g : Y → Z song ánh g f song ánh (g f ) 1.3.4 −1 = f −1 g −1 Thu hẹp mở rộng ánh xạ Giả sử f : X → Y ánh xạ, A ⊂ X tập thực X Ánh xạ g : A → Y xác định g ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ A gọi thu hẹp ánh xạ f tập A, ta ký hiệu g = f A Nếu X ⊂ X′, X′ ≠ X ánh xạ h: X ' → Y cho h ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ X gọi mở rộng f lên tập X Ta nhận thấy ánh xạ f cho trước tồn nhiều mở rộng tập X ' hồn tồn xác định 1.3.5 Lực lượng tập hợp Một số ví dụ mở đầu: A ={a; b; c; d} có phần tử, B = {x; y; z t} có phần tử; M = {1; 2; …; n} có n phần tử; E ={x1; x2; …; xn} có n phần tử Những tập có số hữu hạn phần tử, gọi tập hữu hạn Bây xét: ` = {0, 1, 2, , n; …}, \ – tập số thực Các tập có vơ số phần tử, gọi tập vơ hạn Lực lượng tập hợp số phần tử tập hợp Định nghĩa 1.8: Cho hai tập hợp A B khác rỗng (hữu hạn vơ hạn) Nếu tồn song ánh f : A → B ta nói A B đồng lực lượng Tập có lực lượng với tập M gọi tập hữu hạn, M = {1; 2; , n} Rõ ràng, hai tập hữu hạn đồng lực lượng chúng có số phần tử Vậy khái niệm “cùng lực lượng” khái qt hóa khái niệm “cùng số lượng” thơng thường Nếu A B đồng lực lượng, ta nói A tương đương với B viết A ↔ B Tập có lực lượng với tập số tự nhiên ` gọi tập vơ hạn đếm 12 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Tập vơ hạn khơng lực lượng với tập ` gọi tập khơng đếm Người ta chứng minh tập số thực \ tập khơng đếm Các tập hữu hạn, vơ hạn đếm thường gọi chung đếm Nếu X tập vơ hạn đếm tồn song ánh f: ` → X Ta ký hiệu f(i) = xi, i = 0, 1, 2, … Vì f song ánh tồn ánh nên: X = f(`) = { x0; x1; x2; …} Do nhờ song ánh f ta liệt kê (hay đánh số) tất phần tử tập X Vậy ta có: Một tập vơ hạn đếm phần tử đánh số Định lý: Hợp họ đếm tập đếm tập đếm Hệ quả: Nếu X Y tập đếm tích Đề XxY tập đếm 1.3.6 Quy nạp tốn học Nhiều định lý phát biểu P(n) với ngun dương, P(n) hàm mệnh đề Quy nạp tốn học kỹ thuật chứng minh định lý thuộc loại Nói cách khác, quy nạp tốn học thường sử dụng để chứng minh mệnh đề dạng ∀n P(n), n số ngun dương tùy ý Q trình chứng minh P(n) với số ngun dương n bao gồm hai bước: • Bước sở: Chỉ mệnh đề P(1) • Bước quy nạp: Chứng minh phép kéo theo P(n) → P(n + 1) với số ngun dương n, người ta gọi P(n) giả thiết quy nạp Khi hồn thành hai bước, chứng minh P(n) với số ngun dương, tức chứng minh P(n) Ví dụ: Bằng quy nạp tốn học, chứng minh tổng n số ngun dương lẻ n2 Giải: Gọi P(n) mệnh đề “tổng n số ngun dương lẻ n2” Đầu tiên ta cần làm bước sở, tức phải P(1) Sau phải chứng minh bước quy nạp, tức cần P(n + 1) giả sử P(n) • Bước sở: P(1) hiển nhiên = 12 • Bước quy nạp: Giả sử P(n) đúng, tức với n ngun dương lẻ ta có: + + + … + (2n – 1) = n2 Ta phải P(n + 1) đúng, tức là: + + + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2 Do giả thiết quy nạp ta suy ra: + + + … + (2n – 1) + (2n + 1) 2 = [1 + + + … + (2n – 1)] + (2n + 1) = n + (2n + 1) = (n + 1) Đẳng thức chứng tỏ P(n + 1) suy từ P(n) Vì P(1) mệnh đề kéo theo P(n) → P(n + 1) với n ngun dương, ngun lý quy nạp tốn học P(n) với n ngun dương 13 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ TĨM LƯỢC CUỐI BÀI Các bạn học Tập hợp Ánh xạ Các bạn cần ghi nhớ vấn đề sau: • Hiểu tập hợp phép tốn tập hợp • Nắm khái niệm quan hệ tập hợp, đặc biệt quan hệ hai ngơi quan hệ bản: quan hệ tương đương quan hệ thứ tự • Khái niệm ánh xạ với ánh xạ bản: đơn ánh, song ánh, tồn ánh Tiếp ánh xạ ngược, thu hẹp mở rộng ánh xạ • Cuối lực lượng tập hợp • Giải tốn thơng thường tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận theo trắc nghiệm Bài bạn học Định thức, Ma trận Hệ phương trình đại số tuyến tính 14 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ BÀI TẬP Cho E F hai tập tập X Chứng minh a) E ⊂ F ⇔ E ∪ F = F b) E ⊂ F ⇔ E ∩ F = E Chứng minh a) A ( B ∪ C ) = AB ∪ AC b) A ( B ∩ C ) = AB ∩ AC Các ánh xạ f: A → B sau đơn ánh, tồn ánh, song ánh ? Xác định ánh xạ ngược có: a) A = \, B = \, f(x) = x + b) A = \, B = \, f(x) = x2 + 2x – Cho hai tập E, F ánh xạ f: E → F A B hai tập E Chứng minh A ⊂ B ⇒ f(A) ⊂ f(B) Cho hai tập có thứ tự E F, với thứ tự cho “≤” hai tập Quan hệ R sau xác định E × F có phải quan hệ thứ tự khơng? (x; y) R (x′; y′) ⇔ x < x′ x = x′ y ≤ y′ Cho f : E → F T ánh xạ tương đương F Người ta xác định quan hệ R E x R y ⇔ f ( x ) Tf ( y ) Chứng minh R quan hệ tương đương 15 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Trong tập số tự nhiên, quan hệ sau tương đương ? A a chia hết cho b B a khơng ngun tố với b C a = b D a < b { } { } { } Cho A = x f ( x ) = , B = x g ( x ) = , C = x f ( x ) g ( x ) = với y = f ( x ) y = g ( x ) xác định tồn \ Khi đó: A C = A ∪ B ; B C = A ∩ B ; C C ⊂ A ∪ B ; D C ⊂ A ∩ B { } Xét hai tập A B Bài D = x f ( x ) + g ( x ) = Khi A D = A ∩ B ; B D = A ∪ B ; C D ⊂ A ∩ B ; D D ⊂ A ∪ B { } { } Giả sử y = g ( x ) xác định tồn \ cho I = x g ( x ) > , G = x g ( x ) < , { } H = x g ( x ) = Khi đó: A I = G ∩ H ; B I = G ∪ H ; C I ⊂ G ∩ H ; D I ⊂ G ∪ H Quan hệ quan hệ sau quan hệ thứ tự A a R b ⇔ a b (a chia hết cho b); B a R b ⇔ a b khơng ngun tố nhau; C aTb ⇔ a ≤ b ; D aUb ⇔ a − b3 = a − b Cho hai ánh xạ f: \\{0} → \ g: \ → \ xác định sau: f :x → 16 ; x g:x → 2x 1+ x2 A f đơn ánh; B f tồn ánh; C g đơn ánh; D g tồn ánh ... phương trình tuyến tính hoàn toàn xác đònh số hạng kèm theo ẩn mà ta gọi hệ số số hạng vế phải mà ta gọi hệ số tự Cụ thể, hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình theo n ẩn số hoàn toàn... nghiệm hệ phương trình ban đầu Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính gọi phương pháp Gauss-Jordan Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính khảo sát cách có hệ thống chương sau 1.5... ma trận A với ma trận B , ta cần điều kiện số cột ma trận A phải số dòng ma trận B : Số dòng ma trận tích AB số dòng ma trận A Số cột ma trận tích AB số cột ma trận B Do đó, với hai ma trận A,