GV TRẦN QUỐC NGHĨA Vấn đề HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I Góc hai mặt phẳng a ① Định nghĩa 9: Góc hai mặt phẳng Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng b  a  ( )    [( ), (  )]  ( a , b) b  ( )    Chú ý: ( )//(  )  [( ),(  )]  00 ( )  ( )  [( ),(  )]  00 P ② Định lí 5: (Diện tích đa giác chiếu) B Gọi S diện tích đa giác H mặt phẳng  P  S  diện tích hình chiếu H  H mặt phẳng  P    góc hai mặt phẳng  P   P   , C H P' A B' S '  S cos  , SA ' B 'C  SABC cos  H' A' C' II Hai mặt phẳng vng góc ① Định nghĩa 10: Hai mặt phẳng vng góc Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 90 ( )  (  )   ( ), (  )   900  ② Định lí 6: Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc a Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với  a  ( )    ( )  (  ) a  ( )  ③ Định lí 7: (Tính chất hai mặt phẳng vng góc)  Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng mà vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng ( )  (  )   ( )  (  )     a  (  ) a  ( ), a    a   ④ Hệ 1: Nếu hai mặt phẳng ( ) (  ) vng góc với A điểm nằm ( ) đường thẳng a qua A vng góc với ( ) nằm (  ) TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC  ( )  (  )  A  ( )    a  ( ) a  ( )   A a A a  ⑤ Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba ( )  (  )     ( )  ( P )   a  ( P)  (  )  ( P)    a P ⑥ Hệ 3: a Qua đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng ( ) có mặt phẳng (  ) vng góc với mặt phẳng ( )  O b a  ( )  !(  )  a vaø (  )  ( )  III Hình lăng trụ đứng Hình hộp chữ nhật Hình lập phương Định nghĩa 11 Hình vẽ Tính chất B Hình lăng trụ đứng Là hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy C A D E B' C' A' D' E' Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật vng góc với mặt đáy C B Hình lăng trụ Là hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật, vng góc với mặt đáy D A E F C' B' D' A' E' F' B Hình hộp đứng Là hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành A C D B' A' C' Hình hộp đứng có mặt bên hình chữ nhật D' B Hình hộp chữ nhật Là hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật Hình lập phương Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh C A C' D' A' C B A Các mặt hình vng D B' A' Các mặt hình chữ nhật D B' C' D' GV TRẦN QUỐC NGHĨA IV Hình chóp S S S ① Định nghĩa 12 Một hình chóp gọi hình chóp đáy F đa giác E C D C A cạnh bên H M A H H Trong hình chóp đều: B A B B - Đường thẳng vng góc với đáy kẻ từ đỉnh gọi đường cao hình chóp C - Đường cao kẻ từ đỉnh mặt bên gọi trung đoạn hình chóp D ② Tính chất V - Các mặt bên hình chóp tam giác cân - Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc - Các mặt bên tạo với mặt đáy góc - Tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy hình chiếu đỉnh xuống đáy Hình chóp cụt S ① Định nghĩa 13 Khi cắt hình chóp mặt phẳng song song E' F' D' với đáy để hình chóp cụt hình chóp cụt gọi hình A' chóp cụt B' C' F E Đoạn nối tâm hai đáy gọi đường cao hình chóp cụt A ② Tính chất H C B - Các mặt bên hình thang cân - Hai đáy hai đa giác đồng dạng nằm hai mặt phẳng song song D Dạng Góc hai mặt phẳng A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để tính góc hai mặt phẳng      ta thực theo cách sau: Cách Sử dụng định nghĩa: Bước Chọn điểm O , từ kẻ :  OE    E E O   OF     F F Bước Khi đó:    ,       OE , OF  Cách Dùng cho mặt phẳng cắt nhau: “Góc hai mặt phẳng góc hai đường vng góc với giao tuyến điểm” Bước Tìm giao tuyến d      Bước Chọn điểm O d , từ đó:  Trong   dựng Ox  d  Trong    dựng Oy  d F  P  B O x  y H C P' A B' d H' C' Bước Khi đó:    ,      Ox,Oy  Cách Dùng diện tích đa giác chiếu: Gọi S diện tích đa giác H  P  S  diện tích hình chiếu H H A' TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC  P  góc  P   P   , thì: S '  S cos  hay cos   S' S B BÀI TẬP MẪU VD 3.1 Cho hình chóp S ABC với ABC vuông cân B BA  BC  a , SA   ABC  , SA  a a) Tính góc  SBC   ABC  b) Tính góc  SAC   SBC  ĐS: a) 600 b) 52014 VD 3.2 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vng tâm O , AB  a , SA   ABCD  SA  a a) Trong tam giác SAC , hạ OH  SC Chứng minh góc OHB góc hai mặt phẳng  SBC   SAC  Tính số đo OHB b) Tính góc  SBC   SCD  ĐS: a) 600 b) 600 GV TRẦN QUỐC NGHĨA VD 3.3 Cho hình chóp tứ giác S ABCD với AB  a Gọi O hình chiếu S mặt đáy, đặt SO  x a) Tìm x cho góc  SCD   ABCD  450 b) Với giá trị x tìm câu a), tính góc  SAD   SCD  ĐS: a) x = a/2 b) 600 VD 3.4 Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a a) Tính góc ( ACB) ( ACD) ĐS: a) arccos (1/3) b) x = a/2 b) Lấy điểm M cạnh DD đặt MD  x Tính x cho ( ACB) vng góc với  ACM  TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA   ABCD  Hai điểm M N thay đổi hai cạnh CB CD , đặt CM  x , CN  y Tìm hệ thức liên hệ x y để: a) Hai mặt phẳng  SAM   SAN  tạo với góc 450 b) Hai mặt phẳng  SAM   SAN  vng góc với ĐS: a) 2a  2a( x  y )  xy b) a( x  y )  x  y 3.2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA   ABCD  , SA  a Tính góc cặp mặt phẳng sau: a)  SAB   SCD  b)  SBC   ABC  c)  SBD   ABD  d)  SBC   SCD  e)  SAB   SBD  3.3 ĐS: a) 300 b) 600 c) arctan d) arctan 21 e) arctan 21 Cho ABC cạnh a Trên đường thảng vng góc với  ABC  B C , lấy điểm M N nằm phía mặt phẳng  ABC  cho BM  x , CN  x Tính x cho góc  ABC   AMN  60 3.4 ĐS: x = a /2 Cho tứ diện SABC , ABC vuông cân A , AB  a Hình chiếu S  ABC  trùng với trung điểm H BC SH  a Tính góc  SAB   SBC  ĐS: 600 GV TRẦN QUỐC NGHĨA 3.5 Cho tứ diện đề ABCD Gọi I , J , K trung điểm cạnh AB , CD , BC Tính góc hai mặt phẳng  IJK   BCD  ĐS: arctan 3.6 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật, AB  a , BC  2a Cạnh bên SA vng góc với đáy, SA  a Tính: a) Góc mặt  SAB  ,  SBC  ,  SCD  ,  SAD  với mặt đáy b) Góc cặp mặt phẳng  SAB   SAD  ;  SBC   SAB  ;  SBC   SCD  ;  SAD   SCD  c) Góc cặp mặt phẳng  SAB   SCD  ,  SAD   SBC  ĐS: a) 900, 450, arctan 3.7 3.8 10 1 , 900 b) 900, 900, arctan , 900 c) 900  arctan ; 450 2 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy 3a , cạnh bên 2a a) Tính góc cạnh bên mặt đáy b) Tính tan góc tạo mặt bên mặt đáy ĐS: a) 300 b) tanα = /3 Từ điểm nằm mặt phẳng  P  , hạ đường vng góc MA hai đường xiên MB , MC tới  P  Biết MA  a , MB , MC tạo với  P  góc 30 MB  MC a) Tính độ dài đoạn thẳng BC b) Tính góc  tạo  MBC   ABC  3.9 ĐS: a) BC=2a b) =450 Cho lăng trụ ABC ABC có tất cạnh đáy a biết góc tạo thành cạnh bên mặt đáy 60 hình chiếu H điẻnh A lên ( ABC ) trùng với trung điểm cạnh BC a) Tính tan góc hai đường thẳng BC AC  b) Tính tan góc ( ABBA) mặt đáy ĐS: a) tan   b) tan   3.10 Cho ABC vuông A , có cạnh huyền BC thuộc mặt phẳng  P  Gọi  ,  góc hợp hai đường thẳng AB , AC với  P  Gọi  góc hợp  ABC  với  P  Chứng minh rằng: sin   sin   sin  Dạng Chứng minh hai mặt phẳng vng góc A PHƯƠNG PHÁP GIẢI ① Chứng minh góc chúng 90 ② Chứng minh có đường thẳng nằm mặt phẳng mà vng góc với mặt phẳng ③ Chứng minh a //  P  mà  Q   a ④ Chứng minh  P  //  R  mà  Q    R  TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC B BÀI TẬP MẪU VD 3.5 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O Các tam giác SAC SBD cân S Chứng minh: SO   ABCD   SAC    SBD  VD 3.6 Cho hình chóp S ABC có đáy tma giác vuông cân B , SA   ABC  a) Chứng minh:  SBC    SAB  b) Gọi M trung điểm AC Chứng minh:  SBM    SAC   ABC  trung SAC , kẻ đường cao CI Chứng minh:  IBC    SAC   IBC    SAB  VD 3.7 Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác cân A Hình chiếu S điểm H BC Trong GV TRẦN QUỐC NGHĨA VD 3.8 Cho hình vng ABCD tâm O , cạnh a Dựng d d  vng góc với  ABCD  B D Gọi M N hai điểm di động d , d  nằm bên mặt phẳng a2 ABCD cho Chứng minh:  MAC    NAC   AMN    CMN  BM DN    TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 10 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.11 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vng B SA   ABC  Trong SAB SAC , kẻ đường cao AH  AB AK  SC Gọi E giao điểm HK BC Chứng minh: a) AH   SBC  b)  AHK    SAC  c) EA  AC 3.12 Cho AMN cân A , AM  AN  a , MN  x Gọi I trung điểm MN Trên đường thẳng qua I vng góc với  AMN  , ta lấy điểm B cho IA  IB a) Gọi J trung điểm AB Chứng minh góc  ABM   ABN  góc IM JN b) Tính AB theo a x suy giá trị x để  ABM    ABN  ĐS: AB  8a  2x /4; x=a /2 3.13 Cho hình chóp S ABC , đáy tam giác vuông A Mặt bên  SAC  tam giác vuông S , nằm mặt phẳng vng góc với  ABC  Chứng minh: a)  SAB    SAC  b)  SAB    SBC  3.14 Cho tứ diện ABCD Gọi O trọng tâm BCD H trung điểm đoạn AO Chứng minh mặt phẳng  HBC  ,  HCD   HBD  đôi vng góc với 3.15 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh a , BAD  600 Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a)  SBD    SAC  a Chứng minh: b)  SBC    SDC  3.16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SA  SB  SC  a Chứng minh: a)  ABCD    SBD  b) SBD vuông 3.17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 60 , a cạnh SC  SC   ABCD  a) Chứng minh:  SBD    SAC  b) Trong SCA , kẻ IK  SA K Tính IK c) Chứng minh BKD  900 từ suy  SAB    SAD  3.18 Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng  ABC  ,  ABD  nằm hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  BDC  Vẽ đường cao BE , DF BCD đường cao DK ACD a) Chứng minh AB   BCD  b) Chứng minh  ABE    ADC   DFK    ADC  c) Gọi O H trực tâm BCD ACD Chứng minh OH   ADC  TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 52 PHỤ LỤC A – KIẾN THỨC CƠ BẢN Chứng minh đường thẳng d song song mp () (d  ()) Cách Chứng minh d //d ' d '  ( ) Cách Chứng minh d  (  ) (  ) / /( ) Cách Chứng minh d () vng góc với đường thẳng vng góc với mặt phẳng Chứng minh mp() song song với mp() Cách Chứng minh mp() chứa hai đường thẳng cắt song song với () (Nghĩa đường thẳng cắt mặt song song với đường thẳng mặt phẳng kia) Cách Chứng minh () () song song với mặt phẳng vng góc với đường thẳng Chứng minh hai đường thẳng song song: Cách Hai mặt phẳng (), () có điểm chung S chứa hai đường thẳng song song a b ()  () = Sx // a // b Cách () // a, a  ()  ()  () = b // a Cách Hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng Cách Một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song cho giao tuyến song song Cách Một mặt phẳng song song với giao tuyến mặt phẳng cắt nhau, ta giao tuyến song song Cách Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ vng góc với mặt phẳng song song với Cách Sử dụng phương pháp hình học phẳng: đường trung bình, định lí Thales đảo, cạnh đối tứ giác đặc biệt, … Chứng minh đường thẳng d vng góc với mặt phẳng () Cách Chứng minh đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nằm () Cách Chứng minh d nằm trong hai mặt phẳng vng góc d vng góc với giao tuyến  d vng góc với mp cịn lại Cách Chứng minh d giao tuyến hai mặt phẳng vng góc với mặt thứ Cách Chứng minh đường thẳng d song song với a mà a  () Cách Đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng song song vng góc với mặt phẳng cịn lại Cách Chứng minh d trục tam giác ABC nằm () Chứng Cách Cách Cách minh hai đường thẳng d d vng góc: Chứng minh d  () ()  d Sử dụng định lí đường vng góc Chứng tỏ góc d, d 900 Chứng Cách Cách Cách minh hai mặt phẳng () () vuông góc: Chứng minh ()  d d  () Chứng tỏ góc hai mặt phẳng () () 900 Chứng minh a // () mà ()  a GV TRẦN QUỐC NGHĨA 53 Cách Chứng minh () // (P) mà ()  (P) B – CÔNG THỨC CƠ BẢN Tam giác a Tam giác thường: 1 abc  pr  ① SABC  BC AH  AB AC.sin A  2 4R ② SABM  SACM  SABC 2 ③ AG  AM (G trọng tâm) p ( p  a )( p  b)( p  c) A G AB  AC BC ④ Độ dài trung tuyến: AM   B H M C ⑤ Định lí hàm số cosin: BC  AB  AC  AB AC.cos A ⑥ Định lí hàm số sin: a b c    2R sin A sin B sin C b Tam giác ABC cạnh a: ① SABC  ② AH  ③ AG   canh   A a2 a canh  a  B C H a AH  3 A c Tam giác ABC vuông a: 1 ① SABC  AB AC  AH BC 2 ② BC  AB  AC B ③ BA  BH BC ④ CA  CH CB ⑤ HA2  HB.HC ⑥ AH BC  AB AC H C ⑤ HA  HB.HC 2 1 1 HB AB   ⑧ ⑨ AM  BC  2 2 AH AB AC HC AC AC AB AC AB ⑩ sin B  ⑪ cos B  ⑫ tan B  ⑬ cot B  BC BC AB AC ⑦ C d Tam giác ABC vuông cân A ① BC  AB  AC ② AB  AC  BC 2 Tứ giác A D a Hình bình hành: Diện tích: S ABCD  BC AH  AB AD.sin A  Diện tích: S ABCD  AC.BD  AB AD.sin A B A B b Hình thoi: A H C B D C TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 54  Đặc biệt: ABC  600 BAC  1200 tam giác ABC, ACD A D A c Hình chữ nhật: S ABCD  AB AD d Hình vng:  Diện tích: S ABCD  AB2 B e Hình thang: S ABCD  ( AD  BC ) AH B C A  Đường chéo: AC  AB B D C D H C C – MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP HÌNH Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật (hoặc hình vng) SA vng góc với đáy H1.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên hình chóp Đáy: hình vng hình chữ nhật S Đường cao: SA Cạnh bên: SA , SB , SC , SD Cạnh đáy: AB , BC , CD , DA Mặt bên: SAB tam giác vuông A D A SBC tam giác vuông B SCD tam giác vuông D B C SAD tam giác vuông A H1.2 - Góc cạnh bên đáy S Góc cạnh bên SB mặt đáy  ABCD   : Ta có: SA   ABCD  (gt)   Hình chiếu SB lên  ABCD  AB     D A B C  SB, ( ABCD)  SB, AB  SBA   Góc cạnh bên SD mặt đáy  ABCD   : S Ta có: SA   ABCD  (gt)  Hình chiếu SD lên  ABCD  AD       SD, ( ABCD)  SD, AD  SDA   Góc cạnh bên SC mặt đáy  ABCD   : D A B C S Ta có: SA   ABCD  (gt)  Hình chiếu SC lên  ABCD  AC D A B  C GV TRẦN QUỐC NGHĨA  55     SC , ( ABCD)  SC , AC  SCA   H1.3 - S Góc cạnh bên mặt bên: Góc cạnh bên SB mặt bên  SAD   :  Ta có: AB   SAD   Hình chiếu SB lên  SAD  SA    D  A  SB, ( SAD)  SB, SA  BSA   B Góc cạnh bên SD mặt bên  SAB   : C S Ta có: AD   SAB    Hình chiếu SD lên  SAB  SA    D  A  SD, ( SAB)  SD, SA  DSA   B Góc cạnh bên SC mặt bên  SAB   : C S Ta có: BC   SAB    Hình chiếu SC lên  SAB  SB     D  SC , ( SAB)  SC , SB  BSC   A Góc cạnh bên SC mặt bên  SAD   : B C S Ta có: DC   SAD   Hình chiếu SC lên  SAD  SD       SC , ( SAD)  SC , SD  DSC   D A H1.4 - Góc mặt bên mặt đáy: Góc mặt bên  SBC  mặt đáy  ABCD   : S B C BC  AB B (?), BC  SB B (?)  SBC    ABCD   BC Ta có:     D   ( SBC ), ( ABCD)  AB, SB  SBA   B Góc mặt bên  SCD  mặt đáy  ABCD   : A C S CD  AD D (?), CD  SD D (?)  SCD    ABCD   CD Ta có:       ( SCD), ( ABCD)  AD, SD  SDA   D A B Góc mặt phẳng  SBD  mặt đáy  ABCD   : C S  Đáy ABCD hình chữ nhật: Trong  ABCD  , vẽ AH  BD H  BD  SH (?)      ( SBD), ( ABCD)  AH , SH  SHA    A H  Chú ý: Nếu AB  AD điểm H gần B Nếu AB  AD điểm H gần D D B C S  Đáy ABCD hình vuông: Gọi O  AC  BD  AO  BD (?) A  BD  SO (?) D  O B C TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC    56   ( SBD), ( ABCD)  SO, AO  SOA   H1.5 – Khoảng cách “điểm – mặt” Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  S Trong mp  SAD  , vẽ AH  SD H H D  AH   SCD  (?) A  d  A,  SCD    AH B C Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  Vì AB //  SCD  (?) nên d  B,  SCD    d  A,  SCD   (xem dạng 1) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  S Trong mp  SAB  , vẽ AH  SB H H  AH   SBC  (?) D A  d  A,  SBC    AH B C Khoảng cách từ D đến mặt phẳng  SBC  Vì AD //  SBC  (?) nên d  D,  SBC    d  A,  SBC   (xem dạng 3) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBD  S  Đáy ABCD hình chữ nhật:  Trong  ABCD  , vẽ AI  BD I  BD   SAI  (?) H A  Trong  SAI  , vẽ AH  SI H  AH   SBD  (?)  d  A,  SBD    AH D I B C  Chú ý: Nếu AB  AD điểm I gần B Nếu AB  AD điểm I gần D  Đáy ABCD hình vng:  Gọi O  AC  BD  AO  BD (?) S  BD   SAO  (?)  Trong  SAO  , vẽ AH  SO H H  AH   SBD  (?)  d  A,  SBD    AH Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SBD  A D O B C GV TRẦN QUỐC NGHĨA 57 Vì O trung điểm AC nên d  C ,  SBD    d  A,  SBD   HÌNH Hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang vng A B SA vng góc với đáy H2.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên hình chóp Đáy: Hình thang ABCD vng A B Đường cao: SA Cạnh bên: SA , SB , SC , SD Cạnh đáy: AB , BC , CD , DA Mặt bên: SAB tam giác vuông A SBC tam giác vuông B SAD tam giác vuông A  Chú ý: Nếu AB  BC AD  2BC AC  CD  CD   SAC   SCD vuông C S A D B C A D H2.2 - Góc cạnh bên SB đáy Góc cạnh bên SB mặt đáy  ABCD  : B C Ta có : SA  ABCD (gt)  Hình chiếu SB lên  ABCD  AB      SB, ( ABCD)  SB, AB  SBA Góc cạnh bên SD mặt đáy  ABCD  : S Ta có: SA  ABCD (gt)  Hình chiếu SD lên  ABCD  AD      SD, ( ABCD)  SD, AD  SDA A D Góc cạnh bên SC mặt đáy  ABCD  : Ta có: SA  ABCD (gt)  Hình chiếu SC lên  ABCD  AC    B C   SC , ( ABCD)  SC , AC  SCA H2.3 - Góc mặt bên mặt đáy: S Góc mặt bên  SBC  mặt đáy  ABCD  : Ta có:  BC  AB B (?) BC  SB B (?)  SBC    ABCD   BC   A   ( SBC ), ( ABCD)  AB, SB  SBA Góc mặt bên  SCD  mặt đáy  ABCD  : D B C S Trong  ABCD  , vẽ AM  CD M  SM  CD M (?) Mà  SCD    ABCD   CD     A D  ( SCD), ( ABCD)  AM , SM  SMA   M B C TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 58  Chú ý: Nếu AB  BC AD  2BC AC  CD Do M  C S H2.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  H Trong mp  SAB  , vẽ AH  SB H A  AH   SBC  (?) D  d  A,  SBC    AH B Khoảng cách từ D đến mặt phẳng  SBC  C Vì AD //  SBC  (?) nên d  D,  SBC    d  A,  SBC   (xem dạng 3) S Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD   Trong  ABCD  , vẽ AM  CD M  CD   SAM  (?) H A  Trong  SAM  , vẽ AH  SM H D M  AH   SCD  (?) B  d  A,  SCD    AH C  Chú ý: Nếu AB  BC AD  2BC AC  CD Do M  C HÌNH Hình chóp tứ giác S.ABCD S H3.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên hình chóp Đáy: Đường cao: Cạnh bên: Cạnh đáy: Mặt bên: ABCD hình vng SO SA  SB  SC  SD AB  BC  CD  DA SAB , SBC , SCD , SAD tam giác cân S A D O B C Gọi O tâm hình vng ABCD  SO   ABCD  H3.2 - Góc cạnh bên đáy Góc cạnh bên SA mặt đáy  ABCD  : Ta có: SO   ABCD  (?)  Hình chiếu SA lên  ABCD  AO     S  SA, ( ABCD)  SA, AO  SAO Góc cạnh bên SB mặt đáy  ABCD  :     Tương tự SB, ( ABCD)  SB, BO  SBO A Góc cạnh bên SC mặt đáy (ABCD):     Tương tự SC , ( ABCD)  SC , CO  SCO Góc cạnh bên SD mặt đáy  ABCD  :     Tương tự SD, ( ABCD)  SD, DO  SDO D O B C GV TRẦN QUỐC NGHĨA 59 SAO  SBO  SCO  SDO  “Góc cạnh bên với mặt đáy nhau” H3.3 - Góc mặt bên mặt đáy: S  Chú ý: Góc mặt bên  SAB  mặt đáy  ABCD  : Ta có: Mà OM  AB M (?)  AB  SM M (?)  SAB    ABCD   AB  A   D M   ( SAB), ( ABCD)  OM , SM  SMO O S B C Góc mặt bên  SBC  mặt đáy  ABCD  : Ta có: Mà ON  BC N (?)  BC  SN N (?)  SBC    ABCD   BC    A  D O  ( SBC ), ( ABCD)  ON , SN  SNO B N C S Góc mặt bên  SCD  mặt đáy  ABCD  : Ta có: Mà OP  CD P (?)  CD  SP P (?)  SCD    ABCD   CD    A   ( SCD), ( ABCD)  OP, SP  SPO Ta có: P O S B Góc mặt bên  SAD  mặt đáy  ABCD  : D C OQ  AD Q (?)  AD  SQ Q (?) Mà      ( SAD), ( ABCD)  OQ, SQ  SQO  Chú ý: Q A  SAD    ABCD   AD O B C SMO  SNO  SPO  SQO  “Góc mặt bên với mặt đáy nhau” H3.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SCD  S Trong  ABCD  , vẽ OM  CD M  CD   SOM  (?) H Trong  SOM  , vẽ OH  SM H A  d  O,  SCD    OH Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  D M O B Vì O trung điểm AC nên d  A,  SCD    2d  O,  SCD   Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SCD  Vì O trung điểm BD nên d  B,  SCD    2d  O,  SCD   C D TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 60 HÌNH Hình chóp S.ABC, SA vng góc với đáy H4.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên hình chóp Đáy: Đường cao: Cạnh bên: Cạnh đáy: Mặt bên: tam giác ABC SA SA , SB , SC AB , BC , CA SAB tam giác vuông A SAC tam giác vuông A Chú ý: Nếu ABC vng B SBC vng B Nếu ABC vng C SBC vuông C S C A B H4.2 - Góc cạnh bên đáy Góc cạnh bên SB mặt đáy  ABC  : S Ta có: SA   ABC  (gt)  Hình chiếu SB lên  ABC  AB      SB, ( ABC )  SB, AB  SBA C A Góc cạnh bên SC mặt đáy  ABC  : Ta có: SA   ABC  (gt) B  Hình chiếu SC lên  ABC  AC    S   SC , ( ABC )  SC , AC  SCA H4.3 - Góc mặt bên (SBC) mặt đáy (ABC): Tam giác ABC vng B Ta có: BC  AB B (?) BC  SB B (?)  SBC    ABC   BC      ( SBC ), ( ABC )  AB, SB  SBA Tam giác ABC vuông C Ta có: BC  AC C (?) BC  SC C (?)  SBC    ABC   BC      SBC    ABC   BC  Chú ý: S B C A  ( SBC ), ( ABC )  AC , SC  SCA B Tam giác ABC vuông A Trong  ABC  , vẽ AM  BC M (?)  BC  SM M (?) C A  S     ( SBC ), ( ABC )  AM , SM  SMA  M không trung điểm BC  Nếu ABC  ACB M đoạn BC gần B    Nếu ABC  ACB M đoạn BC gần C Nếu AB  AC M đoạn BC gần C Nếu AB  AC M đoạn BC gần B C A M B GV TRẦN QUỐC NGHĨA 61 Tam giác ABC cân A (hoặc đều) Gọi M trung điểm BC  BC  AM M (?)  BC  SM M (?)  S    Mà  SBC    ABC   SM  ( SBC ), ( ABC )  AM , SM  SMA C A M Tam giác ABC có ABC  900 Trong  ABC  , vẽ AM  BC M (?) B S  BC  SM M (?)  SBC    ABC   BC      ( SBC ), ( ABC )  AM , SM  SMA C A  Chú ý: M nằm ngồi đoạn BC phía B Tam giác ABC có ACB  900 Trong  ABC  , vẽ AM  BC M (?) B M S  BC  SM M (?)  SBC    ABC   BC      ( SBC ), ( ABC )  AM , SM  SMA  Chú ý: M nằm đoạn BC phía C M A C S B H4.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” Khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  Trong  ABC  , vẽ BH  AC H  BH   SAC  (?)  d  B,  SAC    BH  Chú ý:  Nếu ABC vng A H  A AB  d  B,  SAC   H A S C B  Nếu ABC vng C H  C BC  d  B,  SAC   Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  Trong  ABC  , vẽ CH  AB H C A H  CH   SAB  (?)  d  C ,  SAB    CH B  Chú ý: S  Nếu ABC vng ABC H  A CA  d  C ,  SAB    Nếu ABC vng B H  C CB  d  B,  SAB   Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC   Trong  ABC  , vẽ AM  BC M (?)  BC  SM M (?)  Trong  SAM  , vẽ AH  SM H  d  A,  SBC    AH H C A M B  Chú ý: Tùy đặc điểm ABC để định vị trí điểm M đường thẳng BC TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 62 HÌNH Hình chóp tam giác S.ABC H5.1 - Đáy, đường cao, cạnh đáy, cạnh bên, mặt bên hình chóp S Đáy: Đường cao: Cạnh bên: Cạnh đáy: Mặt bên: Tam giác ABC SO SA  SB  SC AB  BC  CA SAB , SBC , SCA tam giác cân S A C O B Gọi O trọng tâm tam giác ABC  SO   ABC   Chú ý: Tứ diện S ABC hình chóp có đáy mặt bên tam giác H5.2 - Góc cạnh bên đáy Góc cạnh bên SA mặt đáy  ABC  : Ta có: SO   ABC  (?) S  Hình chiếu SA lên  ABC  AO      SA, ( ABC )  SA, AO  SAO Góc cạnh bên SB mặt đáy  ABC  :    C A  Tương tự SB, ( ABC )  SB, BO  SBO O Góc cạnh bên SC mặt đáy  ABC  :    B  Tương tự SC , ( ABC )  SC , CO  SCO  Chú ý: SAO  SBO  SCO  “Góc cạnh bên với mặt đáy nhau” H5.3 - Góc mặt bên mặt đáy: Góc mặt bên  SAB  mặt đáy  ABC  : Ta có: OM  AB M (?)  AB  SM M (?) Mà  SAB    ABC   AB      ( SAB), ( ABC )  OM , SM  SMO S Góc mặt bên  SBC  mặt đáy  ABC  : Ta có: Mà ON  BC N (?)  BC  SN N (?)  SBC    ABC   BC    P A   ( SBC ), ( ABCD)  ON , SN  SNO Góc mặt bên  SAC  mặt đáy  ABC  : Ta có: Mà  Chú ý: OP  AC P (?)  AC  SP P (?)  SAC    ABC   AC  O M B     ( SAC ), ( ABC )  OP, SP  SPO SMO  SNO  SPO  “Góc mặt bên với mặt đáy nhau” C N GV TRẦN QUỐC NGHĨA 63 H5.4 – Khoảng cách “điểm – mặt” Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SAB  S  Trong  ABC  , vẽ OM  AB M  AB   SOM  (?)  Trong  SOM  , vẽ OH  SM H  d  O,  SAB    OH Khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  MC 3 Vì O trọng tâm ABC nên MO MC  d  O,  SAB    d  O,  SAB    d  C ,  SAB    MO H C A O M B HÌNH 6a Hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vng góc với đáy (ABCD) “Ln ln vẽ SH vng góc với giao tuyến” S H6a.1 - Góc cạnh bên mặt đáy  Vẽ SH  AB H Vì  SAB    ABC  nên SH   ABC   Chú ý: Tùy đặc điểm tam giác SAB để xác định vị trí A điểm H đường thẳng AB Góc cạnh bên SA mặt đáy  ABC  : C H S B Ta có: SH   ABC  (?)  Hình chiếu SA lên  ABC  AH      SA, ( ABC )  SA, AH  SAH A Góc cạnh bên SB mặt đáy  ABC  : C H Ta có: SH   ABC  (?) B  Hình chiếu SB lên  ABC  BH     S  SB, ( ABC )  SB, BH  SBH Góc cạnh bên SC mặt đáy  ABC  : Ta có: SH   ABC  (?)  Hình chiếu SC lên  ABC  CH    A   SC , ( ABC )  SC , CH  SCH C H B H6a.2 - Góc mặt bên mặt đáy: S  Vẽ SH  AB H  Vì  SAB    ABC  nên SH   ABC   Chú ý: Tùy đặc điểm tam giác SAB để xác định vị trí A điểm H đường thẳng AB Góc mặt bên (SAB) mặt đáy  ABC  :   Vì  SAB    ABC  nên ( SAB), ( ABC )  900 M H B C TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 64 Góc mặt bên  SAC  mặt đáy  ABC  : Vẽ HM  AC M HM  AC  Ta có:   AC  ( SHM ) , mà SM   SHM   SM  AC SH  AC     S   ( SBC ), ( ABC )  HM , SM  SMH Góc mặt bên  SBC  mặt đáy  ABC  : Vẽ HN  BC N HN  BC  Ta có:   BC  ( SHN ) , SH  BC  A C H N B     mà SN   SHN   SN  AB  ( SBC ), ( ABC )  HN , SN  SNH HÌNH 6b Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAB) vng góc với đáy (ABCD) ABCD hình chữ nhật hình vng “Ln ln vẽ SH vng góc với giao tuyến” H6b.1 - Góc cạnh bên mặt đáy  Vẽ SH  AB H  Vì  SAB    ABCD  ) nên SH   ABCD  S  Chú ý: Tùy đặc điểm tam giác SAB để xác định vị trí điểm H đường thẳng AB A Góc cạnh bên SA mặt đáy  ABCD  : H Ta có: SH   ABCD  (?) B  D   C   Hình chiếu SA lên  ABCD  AH  SA, ( ABCD)  SA, AH  SAH S Góc cạnh bên SB mặt đáy  ABCD  :     Tương tự SB, ( ABCD)  SB, BH  SBH A Góc cạnh bên SC mặt đáy  ABCD  :    D H  Tương tự SC , ( ABCD)  SC , CH  SCH B C Góc cạnh bên SD mặt đáy  ABCD  :     Tương tự SC , ( ABCD)  SD, DH  SDH S H6b.2 - Góc mặt bên mặt đáy: Góc mặt bên  SAD  mặt đáy  ABCD  : A Ta có: HA  AD (?) SH  AD (?)  AD   SHA   AD  SA D H B    C  Mà  SAD    ABCD   AD  ( SAD), ( ABCD)  SA, AH  SAH Góc mặt bên  SBC  mặt đáy  ABCD  : S GV TRẦN QUỐC NGHĨA 65 Ta có: BA  BC (?) SH  BC (?)  BC   SHB   BC  SB Mà  SBC    ABCD   BC      ( SBC ), ( ABCD)  SB, AH  SBH S Góc mặt bên  SCD  mặt đáy  ABCD  : Trong  ABCD  , vẽ HM  CD M A HM  CD  Ta có:   CD   SHM   CD  SM SH  CD   D H   M B  Mà  SCD    ABCD   CD  ( SCD), ( ABCD)  HM , SM  SMH C HÌNH Hình lăng trụ ① Lăng trụ có:  Hai đáy song song đa giác  Các cạnh bên song song  Các mặt bên hình bình hành Lăng trụ xiên Cạnh bên vng góc đáy ② Lăng trụ đứng lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy ③ Lăng trụ tam giá lăng trụ đứng, có đáy tam giác Lăng trụ đứng ④ Lăng trụ có đáy tam giác lăng trụ xiên, có đáy tam giác ⑤ Lăng trụ tứ giác lăng trụ đứng, có đáy hình vng Đáy đa giác ⑥ Lăng trụ có đáy tứ giác lăng trụ xiên, có đáy hình vng ⑦ Hình hộp hình lăng trụ xiên, có đáy hình bình hành Lăng trụ ⑧ Hình hộp đứng lăng trụ đứng, có đáy hình bình hành ⑨ Hình hộp chữ nhật lăng trụ đứng, có đáy hình chữ nhật A' ⑩ Hình lập phương lăng trụ đứng, có đáy mặt bên hình vng C' B' ⑪ Lăng trụ đứng ABC.ABC  Góc ( ABC )  ABC  : Vẽ AM  BC M A  C M   AM  BC (?)  ( ABC ), ( ABC )  AMA B  Chú ý: Tùy đặc điểm tam giác ABC để xác định vị trí điểm M đường thẳng A' BC D' C ' B' ⑫ Hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD  Góc  AB CD   ABCD  :   Ta có: BC  CD  CD  BC (?)  ( ABCD), ( ABCD)  BCB D A B C TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 – HK2 – HÌNH HỌC 66 MỤC LỤC GIỚI HẠN – LIÊN TỤC .Error! Bookmark not defined Vấn đề GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Error! Bookmark not defined Vấn đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Error! Bookmark not defined Vấn đề HÀM SỐ LIÊN TỤC Error! Bookmark not defined ĐẠO HÀM Error! Bookmark not defined Vấn đề ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Error! Bookmark not defined Vấn đề CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Error! Bookmark not defined Vấn đề VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO Error! Bookmark not defined VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN QUAN HỆ VNG GĨC Error! Bookmark not d Vấn đề VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Error! Bookmark not defined Vấn đề HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC Error! Bookmark not defined Vấn đề ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG Error! Bookmark not defined Vấn đề HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Vấn đề KHOẢNG CÁCH 21 Tài liệu tham khảo 49 PHỤ LỤC 51 MỤC LỤC 66 ... đ? ?ng? A Hai đư? ?ng th? ?ng vu? ?ng g? ?c v? ??i đư? ?ng th? ?ng d song song tr? ?ng B Hai đư? ?ng th? ?ng vng g? ?c v? ??i đư? ?ng th? ?ng d vng g? ?c v? ??i C Hai đư? ?ng th? ?ng vng g? ?c v? ??i đư? ?ng th? ?ng d chéo D Hai đư? ?ng th? ?ng vng... g? ?c v? ??i khi: A M? ??i đư? ?ng th? ?ng m? ? ?t ph? ? ?ng vng g? ?c v? ??i m? ? ?t ph? ? ?ng B Hai m? ? ?t ph? ? ?ng chứa hai đư? ?ng th? ?ng vng g? ?c v? ??i C M? ? ?t ph? ? ?ng chứa đư? ?ng th? ?ng vng g? ?c v? ??i m? ? ?t ph? ? ?ng D M? ??i đư? ?ng th? ?ng m? ? ?t ph? ? ?ng vng... vng g? ?c v? ??i hai đư? ?ng th? ?ng C Đo? ?n vng g? ?c chung hai đư? ?ng th? ?ng chéo c? ? ?t hai đư? ?ng th? ?ng D Đo? ?n vng g? ?c chung hai đư? ?ng th? ?ng chéo vng g? ?c v? ??i m? ? ?t ph? ? ?ng song song v? ??i hai đư? ?ng th? ?ng TN3.188 Cho