MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 02 Lý chọn đề tài 02 Muc đích nghiên cứu 03 Nhiệm vụ nghiên cứu 03 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 04 Gỉa thuyết khoa học 04 Phương pháp nghiên cứu 04 Đóng góp đề tài 04 PHẦN II: NỘI DUNG 05 CHƯƠNG I: Cơ sở lý luận sở thực tiễn đề tài 05 Cơ sở lý luận 05 Cơ sở thực tiễn 05 Chương II Một số tập minh họa 05 Góc hai đường thẳng khơng gian 05 Góc đường thẳng mặt phẳng 13 Góc hai mặt phẳng 18 PHẦN III KẾT LUẬN 25 Kết Kết luận học kinh nghiệm Kiến nghị 25 25 26 Trang PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mơn tốn trường phổ thơng giữ vai trò, vị trí quan trọng mơn học cơng cụ học tốt mơn Tốn có tri thức Tốn với phương pháp làm việc Tốn trở thành cơng cụ để học tốt mơn học khác Nội dung hình học khơng gian thường xem nội dung khó học học sinh THPT Khi dạy chủ đề này, nhiều giáo viên cảm thấy khó dạy, khơng hứng thú chủ đề khác mơn Tốn Ngun nhân quan trọng dẫn đến thực trạng nêu hình học khơng gian đòi hỏi mức độ tư tưởng tượng cao; học sinh quen với tư hình học phẳng nên gặp nhiều khó khăn làm quen tư hình học khơng gian Khi giải tốn hình học khơng gian, học sinh gặp phải nhiều khó khăn so với tốn hình học phẳng như: Việc tưởng tượng, hình dung để tìm mối liên hệ yếu tố hình học ( quan hệ đường thẳng, mặt phẳng…); việc vẽ hình để biểu diễn hình khơng gian mặt phẳng… Khó khăn ảnh hưởng đến việc vận dụng lí thuyết để giải tốn hình học khơng gian Vì cần phải tích cực đổi phương pháp dạy học như: Tăng cường hoạt động theo nhóm, sử dụng mơ hình trực quan… Khuyến khích học sinh giải tốn hình học khơng gian nhiều cách Đặt câu hỏi, vấn đề đòi hỏi học sinh phải tích cực tư để trả lời; Giao tập nhà phù hợp với đối tượng học sinh, trọng tập đòi hỏi học sinh phải chủ động sáng tạo; Kiểm tra, đánh giá, phân loại học sinh nhiều hình thức (cả định tính định lượng) Để khắc phục, việc tách phận phẳng khỏi khơng gian giúp học sinh quy tốn phức tạp giải tốn đơn giản hơn, dễ hiểu dễ thực Yếu tố cốt lõi để giải tốn hình học khơng gian thường bị che khuất, khó phát hình khơng gian thường có nhiều đường phụ gây khó khăn cho học sinh việc hình dung, tưởng tượng Vì vậy, khéo léo bóc tách yếu tố phẳng khỏi khơng gian giúp học sinh đơn giản hóa tốn, dễ dàng tìm yếu tố then chốt tốn từ giải tốn dễ dàng Trang Hoạt động tách phận phẳng khỏi khơng gian có ý nghĩa cụ thể là: Xác lập liên hệ hình học khơng gian hình học phẳng; kết nối dạy học tốn THCS THPT; xác lập liên hệ liên mơn, liên hệ bên mơn tốn; nâng cao hiệu hoạt động giải tốn hình học khơng gian từ góp phần phát triển tư sáng tạo cho học sinh Qua nhiều năm giảng dạy mơn học tơi đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Để giải tập hình học khơng gian cách thành thạo yếu tố quan trọng biết chuyển từ tốn hình học khơng gian tốn hình học phẳng, phải giúp học sinh tìm cách đưa tốn khơng gian nghiên cứu tốn mặt phẳng, ghi nhớ lâu kiến thức hình học vận dụng tốt vào kiến thức học Vì vậy, để giúp học sinh học tốt mơn hình học 11 tơi chọn đề tài: “Rèn luyện kỹ xác định góc khơng gian đưa tốn xác định góc mặt phẳng” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài nghiên cứu chuyển việc xác định góc khơng gian tốn xác định góc mặt phẳng nghiên cứu kết hình học phẳng để vận dụng vào việc giải tốn hình học khơng gian nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ giải tốn khơng gian, tìm phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn học trường THPT NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Trong đề tài tơi đề nhiệm vụ nghiên cứu bao gồm: - Xác định sở lý luận sở thực tiễn việc xây dựng định hướng để chuyển từ tốn xác định góc khơng gian sang tốn xác định góc hai đường thẳng mặt phẳng Từ chuyển việc nghiên cứu số tốn hình học khơng gian nghiên cứu tốn phẳng sử dụng hình học phẳng để nghiên cứu hình học khơng gian - Xây dựng nội dung định hướng để chuyển tốn xác định góc khơng gian sang xác định góc hai đường thẳng mặt phẳng quy trình giải tập hình học khơng gian theo định hướng Trang - Xây dựng hệ thống tập hình thức tổ chức dạy học thích hợp theo u cầu đề ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đề tài áp dụng cho q trình dạy hình học khơng gian lớp 11 trường THPT, việc học tập nâng cao đề thi vào đại học học sinh giỏi Đối tượng nghiên cứu số tốn hình học phẳng hình học khơng gian giải tốn hình học lớp 11 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Trong q trình dạy học hình học trường THPT, từ tốn xác định góc khơng gian sang tốn xác định góc hai đường thẳng mặt phẳng với hệ thống tập có định hướng rõ ràng giúp học sinh nắm vững cách xác định góc khơng gian Từ góp phần nâng cao hiệu việc dạy học mơn tốn trường THPT PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cức tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: 6.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tập hình học, tài liệu hướng dẫn giảng dạy mơn tốn lớp 11 lớp 12 Các sách tham khảo, lý luận dạy học mơn tốn, cơng trình nghiên cứu liên quan đến cách xác định góc khơng gian 6.2 Phương pháp điều tra Điều tra thực trạng dạy - học phần xác định góc khơng gian mà có sử dụng hình học phẳng 6.3 Phương pháp chun gia Gặp gỡ, trao đồng nghiệp giỏi lĩnh vực nghiên cứu để có định hướng q trình viết đề tài 6.4 Phương pháp thực nghiệm ĐĨNG GĨP MỚI CỦA ĐỀ TÀI - Tìm phương pháp xác định góc khơng gian cách chuyển sang tốn xác định góc hai đường thẳng mặt phẳng, tách hình khơng gian phẳng để giải vấn đề tốn - Đưa hệ thống tập vận dụng phương pháp giải Trang PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Để xác định góc hai đường thẳng khơng gian, góc đường thẳng mặt phẳng, góc hai mặt phẳng cách đưa xác định góc hai đường thẳng cắt Mà hai đường thẳng cắt chúng đồng phẳng Do tốn chuyển tốn xác định góc hai đường thẳng mặt phẳng Để xác định góc lúc sử dụng phương pháp sau: b2 + c − a2 Sử dụng định lý cosin: cosA= 2bc a b c = = = 2R sin A sin B sin C rr rr u.v Sử dụng tích vơ hướng: cos u , v = r r u.v Sử dụng định lý sin: ( ) Khi xác định góc khơng gian ta đưa xác định góc mặt phẳng (góc tam giác) mà kiến thức hình học phẳng học sinh nắm kỹ từ trước Cơ sở thực tiễn Với quan điểm từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, dạy cho học sinh tốn gốc, tốn để qua học sinh làm tốn khó phức tạp ứng biến linh động gặp tình Qua nhiều năm giảng dạy tơi thấy cách tiếp cận em phần chưa tự tin hay lúng túng xác định góc khơng gian Hoặc đưa tốn mặt phẳng khó xác định góc chúng Vì suy nghĩ tơi mạnh dạn thu thập, xếp theo suy nghĩ thân để trao đổi đồng nghiệp Với mục đích nâng cao chất lượng buổi dạy thầy hiệu kỳ thi trò CHƯƠNG II MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA Góc hai đường thẳng khơng gian Hai đường thẳng song song trùng nhau: góc chúng 00 Hai đường thẳng vng góc: góc chúng 900 Cách xác định góc hai đường thẳng a b chéo r r vectơ phương đường thẳng a, b r r Cách 1: Nếu u (u, v) = α thì: ,v Trang góc đường thẳng a, b bằng: α nế u 00 ≤ α ≤ 900 1800 − α nế u 900 < α ≤ 1800 Cách 2: (· a, b) = (·a ', b ') a’, b’ hai đường thẳng cắt song song với a b Tức là, chọn hai đường thẳng cắt song song với a b Cách 3: (· a, b) = (·a, b ') b’ đường thẳng cắt đường thẳng a song song với b Tức chọn a (hoặc b) điểm A từ chọn đường thẳng qua A song song với b (hoặc a) Các phương pháp tính góc: + Sử dụng hệ thức lượng tam giác Định lí sin: a b c = = sin A sin B sin C Định lí cos: b2 + c2 − a2 cosA= 2bc Trong đó: a, b, c ba cạnh; A, B, C ba góc ∆ABC rr u.v + Tính theo vectơ phương: cosα = r r u v Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a Xác định góc hai đường thẳng AB CD Định hướng: + Để xác định góc hai đường A thẳng chéo AB, CD ta đưa xác định góc hai đường thẳng IK IH hay xác định góc K · · ta cần tính KI, KH, HI , xác định KIH KIH + Để tính KI, HI, KH ta xét B H mp(ABC), (BCD), (ACH) Giải: Gọi I, K, H trung điểm BC, AC, BD  IK / / AB ⇒ (·AB, CD ) = (·IK , IH ) Ta có:   IH / / CD Xét ∆IKH có IK = IH = a Trang C D a a  AC  Xét ∆HAC có HA = HC = ⇒ HK = HA2 −  ÷ = 2   · Suy ∆IKH vng I Vậy (·AB, CD ) = (·IK , IH ) = HIK = 900 Nhận xét: Từ ví dụ ta có hai cạnh chéo tứ diện vng góc với Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=2a Gọi M, N trung điểm BC AD, MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD? Định hướng: + Để xác định góc hai đường thẳng chéo AB, CD ta đưa · · xác định góc hai đường thẳng IM IN hay xác định góc MIN ta , xác định MIN cần tính IM, IN + Để tính IM, IN ta xét mp(ABD), (BCD) Giải: Gọi I trung điểm BD Ta có: IN / / AC   ⇒ (·AB, CD ) = (·IM , IN ) IM / / CD  Xét tam giác IMN có: IM = IN = a, MN = a Do đó, 2a − 3a · · cos MIN = = − ⇒ MIN = 1200 2a Vậy: (·AB, CD ) = 1800 − 1200 = 600 Các điểm cần ý giải ví dụ 2: + Việc tìm góc hai đường thẳng AB CD thơng qua góc hai đường thẳng IM IN nhờ vào giả thiết MN = a · + Một số em đồng (·IM , IN ) = MIN chưa xác mà ·  MIN · IM , IN = ( )  · Đến ta giải theo hai hướng: 180 − MIN · - Chứng minh góc MIN > 900 Trang · · - Tính cụ thể góc MIN sau dựa vào giá trị góc MIN để kết luận giá trị góc hai đường thẳng AB CD Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC, cạnh đáy a, cạnh bên a Xác định góc hai đường thẳng SA BC Định hướng: + Để xác định góc hai đường thẳng chéo AB, CD ta đưa xác định góc · hai đường thẳng IK IH hay xác định góc KIH · + Xác định KIH ta cần tính KI, KH, HI S + Để tính KI, HI, KH ta xét mp(SAB), (ABC), (SBH) Giải: K Gọi I, K, H trung điểm AB, SB, AC A H H  IK / / SA ⇒ (·SA, BC ) = (·IK , IH ) Ta có:  IH / / BC  Xét ∆IKH có IK = Xét ∆HSB có HS = C B a a ; IH = 2 a a 11 ; HB = a 3a − = 2  11a 3a  + − 3a 2 2  ÷ SH + HB − SB ( ) 4  ⇒ HK = =  = a2 4 · Suy ∆IKH vng I Vậy (·SA, BC ) = (·IK , IH ) = HIK = 900 Ví dụ Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác có cạnh 2a , SA vng góc với (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB, BC Tính góc hai đường thẳng SE AF Định hướng: + Để xác định góc hai đường thẳng chéo SE, AF ta đưa xác định góc hai đường thẳng SE EM hay Trang S · xác định góc SEM · + Xác định SEM ta cần tính SE, EM, SM + Để tính SE, EM, SM ta xét H mp(SAB), (ABC), (SBC) Giải: Gọi M trung điểm BF · AF) = (SE,EM) · ⇒ EM // AF ⇒ (SE, K A C F E M B ∆ SAE vng A có: SE2 = SA + AE = a2 + 2a2 = 3a2 ⇒ SE = a 2a a = a ⇒ EM = BM = MF = ; BF = a 2 SB2 = SA + AB2 = a2 + 8a2 = 9a2 ⇒ SB = 3a AF = SF = SA + AF = a2 + 6a2 = 7a2 ⇒ SF = a Áp dụng định lý đường trung tuyến SM ∆ SBF có: SB2 + SF = 2.SM + BF 2 15a2 ⇔ 9a2 + 7a2 = 2SM + 2a2 ⇔ SM = 2 α Gọi góc nhọn tạo SE AF Áp dụng định lý cosin vào ∆ SEM có: 3a2 15a2 3a + − ES2 + EM − SM 2 = − = · cosα = cosSEM = = 2.ES.EM 2 a .a o ⇒ α = 45 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SA = a 3, SA ⊥ BC Tính góc hai đường thẳng SD BC? Định hướng: + Để xác định góc hai đường thẳng chéo SD, BC ta đưa xác định góc hai đường thẳng SD AD hay xác định · góc SDA Giải: · + Xác định SDA ta xét tam giác SAD Ta có: BC//AD BC / / AD  ·  ⇒ SAD = 90 SA ⊥ BC  Trang · Do đó, (·SD, BC ) = (·SD, AD ) = SDA Xét tam giác SAD vng A ta có: · tan SDA = SA · = ⇒ SDA = 600 AD Vậy góc hai đường thẳng SD BC 600 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy Tính cosin góc hai đường thẳng SB, AC S Định hướng: + Để xác định góc hai đường thẳng chéo BF SB · tính góc SBF · + Xác định SBF ta cần tính SF, BF, SB A F + Để tính SF, BF, SB ta xét H B mp(SAD), (ABCD), (SAB) D C Giải: Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AD F Suy (·AC , SB ) = (·BF , SB ) Ta có AFBC hình bình hành, nên AF = BC AC = FB Suy SF = SB, tam giác SBF cân S Có SB = SA2 + AB = 2a ; FB = AC = a Hạ SH ⊥ FB H trung điểm FB Vậy a HB · cos SBF = = = SB 2a Ví dụ 7: (A-2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vng A, AB = a, AC = a Hình chiếu vng góc A’ lên mp(ABC) trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’? Trang 10 hình chiếu S mặt phẳng (ABCD) Khi định góc đường thẳng SC mặt · phẳng (ABCD) SCK Giải: Ta có: AH = Vì SA2 + AH = a a AB = , SA = AB = a , SH = HC = BH + BC = 2 5a = AH nên tam giác SAH vng A hay SA ⊥ AB mà ( SAB ) ⊥ ( ABCD) Do đó, SA ⊥ ( ABCD) AC hình chiếu vng góc SC lên mp(ABCD) SA · · + Ta có: (·SC , ( ABCD ) ) = SCA , tan SCA = = AC Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) góc có tang Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a Tính sin góc giữa: a) SC (SAB) b) AC (SBC) Định hướng: Để xác định góc đường thẳng SC mặt phẳng (SAB) ta có SC ∩ ( SAB ) = S nên cần phải xác định điểm K hình chiếu C mặt phẳng (SAB) Khi định góc đường thẳng SC mặt phẳng · (SAB) KSC Tương tự góc đường thẳng AC mặt phẳng (SBC) ·ACH H làhình chiếu A mặt phẳng (SBC) Trang 14 Giải: a) Ta có: BC ⊥ AB (gt) SA ⊥ BC (vì SA ⊥ ( ABCD) ) ⇒ BC ⊥ ( SAB ) đó: · SB hình chiếu vng góc SC mp(SAB) ⇒ (·SC , ( SAB ) ) = BSC · · = Ta có: ⇒ sin ( SC , ( SAB ) ) = sin BSC BC a = = SC SA2 + AC b) Trong mp(SAB) kẻ AH ⊥ SB (H ∈ SB) Theo a) BC ⊥ ( SAB ) ⇒ AH ⊥ BC nên AH ⊥ ( SBC ) hay CH hình chiếu vng góc AC mp(SBC) ⇒ (·AC , ( SBC ) ) = ·ACH + Xét tam giác vng SAB có: 1 = + = ⇒ AH = a AH AB SA2 6a + Vậy sin (·AC , ( SBC ) ) = sin ·ACH = AH 21 = AC Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = · · a , khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) a SAB = SCB = 900 Tính góc SB với mặt phẳng (ABC) Định hướng: Để xác định góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) ta cần phải xác định điểm H hình chiếu S mặt phẳng (ABC) Khi định góc đường thẳng SB S K · mặt phẳng (ABC) SBH H A Giải: Gọi H hình chiếu vng góc S mp(ABC) Ta có: SH ⊥ ( ABC )   ⇒ HA ⊥ AB Tương tự HC ⊥ BC SA ⊥ AB (gt)  Suy tứ giác HABC hình vng ⇒ HB = a Có: AH / / BC ⊂ ( SBC ) ⇒ AH / / ( SBC ) Trang 15 C B ⇒ d ( A, ( SBC )) = d ( H , ( SBC )) = a Dựng HK ⊥ SC K (1) Do BC ⊥ HC   ⇒ BC ⊥ ( SHC ) ⇒ BC ⊥ HK (2) BC ⊥ SH  (1) (2) suy HK ⊥ ( SBC ) Từ d ( H , ( SBC )) = HK = a ⇒ KC = HC − HK = 3a − 2a = a · tan SCH = HK SH HK HC a 2.a = ⇒ SH = = =a KC HC KC a · ⇒ ∆SHB vng cân Vậy góc SB với mp(ABC) góc SBH = 450 Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SA BC Biết góc đường thẳng MN mặt phẳng (ABCD) 600 Tính góc đường thẳng MN mặt phẳng (SBD) Định hướng: S + Khi tính góc đường thẳng MN mặt phẳng (SBD) ta lưu ý tính chất, (P) //(Q) góc đường thẳng d mặt phẳng (P) M góc đường thẳng d mặt phẳng (Q) D + Góc đường thẳng MN mặt phẳng I (SBD) góc MN mặt phẳng (MKH) Do ta cần phải xác định hình chiếu N C A H K N B mặt phẳng (MKH) Giải: Gọi O tâm đáy ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) · Gọi H trung điểm OA ⇒ MH / / SO MH ⊥ ( ABCD ) ⇒ MNH = 600 góc đường thẳng MN với mặt phẳng (ABCD) Gọi K trung điểm AB Ta có ( ABCD ) / / ( MHK ) nên góc đường thẳng MN mặt phẳng (SBD) góc MN mặt phẳng (MKH) Trang 16 Vì ( MHK ) ∩ ( ABCD ) = HK , NK ⊥ HK nên K hình chiếu vng góc N · (MHK) ⇒ NMK = ϕ góc MN mặt phẳng (MKH) Ta có: NK = a a , HK = Do ta có: 2 a 2 a 2 a 10 ; HN =  ÷ + ÷ = 4     MH = HN tan 600 = a 30 a 30 ⇒ SO = 2MH = MN = MH + HN = ⇒ sin ϕ = a 10 a ; NK = ; MK ⊥ KN 2 NK 1 = ⇔ ϕ = arcsin MN 5 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với mặt đáy (ABCD), đáy ABCD hình chữ nhật có AD = 3a, AC = 5a, góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 450 Tính góc đường thẳng SD mặt phẳng (SBC) Định hướng: S K Để xác định góc đường thẳng SD H mặt phẳng (SBC) ta cần phải xác định điểm H hình chiếu D mặt phẳng (SBC) Khi A D định góc đường thẳng SD mặt phẳng · (SBC) DSH B Giải: uuu r uuur Dựng điểm K cho SK = AD Gọi H hình chiếu vng góc D lên CK, đó: DK ⊥ ( SBC ) Do đó:·( SD, ( SBC ) ) = ·DSH Ta có: AB = AC − BC = 4a Mà·( ( SCD ) , ( ABCD ) ) = ·SDA = 450 nên SA = AD = 3a Trang 17 C Mặt khác DH = DC.DK 12a = , SD = SA2 + AD = 3a KC SH = SD − DH = 3a 34 SH 17 Do đó:·( SD, ( SBC ) ) = ·DSH = arccos = arccos ≈ 340 27 ' SD Bài tập tự luyện Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính góc SA mp(ABC) Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O; SO ⊥ (ABCD) Gọi M, N trung điểm cạnh SA BC Biết · ,( ABCD)) = 600 (MN a) Tính MN SO b) Tính góc MN (SBD) Bài tập 3: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính góc giữa: a) SC (ABCD) b) SC (SAB) c) SB (SAC) d) AC (SBC) Bài tập 4: Cho lăng trụ ABC.A′ B′ C′ , có đáy tam giác cạnh a, AA′ ⊥ (ABC) Đường chéo BC′ mặt bên BCC′ B′ hợp với (ABB′ A′ ) góc 300 a) Tính AA′ b) Gọi N trung điểm cạnh BB′ Tính góc MN (BA′ C′ ) Bài tập 5: Cho lăng trụ ABC.A′ B′ C′ , có đáy ABC tam giác vuông cân A; AA′ ⊥ (ABC) Đoạn nối trung điểm M AB Trang 18 trung điểm N B′ C′ có độ dài a, MN hợp với đáy góc α mặt bên BCC′ B′ góc β a) Tính cạnh đáy cạnh bên lăng trụ theo a α b) Chứng minh rằng: cosα = sinβ Góc hai mặt phẳng Phương pháp xác định góc hai mặt phẳng cắt (P) (Q) + Tìm giao tuyến ( P) ∩ (Q) = ∆ + Trong (P) tìm a vng góc với ∆, (Q) tìm b vng góc với ∆ a ∩ b = I + ·( P ) , ( Q ) = (· a, b ) ( ) Chú ý: + Trong số trường hợp u cầu tính góc hai mặt phẳng áp dụng cơng thức hình chiếu để tính Cơng thức hình chiếu: Gọi hình (H) có diện tích S; hình (H’) hình chiếu (H) mặt phẳng (α) có diện tích S’; φ góc mặt phẳng chứa (H) mp(α) Lúc đó, ta có cơng thức sau: S ' = S cos ϕ + Khi xác định góc hai mặt phẳng q khó, ta nên sử dụng cơng thức sau: sin α = d ( M ,(Q) ) d ( M ,∆) Với α góc hai mặt phẳng (Q) (P) M điểm thuộc mặt phẳng (P) ∆ giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a.Tính số đo góc (BA’C) (DA’C) Định hướng: + Xác định giao tuyến hai mp(BA’C) (DA’C),(gt A’C) + Xác định hai đường thuộc hai mp vng góc với A’C cắt + Khi (· ( BA ' C ) , ( DA ' C ) ) = (·HB, HD ) + Tính HB, HD, BC mp tương ứng Trang 19 Giải: + Kẻ BH ⊥ A ' C , (H ∈ A'C) (1) + Mặt khác, ta có: BD ⊥ AC (gt) , AA ' ⊥ ( ABCD ) ⇒ AA ' ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( ACA ') ⇒ BD ⊥ A ' C (2) Từ (1) (2) suy ra: A ' C ⊥ ( BDH ) ⇒ A ' C ⊥ DH Do đó, (· ( BA ' C ) , ( DA ' C ) ) = (·HB, HD ) + Xét tam giác vng BCA’ có: 1 2 = + = ⇒ BH = a ⇒ DH = a 2 BH BC BA ' 2a 3 BH − BD · · + Ta có: cos BHD = = − ⇒ BHD = 1200 2 BH Vậy (( BA ' C ),( DA ' C )) = 600 Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy · ABC tam giác cân AB=AC=a, BAC = 1200 , BB’= a, I trung điểm CC’ Tính cosin góc hai mp(ABC) (AB’I) Định hướng: + Để xác định góc hai mp(ABC) (AB’I) ta sử dụng cơng thức hình chiếu S ' = S cos ϕ + S ABC = ?; S AB ' I = ? Giải: + Ta thấy tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC) Gọi φ góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Theo cơng thức hình chiếu ta có: cos ϕ = S ABC S AB ' I + Ta có: S ABC a2 = AB AC.sin120 = AI = AC + CI = a ; AB ' = AB + BB '2 = a 2, Trang 20 IB ' = B ' C '2 + IC '2 = a 13 Suy ra: Tam giác AB’I vng A 2 nên S AB ' I = AB ' AI = Vậy cos ϕ = a 10 S ABC = S AB ' I 10 Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ Có đáy A′B′C′ tam giác vng C′, A′B′=2a, B′C′=a Biết hình chiếu A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Góc đường thẳng AA' mặt phẳng (ABC) 600 Tính cosin góc hai mặt phẳng (A′B′C′) (ACC′A′) Định hướng: +(A’B’C’) //(ABC) Góc hai mặt phẳng (A′B′C′) (ACC′A′) góc hai mặt phẳng (ABC) (ACC′A′) +Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (ABC) (ACC’A’) + Xác định hai đường thuộc hai mp vng góc với AC cắt + Khi (· ( ABC ) , ( ACC ' A ') ) = (·A ' M , MH ) Giải: + Tính A’M, HM, A’H mp tương ứng Vì H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên H trung điểm AB Góc AA’ (ABC) góc ·A' AH Theo giả thiết ·A' AH = 600 suy A’H = AH.tan600 = a Từ H kẻ HM ⊥ AC ( M ∈ AC ) HK ⊥ A' M Ta có M trung điểm AC; HM = a Đặt α = góc hai mặt phẳng (A’B’C’); (ACC’A’) ta có α = ·ABC , ACC' A' = ·A' MH (( cosα = MH = A' M )) )( MH MH + A' H = a = 3a + 3a Trang 21 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chử nhật AB = a, BC = =2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Tính góc mặt phẳng sau: a) Góc mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy b) Góc hai mặt bên liên tiếp c) Góc hai mặt bên đối diện S Định hướng: H + Để xác định góc mặt phẳng bên với mặt phẳng đáy ta xác đinh góc I mặt bên với mặt đáy + Để xác định góc hai mặt bên liên tiếp ta xác định hai mặt bên có giao tuyến cạnh bên D A B C Giải: a) Góc mặt bên mặt đáy: ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Ta có SA ⊥ ( ABCD ) ⇒  ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) Vậy (· ( SAB ) ,( ABCD ) ) = (· ( SAD ) ,( ABCD ) ) = 900 BC ⊥ AB, BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ SB · ( SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC ⇒ (· ( SBC ) , ( ABCD ) ) = (·SB, AB ) = SBA · = Trong ∆SAB có: tan SBA SA · = ⇒ SBA = 450 ⇒ (· ( SBC ) , ( ABCD ) ) = 450 AB CD ⊥ AD, CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ SD · ( SCD ) ∩ ( ABCD ) = CD ⇒ (· ( SCD ) , ( ABCD ) ) = (·SD, AD ) = SDA Trong ∆SAD có: · tan SDA = SA a 1 · = = ⇒ SDA = arctan ⇒ (· ( SCD ) , ( ABCD ) ) = arctan AD 2a 2 b) Góc hai mặt bên liên tiếp Góc ( SAB ) , ( SBC ) Trang 22  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB ) , ( BC ⊂ ( SBC ) ) Ta có:   BC ⊥ SA Vậy (·( SBC ) , ( SAB ) ) = 90 Góc (SAD) (SCD) CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ ( SAD ) ⇒ ( SCD ) ⊥ ( SAD ) , ( CD ⊂ ( SCD ) ) Ta có:  CD ⊥ SA Vậy (·( SCD ) , ( SAD ) ) = 90 Góc (SBC) (SCD) Dựng AI ⊥ SB ⇒ AI ⊥ ( SBC ) , dựng AH ⊥ SD ⇒ AH ⊥ ( SCD ) Vậy (· ( SBC ) , ( SAB ) ) = (·AI , AH ) Xét hai tam giác vng SAB SAD có: SB = SA2 + AB = a 2; SD = SA2 + AD = a AI SB = AB.AS ⇒ AI= a.a a 2a.a 2a = ; AH SD = AD.AS ⇒ AH= = a 2 a 5 SA2 a2 a SA2 a2 a SI = = = , SH = = = SB a SD a 5 Áp dụng định lý cosin hai tam giác vng SBD SHI có chung góc S: SB + SD − BD 2a + 5a − 5a 10 cos S = = = 2.SB.SD 10 2.a 2.a IH = SI + SH − 2.SI SH cos S = a2 a2 a a 10 a + − = 2 10 a 4a a + − AI + AH − IH 10 = 10 ⇒ IAH · · cos IAH = = = arccos a 2a AI AH 5 10 · Kết luận (· = arccos ( SBC ) , ( SCD ) ) = IAH c) Góc hai mặt bên đối diện Góc (SAB) (SCD) Trang 23 · Vì AD ⊥ ( SAB ) , AH ⊥ ( SCD ) ⇒ (· ( SAB ) , ( SCD ) ) = (·AD, AH ) = DAH · = Ta có: tan DSA AD 2a · = = ⇒ DSA = arctan SA a · · · · phụ SAH DSA ⇒ DAH = arctan ( DAH, Tương tự ta tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SAD) Bài tập tự luyện Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC, SA ⊥ ( ABC ) a) Xác định góc (ABC) (SBC) b) Giả sử tam giác ABC vng B xác định góc hai mp (ABC) (SBC) Bài tập 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA=SB=SC=SD=a Tính cosin góc (SAB) (SAD) Bài tập 3: Cho hình chóp SABC, có đáy ABC tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA ⊥ (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB AC a) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SEF) (SBC) Bài tập 4: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA ⊥ (ABCD) SA = a a) Tính góc mặt phẳng (SAD) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (SCD) Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính góc cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) (ABC) b) (SBD) (ABD) c) (SAB) (SCD) Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thoi cạnh a, tâm O, OB = a a ; SA ⊥ (ABCD) SO = 3 · a) Chứng minh ASC vuông b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc Trang 24 c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Trang 25 PHẦN III KẾT LUẬN KẾT QUẢ Sau áp dụng phương pháp đưa từ tốn xác định góc khơng gian sang tốn xác định góc mặt phẳng trường THPT tơi thu số kết sau: - Trong năm học 2014 – 2015 tơi thử nghiệm song song hai cách tổ chức dạy học hai lớp chọn khối 11 trường THPT Nghèn Tơi chọn lớp 11A1 để vận dụng 11A2 để đối chứng Kết thu sau kiểm tra tiết hai lớp đạt sau: Lớp thử nghiệm 11A1 Giỏi 21 em 52,5% Khá 17 em TB Giỏi 13 em 33,3% 42,5% Khá 17 em 43,6% 5% TB em 20,5% Yếu em 2,6% em (40em) Lớp đối chứng 11A2 (39 em) - Từ bảng khẳng định lớp vận dụng phương pháp giải tốn cách linh hoạt nhanh gọn Kích thích niềm say mê hứng thú học hình khơng gian mà đa số học sinh cho trừu tượng khó - Đối với giáo viên: Bản thân tự tin giảng dạy tốn phần hình học khơng gian Khi phổ biến kinh nghiệm cho đồng nghiệp tổ chun mơn ngồi trường tơi nhận thấy đồng nghiệp hưởng ứng, triển khai, vận dụng phương pháp đánh giá cao sáng kiến tơi KẾT LUẬN VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến vận dụng sáng kiến vào giảng dạy tơi rút số kết sau: - Đã hình thành phương pháp tư duy, suy luận tốn học cho học sinh THPT - Bước đầu khẳng định tính khả thi, tính hiệu qua việc kiểm nghiệm thực nghiệm sư phạm Bên cạnh sáng kiến giúp cho giáo viên học sinh u cầu nhằm thúc đẩy q trình giảng dạy học tập mơn HHKG tốt - Giáo viên: Trang 26 Có thêm phương pháp để giải tốn, hướng giáo viên tới tư tưởng thuật giải định hướng giải tốn giúp học sinh tiếp thu kiến thức cách linh hoạt hơn, sáng tạo - Học sinh: Học sinh tiếp thu định hướng cách có hệ thống, vừa sức, giúp em có ý thức tích cực, tự giác tìm phương pháp thích hợp giải tốn hình học khơng gian Ngồi giúp học sinh gắn việc nghiên cứu hình học khơng gian với việc củng cố, vận dụng kiến thức hình học phẳng Từ đó, phát triển lực giải tốn khả sáng tạo cho học sinh, học sinh có hứng thú nghiên cứu hình học khơng gian Tuy nhiên đứng trước tốn khó khơng có phương pháp giải mà tuỳ vào trình độ giáo viên học sinh mà tìm cách giải phù hợp hiệu Rất mong với danh nghĩa “Những kỹ tâm hồn” thường xun trau dồi kiến thức, ln suy nghĩ sáng tạo để tìm cách giải hay cho tốn khó, khơi dậy niềm đam mê tốn học em KIẾN NGHỊ: Qua đề tài tơi có số kiến nghị sau: Khi giảng dạy hình học khơng gian giáo viên nên dành số tiết nhắc lại kiến thức hình học phẳng học THCS Nếu có chun đề tự chọn để giáo viên học sinh trao đổi thẳng thắn với vấn đề, từ rút phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh Về phía học sinh phải nắm vững kiến thức hình học phẳng Các định lí tiên đề để vận dụng linh hoạt vào số tốn hình học khơng gian Về phía giáo viên phải nắm vững kiến thức hình học phẳng hình học khơng gian, bám sát chương trình thi tốt nghiệp, Đại học, học sinh giỏi để từ cần rút kinh nghiệm dạy cho có hiệu Do kinh nghiệm thiếu, thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài tơi khơng tránh khỏi nhiều hạn chế Rất mong góp ý đồng nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn đánh giá ban giám khảo đồng nghiệp./ Hà Tĩnh ngày 12 tháng 02 năm 2016 Trang 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Quang Sơn Chun đề trọng điểm Bồi dưỡng học sinh giỏi hình học khơng gian- NXBĐHQGHN 2014 Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh Bài tập hình học 11 - NXBGD 2010 Võ Anh Dũng, Trần Đức Hun, Nguyễn Duy Hiếu, Phạm Thị Bé Hiền, Nguyễn Thành Tuấn Giải tốn hình học 11,Dùng cho lớp chun NXBGDVN Nguyễn Đức Đồng, ban giáo viên khiếu Trường Thi: 500 tốn Hình khơng gian chọn lọc - NXBĐHQGHN Phan Huy Khải, Nguyễn Đạo Phương Các phương pháp giải tốn hình học khơng gian lớp 11 F.Sharyghin Tuyển tập 340 tập hình học khơng gian - NXB TPHCM Đỗ Thanh Sơn Phương pháp giải tốn hình học 11 - NXB TPHCM 1994 Đỗ Thanh Sơn Nâng cao phát triển hình học 11 - NXB GDVN 2011 Tài liệu hướng dẫn giảng dạy mơn tốn lớp 11 10 Báo tốn học tuổi trẻ Trang 28 ... tơi chọn đề tài: Rèn luyện kỹ xác định góc khơng gian đưa tốn xác định góc mặt phẳng” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Đề tài nghiên cứu chuyển việc xác định góc khơng gian tốn xác định góc mặt phẳng nghiên... a Xác định góc hai đường thẳng AB CD Định hướng: + Để xác định góc hai đường A thẳng chéo AB, CD ta đưa xác định góc hai đường thẳng IK IH hay xác định góc K · · ta cần tính KI, KH, HI , xác định. .. cạnh bên a Xác định góc hai đường thẳng SA BC Định hướng: + Để xác định góc hai đường thẳng chéo AB, CD ta đưa xác định góc · hai đường thẳng IK IH hay xác định góc KIH · + Xác định KIH ta cần tính