SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH XÂY DỰNG QUY TRÌNH GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 Người thực hiện: Tống Văn Anh Chức vụ: Giáo viên SKKN môn: Toán THANH HOÁ NĂM 2016 A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Trong thời đại toàn cầu hóa, công nghệ thông tin phát triển bùng nổ, đứng trước yêu cầu nguồn nhân lực động, sáng tạo, có kiến thức kỹ chuyên nghiệp giáo dục nước ta trọng: đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc; Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật tri thức, hình thành kỹ năng, phát triển lực Chuyển từ học chủ yếu lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, ý hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin truyền thông dạy học Có thể nói đổi phương pháp dạy học yêu cầu cấp thiết, đổi phương pháp dạy, học Toán nhận nhiều quan tâm Tuy nhiên có thực trạng tồn là: với môn khoa học đòi hỏi học sinh khả tư logic cao Toán học mà nhiều em giữ thói quen suy nghĩ rập khuôn, áp dụng máy móc kiến thức nên gặp không khó khăn trình học tập, dẫn đến tâm lí nặng nề bước vào tiết học; Về phía giáo viên, trình giảng dạy thường ý cung cấp quy trình giải tập để em vận dụng dẫn đến không phát huy khả tư duy, vai trò tích cực, chủ động học sinh Đặc biệt nội dung hình học không gian tổng hợp, đa số học sinh không nắm vững cách giải số dạng tập, không giải tập bản, hứng thú học tập.Trong phần kiến thức quan trọng cấp THPT: nội dung chương trình, chiếm thời lượng đáng kể cấp học kỳ thi câu hỏi hình học không gian tổng hợp thiếu Xuất phát từ lí trên, nhận thấy việc giáo viên định hướng cho học sinh xây dựng quy trình giải dạng tập hình học không gian cần thiết Qua thực tiễn giảng dạy, xin đề xuất kinh nghiệm nhỏ khắc phục tồn nêu, từ góp phần đáp ứng yêu cầu nâng cao hiệu giảng dạy môn Toán trường THPT: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình giải số dạng tập hình học không gian lớp 11” Hy vọng với sáng kiến góp phần nâng cao khả tư lôgic học sinh, giúp em nắm vững phương pháp giải tập, tự giải số dạng tập hình học không gian từ xóa bỏ rào cản tâm lí, có hứng thú học tập 2.Mục đích nghiên cứu: Đề tài hướng đến mục đích khắc phục tồn thực tiễn giảng dạy, giúp học sinh đúc rút, nắm vững kiến thức công cụ để giải số dạng tập hình học không gian tổng hợp 3.Đối tượng nghiên cứu: Tổng kết kinh nghiệm định hướng cho học sinh xây dựng quy trình giải số dạng tập hình học không gian chương trình lớp 11 4.Phương pháp nghiên cứu: Kết hợp phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin với phương pháp nghiên cứu học B NỘI DUNG I Cơ sở lí luận Trong dạy học môn toán, việc rèn luyện phát triển lực giải toán cho học sinh quan trọng Trong lực giải toán tổ hợp thuộc tính độc đáo, phẩm chất riêng biệt khả người để tìm lời giải cho toán, dạng toán Việc rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, khả đặc biệt hóa khái quát hóa dạy học môn toán thiếu Đối với phần hình học không gian việc rèn luyện phát triển lực giải toán cho học sinh để em giải tập cụ thể, đồng thời xây dựng quy trình, phương pháp giải cho dạng tập cần thiết Bởi có thế, học sinh nắm kiến thức bản, biết vận dụng, biết liên kết kiến thức với nhau; kỹ năng, khả rèn luyện phát triển, làm cho lực tư học sinh nâng cao, từ học sinh độc lập giải vấn đề nảy sinh Khi lực tư phát triển học sinh chủ động xử lí tình thường gặp thực tiễn sống II Thực trạng trường THPT Dương Đình Nghệ Với chất lượng đầu vào thấp, đa số học sinh khảo sát không giải không nắm quy trình giải tập hình học không gian tổng hợp Một số học sinh giải dạng tập hình học không gian tổng hợp quy trình giải tiếp thu cách thụ động không hiểu chất vấn đề Giáo viên giảng dạy thường nêu số quy trình sau cho em áp dụng vào làm tập, không hướng dẫn học sinh tìm quy trình, làm tính chủ động tích cực học sinh III Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình giải số dạng tập hình học không gian lớp 11: Xây dựng quy trình tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng 1.1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau Cho tứ diện ABCD Gọi M, N điểm AB, AC cho MN BC cắt Tìm giao điểm của: a) Đường thẳng AC mp(BCD) b) Đường thẳng MN mp(BCD) Lời giải câu a: a) Dựa vào khái niệm giao điểm đường thẳng mặt phẳng, học sinh tìm giao điểm C Nhận xét: Sau giải xong câu a tập không hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình giải cho dạng tập học sinh khó khăn giải câu b tập tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Để học sinh nắm chất đồng thời khắc sâu quy trình giải dạng tập tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng, hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình sau 1.2 Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình • Giáo viên giúp học sinh nhận giao điểm C cần tìm giao điểm AC với giao tuyến mp(BCD) mp ( α ) , mp ( α ) chứa đường thẳng AC + Giáo viên: Điểm C giao điểm đường thẳng AC với đường thẳng thuộc mp(BCD) + Học sinh: Điểm C giao điểm đường thẳng AC với đường thẳng BC thuộc mp(BCD) C giao điểm đường thẳng AC với đường thẳng DC thuộc mp(BCD) + Giáo viên: Điểm C giao điểm đường thẳng AC với đường thẳng BC thuộc mp(BCD) BC giao tuyến mp(BCD) mặt phẳng chứa AC + Học sinh: BC giao tuyến mp(BCD) mp(ABC) chứa AC + Giáo viên: Điểm C giao điểm đường thẳng AC với đường thẳng DC thuộc mp(BCD) DC giao tuyến mp(BCD) mặt phẳng chứa AC + Học sinh: DC giao tuyến mp(BCD) mp(ACD) chứa AC • Giáo viên giúp học sinh dự đoán bước giải tập dạng + Giáo viên: Như hai trường hợp ta thấy giao điểm C cần tìm giao điểm đường thẳng AC với giao tuyến mp(BCD) mp ( α ) , mp ( α ) chứa đường thẳng AC Từ giáo viên cho học sinh dự đoán bước giải dạng tập tìm giao điểm I đường thẳng ∆ mp(P) + Học sinh: Bước 1: Chọn mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng ∆ Bước 2: Tìm giao tuyến d hai (P) (Q) Bước 3: Giao điểm I cần giao điểm d với ∆ 1.3 Vận dụng quy trình vào giải tập Học sinh vận dụng quy trình vào giải câu b tập sau: b) Chọn mp(ABC) chứa đường thẳng MN Giao tuyến mp(ABC) mp(BCD) BC Gọi I giao điểm MN BC (vì theo giả thiết MN BC cắt nhau) Vậy I giao điểm MN mp(BCD) Bài tập (Bài tập 5a trang 53 SGK hình học 11- chương trình chuẩn) Cho tứ giác ABCD nằm mặt phẳng ( α ) có hai cạnh AB CD không song song Gọi S điểm mp ( α ) M trung điểm SC Tìm giao điểm đường thẳng SD mp(MAB) Lời giải: Chọn mp(SCD) chứa đường thẳng SD Tìm giao tuyến mp(MAB) mp(SCD) Ta có M điểm chung (MAB) (SCD) Gọi E giao điểm AB CD, suy EM giao tuyến mp(SAB) mp(SCD) Gọi N giao điểm EM SD, N∈ EM ⊂ mp(MAB) ⇒ N ∈ mp(MAB) Vậy N giao điểm SD mp(MAB) Bài tập Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Tìm giao điểm đường thẳng A ' C mặt phẳng ( BB ' D ' D ) Lời giải: Chọn mp ( A ' D ' CB ) chứa đường thẳng A ' C , ta có giao tuyến ( A ' D ' CB ) ( BB ' D ' D ) đường thẳng BD ' Gọi O giao điểm đưởng thẳng A ' C với đường thẳng BD ' , O∈ BD ' ⊂ ( BB ' D ' D ) , suy O giao điểm A ' C mp ( BB ' D ' D ) 1.4 Bài tập tự luyện Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trung điểm AC BC a) Tìm giao điểm đường thẳng CD mp(MNK) b) Tìm giao điểm đường thẳng AD mp(MNK) Cho hình chóp SABCD, M điểm cạnh SD Tìm giao điểm đường thẳng BM mặt phẳng (SAC) Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' Tìm giao điểm đường thẳng AC ' với mặt phẳng ( BDA ') mặt phẳng ( B ' D ' C ) Xây dựng quy trình chứng minh ba đường thẳng đồng quy 2.1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập : Bài tập (Bài tập 5b trang 53 SGK hình học 11- chương trình chuẩn): Cho tứ giác ABCD nằm mặt phẳng ( α ) có hai cạnh AB CD không song song Gọi S điểm mp ( α ) ; M trung điểm SC; N giao điểm SD với mp(MAB); O giao điểm AC BD Chứng minh ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy (Tìm giao điểm N SD mp(MAB) làm tập phần 1) + Giáo viên: Ba đường thẳng đồng quy chúng qua điểm Giả sử hai đường AM BN cắt I lúc ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy nào? + Học sinh: Ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy SO qua I hay ba điểm S, I, O thẳng hàng + Giáo viên: Trong không gian để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta thường chứng minh ba điểm điểm chung hai mặt phẳng phân biệt Đường SO giao tuyến hai mặt phẳng nào? + Học sinh: Đường SO giao tuyến mp(SBD) mp(SAC) + Giáo viên: Điểm I có phải điểm chung mp(SBD) mp(SAC) không? sao? + Học sinh: Vì I ∈ AM ⊂ ( SAC ) , I ∈ BN ⊂ ( SBD ) nên I điểm chung (SBD) (SAC) Lời giải: Trong mp(MAB), ta có AM BN cắt Gọi I giao điểm AM BN, SO, AM, BN đồng quy SO qua I hay S, I, O thẳng hàng Ta lại có: ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO; I ∈ AM ⊂ ( SAC ) ; I ∈ BN ⊂ ( SBD ) Suy S, I, O thuộc giao tuyến mp(SBD) mp(SAC), S, I, O thẳng hàng Vậy ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy điểm I 2.2 Xây dựng quy trình chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy Qua cách hướng dẫn học sinh giải tập phần 2.1 học sinh xây dựng quy trình chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy sau: Bước 1: Tìm giao điểm I hai đường thẳng a b Bước 2: Tìm mp(P) mp(Q) cho c giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) I điểm chung hai mặt phẳng (P), (Q) 2.3 Vận dụng quy trình vào giải tập Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G ba điểm ba cạnh AB, AC BD cho EF cắt BC I, EG cắt AD H ( H ≠ D, I ≠ C ) Chứng minh ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy Lời giải: Trong mp(GEF), ta có HF IG cắt Gọi K giao điểm HF IG, CD, IG, HF đồng quy CD qua K hay C, K, D thẳng hàng Lại ( ACD ) ∩ ( BCD ) = CD; có: K ∈ HF ⊂ ( ACD ) ; K ∈ IG ⊂ ( BCD ) Suy C, K, D thuộc giao tuyến mp(BCD) mp(ACD), C, K, D thẳng hàng Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF đồng quy điểm K Nhận xét: • Qua việc xây dựng quy trình giải tập chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta thấy để chứng minh ba điểm thẳng hàng chứng minh cho ba điểm thuộc hai mặt phẳng phân biệt • Ngoài phương pháp chứng minh cho ba đường thẳng đồng quy nêu trên, ta có phương pháp khác để chứng minh ba đường thẳng đồng quy sử dụng định lí “ Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với nhau” 2.4 Bài tập tự luyện 1) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD có AB không song song với CD Trên SC lấy điểm E không trùng với S C, gọi F giao điểm SD với mp(ABE) Chứng minh ba đường thẳng AB, CD EF đồng quy 2) Cho tứ diện ABCD Qua C dựng mp ( α ) cắt AB, SB B1, B ' qua B dựng mp ( β ) cắt AC, SC C1, C ' Hai đường thẳng BB ', CC ' cắt O '; BB1, CC1 cắt O1; kéo dài O ' O1 cắt SA I a) Chứng minh AO1, SO ' BC đồng quy b) Chứng minh I , B1, B ' thẳng hàng Xây dựng quy trình xác định hình chiếu vuông góc điểm mặt phẳng Nhận xét: Đối với dạng tập dạy giáo viên thường hướng dẫn học sinh tìm ta kết không nêu lên phương pháp giải cho dạng tập, dẫn đến học sinh không nắm chất việc tìm hình chiếu điểm mặt phẳng, từ tư để tìm hướng giải gặp lại dạng tập này, em lúng túng giải tập có liên quan đến hình chiếu điểm lên mặt phẳng tập góc, khoảng cách Từ thực tiễn giảng dạy, định hướng cho học sinh xây dựng quy trình xác định hình chiếu vuông góc điểm mặt phẳng sau: 3.1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập : Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Xác định hình chiếu vuông góc của: a) Điểm A mp ( A ' B ' C ' D ' ) b) Điểm A mp ( BB ' D ' D ) Lời giải: a) Theo định nghĩa phép chiếu vuông góc học sinh tìm hình chiếu vuông góc A mp ( A ' B ' C ' D ') điểm A ' 3.2 Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình Từ kết câu a giáo viên gợi ý cho học sinh suy nghĩ số vấn đề toán sau: • Các mặt phẳng ( AA ' B ' B ) , ( AA ' C ' C ) , ( AA ' D ' D ) có điểm chung mặt phẳng với mp ( A ' B ' C ' D ' ) • Giao tuyến mp ( A ' B ' C ' D ' ) với ( AA ' B ' B ) , ( AA ' C ' C ) , ( AA ' D ' D ) với AA ' , từ suy A ' A giao tuyến Sau suy nghĩ trả lời câu hỏi trên, từ học sinh phát biểu quy trình giải tập “ Tìm hình chiếu vuông góc điểm I lên mặt phẳng (P)” sau: Bước 1: Tìm mặt phẳng ( α ) chứa I vuông góc với (P) Bước 2: Tìm giao tuyến d (P) ( α ) Bước 3: Từ I hạ IH vuông góc với d H, H hình chiếu vuông góc I (P) 3.3 Vận dụng quy trình vào giải tập b) Trong hình vuông ABCD có BD ⊥ AC (1) Hơn AA ' ⊥ (ABCD) ⇒ AA ' ⊥ BD (2) Từ (1) (2) ⇒ BD ⊥ ( ACC ' A ' ) Mà BD ⊂ ( BDD ' B ') ⇒( ACC ' A ') ⊥ ( BDD ' B ') Giao tuyến ( ACC ' A ') ( BDD ' B ' ) OO ' (với O, O ' tâm đáy ABCD, A ' B ' C ' D ' ) Mặt khác ta có AO ⊥ OO ' ⇒ AO ⊥ ( BDD ' B ' ) Do O hình chiếu A mp ( BDD ' B ' ) Bài tập 1: Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC) tam giác ABC Xác định hình chiếu vuông góc điểm A mp(SBC) Lời giải: Ta có SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ BC (1) Gọi M trung điểm BC, ∆ ABC ⇒ AM ⊥ BC (2) Từ (1) (2) ⇒ BC ⊥ (SAM) BC ⊂ (SBC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAM) Giao tuyến mp(SBC) mp(SAM) SM Kẻ AH vuông góc với SM H, suy AH ⊥ (SBC) Vậy H hình chiếu A mp(SBC) Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O cạnh a, cạnh bên 2a Xác định hình chiếu vuông góc O mp(SBC) Lời giải: Theo giả thiết SA = SC ⇒ ∆ SAC cân S, suy SO ⊥ AC Tương tự SO ⊥ BD Do SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC (1) Gọi M trung điểm BC ta có OM ⊥ BC (2) Từ (1) (2) ⇒ BC ⊥ (SOM), BC ⊂ (SBC) nên (SBC) ⊥ (SOM) Giao tuyến mp (SBC) mp(SOM) SM Từ O kẻ OH vuông góc với SM H suy OH ⊥ (SBC) Vậy H hình chiếu vuông góc O mp(SBC) Nhận xét Các tập sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc “Nếu hai mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến vuông góc với mặt phẳng kia” 3.4 Bài tập tự luyện 10 1) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Xác định hình chiếu vuông góc điểm A ' mặt phẳng ( AB ' D ') 2) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có AA ' vuông góc mặt phẳng (ABC), AA ' = a, tam giác ABC vuông A với BC = 2a, AB = a Xác định hình chiếu vuông góc điểm A mặt phẳng ( A ' BC ) 3) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc Tìm hình chiếu vuông góc O lên mặt phẳng (ABC) 4) Cho hai tia chéo Ax, By nhận AB làm đoạn vuông góc chung Trên By lấy điểm C Gọi D hình chiếu vuông góc C Ax Xác định hình chiếu vuông góc điểm C mp (ABD) Xây dựng quy trình xác định góc đường thẳng mặt phẳng cắt Góc đường thẳng d mặt phẳng ( α ) cắt góc đường thẳng d hình chiếu d ' mặt phẳng ( α ) 4.1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Xác định góc giữa: a) AD ' mp ( A ' B ' C ' D ' ) ; b) BD ' mp ( AA ' D ' D ) Lời giải: a) Từ định nghĩa trên, học sinh xác định góc AD ' mp ( A ' B ' C ' D ' ) sau: Ta có hình chiếu đường AD ' lên ( A ' B ' C ' D ' ) đường A ' D ' suy góc ·AD ' A ' góc đường thẳng AD ' mp ( A ' B ' C ' D ' ) 4.2 Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình Giáo viên giúp học sinh dự đoán bước quy trình xác định góc đường thẳng d mặt phẳng ( α ) cắt nhau: Bước 1: Tìm giao điểm I đường thẳng d mặt phẳng ( α ) Bước 2: Tìm hình chiếu vuông góc H điểm M thuộc d ( M ≠ I ) ( α ) · Khi góc đường thẳng d mặt phẳng ( α ) góc MIH Từ dự đoán đó,học sinh giải câu b sau: 11 b) Ta có: BD ' giao với mp ( ADD ' A ') D '; A hình chiếu B mp ( ADD ' A ') , suy AD ' hình chiếu BD ' mp ( ADD ' A ') Do góc BD ' với mp · ' A ( ADD ' A ') góc BD 4.3 Vận dụng quy trình vào giải tập Bài tập 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 3a, SA = 2a Tính góc cạnh bên mặt đáy Lời giải: Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm ∆ ABC Tìm góc cạnh bên SA mặt phẳng (ABC) Ta có: SA giao với mặt phẳng (ABC) điểm A; S.ABC hình chóp tam giác nên SG ⊥ (ABC) suy G hình chiếu S mặt phẳng (ABC) · Do SAG góc SA mp(ABC) Vì ∆ ABC cạnh 3a nên AG = AM = a 3 · Trong tam giác SAG ta có cos SAG = AG a 3 = = SA 2a Vậy góc cạnh bên mặt đáy 30o Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông tâm O, đường thẳng SA vuông góc với mặt đáy Xác định góc giữa: a) SC (ABCD); b) SC (SAD); c) SB (SAC) Lời giải: a) Ta có: SA ⊥ mp(ABCD) nên hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) A; giao điểm SC với mặt phẳng (ABCD) C · Vậy SCA góc SC mp(ABCD) b) Ta có SC giao với mp(SAD) S CD ⊥ SA Mặt khác  ⇒ CD ⊥ mp(SAD), suy D CD ⊥ AD hình chiếu vuông góc C mp(SAD) · Vậy CSD góc SC mp(SAD) 12 OB ⊥ AC c) Ta có SB giao với mp(SAC) S Mặt khác  ⇒ OB ⊥ (SAC), suy O OB ⊥ SA · hình chiếu vuông góc B mp(SAC) Vậy OSB góc SB mp(SAC) 4.4 Bài tập tự luyện 1) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC vuông cân A, AA ' ⊥ ( ABC ) Gọi M, N trung điểm AB, B ' C ' a) Xác định góc MN mặt đáy b) Xác định góc MN mặt bên ( BCC ' B ') 2) Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a ∆ ABC cạnh a Tính cô-sin góc SC mp(SAB) 3) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA = a, AB = 2a Gọi O, M, N trung điểm SA, BC Tính tang góc MN mp(SBD) Xây dựng quy trình xác định góc hai mặt phẳng Cách xác định góc hai mặt phẳng (P) (Q) cắt theo giao tuyến c Từ điểm I c ta dựng (P) đường thẳng a vuông góc với c (Q) đường thẳng b vuông góc với c Khi góc hai mặt phẳng (P) (Q) góc hai đường thẳng a b 5.1 Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập sau Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = AB = a Tính cô-sin góc mp(SAB) mp(ABC) Giáo viên hướng dẫn học sinh giải tập theo gợi ý sau: +) Hai mặt phẳng (SAB) (ABC) cắt theo giao tuyến nào? +) Gọi M trung điểm AB góc mp(SAB) mp(ABC) góc hai đường thẳng nào? sao? Từ đó, học sinh có lời giải tập sau: Lời giải: Ta có ( SAB ) ∩ ( ABC ) = AB Gọi M trung điểm AB Lại có: ∆ ABC nên CM ⊥ AB ( CM ⊂ ( ABC ) ) ; ∆ SAB cân S nên SM ⊥ AB ( SM ⊂ ( SAB ) ) 13 Do góc mp(SAB) mp(ABC) góc hai đường thẳng SM CM Vì SM CM hai đường cao tam giác cạnh a nên SM = CM = a , từ SM + CM − SC = 2SM CM Vậy cô-sin góc mp(SAB) mp(ABC) 5.2 Giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình Từ kết tập giáo viên gợi ý cho học sinh suy nghĩ số vấn đề toán sau: • Mặt phẳng ( α ) chứa hai đường thẳng SM CM với AB? • Hai đường thẳng SM CM giao tuyến mp ( α ) với hai mặt phẳng nào? • Để tìm đường thẳng SM CM ta cần tìm mp ( α ) thõa mãn điều kiện gì? Sau suy nghĩ trả lời câu hỏi trên, từ học sinh phát biểu quy trình giải tập “ Xác định góc hai mặt phẳng (P) (Q)” sau: Bước 1: Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (P) (Q) Bước 2: Tìm mặt phẳng (R) vuông góc với d Bước 3: Tìm giao tuyến a = ( P ) ∩ ( R ), b = (Q) ∩ ( R) góc hai mặt phẳng (P) (Q) góc hai đường thẳng a b Nhận xét Khi dạy dạng tập giáo viên thường nêu quy trình trước hướng dẫn học sinh vận dụng quy trình vào giải tập hướng dẫn học sinh giải tập, mà không đưa lưu ý tìm mặt phẳng (R) vuông góc với d nào, em dù nắm quy trình (một cách thụ động) song chưa giải tập dạng cách thục · định lí cô-sin tam giác ta có cos SMC = 5.3 Vận dụng quy trình vào giải tập Bài tập Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Xác định góc hai mặt phẳng ( DA ' C ') ( ABB ' A ') Lời giải: Thực theo quy trình: Bước 1:Tìm giao tuyến mp ( DA ' C ') mp ( ABB ' A ') 14 Hai mặt phẳng ( DA ' C ') ( ABB ' A ') chứa hai đường thẳng DC ' AB ' song song nên giao tuyến ( DA ' C ') ( ABB ' A ') đường thẳng a qua A ' song song với AB ' Bước 2: Tìm mặt phẳng (P) vuông góc với a Gọi I, J tâm hai hình vuông ABB ' A ' CDD ' C ' Ta có IJ ⊥ ( ABB ' A ') , suy IJ vuông góc với a, lại có IA ' ⊥ AB ' ⇒ IA ' ⊥ a (vì AB '/ / a ), a ⊥ ( IA ' J ) Bước 3: Xác định góc ( DA ' C ') ( ABB ' A ') Vì ( IA ' J ) ∩ ( ABB ' A ') = A ' I , ( IA ' J ) ∩ ( DA ' C ' ) = A ' J nên góc mp ( DA ' C ') mp ( ABB ' A ') góc hai đường thẳng A ' I A ' J , tam giác IA ' J vuông · ' J I suy góc hai đường thẳng A ' I A ' J góc IA · ' J góc hai mặt phẳng ( DA ' C ') ( ABB ' A ') Vậy góc IA Bài tập (Bài tập 24 trang 111 SGK hình học 11- chương trình nâng cao) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a SA ⊥ (ABCD), SA = x Xác định x hai mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với góc 60o Lời giải: Ta có: ( SBC ) ∩ ( SCD ) = SC ; BD ⊥ AC   ⇒ BD ⊥ mp(SAC) ⇒ BD ⊥ SC BD ⊥ SA  Kẻ BH vuông góc với SC H, suy SC ⊥ (BHD) Vì ( BHD ) ∩ ( SBC ) = BH , ( BHD ) ∩ ( SCD ) = HD nên góc mp ( SBC ) mp ( SCD ) góc hai đường thẳng BH HD Áp dụng hệ thức lượng hai tam giác vuông SBC SCD ta suy BH = DH = BC BS BC + BS = BC AB + SA2 BC + AB + SA2 =a a + x2 2a + x 15 BH + DH − BD · Theo định lí cô-sin tam giác BHD ta có cos BHD = BH HD −a · hay cos BHD = a + x2 Để góc mp ( SBC ) mp ( SCD ) 60o góc hai đường thẳng BH −a · o HD cos BHD = ± ⇔ = ± ⇔ x = a 60 , 2 2 a +x Vậy x = a hai mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với góc 60o Nhận xét Qua tập ta thấy để tìm mặt phẳng (R) vuông góc với d bước hai quy trình giải tập “ Xác định góc hai mặt phẳng (P) (Q)” ta làm sau: • Tìm hai điểm M, N thuộc hai mặt phẳng (P) (Q) cho MN vuông góc với hai (P), (Q) sau từ M hạ MH vuông góc với d H Khi mp(R) cần tìm mp(MHN) • Tìm hai điểm M, N thuộc hai mặt phẳng (P) (Q) cho MN vuông góc d sau từ M hạ MH vuông góc với d H Khi mp(R) cần tìm mp(MHN) 5.4 Bài tập tự luyện · · 1) Cho hình chóp S.ABC có ·ASB = 120o, BSC = 60o, CSA = 90o, SA = SB = SC = a Tính góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABC ) 2) Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), SA = a Đáy ABCD hình thang vuông A D, với AB = AD = DC = a Tính góc hai mặt phẳng sau: a) mp ( SBC ) mp ( ABC ) b) mp ( SAB ) mp ( SBC ) c) mp ( SAC ) mp ( SCD ) 3) Cho ∆ ABC cạnh a, nửa đường thẳng Bx, Cy vuông góc với mp(ABC) phía mặt phẳng M, N điểm thay đổi Bx, By cho CN = BM = a Tính góc mp(AMN) mp(CBMN) 16 IV Kết thực Năm học 2015-2016 vận dụng kinh nghiệm vào dạy lớp 11C6 kết thu khả quan so với năm học trước đó, số học sinh biết làm tập tăng lên, đa số học sinh nhớ quy trình giải dạng tập nêu sáng kiến, em chủ động tích cực làm tập đặc biệt so với năm học trước năm học học sinh có hứng thú học hình học không gian tổng hợp nhiều Kết cụ thể hai lớp có chất lượng nhau: Năm học 2014-2015, dạy lớp 11B7 chưa vận dụng kinh nghiệm nêu Sĩ số Kết Giỏi Khá Trung bình Yếu, SL % SL % SL % SL % 42 0 19,4 14 33 20 47,6 Năm học 2015-2016 dạy lớp 11C6 vận dụng kinh nghiệm nêu Sĩ số Kết Giỏi Khá Trung bình Yếu, SL % SL % SL % SL % 39 10,3 20,5 14 35,9 13 33,3 17 C KẾT LUẬN Trong sáng kiến này, hướng dẫn học sinh xây dựng năm quy trình thuật giải cho dạng toán hình học không gian, đáp ứng nhu cầu thực tiễn đại đa số học sinh trường THPT Dương Đình Nghệ giải tập dạng giúp em nắm số kiến thức phục vụ cho tập tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ lớp 12 Trong thời gian tới, mong muốn định hướng cho học sinh xây dựng nhiều quy trình để giúp em giải toán hình học không gian cách dễ dàng hiệu Đây tảng vững để nghiên cứu, vận dụng số phương pháp rèn luyện, phát triển lực tư sáng tạo cho học sinh thông qua tập hình học không gian Rất mong nhận góp ý chân thành bạn đọc, xin cảm ơn XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày10 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Tống Văn Anh 18 MỤC LỤC Mục Trang 1 A MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG I Cơ sở lí luận 3 II Thực trạng trường THPT Dương Đình Nghệ III III Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình giải số dạng tập hình học không gian lớp 11: Xây dựng quy trình tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Xây dựng quy trình chứng minh ba đường thẳng đồng quy Xây dựng quy trình xác định hình chiếu vuông góc điểm mặt phẳng Xây dựng quy trình xác định góc đường thẳng mặt phẳng cắt 10 Xây dựng quy trình xác định góc hai mặt phẳng 12 IV Kết thực 16 C KẾT LUẬN 17 19 ... đa số học sinh khảo sát không giải không nắm quy trình giải tập hình học không gian tổng hợp Một số học sinh giải dạng tập hình học không gian tổng hợp quy trình giải tiếp thu cách thụ động không. .. Đình Nghệ III III Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình giải số dạng tập hình học không gian lớp 11: Xây dựng quy trình tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Xây dựng quy trình chứng minh... nêu số quy trình sau cho em áp dụng vào làm tập, không hướng dẫn học sinh tìm quy trình, làm tính chủ động tích cực học sinh III Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh xây dựng quy trình giải số dạng tập