1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Luật giáo dục có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thơng cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn ruyện kỹ vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Toán học mơn học địi hỏi tư logic, phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức lại với Do đó, việc phân dạng hình thành phương pháp giải dạng toán biện pháp mang lại hiệu cao giảng dạy, đặc biệt với đối tượng học sinh có học lực trung bình, yếu Trong q trình giảng dạy tơi thấy học sinh cịn gặp nhiều lúng túng việc giải số tốn tìm giới hạn hàm số, toán đánh giá tương đối dễ, có nhiều ngun nhân dẫn đến tình trạng nói trên, theo tơi, ngun nhân chủ yếu học sinh chưa biết nhận dạng lựa chọn phương pháp phù hợp để tìm giới hạn hàm số Phần giới hạn hàm số có nội dung đề thi THPT Quốc gia năm 2018, việc tìm giải pháp giúp học sinh (đặc biệt học sinh có học lực trung bình yếu) đạt điểm phần việc thực cần thiết Từ lí chọn đề tài: “ Một số giải pháp giúp học sinh trường THPT Thường Xuân giải thành thạo tốn tìm giới hạn hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nội dung tính chất giới hạn hàm số để tìm phương pháp cho dạng tìm giới hạn hàm số, giúp học sinh tiếp thu dễ dàng Từ nâng cao chất lượng học tập học sinh tiết học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mà đề tài hướng tới là: - Các dạng tốn phương pháp tìm giới hạn hàm số Khám phá, phân tích lời giải chi tiết từ học sinh hồn thiện kiến thức nắm bắt tốn cách thấu đáo có chiều sâu - Nghiên cứu ứng dụng máy tính cầm tay kiểm tra kết tốn tìm giới hạn giải nhanh tập trắc nghiệm 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan đến giới hạn hàm số, nghiên cứu chương trình giáo khoa mơn + Phương pháp nghiên cứu thực tế: thông qua việc dạy học giúp học sinh nhận dạng biết cách giải tốn tìm giới hạn hàm số + Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy kiểm tra khả ứng dụng học sinh nhằm minh chứng cho hiệu việc sử dụng giải pháp Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Với xu đổi phương pháp giáo dục Bộ giáo dục đào tạo, trình dạy học để thu hiệu cao địi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Các toán giới hạn phần kiến thức đa dạng, phong phú Để học tốt phần học sinh phải nắm kiến thức Học sinh phải thường xuyên làm tập để học hỏi, trau phương pháp, kĩ biến đổi Kiến thức, tập phần tương đối dễ với đối tượng học sinh khá, giỏi, học sinh trung bình, yếu khó khăn việc phân biệt dạng tốn vận dụng phương pháp phù hợp Do tơi ln có ý định tìm phương pháp mới, để truyền dạy cho học sinh, phương pháp học đơn giản, phương pháp mà học sinh cảm thấy hứng thú học 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Thường Xuân đóng địa bàn miền núi, với đa số học sinh em dân tộc Thái, Mường, nhiều hạn chế việc tiếp thu kiến thức, đặc biệt kiến thức mơn địi hỏi tư trừu tượng mơn Tốn Đại đa số em có học lực mơn Tốn trung bình, yếu Với đặc điểm trên, để cải thiện chất lượng mơn Tốn cho đối tượng học sinh đại trà, thường tập trung vào giúp em nắm vững giải thành thạo toán phần kiến thức đánh giá dễ học, dễ tiếp thu giới hạn hàm số số kiến thức cần cung cấp cho em Lượng kiến thức phần giới hạn hàm số trình bày sách giáo khoa Đại số & Giải tích 11 tương đối nhiều, đa dạng; tập phong phú nhiên áp dụng trực tiếp tính chất, mà thường phải thơng qua vài bước biến đổi Điều thực khó khăn học sinh có học lực trung bình, yếu Qua thực tế giảng dạy trực tiếp lớp khối, thấy tập dạng học sinh thường lúng túng trình biến đổi áp dụng tính chất Cụ thể năm học 2015-2016 chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Tôi cho học sinh lớp 11B5 làm khảo sát, kết sau: Lớp 11B5 Số HS 45 Giỏi SL TL(%) 8.9 Khá SL 15 TB TL(%) SL 33.3 14 Yếu TL(%) SL 31.1 12 TL(%) 26.7 Xuất phát từ thực tế đó, năm học 2016-2017 tiến hành đổi cách dạy nội dung lớp 11B2 (có chất lượng tương đương với lớp 11B5 năm học trước) Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống kiến thức giới hạn hàm số: a Giới hạn tai điểm: a1 Giới hạn đặc biệt: +) lim x = x0 ; x→ x0 c = c (c: số) +) xlim →x a2 Định lí: f (x) = L lim g(x) = M thì: +) Nếu xlim → x0 x→ x0 lim [ f (x) + g(x)] = L + M x→ x0 lim [ f (x) − g(x)] = L − M x→ x0 lim [ f (x).g(x)] = L M x→ x0 f (x) L = (nếu M ≠ 0) x→ x0 g(x) M lim f (x) = L L ≥ lim f (x) = L +) Nếu f(x) ≥ xlim → x0 x→ x f (x) = L lim f (x) = L +) Nếu xlim →x x→ x 0 b Giới hạn bên: lim f (x) = L ⇔ lim− f (x) = lim+ f (x) = L x→ x x→ x x→ x 0 c Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực: c1 Giới hạn đặc biệt: +) lim xk = +∞ x→+∞ +) +∞ nế u k chẵ n lim xk =  u k leû x→−∞ −∞ neá +) lim c = c ; lim x→±∞ x→±∞ c k x =0 1 = −∞ ; lim = +∞ x→0 x x→0+ x 1 +) lim− = lim+ = +∞ x→0 x x→ x +) lim− c2 Định lí: f (x) = L ≠ lim g(x) = ±∞ thì: Nếu xlim →x x→ x +∞  +) lim f (x)g(x) =  x→ x0 −∞  nế u L vàlim g(x) cù ngdấ u x→ x0 nế u L vàlim g(x) trá i dấ u x→ x0 0 nế u lim g(x) = ±∞ x→ x0 f (x)  = +∞ nế u lim g(x) = vàL g( x) > +) xlim → x0 g(x) x→ x0  u lim g(x) = vaøL g(x) < −∞ neá x→ x0  2.3.2 Phân dạng phương pháp tìm giới hạn hàm số: Đối với tốn tìm giới hạn ta chia thành hai loại tổng quát: Loại 1: Các dạng giới hạn Để giải tập loại ta cần áp dụng trực tiếp định lí giới hạn tổng, hiệu, tích thương hàm số quy tắc tìm giới hạn vơ cực, tính chất học ∞ Loại 2: Các dạng vô định gồm: , , 0.∞, ∞ − ∞ Để giải tập ∞ loại cần có phương pháp biến đổi để đưa toán loại a Dạng bản: Dạng 1: limu x = u(x0 ) x→ x0 ( ) Dấu hiệu: u ( x) xác định x = x0 ( tức tồn u(x0 ) Phương pháp: Thay x0 trực tiếp vào biểu thức u(x), giá trị u ( x0 ) tồn ta kết luận: limu( x) = u(x0 ) x→ x0 Ví dụ Tìm giới hạn sau: ( x + 3) a) xlim →3 3x + x − x→1 2x2 − ( Ví dụ 3- tr155, Sách BTĐS> 11) b) lim ( x + − 1) x→−2 c) lim Hướng dẫn: a) Nhận thấy với f ( x) = x + ta xác định f (3) = nên: lim ( x + 3) = 2.3 + = x→3 b) Nhận thấy với f ( x) = x + − ta xác định f (−2) = nên: lim ( x→2− c) Tương tự ta có: x + x − 3.12 + 4.1 − lim = =2 x→1 2x2 − 2.12 − Bài tập vận dụng: Tìm giới hạn sau: 1) x +5 −1) = ( −2) +5 −1 =2 ( lim(x3 − 3x + 1) 2) xlim →−2 x2 + x→2 x + ( 2x − 1) 4) xlim →2− x→2 3) lim ) x2 + − x  L Dạng 2: Dạng  ÷  0 Dấu hiệu: lim Tìm giới hạn x→ x0 u( x) v( x) với limu(x) = L ≠ 0, limv(x) = x→ x0 x→ x0 Phương pháp: u(x) = L , với L ≠ Bước 1: Tính xlim →x v(x) = xét dấu biểu thức v(x) với x ≠ x Bước 2: Tính xlim →x Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim x→ x0 limu(x) = L limv(x) = u( x) v( x) lim x→ x0 x→ x0 x→ x0 L>0 v(x) > +∞ L>0 v(x) < −∞ L −∞ L 0, ∀x >  x→1 Vậy lim− x→1 2x − = −∞ x− Bài tập vận dụng: Tìm giới hạn sau: 2x − 1) lim− x →−3 x + x −3 lim 3) x →2 ( x − 2) 3x − x →−2 x + x−2 lim 4) x →−3 ( x + 3) 2) lim− Dạng 3: Dạng ( L ∞) u( x) v( x) với limu(x) = L ≠ 0, limv(x) = ∞ Dấu hiệu: Tìm giới hạn lim x→∞ x→∞ x→∞ Phương pháp: u(x) = L , với L ≠ Bước 1: Tính lim x→∞ v(x) = ∞ Bước 2: Tính lim x→∞ u( x) v( x) Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận lim x→∞ limu(x) = L limv(x) = ∞ x→∞ limu( x) v( x) L>0 +∞ +∞ L>0 L