Đang tải... (xem toàn văn)
Tính toán lượng tử cho cac ban yeu toan
Tính toán lượng tử Tủ sách mở Wikibooks Tính toán lượng tử kỹ thuật tính toán dựa hệ thống vận hành quy luật học lượng tử Sách giới thiệu tảng học lượng tử tính toán lượng tử, khái niệm thông tin lượng tử, số thuật toán lượng tử, chẳng hạn thuật toán phá mã RSA vốn không dễ dàng bẻ khóa thuật toán máy tính cổ điển, thiết kế máy tính lượng tử Người đọc cần có kiến thức điện từ học, học, quang học sóng, giải tích, giải tích đa biến, phương trình vi phân, biến đổi Fourier, số phức, đại số tuyến tính, xác suất thống kê toán học rời rạc, trước đọc sách Mục lục Sóng điện từ Sóng vật chất Cơ học lượng tử 3.1 Đại lượng vật lý Toán tử 3.2 Phương trình Schrodinger 3.3 Không gian véc tơ hàm sóng 3.3.1 Hệ sở rời rạc 3.3.2 Hệ sở liên tục 3.4 3.5 Đo lường 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 Hệ sở rời rạc Hệ sở liên tục Sai số đo Tương tác đo Giao hoán tử Đo lường không tương tác 4.1 Elitzur-Vaidman 4.2 Kwait Thông tin lượng tử 5.1 qubit 5.2 qubit Tính toán lượng tử 6.1 Cổng qubit 6.1.1 Cổng Pauli 6.1.2 Hadamard 6.1.3 Quay pha 6.2 Cổng hai qubit 6.2.1 CNOT 6.2.2 Các cổng điều khiển khác 6.3 Cổng ba qubit 6.3.1 Deustch 6.3.2 Tiffoli 6.4 6.5 Bộ cổng đầy đủ Đo lường Thuật toán lượng tử 7.1 Viễn tải lượng tử 7.2 Tìm kiếm Grover 7.3 Biến đổi Fourier 7.4 Thuật toán Shor (Phá mã RSA) Máy tính lượng tử bẫy ion Tham khảo 10 Xem thêm Sóng điện từ Ánh sáng nói riêng, hay dao động điện từ trường nói chung, lan truyền không gian vừa có tính hạt vừa có tính sóng (gọi sóng điện từ) Khi cho ánh sáng qua khe thí nghiệm giao thoa Young, vân giao thoa quan sát Thí nghiệm cho thấy tính chất sóng ánh sáng Tuy nhiên, đặt cảm biến ánh sáng nhạy vị trí nhận sáng, đếm ánh sáng vào cảm biến hạt Các hạt ánh sáng nói riêng, hay sóng điện từ nói chung, gọi photon Với ánh sáng, thí nghiệm giao thoa với máy đếm hạt photon cho thấy: Xác suất, đơn vị thời gian, để tìm thấy hạt photon, vùng thể tích nhỏ quanh điểm, tỷ lệ với cường độ ánh sáng, tức tỷ lệ với bình phương độ lớn điện trường sóng điện từ trường điểm [1] Từ phương trình Maxwell mô tả điện từ trường, giải nghiệm điện từ trường lan truyền chân không theo hàm số sau, gọi sóng phẳng: Thí nghiệm giao thoa Young Ở đây, điện trường từ trường, r véc tơ vị trí, t thời gian, i đơn vị ảo, số Planck rút gọn (bằng số Planck chia cho ), p véc tơ động lượng hạt photon lan truyền chân không, E lượng hạt photon lan truyền chân không Từ biểu thức trên, thấy sóng ánh sáng nói riêng, hay dao động điện từ trường nói chung, tuần hoàn không gian theobước sóng: Sóng ánh sáng nói riêng, hay dao động điện từ trường nói chung, tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ: hay tần số: Sóng vật chất Khi lặp lại thí nghiệm giao thoa Young cho vật thể, đặc biệt vật thể nhỏ nanomét, electron, proton, vân giao thoa xuất hiện, tương tự với trường hợp photon Louis de Broglie tổng quát hóa, từ trường hợp photon, chuyển động vật liên hệ với sóng, gọi sóng vật chất Nói cách khác vật chất vừa có tính hạt vừa có tính sóng Tính chất gọi lưỡng tính sóng hạt Sóng vật chất, gọi hàm sóng, hàm vị trí thời gian Tuy nhiên, biểu diễn hàm số phụ thuộc vào biến số khác Với hạt vật chất tổng quát, thí nghiệm giao thoa có sử dụng máy đếm hạt cho thấy: Xác suất đơn vị thời gian, để tìm thấy hạt, vùng thể tích nhỏ quanh điểm, tỷ lệ với bình phương độ lớn sóng vật chất điểm đó[2] Với hạt chuyển động tự chân không, hàm sóng nó, giống với photon nêu trên, là: Ở đây, hàm sóng hạt Như vậy, với hạt vật chất tổng quát, bước sóng liên hệ với động lượng theo công thức tương tự trường hợp photon, là: Bước sóng gọi bước sóng de Broglie[3] Tần số hàm sóng liên hệ với lượng hạt, tương tự trường hợp photon, là: Cơ học lượng tử Cơ học lượng tử lý thuyết vật lý mô tả chuyển động vật chất, đặc biệt hạt nhỏ cỡ nanomét, chuyển động hạt xác định thông qua sóng vật chất ứng với hạt Cơ học lượng tử thực nghiệm chứng tỏ lý thuyết có độ xác cao Trong học lượng tử, chuyển động vật chất mô tả đầy đủ hàm sóng vật chất Từ hàm sóng, tìm đại lượng vật lý liên quan đến vật chất Đại lượng vật lý Toán tử Với đại lượng vật lý tổng quát, gọi O, học lượng tử, xác định toán tử Hermite tương ứng với đại lượng vật lý đó, gọi Nếu hệ vật chất trạng thái ứng với giá trị xác định O gọi O0, chất trạng thái xét, gọi hàm riêng thỏa mãn tính chất: ; hàm sóng hệ vật O0 trị riêng ứng với hàm riêng Ví dụ, với hạt vật chất chuyển động tự chân không, động lượng xác định, p, lượng xác định, E Hàm sóng, nêu trên, là: Có thể kiểm nghiệm toán tử Cũng kiểm nghiệm toán tử , với toán tử gradient, thỏa mãn: , với toán tử đạo hàm riêng phần theo thời gian t, thỏa mãn: Như với đại lượng động lượng p, toán tử tương ứng ; đại lượng lượng E, toán tử tương ứng Trường hợp hệ vật chất trạng thái mà đại lượng O không giá trị cố định, xác định giá trị trung bình sai số đại lượng O Cụ thể, giá trị trung bình là: Ở đây, liên hợp phức bình phương độ lớn hàm sóng; dV vi thể tích tích phân toàn không gian Sai số O, phương sai: Ví dụ, với hạt vật chất chuyển động tự do, vị trí hạt không xác định giá trị cố định Khi có giá trị trung bình vị trí xác định Đồng thời, phân bố xác suất vị trí hạt tỷ lệ với bình phương độ lớn hàm sóng, nêu mục trên, giá trị trung bình tọa độ tính trực tiếp là: Từ suy ra: Nếu đại lượng vật lý A xác định thông qua đại lượng vật lý B1, B2, , Bn qua liên hệ: Bài tập ví dụ A = f(B1, B2, , Bn) Mô men động lượng, L, liên hệ với vị trí, r, động toán tử chúng liên hệ tương tự: lượng, p, qua L = r×p Hãy xác định toán tử Lời giải Ví dụ, vận tốc hạt v = p/m, với m khối lượng hạt, hạt chuyển động chậm so với tốc độ ánh sáng, toán tử vận tốc là: Ví dụ nữa, động hạt K = m |v|2 / = m (v.v) / 2, toán tử động là: Ở toán tử Laplace Ví dụ nữa, hạt hàm số phụ thuộc vào vị trí r, P = V(r), toán tử là: Phương trình Schrodinger Với hệ vật chất chuyển động trường năng, lượng, gọi E, hệ động năng, gọi K, cộng năng, gọi P Sử dụng toán tử lượng, toán tử động năng, toán tử nêu trên, thu được: E=K+P và, tác động toán tử hai vế lên hàm sóng : Phương trình thu phương trình Schrodinger, cho trường hợp hạt chuyển động chậm so với tốc độ ánh sáng, theo tên Erwin Schrödinger, người lần thiết lập vào năm 1926[4] Cụm toán tử gọi toán tử Hamilton, ký hiệu Sự biến đổi hàm sóng theo thời gian hoàn toàn xác định thông qua phương trình Schodinger Cho trường mà hệ vật chất chuyển động bên trong, giải phuơng trình Schrodinger để thu hàm sóng thỏa mãn, từ hàm sóng xác định đại lượng vật lý hệ vật chất quan tâm Phương trình Schrodinger đóng vai trò quan trọng học lượng tử, tuơng tự vai trò phương trình chuyển động định luật hai Newton học cổ điển Nếu phụ thuộc vào thời gian, phương trình Schrodinger nêu trở thành: Không gian véc tơ hàm sóng Các hàm sóng, ký hiệu , ký hiệu véc tơ phức, với tích vô hướng định nghĩa bên đây, tạo thành không gian véc tơ, gọi không gian Hilbert: Paul Dirac ký hiệu véc tơ hàm sóng , liên hợp phức véc tơ hàm sóng tích vô hướng hai véc tơ hàm sóng Trong không gian véc tơ hàm sóng, có nhiều hệ véc tơ sở Hệ sở rời rạc Xét hệ véc tơ sở gồm số lượng hữu hạn, số lượng đếm được, véc tơ sở , , , , hàm sóng biểu diễn chồng chập tuyến tính véc tơ sở này: Trong hệ số Ai gọi thành phần véc tơ Khi biết hệ sở, véc tơ chiếu lên véc tơ : hoàn toàn xác định hệ số A1, A2, , viết véc tơ cột: Liên hợp phức véc tơ hàng: Tích vô hướng là: Ở Ai Bj thành phần véc tơ Mọi toán tử , ứng với đại lượng vật lý O đó, tuyến tính Khi tác động lên hàm sóng , kết thu biểu diễn, hệ sở chọn, véc tơ cột với tích ma trận sau: Bài tập ví dụ Cho trạng thái hệ vật lý không gian véc tơ hai chiều, chưa chuẩn hóa, v1 = (1+i, 2e3i) Cho trạng thái khác, chưa chuẩn hóa, v2 = (3-2i, 4e-2i) Tính tích vô hướng Lời giải Với O ma trận vuông với hệ số hàng i cột j là: Ở đây, tích vô hướng viết tắt Như vậy, giá trị trung bình đại lượng vật lý O, ứng với toán tử Tính toán hệ sở , , , : , hệ vật chất trạng thái hàm sóng là: Với toán tử , ứng với đại lượng vật lý O đó, tồn hàm sóng , , gọi hàm riêng Bài tập ví dụ toán tử này, thỏa mãn: Hãy chuẩn hóa véctơ không gian véc tơ hai chiều Ở Oi giá trị riêng ứng với hàm riêng hàm sóng mà trạng thái hệ vật chất có giá trị Các hàm riêng đại lượng O xác định giá trị Oi Tập hợp hàm riêng , , chuẩn hóa, để tạo thành hệ sở trực giao chuẩn hóa không gian véc tơ Hilbert hàm sóng Một hệ có sở , Lời giải , trực giao chuẩn hóa hệ sở thỏa mãn: Véc tơ chuẩn hóa Chú ý rằng: Tức tích vô hướng hai véc tơ hệ - tuơng đương hai véc tơ trực giao với nhau, tích vô hướng véc tơ với - tương đương độ dài véc tơ hay véc tơ chuẩn hóa Ở ký hiệu delta Kronecker i khác j i j Xét trường hợp đặc biệt ma trận O toán tử Giá trị trung bình đại lượng O với hàm sóng hệ sở hàm riêng của Suy ra: : là: So sánh với trường hợp O vị trí r trình bày mục trước, thấy Ai2 xác suất tìm hệ có giá trị đại lượng O Oi Hệ sở liên tục Thực tế tồn trường hợp hệ sở không gian Hilbert tập hợp có số lượng không đếm véc tơ Ví dụ, xét đại lượng động lượng p, hàm riêng động lượng, hàm mà ứng với trạng thái động lượng hệ vật chất xác định giá trị p, gọi , tức ứng với trường hợp hệ vật chất chuyển động tự bàn mục trên: Do có số lượng không đếm giá trị p, giá trị p biến thiên liên tục, nên có số lượng không đếm không đếm vị trí r tạo nên hệ sở không gian hàm sóng Một ví , tạo thành hệ sở với số lượng không đếm véc tơ, không gian Hilbert hàm sóng, có số lượng dụ khác, xét đại lượng vị trí r, hàm riêng vị trí, hàm mà ứng với trạng thái vị trí hệ vật chất xác định giá trị r Khi hệ sở chứa số lượng không đếm hàm sóng, tổng biểu thức bên (cho hệ sở chứa số lượng đếm hàm sóng) trở thành tích phân Cụ thể, biểu diễn hàm sóng chồng chập hàm sóng hệ sở chứa hàm riêng Với A(O) thành phần véc tơ chiếu lên véc tơ Trong hệ sở biết, chứa hàm riêng đại lượng vật lý O: : đại lượng vật lý O, hàm A(O) hoàn toàn đủ chứa thông tin hàm sóng Do vậy, hàm A(O) viết Hàm A(O) thay biểu diễn véc tơ cột hệ số Ai cho trường hợp số lượng véc tơ hệ sở không đếm Tích vô hướng hai véc tơ hàm sóng, biểu diễn hệ sở chứa số lượng không đếm hàm riêng đại lượng vật lý O là: Bài tập ví dụ Cho trạng thái hệ vật lý, v, không gian véc tơ có số chiều không đếm hàm riêng đại lượng vật lý O chạy liên tục từ đến Ở A(O) B(O) thành phần véc tơ 1, chưa chuẩn hóa, thể hàm A(O) = O2+iO Hãy chuẩn hóa véc tơ trạng thái Quay trở lại định nghĩa tích vô hướng nêu đầu phần này: Lời giải Ở đây: Có thể thấy Nói cách khác thực tế Bản thân trạng thái biểu diễn thành phần A(O), O r, hình chiếu lên véc tơ Từ đây, suy ra: hình thức biểu diễn trạng thái theo vị trí r có nhiều cách biểu diễn, không thiết phải biểu diễn phụ thuộc vào r Tổng quát, cách theo đại lượng O là: Vậy, véc tơ chuẩn hóa là: với hàm riêng toán tử Ví dụ, biểu diễn trạng thái Cuối cùng, giá trị trung bình đại lượng O với hàm sóng theo động lượng p: là: Hệ sở trực giao chuẩn hóa chứa số lượng không đếm hàm riêng Với , đại lượng vật lý O, thỏa mãn : hàm Dirac delta Đo lường Trong học lượng tử, việc thực phép đo lường đại lượng vật lý hệ vật lý tương đương với việc thực tương tác vào hệ làm biến đổi trạng thái hệ Bài tập ví dụ Xét hệ gồm thành phần, trạng thái Hệ sở rời rạc thành phần đo đại lượng O sụp Xét đại lượng vật lý cần đo, gọi O với toán tử Toán tử có hàm riêng tạo thành hệ sở hàm riêng toán tử , ứng với kết đo, trị riêng O1 không gian véc tơ hàm sóng hệ vật lý Xét hệ vật lý trạng thái: O2 Nếu hệ trạng thái: Việc thực phép đo, để xác định giá trị đại lượng O hệ vật lý, tương đương với thực phép toán phép chiếu hàm sóng , khiến bị sụp đổ, cách hoàn toàn ngẫu nhiên, hàm riêng, ví dụ sụp đổ trị riêng ứng với hàm riêng Nếu, nếu, sụp đổ Xác suất để giá trị đại lượng O thu từ phép đo thực phép đo đại lượng O thành phần 1, thu kết đo O1, lúc thành phần trạng thái nào? Lời giải Hệ sở liên tục Với kết đo O1 thu thành phần 1, Trường hợp đại lượng vật lý cần đo, gọi O, có toán tử với hàm riêng O chạy liên tục miền giá trị, hệ vật lý trạng thái tổng quát biểu diễn hệ sở liên tục hàm riêng chứng tỏ trạng thái hệ sau đo là: là: Từ suy thành phần 2, sau đo, trạng thái Việc thực phép đo, để xác định giá trị đại lượng O hệ vật lý, tương đương với thực phép toán phép chiếu hàm sóng , khiến bị sụp đổ, cách hoàn toàn ngẫu nhiên, hàm riêng, ví dụ Xác suất để giá trị đại lượng O thu từ phép đo, nằm khoảng từ O1 đến O2 là: Sai số đo Như vậy, hệ vật lý trạng thái ứng với hàm riêng hàm sóng có xác suất 100% sụp đổ giá trị thu phép đo có xác suất 100% trị riêng ứng với hàm riêng Khi phép đo có sai số không Trường hợp tổng quát có nhiều hệ vật lý trạng thái thực phép đo chúng thu kết khác nhau, ứng với trị riêng khác nhau, cách ngẫu nhiên theo xác suất ứng với trị riêng nêu Giá trị trung bình phép đo này, trình bày trên, là: Và sai số phép đo là: Tương tác đo Khi thực phép đo hệ vật lý, nhiều trường hợp, phá hủy làm thay đổi trạng thái nó, khiến trạng thái sụp đổ vế hàm riêng Tuy nhiên, hệ vật lý trạng thái hàm riêng, có kỹ thuật đo mà có xác suất cao không cần có tương tác vật lý với hệ, mà biết trạng thái hệ Mục "Đo lường không tương tác" có trình bày số kỹ thuật Giao hoán tử Xét hai toán tử , ứng với hai đại lượng vật lý A B Giao hoán tử chúng là: Nếu giao hoán tử toán tử hai toán tử Ví dụ, xét toán tử và giao hoán toán tử ứng với đại lượng động lượng theo phương x tọa độ x vị trí: Bài tập ví dụ Hãy xác định toán tử Vậy Lời giải và: Nghĩa không giao hoán Có định lý đại số tuyến tính phát biểu rằng: Nếu, nếu, hai toán tử giao hoán tồn hàm riêng chung hai toán tử Điều nghĩa giao hoán, tồn hàm sóng mà giá trị đại lượng A đại lượng B đồng thời xác định với sai số 0, giá trị giá trị riêng hàm sóng , vai trò hàm riêng hàm riêng Cũng theo đại số tuyến tính: Nếu hai toán tử không giao hoán tích sai số đại lượng A sai số đại lượng B lớn Đây nguyên lý bất định Heisenberg Ví dụ, với không giao hoán: Một tính chất giao hoán tử là: Xét đạo hàm theo thời gian giá trị trung bình đại lượng A: Sử dụng phương trình Schrodinger: thu được: Đây định lý Ehrenfest tổng quát Từ định lý này, suy số trường hợp Toán tử Vậy: giao hoán nên Còn: Tức vận tốc trung bình động lượng trung bình chia cho khối lượng Tương tự, chứng minh: Như mặt hình thức, giá trị trung bình học lượng tử tuân theo học cổ điển Newton Đo lường không tương tác Mặc dù việc đo lường, học lượng tử, khiến cho hệ vật lý bị sụp trạng thái riêng toán tử đo, nhiên, hệ nằm trạng thái riêng, thực việc đo mà có xác suất không xảy tương tác với hệ vật lý xét Xét toán công ty chế tạo hạt nhạy sáng, dùng nhiếp ảnh Các hạt hai trạng thái Trạng thái "sống" gặp ánh sáng hấp thụ ánh sáng chuyển thành trạng thái lại Trạng thái lại "chết" không tương tác với ánh sáng Công ty muốn tìm cách đo xem hạt có, có hạt "sống" hạt "chết" Khó khăn việc phép đo không gây tương tác ánh sáng với hạt, khiến cho hạt "sống" bị chuyển thành hạt "chết" Elitzur-Vaidman Năm 1993, Elitzur Vaidman đề xuất phương án đo mà có xác suất xác định trạng thái hạt mà không tương tác với hạt [5] Thí nghiệm thực tế thực phương án triển khai thành công vào năm 1994 Anton Zeilinger, Paul Kwiat, Harald Weinfurter, Thomas Herzog Mark A Kasevich.[6] Thí nghiệm bố trí hai hình hai bên Nguồn sáng phát photon Nếu hạt "chết", hình bên trái, máy đo D1 có xác suất nhận photon 100%, máy đo D2 có xác suất nhận photon 0% Phương pháp đo có xác suất không tương tác Elitzur & Vaidman, hoạt động với hạt "chết" Nếu hạt "sống", hình bên phải, có 50% khả photon gặp phải hạt bị hấp thụ, hạt bị chuyển thành "chết" máy đo D1 máy đo D2 không nhận photon Có 25% khả D1 nhận photon, D2 không nhận photon, Phương pháp đo có xác suất không tương tác Elitzur & Vaidman, hoạt động với hạt "sống" tình không giúp xác định trạng thái hạt, dù hạt không bị tương tác, kết đo không phân biệt với tình hạt "chết" 25% lại D1 không nhận photon, D2 nhận photon, tình cho phép xác định hạt "sống" đồng thời hạt không bị tương tác Kwait Năm 1995, Paul Kwiat đề xuất phương án đo khác mà xác suất để xác định trạng thái hạt đồng thời không tương tác với hạt tăng lên gần với 100% [7] Thí nghiệm bố trí hai hình hai bên Nguồn sáng phát Phương pháp đo không tương tác Kwait, hạt "chết" photon Nếu hạt "chết", hình bên trái, 100% xác suất photon quay trở Phương pháp đo không tương tác Kwait, hạt "sống" phía máy đo bị phân cực vuông góc với phương ban đầu, không lọt qua kính phân cực, dẫn đến việc máy đo không nhận photon Nếu hạt "sống", hình bên phải, có xác suất mà photon quay trở phía máy đo, lọt qua kính phân cực, giúp phân biệt rõ hạt "sống" (so với trường hợp hạt "chết" nêu trên) mà hạt không bị tương tác Ở góc quay mặt phẳng phân cực hai kính quay phân cực đặt hai bên gương bật tắt, Có thể đặt nhỏ tùy ý để số lần photon qua gương bán mạ tiến đến 100% Thông tin lượng tử Trong máy tính cổ điển, thông tin biểu diễn dạng chuỗi bit Mỗi bit nhận giá trị Trong tính toán lượng tử, thông tin biểu diễn dạng chuỗi qubit Mỗi qubit hệ lượng tử có trạng thái biểu diễn không gian véc tơ chiều, có hệ sở gồm hai véc tơ riêng toán tử ứng với đại lượng vật lý đó, gọi hai trạng thái |0> |1> qubit Mọi trạng thái qubit biểu diễn véc tơ trạng thái: Ở a b số phức thỏa mãn a2+b2=1 với hàm sóng chuẩn hóa Có thể biểu diễn tham số a b theo hai tham số khác, Ở đây, sau: Mỗi điểm mặt cầu, gọi mặt cầu Bloch, tương ứng với góc xác định, tương ứng với trạng thái qubit Điểm đỉnh mặt cầu Bloch trạng thái |0>, điểm đáy mặt cầu Bloch trạng thái |1> tất trạng thái Ngoài hệ sở |0> |1>, trạng thái qubit biểu diễn hệ sở khác, ví dụ gồm |+> |->: qubit Trạng thái qubit thể mặt cầu Bloch Trong máy tính cổ điển, chuỗi hai bit nhận bốn giá trị 00, 01, 10 11 Trong tính toán lượng tử, trạng thái chuỗi hai qubit véc tơ nằm không gian véc tơ chiều Mọi trạng thái chuỗi qubit biểu diễn véc tơ trạng thái: Ở đây, |00> trạng thái qubit thứ xác định |0>, qubit thứ hai trạng thái xác định |0>, hay viết là: Tương tự: Có trạng thái chuỗi qubit ứng với qubit thứ có trạng thái xác định Tuy nhiên có nhiều trạng thái tổng quát qubit thứ hai có trạng thái xác định : mà phân tích nhân tử thành tích hai trạng thái xác định hai qubit Khi đó, biết xác trạng thái qubit, biết xác trạng thái chuỗi hai qubit Trạng thái hai qubit gọi trạng thái vướng víu lượng tử véc tơ , , hệ sở, gồm toàn trạng thái không vướng víu, không gian véc tơ chứa trạng thái qubit Tuy nhiên tồn hệ sở chứa toàn trạng thái vướng víu, không gian véc tơ chứa trạng thái qubit Hệ trạng thái Bell hệ vậy, gồm véc tơ: Một phép đo thực chuỗi qubit làm trạng thái chuỗi sụp đổ véc tơ sở Phép đo Bell phép khiến trạng thái hệ qubit sụp trạng thái Bell Tính toán lượng tử Trong tính toán cổ điển, có "cổng" để thực phép tính, nhận đầu vào bit chuỗi bit, cho đầu kết phép tính Với cổng nhận bit, có cổng NOT, cổng ZERO, tổng cộng cổng Với cổng nhận bit, có cổng AND, OR, XOR, NAND, NOR, tổng cộng 16 cổng Có thể chứng minh biểu thức Boole biểu diễn cổng NOT, cổng AND cổng OR, mà cổng lại biểu diễn công NAND (hoặc cổng NOR) nên mạch tính toán xây dựng cổng NAND (hoặc cổng NOR) Ngoài ra, chứng minh biểu thức Boole biểu diễn cổng Toffoli Các {NOT, AND, OR} {NAND} {NOR} {Toffoli} gọi cổng đầy đủ Trong tính toán lượng tử, có "cổng lượng tử" để thực phép tính lượng tử Cổng nhận đầu vào chuỗi qubit, cho kết phép tính Cũng chứng minh phép tính lượng tử xấp xỉ, đến độ xác tùy ý, tổ hợp hữu hạn cổng lượng thuộc cổng đầy đủ Cổng qubit Trạng thái qubit véc tơ không gian véc tơ chiều Một phép tính lượng tử với đầu vào qubit tương ứng với phép toán tuyến tính véc tơ không gian véc tơ chiều Tức tương đương việc nhân ma trận vào với véc tơ thể trạng thái qubit đầu vào, với ma trận ma trận phép tính Một cách tổng quát, ma trận là: Ở đây, a, b, c, d số phức Một số cổng nhận đầu vào qubit hay đề cập đến liệt kê Cổng Pauli Ba cổng Pauli, gọi cổng Pauli X, ứng với toán tử , cổng Pauli Y, ứng với toán tử , cổng Pauli Z, ứng với toán tử Cổng Pauli X gọi cổng NOT Cổng có ý nghĩa tạo trang thái "ngược" với trạng thái |0> |1> đầu vào, tương đương với việc quay trạng thái qubit mặt cầu Bloch sang điểm đối diện với mặt cầu , có ma trận là: Bài tập ví dụ Qubit trạng thái |0> Xác suất mà phép đo spin theo trục X thu kết bao nhiêu? Lời giải Biểu diễn trạng thái qubit hệ sở véc tơ Ba toán tử Pauli có mối liên hệ với tương tự ba toán tử thành phần mô men động lượng , , , ví dụ: riêng : Trong học lượng tử, ba toán tử liên hệ với theo kiểu coi tương ứng với đại lượng mô men động lượng Cụ thể toán tử Pauli tương ứng với dạng mô men động lượng đặc biệt hệ vật chất gọi spin Toán tử X ứng với đại lượng vật lý spin theo trục X, toán tử Y ứng với spin theo trục Y, toán tử Z ứng với spin theo trục Z Véc tơ spin là: Xác suất thu spin theo trục X 1, ứng với trạng thái qubit sụp |+>, là: Véc tơ riêng Pauli Z |0> |1>,ứng với trị riêng -1: Bài tập nâng cao Qubit trạng thái |0> Xác suất mà phép đo spin dọc theo phương véc tơ e=(sinΘ cosΦ, sinΘ sinΦ, cosΘ) thu kết bao Véc tơ riêng Pauli X |+> |->,ứng với trị riêng -1: nhiêu? Gợi ý lời giải Đại lượng cần đo S.e = sinΘ cosΦ X + sinΘ sinΦ Y + cosΘ Z Toán tử đại lượng cần đo, có ma trận là: Véc tơ riêng Pauli Y , ứng với trị riêng -1: Biểu diễn trạng thái qubit hệ sở véc tơ riêng ma trận này, thu kết đo trị riêng với xác suất cos(Θ/2)2 Hadamard Cổng Hadamard có ma trận là: Cổng Hadamard biểu diễn mạch tính toán lượng tử hình bên phải Cổng có ý nghĩa tạo trang thái "trộn" từ trạng thái |0> |1> đầu vào Biểu diễn mạch chứa cổng Hadamard Một mạch lượng tử tạo cổng Hadamard hình bên gọi mạch khởi tạo ghi lượng tử Đầu mạch là: Mạch khởi tạo ghi lượng tử Ở đây, N số qubit đầu vào Như đầu mạch khởi tạo ghi lượng tử, với đầu vào N qubit trạng thái |0>, trạng thái "trộn" tất véc tơ hệ sở không gian 2N chiều chứa trạng thái N qubit Quay pha Cổng quay pha, với pha quay góc , có ma trận là: Cổng quay pha biểu diễn mạch tính toán lượng tử hình bên phải Như vậy, Biểu diễn mạch chứa cổng quay pha Còn cổng quay pha tác động lên trạng thái qubit tổng quát, mặt cầu Bloch, kết xoay trạng thái theo góc quanh trục thẳng đứng mặt cầu Bloch Cổng hai qubit Trạng thái hai qubit véc tơ không gian véc tơ chiều Một phép tính lượng tử với đầu vào qubit tương ứng với phép toán tuyến tính véc tơ không gian véc tơ chiều Tức tương đương việc nhân ma trận vào với véc tơ thể trạng thái qubit đầu vào, với ma trận ma trận phép tính Một cách tổng quát, ma trận là: Ở đây, aij số phức Một số cổng nhận đầu vào hai qubit hay đề cập đến liệt kê CNOT Cổng CNOT nhận đầu vào hai qubit: qubit thứ qubit điều khiển qubit thứ hai qubit bị điều khiển Ở kết đầu ra, qubit thứ hai cho NOT qubit bị điều khiển cho vào, qubit điều khiển |1> Ma trận CNOT là: Biểu diễn mạch cổng CNOT Cổng CNOT chuyển đầu vào hai qubit vướng víu lượng tử thành đầu không bị vướng víu lượng tử Ví dụ: Ngược lại, cổng CNOT chuyển đầu vào hai qubit không vướng víu lượng tử thành đầu bị vướng víu lượng tử Các cổng điều khiển khác Một cách tổng quát, cho cổng U nhận qubit đầu vào cho qubit, với ma trận: Một cổng điều khiển lượng tử tương ứng với U, viết tắt CU, nhận đầu vào hai qubit: qubit thứ qubit điều khiển qubit thứ hai qubit bị điều khiển Ở kết đầu ra, qubit thứ hai cho U qubit bị điều khiển cho vào, qubit điều khiển |1> Ma trận CU là: Biểu diễn mạch lượng tử cổng điều khiển CU Biểu diễn mạch lượng tử cổng điều khiển CU hình bên phải Cổng ba qubit Với cổng nhận đầu vào ba qubit, ma trận có kích thước 8×8 Một số cổng nhận đầu vào ba qubit hay đề cập đến liệt kê Deustch Cổng Deutsch , thực việc biến đổi đầu vào ba qubit sau[8] Tiffoli Cổng Toffoli, gọi cổng CCNOT, có ma trận sau: Biểu diễn mạch tính toán lượng tử cổng Toffoli Bộ cổng đầy đủ Trong tính toán cổ điển, {Tiffoli} đầy đủ, mà cổng Tiffoli cổ điển có cổng Tiffoli lượng tử hoàn toàn tương ứng, đó, tính toán cổ điển thực máy tính lượng tử Điều nghĩa biểu thức toán học f(x), với x đầu vào biểu diễn trạng thái lượng tử Trong tính toán lượng tử, {H, , thực thi toán tử ứng với f , CNOT} đầy đủ, tức biểu thức tính toán mạch máy tính lượng tử thực đến độ xác tùy ý việc kết hợp thực thi cổng Hadamard, quay pha CNOT Một đầy đủ khác { } Đo lường Bản thân phép đo học lượng tử phép tính lượng tử, thực trạng thái lượng tử nhiều qubit đầu vào, cho trạng thái riêng qubit toán tử đại lượng vật lý cần đo Như vậy, nói đến phép đo, cần nói rõ đo đại lượng vật lý nào, ứng với toán tử nào, có hàm riêng hàm trị riêng tương ứng Biểu diễn mạch lượng tử phép đo hình bên phải Biểu diễn mạch lượng tử phép đo Thuật toán lượng tử Trong phần số thuật toán sử dụng phép tính toán đo đạc lượng tử, để giải số toán định, trình bày Viễn tải lượng tử Giả định người tên A có tay qubit, gọi q1, trạng thái Người A muốn gửi cho người B, vị trí cách xa người A, toàn qubit q1, toàn thông tin q1 Thực tế, người A thu thông tin đầy đủ q1, người A thực phép đo, để thu thông tin, q1 trạng thái q1 bị sụp đổ trạng thái riêng phép đo Do người A thông tin đầy đủ q1, người A gửi thông tin cho người B Trong học lượng tử, định lý không nhân nói nhân hệ vật lý thành nhiều giống hệt mà không gây phá hủy hệ vật lý ban đầu Cách cổ điển để thực yêu cầu toán di chuyển qubit từ A đến B Tốc độ di chuyển nhỏ tốc độ ánh sáng Có phương án khác thực với tốc độ nhanh hơn, tiệm cận đến tốc độ ánh sáng Phương án gọi viễn tải lượng tử Bước 1: Chuẩn bị sẵn từ trước cặp hai qubit, gọi q2 q3, trạng thái vướng víu lượng tử, chẳng hạn trạng thái Bell, để q2 A q3 B Bước 2: Tại A, với cặp qubit q1 qubit q2, thực phép đo Bell, khiến cho trạng thái cặp q1 q2 sụp đổ trạng thái Bell Kết đo thu trạng thái Bell, mã hóa số, từ đến Cặp q1 q2 A, sau phép đo, không cần dùng đến Bước 3: Thông tin kết đo, số nguyên khoảng từ đến 4, gửi từ A đến B theo đường cổ điển Việc gửi thông tin có tốc độ nhanh tốc độ ánh sáng Bước 4: Tại B, thực phép biến đổi trạng thái qubit q3, tùy thuộc vào kết đo nhận từ A, để thu lại trạng thái q3 trạng thái q1 ban đầu Ví dụ, bước 1, cặp q1 q2 trạng thái Bell thứ nhất: Khi đó, phép biến đổi, P, bước hàm kết đo bước 2, sau: ô ì Mạch lượng tử thể thuật toán viễn tải lượng tử Mạch lượng tử thể thuật toán viễn tải lượng tử ví dụ hình bên phải Tìm kiếm Grover Trong tính toán cổ điển, cho bảng gồm cột N dòng, cột thứ số thứ tự, cột thứ hai giá trị định, toán tìm kiếm phát biểu với giá trị x cho trước, tìm thứ tự i dòng mà chứa giá trị x Bài toán có độ phức tạp O(N) Trong tính toán lượng tử, để thể N dòng bảng, sử dụng không gian véctơ N chiều trạng thái lượng tử, dòng bảng ứng với véctơ sở không gian , Giá trị tìm kiếm tương ứng với hàm sóng , , với véctơ sở nêu trên, toán tìm kiếm tương ứng với tìm N trạng thái biểu diễn n qubit, với n số nguyên nhỏ lớn logarit số N Thuật toán Grover thực sau: Bước 1: Khởi tạo ghi lượng tử cho n qubit, để chúng trạng thái trộn (chồng chập đều) tất véc tơ riêng Bước 2: Lặp lại k lần việc thực toán tử Grover vào hệ n qubit Toán tử Grover giải thích bên Bước 3: Thực phép đo để trạng thái hệ n qubit sụp véctơ sở Kết thu có xác suất cao cần tìm Toán tử Grover Mạch lượng tử thể thuật toán tìm kiếm Grover , đó: Sau lần áp dụng toán tử Grover, trạng thái hệ n qubit xoay gần với trạng thái Sau k lần quay, trạng thái hệ n qubit gần với trạng thái hơn, với góc xoay , xác suất để đo trạng thái hệ sập là: : Số k nhỏ để xác suất gần với Như thuật toán tìm kiếm Grover có độ phức tạp , nhanh tìm kiếm tính toán cổ điển Mạch lượng tử thể thuật toán tìm kiếm Grover có hình bên phải Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier rời rạc, N giá trị liệu {x1,x2, ,xN}, tức véctơ không gian phức N chiều, thực việc nhân ma trận sau với Theo tính toán cổ điển, độ phức tạp phép tính O(N2) Trong tính toán lượng tử, véctơ không gian phức N chiều biểu diễn trạng thái lượng tử không gian véc tơ N chiều Một hệ n qubit biễu diễn không gian này, với n số nguyên nhỏ lớn logarit số N Toán tử biến đổi Fourier, tác động vào hệ n qubit, có ma trận ma trận nêu Có thể thấy n = 2, ma trận ma trận toán tử Hadamard Có thể chứng minh quy nạp mạch lượng tử biến đổi Fourier cho hệ n qubit liên hệ với mạch lượng tử biến đổi Fourier cho hệ n-1 qubit theo sơ đồ trình bày hình bên phải Số cổng lượng tử mạch lượng tử biến đổi Fourier cho hệ n qubit n cổng quay pha có điều khiển cộng với số cổng lượng tử mạch lượng tử biến đổi Mạch lượng tử biến đổi Fourier Fourier cho hệ n-1 qubit Như số cổng lượng tử mạch lượng tử biến đổi Fourier cho hệ n qubit là: 1+2+ n = n (n + 1) /2 Nghĩa độ phức tạp biến đổi Fourier lượng tử O(n2) = O(log(N)2) , nhỏ độ phức tạp phép tính tính toán cổ điển Thuật toán Shor (Phá mã RSA) Thuật toán Shor thuật toán lượng tử giúp phân tích nhân tử số nguyên dạng N = pq, với p q số nguyên tố, tức tìm giá trị p q cho vào N Với tính toán cổ điển, hàm N(p,q) = pq hàm chiều tức việc tính N từ p q có độ phức tạp nhỏ, O(0), việc tính p q từ N có độ phức tạp cao Tính chất áp dụng cho việc xây dựng ứng dụng mật mã hóa công khai RSA Tuy nhiên có phương án phân tích nhân tử số nguyên N nhanh thành p q mã hóa RSA không an toàn trước công bẻ khóa Thuật toán Shor thực việc phân tích nhân tử số nguyên N thành p q nhanh thuật toán cổ điển Cụ thể, thuật toán Shor, thực lại hầu hết bước thuật toán Miller tính toán cổ điển, ngoại trừ bước có độ phức tạp cao Thuật toán Miller gồm bước sau: Chọn số ngẫu nhiên a < N Tìm ƯCLN(a, N), dùng thuật toán Ơclit cho bước Nếu ƯCLN(a, N) ≠ 1, p=a q = N/a Nếu không tìm chu kỳ r hàm f(x) = ax mod N, tức f(x+r) = f(x) Nếu r lẻ, quay lại bước Nếu a r /2 ≡ −1 (mod N), quay lại bước p = ƯCLN(ar/2 + 1, N) q=ƯCLN(ar/2 - 1, N) Trong thuật toán Miller, bước có độ phức tạp cao bước tìm chu kỳ r hàm f(x) Để tìm chu kỳ hàm số, biến đổi Fourier hàm số này, kết biến đổi Fourier cực đại giá trị k/r với k số nguyên Biến đổi Fourier thực nhanh tính toán lượng tử, trình bày mục bên Do bước thực tính toán lượng tử sau Cụ thể, hàm f(x) làm hàm tuần hoàn nhận tối đa N giá trị, biểu diễn Q bit, với Q số nguyên nhỏ lớn lôgarit số N Có thể thiết lập hệ vật lý gồm hai ghi cạnh nhau, gồm Q qubit, thực hiện: Khởi tạo ghi thứ nhất, ghi thứ hai trạng thái nghỉ (trạng thái lượng thấp nhất, thường ứng với qubit |0>) Trạng thái hệ ghi sau bước là: Biểu diễn mạch lượng tử phần tính toán lượng tử thuật toán Shor Xây dựng hàm f(x) thành toán tử lượng tử để áp dụng hệ ghi sau bước trên, thu trạng thái hệ Áp dụng biến đổi Fourier vào hệ Thực phép đo, để trạng thái hệ hai ghi sụp trạng thái riêng Thanh ghi thứ sụp trạng thái ứng với chuỗi nhị phân thể giá trị s, xác suất để s bội số 1/r cao Thử lại, tính toán cổ điển, xem f(x) = f(x + 1/s) kết thúc Nếu không thử, tính toán cổ điển, với giá trị 1/sk với k nguyên khác nhau, giá trị thỏa mãn kết thúc Nếu không lặp lại từ bước Biểu diễn mạch lượng tử phần tính toán lượng tử thuật toán Shor hình bên phải Do độ phức tạp biến đổi Fourier lượng tử nhỏ độ phức tạp phép tính tính toán cổ điển, bước tìm chu kỳ biến đổi Fourier thuật toán Shor nhanh thực phép tính máy tính cổ điển Độ phức tạp thuật toán Shor lớn O(log(N)2), cụ thể O((log N)2(log log N)(log log log N)) [9] Máy tính lượng tử bẫy ion Máy tính lượng tử bẫy ion đề xuất thực thi máy tính lượng tử quy mô lớn (hoạt động với nhiều qubit) Các ion bị bẫy điện từ trường xoay, tạo điện cực bố trí theo cách định Trong bẫy này, ion nằm thành chuỗi cạnh nhau, tương tác với qua lực tĩnh điện, tương đương với gửi nhận chúng phonon Mỗi ion đóng vai qubit, với hai trạng thái lượng ion dùng để thể trạng thái |0> |1> Ví dụ, trạng thái lượng nghỉ ion trạng thái |0> Mô hình máy tính lượng tử bẫy ion trạng thái kích thích phù hợp chọn trạng thái |1> Loại qubit gọi qubit quang học, để thực thi Một bẫy ion thực tế, để tạo máy tính lượng tử phép tính lượng tử qubit, chiếu vào ion ánh sáng có l ợng photon phù hợp Cụ thể, việc khởi tạo qubit quang học trạng thái định thực trình bơm quang học Trong đó, photon "bơm" vào để ion bị kích thích lên mức lượng không bền rơi mức lượng kích thích bền mà không tương tác với photon bơm vào Nếu ion rơi mức lượng khác có tương tác với photon bị kích thích lên trở lại, cuối cùng, sau nhiều lần lên xuống mức lượng kích thích bền mà không tương tác với photon Độ tin cậy, tức xác suất thành công, trình lên tới 99.9% Việc đo qubit quang học thực chiếu ánh sáng vào qubit Đẻ đo, cần chọn tần số ánh sáng tương tác với hai trạng thái |0> |1> Nếu trạng thái ion sụp trạng thái có tương tác với ánh sáng, bị bơm lên trạng thái kích thích không bền, rơi trở lại phát ánh sáng, lại tiếp tục bị bơm lên, liên tục phát sáng Ngược lại ion không phát sáng Dựa vào phát sáng ion, đo camera hay ống nhân photon biết kết đo ion sụp trạng thái |0> |1> Độ xác phép đo 99.9%[10] Vì phép tính lượng tử thực hiện, đến độ xác tùy ý, tổ hợp phép tính thuộc đầy đủ {H, , CNOT} nên cần có chế thực phép tính ion hoàn tất máy tính lượng tử thực phép tính lượng tử ion Cổng quay pha Hadamard thực chuyển đổi tứ cực điện tử qubit quang học, với độ tin cậy 99% Cổng CNOT thực thi phương án Cirac Zoller đề xuất năm 1995[11], với độ tin cậy 99% [10] Cụ thể, chuyển đổi tứ cực điện tử, chiếu vào ion photon có: lượng: = chênh lệch lượng hai mức |0> |1> với T chu kỳ Rabi[12] thời lượng: pha (so với pha ánh sáng khởi tạo qubit quang học): tương đương với việc xoay trạng thái ion mặt cầu Bloch quanh trục X theo góc xoay tiếp quanh trục Z góc Như vậy, cổng Hadamard thực cách xoay trạng thái ion mặt cầu Bloch quanh trục X theo góc lượng: [13] , tức chiếu vào ion photon có: = chênh lệch lượng hai mức |0> |1> thời lượng: T/4 pha: Như vậy, cổng thực cách xoay trạng thái ion mặt cầu Bloch quanh trục X theo góc lượng: xoay tiếp quanh trục Z góc , tức chiếu vào ion photon có: = chênh lệch lượng hai mức |0> |1> thời lượng: T pha: Đối với cổng CNOT, thực qubit điều khiển ion thứ m chuỗi qubit bị điều khiển ion thứ n chuỗi, làm: Bước 1: thực cổng Hadamard ion n Bước 2: thực chiếu vào ion m phpton có: lượng: với tần số góc phonon ứng với trạng thái dao động ion thời lượng: T/2 pha: Bước 3: thực chiếu vào ion n phpton có: lượng: thời lượng: T pha: Bước 4: thực chiếu vào ion m phpton có: lượng: với tần số góc phonon ứng với trạng thái dao động ion thời lượng: T/2 pha: Bước 5: thực cổng Hadamard ion n Tham khảo ▲ Haliday; Resnick (2011).Fundamental of Physics John Wiley & Sons 1066 2 ▲ Haliday; Resnick (2011).Fundamental of Physics John Wiley & Sons 1071 ▲ Haliday; Resnick (2011).Fundamental of Physics John Wiley & Sons 1067 ▲ Schrödinger, Erwin (December 1926) "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules " (PDF) Phys Rev 28 (6): 1049–1070 doi:10.1103/PhysRev.28.1049 http://home.tiscali.nl/physis/HistoricPaper/Schroedinger/Schroedinger1926c.pdf ▲ Elitzur, Avshalom C.; Lev Vaidman (1993) "Quantum mechanical interaction-free measurements " Foundations of Physics23 (7): 987–997 arXiv:hep-th/9305002 doi:10.1007/BF00736012 http://link.springer.com/article/10.1007/BF00736012 Truy cập tháng năm 2014 ▲ Paul G Kwiat; H Weinfurter (1994) "Experimental realization of "interaction-free" measurements"(http://www.univie.ac.at/qfp/publications3/pdffiles/1994-08.pdf) (pdf) http://www.univie.ac.at/qfp/publications3/pdffiles/1994-08.pdf Retrieved 2012-05-07 ▲ Paul G Kwiat, Harald Weinfurter, Thomas Herzog, Anton Zeilinger, and Mark A Kasevich, "Interaction-free measurement,"Physical Review Letters74, (1995) 4763 ▲ Deutsch, David (September 8, 1989), "Quantum computational networks", Proc R Soc Lond A 425 (1968): 73–90, Bibcode:1989RSPSA.425 73D, doi:10.1098/rspa.1989.0099 ▲ Beckman, David; Chari, Amalavoyal N.; Devabhaktuni, Srikrishna; Preskill, John (1996) "Ef ficient Networks for Quantum Factoring" Physical Review A 54 (2): 1034–1063 arXiv:quant-ph/9602016 doi:10.1103/PhysRevA.54.1034 10 ▲ 10,0 10,1 Jungsang Kim, Viewpoint: Trapped Ions Make Impeccable Qubits, Physics 7, 119(http://physics.aps.org/articles/v7/119) 11 ▲ Cirac, J I Zoller, P Phys Rev Lett 74 4091 (1995) 12 ▲ H Haffner et al, Quantum computing with trapped ions, Arxiv org 2008 (http://arxiv.org/pdf/0809.4368v1.pdf) 13 ▲ Andrew Steane, The Ion Trap Quantum Information Processor, Arxiv.org 1996 (http://arxiv.org/pdf/quant-ph/9608011v2.pdf) Xem thêm Thuyết Tương đối Hẹp, nội dung khác triển khai môn Vật lý Hiện đại Đại học FPT Lấy từ “https://vi.wikibooks.org/w/index.php?title=Tính_toán_l ượng_tử&oldid=155670” Trang sửa đổi lần cuối lúc 21:03 ngày 12 tháng 10 năm 2017 Văn phát hành theo Giấy phép Creative Commons Ghi công–Chia sẻ tương tự; áp dụng điều khoản bổ sung Xem Điều khoản Sử dụng để biết thêm chi tiết ... Giao hoán tử Xét hai toán tử , ứng với hai đại lượng vật lý A B Giao hoán tử chúng là: Nếu giao hoán tử toán tử hai toán tử Ví dụ, xét toán tử và giao hoán toán tử ứng với đại lượng động lượng theo... máy tính lượng tử Điều nghĩa biểu thức toán học f(x), với x đầu vào biểu diễn trạng thái lượng tử Trong tính toán lượng tử, {H, , thực thi toán tử ứng với f , CNOT} đầy đủ, tức biểu thức tính toán. .. phải Biểu diễn mạch lượng tử phép đo Thuật toán lượng tử Trong phần số thuật toán sử dụng phép tính toán đo đạc lượng tử, để giải số toán định, trình bày Viễn tải lượng tử Giả định người tên