Lời nói đầu Trong chương trình Tốn học giảng dạy trường phổ thơng, Hình học mơn học khó khăn học sinh Nắm kiến thức vấn đề khó, vận dụng kiến thức cách linh hoạt để giải tốn cịn việc khó khăn nhiều Tìm mối liên quan nội dung để có cách giải tốn hay, hiệu việc làm thiết thực Trên sở nội dung, chương trình làm việc cá nhân tổ nhóm chun mơn, thân tơi tìm vài hướng giải số vấn đề nội dung nhằm nâng cao chất lượng giảng tạo hứng thú cho học sinh việc học tập nghiên cứu toán học Những vấn đề nghiên cứu được, tập hợp viết lại báo cáo sáng kiến kinh nghiệm nhằm giúp cho thân đồng nghiệp học sinh có thêm tài liệu tham khảo q trình giảng dạy học tập mơn tốn trường THPT Nội dung sáng kiến chưa thật đầy đủ so với nội dung vấn đề mà tơi lựa chọn thiết nghĩ, bổ sung vào hành trang người giáo viên công cụ có hiệu Tơi xin chân thành cám ơn thầy giáo chuyên môn đọc trước thảo đóng góp nhiều ý kiến sát thực tiễn để tơi hồn thành đề tài này: thầy giáo Nguyễn Văn Hải - Hiệu trưởng, thầy giáo Nguyễn Danh Du - Phó hiệu trưởng, thầy giáo Hồng Minh Hiển - Phó hiệu trưởng, thầy giáo Phạm Ngọc Bá - tổ trưởng, thầy giáo, giáo tổ Tốn - Tin học trường THPT Bỉm Sơn Bỉm sơn, tháng năm 2016 Người thực đề tài Vị Q Ph¬ng Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá Phần I: giáo viên: Vũ Quý Phương MỞ ĐẦU I- Lý lựa chọn đề tài I.1 Tính lịch sử “Cùng với KHCN, giáo dục quốc sách hàng đầu” Chủ trương thể rõ quan điểm, đường lối Đảng nhà nước ta, khẳng định tầm quan trọng giáo dục phát triển đất nước, lẽ giáo dục đóng vai trị định việc đào tạo lực lượng sản xuất, đem đến thành công công xây dựng đất nước, xây dựng CNXH Ngành Giáo dục triển khai thực công tác đổi giáo dục phổ thông bao gồm: Đổi sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi chương trình sách giáo khoa, đổi công tác quản lý đạo, đổi phương pháp dạy học, đổi cách kiểm tra đánh giá v.v nhằm giúp học sinh phát triển cách toàn diện Năm học này, Bộ Giáo dục đào tạo đưa hiệu “Xây dựng trường học thân thiện học sinh tích cực” nhằm hướng học sinh đến phát triển toàn diện Trong hệ thống môn học đưa vào đào tạo trường phổ thơng, mơn Tốn đóng vai trị quan trọng, lẽ qua học toán học sinh phát triển cách tốt tư sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng với hồn cảnh, phù hợp với xu phát triển đất nước ta Học tốt mơn tốn giúp học sinh học tốt nhiều môn học khác Xưa mơn học mà khơng học sinh phải ngại ngùng nhắc đến, việc học toán nhiều học sinh ln điều khó khăn Trong phân mơn tốn học phổ thơng Hình học ln coi mơn học khó khăn Tất đánh giá xuất phát từ lý khách quan chủ quan như: Học sinh chưa nắm phương pháp học tập, giáo viên cịn ơm đồm kiến thức giảng dạy, khó khăn sở lý luận việc dạy học mơn v.v Học tốn đồng nghĩa với giải tốn Muốn làm tập, ngồi việc phải có vốn kiến thức từ cơng thức, quy tắc, định nghĩa, khái niệm, định lý cịn cần có phương pháp suy luận đắn I.2 Tính cấp thiết Bằng việc trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệp dạy Hình học thân, tơi nhận thấy chất lượng dạy học hình học nói chung chưa cao: hầu hết học sinh ngại, sợ học Hình học, khơng biết cách giải tốn Hình học Mà việc giải tập Hình học khơng dựa vào việc có nắm kiến thức hay khơng mà cịn dựa nhiều vào việc nhận mối liên quan kiến thức vận dụng chúng vào toán I.3 Thực trạng Trong kỳ thi học sinh giỏi kỳ thi tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng, kỳ thi THPT Quốc gia xuất số toán mặt cầu: Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện, mặt cầu nội tiếp khối đa diện, mặt cầu tiếp xúc với cạnh khối đa diện S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang Trửụứng THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Hai loại mặt cầu ngoại tiếp mặt cầu nội tiếp khối đa diện sách giáo khoa đề cập đến số sách tham khảo viết kỹ Riêng mặt cầu tiếp xúc với cạnh khối đa diện tài liệu đề cập đến Sách giáo khoa đề cập đến dạng tốn ví dụ (Bài tốn 2, trang 42, SGK Hình học 12-nâng cao) tập (Bài tập 6-b, trang 45, SGK Hình học 12-nâng cao; Bài tập 8, trang 49, SGK Hình học 12-chuẩn) Hơn nữa, đề cập đến mặt cầu tiếp xúc với cạnh khối tứ diện chưa nói đến khối đa diện khác Đối với học sinh trường THPT Bỉm Sơn thì: - Đa số học sinh nắm vững vận dụng tốt kiến thức vào việc giải tập Tuy nhiên, cịn có vài lớp số học sinh rải rác lớp nắm vững vận dụng kiến thức vào việc giải tập - Với kiến thức Hình học nhiều học sinh không nắm kiến thức bản, quan trọng kỹ vận dụng kiến thức hình học vào hoạt động giải tốn cịn yếu Năm học 2015-2016 tơi phân công giảng dạy lớp: 12A1 12A6 Với lớp 12A1 bao gồm học sinh đăng ký học nâng cao khối D (38 học sinh) khối C (10 học sinh); Lớp 12A6 bao gồm học sinh đăng ký học nâng cao khối A (29 học sinh) khối B (21 học sinh) Ngay đầu năm học, tiến hành khảo sát riêng hình học lớp nói với nội dung đề sau: Cho hình thang ABCD vng A B, có AD = 2a, AB = BC = a Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S Gọi C', D' hình chiếu vng góc A SC SD Chứng minh rằng: 1/ ·SBC = ·SCD = 90 o 2/ Ba đường thẳng AB, AC', AD' đồng phẳng 3/ Đường thẳng C'D' qua điểm cố định S di động tia Ax Kết thu sau: Lớp Số 12A1 12A6 48 47 Không làm câu 13 (27,08%) (8,51%) Chỉ làm câu 13 (27,08%) (14,89%) Làm câu (1 + 2) 16 (33,33%) 25 (53,19%) Làm câu (12,51%) 11 (23,41%) Qua làm học sinh qua thực tế giảng dạy, nhận thấy bộc lộ nhược điểm học sinh sau: - Một số học sinh không nắm vững kiến thức bản: Các khái niệm, định nghĩa, định lý (các học sinh không làm câu nào) - Không tổng hợp kiến thức học để vận dụng vào tốn; Máy móc, thiếu linh hoạt suy nghĩ giải toán Trong nhiều nguyên nhân dẫn đến kết việc học sinh khơng tiếp thu tốt S¸ng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương kiến thức hình học, có nguyên nhân học sinh thực hành tốn có tính tổng hợp kiến thức sáng tạo vận dụng kiến thức học Có lý thời lượng quy định cho học không đủ cho giáo viên học sinh làm việc Đặc biệt học sinh không thực mơn Tốn Chính lý trên, nhằm giúp em học sinh lĩnh hội tốt kiến thức hình học, có kĩ giải tập Hình học khơng gian, tơi mạnh dạn lựa chọn nghiên cứu vấn đề: “Rèn luyện cho học sinh kỹ giải tốn hình học khơng gian qua nghiên cứu mặt cầu tiếp xúc với cạnh khối đa diện.” II Mục đích nghiên cứu Khơng có phương pháp tốt, khơng thể có kết cao Biết vận dụng kiến thức cách phù hợp có cách giải tập tốt Đối với nhiều học sinh, học giải toán Hình học khơng gian có nhiều trở ngại Từ giúp học sinh vượt qua tâm lí ngại sợ học hình học, đặc biệt tốn hình Học khơng gian III Thời gian, địa điểm nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm nghiên cứu, áp dụng thực năm học 2015 - 2016, hai lớp 12A1 12A6, trường THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa Đây hai lớp có đặc thù riêng so với lớp khác khối 12 nhà trường Nội dung sáng kiến trình bày cho học sinh số học tự chọn mơn Tốn số buổi học bồi dưỡng (ngồi học khóa) S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang Trửụứng THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá Phần II: giáo viên: Vũ Quý Phương NỘI DUNG I- Trục đường trịn Định nghĩa: Trục đường trịn đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường tròn tâm đường trịn Tính chất: Cho đường thẳng ∆ trục đường tròn (T) điểm I thuộc ∆ Khi I cách điểm (T) Thật vậy: Gọi O, R tâm bán kính (T); M điểm (T) Khi đó: IM = IO + OM = IO + R : Không đổi với điểm M (T) Điều chứng tỏ I cách điểm (T) II- Hướng dẫn học sinh tiếp cận giải số toán mặt cầu tiếp xúc với cạnh khối đa diện Giúp học sinh nắm kiến thức tiếp tuyến mặt cầu a/ Với đường thẳng ∆ mặt cầu S(O; R), thực khắc sâu kiến thức đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu theo sơ đồ sau: Giả thiết đặt Giáo viên hướng dẫn Học sinh hiểu Nếu ∆ qua O Nhớ lại khái niệm đường ∆ chứa đường kính kính mặt cầu S(O; R) ⇒ ∆ cắt S(O; R) hai điểm phân biệt Nếu ∆ không qua O - Xét mp(∆; O) - Mặt phẳng (∆; O) cắt S(O; R) theo giao tuyến đường tròn lớn (T) - Nếu M giao điểm - Nếu M = ∆ ∩ S(O; R) ∆ với S(O; R) có kết M ∈ (T) luận ? - Điều cho thấy giao điểm ∆ với S(O; R) giao điểm ∆ với (T) Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Từ có kết - Nếu d < R: ∆ cắt mặt nêu Sách giáo cầu S(O; R) hai điểm khoa phân biệt - Nếu d = R: ∆ cắt mặt cầu S(O; R) điểm Khi ∆ tiếp tuyến S(O; R); Điểm chung tiếp điểm - Nếu d > R: ∆ không cắt mặt cầu S(O; R) Khi ∆ tiếp xúc với mặt Nhớ lại kết - H = ∆ ∩ S(O; R) cầu S(O; R) H, rút tương tự hình học - OH = d(O; ∆) phẳng: Đường thẳng tiếp - OH ⊥ ∆ kết ? xúc với đường trịn Phát biểu điều ngược lại Điều ngược lại có Nếu OH bán kính ∆ khơng ? vng góc với OH H ∆ tiếp tuyến S(O; R) Kết quả: b/ Một số khái niệm hình học khơng gian với đường thẳng mặt cầu có kết tương tự mặt phẳng đường tròn với đường thẳng Tiến hành cho học sinh so sánh kết để giúp học sinh có mối liên hệ hình học phẳng hình học không gian, nắm vững kiến thức tiếp tuyến mặt cầu: Khái niệm Khái niệm tương tự Chú thích HHKG hình học phẳng Đường thẳng ∆ tiếp xúc Đường thẳng ∆ tiếp xúc Đường tròn (O; R) giao tuyến mp(∆; O) với mặt cầu S(O; R) với đường tròn (O; R) với mặt cầu S(O; R) Qua điểm M nằm Qua điểm M nằm mặt cầu khơng có tiếp đường trịn khơng có tiếp tuyến với mặt cầu tuyến với đường trịn S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang Trửụứng THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá MA, MB tiếp tuyến mặt cầu S(O; R) A, B MA = MB Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) H ⇔ ∆ vng góc với OH H Đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) ⇔ d(O; ∆) = R giáo viên: Vũ Quý Phương MA, MB tiếp tuyến với đường trịn (O; R) A, B MA = MB Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (O; R) H ⇔ ∆ vng góc với OH H Đường thẳng ∆ tiếp xúc với đường tròn (O; R) ⇔ d(O; ∆) = R Tính chất tiếp tuyến Điều kiện tiếp xúc đường thẳng với đường tròn, mặt cầu Điều kiện tiếp xúc đường thẳng với đường tròn, mặt cầu c/ Giúp học sinh vận dụng kiến thức tiếp tuyến với mặt cầu để xây dựng kiến thức mới: * Cho học sinh làm lại Bài tập 6.a, trang 45, SGK Hình học 12 (Nâng cao) phân tích kỹ kiến thức cách vận dụng: Tìm tập hợp tâm mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh tam giác cho trước Lời giải: Giả sử mặt cầu S(O; R) tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA ∆ABC I, J, K Khi đó: OI ⊥ AB, OJ ⊥ BC, OK ⊥ CA (1) Hơn nữa: OI = OJ = OK Gọi O' hình chiếu O mp(ABC) OO' ⊥ mp(ABC) ⇒ OO' ⊥ O'I, OO' ⊥ O'J, OO' ⊥ O'K (2) Từ (1) (2) suy ra: O'I ⊥ AB, O'J ⊥ BC, O'K ⊥ CA (3) Mặt khác: ∆OO'I = ∆OO'J = ∆OO'K (trường hợp tam giác vuông) ⇒ O'I = O'J = O'K (4) Từ (3) (4) suy O' cách ba cạnh AB, BC, CA ∆ABC ⇒ O' tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Như O thuộc trục đường trịn nội tiếp ∆ABC S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Điều ngược lại chứng minh dễ dàng Vậy tập hợp điểm O trục đường tròn nội tiếp ∆ABC ■ Thực hướng dẫn học sinh theo sơ đồ sau: Giáo viên hướng dẫn Học sinh hiểu Giả sử mặt cầu S(O; R) OI ⊥ AB, OJ ⊥ BC, OK ⊥ CA tiếp xúc với ba cạnh AB, (1) BC, CA ∆ABC I, J, K Xét mối liên quan OI, OI = OJ = OK OJ, OK Gọi O' hình chiếu OO' ⊥ mp(ABC) O mp(ABC) Xét mối quan hệ OO' với OO' ⊥ O'I, OO' ⊥ O'J, OO' ⊥ O'I, O'J, O'K O'K (2) Phân tích Điều kiện tiếp xúc đường thẳng với mặt cầu Định nghĩa mặt cầu Khái niệm hình chiếu vng góc Khái niệm đường thẳng vng góc với mặt phẳng Kết hợp (1) (2) O'I ⊥ AB, O'J ⊥ BC, O'K ⊥ CA Định lý ba đường vng góc (3) Xét mối liên quan O'I, ∆OO'I = ∆OO'J = ∆OO'K Trường hợp O'J, O'K tam giác ⇒ O'I = O'J = O'K (4) Muốn thế, xét tam vuông giác OO'I, OO'J, OO'K Từ (3) (4) suy kết O' cách ba cạnh AB, BC, ? CA ∆ABC ⇒ O' tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC Kết luận Như O thuộc trục đường tròn nội tiếp ∆ABC * Mở rộng kết ta định lý sau: Định lý 1: Trong khơng gian, quỹ tích điểm cách đường thẳng chứa cạnh đa giác ngoại tiếp trục đường tròn nội tiếp a giỏc ú Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang Trửụứng THPT Bổm Sụn Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Chứng minh: Gọi M điểm cách cạnh đa giác d khoảng cách từ M đến cạnh đó; O hình chiếu vng góc M mặt phẳng (P) chứa đa giác; K hình chiếu M cạnh AB đa giác Khi đó: MO ⊥ (P) ⇒ MO ⊥ AB; MK ⊥ AB ⇒ OK ⊥ AB Mặt khác: OK = MK − OM = d − OM : Không đổi Như vậy, K cách cạnh đa giác nên K tâm đường tròn nội tiếp đa giác, hay M thuộc trục đường tròn nội tiếp đa giác Ngược lại M thuộc trục đường trịn nội tiếp đa giác dễ chứng minh M cách cạnh đa giác Thực hướng dẫn học sinh theo sơ đồ sau: Giáo viên hướng dẫn Học sinh hiểu Với Bài tập 6.a vừa giải Khoảng cách từ tâm mặt cầu trên, nhận xét đến cạnh tam giác khoảng cách từ tâm mặt cầu tới cạnh tam giác So sánh nội dung với Thực tế yêu cầu định lý yêu cầu định lý tìm mối liên hệ tâm mặt cầu tiếp xúc với cạnh đa giác với tâm đường tròn nội tiếp đa giác Để giải vấn Hình chiếu điểm thỏa mãn đề cần phải giải toán cách cạnh nội dung ? đa giác Phân tích Mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh khối đa diện a/ Bài toán 2.1: Tìm điểm O khơng gian cách tất đường thẳng chứa cạnh tứ diện u ABCD Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm häc 2015-2016 Trang Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Giải: Gọi O trọng tâm tứ diện ABCD Khi đó: OA = OB = OC = OD (tính chất tứ diện đều) Suy ra: ∆OAB = ∆OBC = ∆OCD = ∆ODA = ∆OAC = ∆OBD Từ khoảng cách từ O đến đường thẳng AB, BC, CD, DA, AC, BD Vậy O điểm cách tất đường thẳng chứa cạnh tứ diện ABCD Thực hướng dẫn học sinh theo sơ đồ sau: Giáo viên hướng dẫn Học sinh hiểu Tứ diện có tính chất - Tứ diện có tất cạnh ? - Tứ diện có trọng tâm giao điểm đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện Gọi O trọng tâm tứ OA = OB = OC = OD diện ABCD Kết hợp với cạnh ∆OAB = ∆OBC = ∆OCD = tứ diện ∆ODA = ∆OAC = ∆OBD Khoảng cách từ O tới Khoảng cách từ O đến cạnh cạnh tứ diện tứ diện Phân tích * Tác giả hướng dẫn học sinh nghiên cứu sâu thêm nội dung toán: - Xét xem có điểm khác thỏa mãn tốn khơng ? Giả sử O' điểm cách tất cạnh tứ diện ABCD Gọi I, K hình chiếu O' AB, BC ⇒ O'I = O'K ⇒ ∆O'BI = ∆O'BK (trường hợp tam giác vuông) ⇒ BI = BK ⇒AI = CK (do AB = BC) ⇒ ∆O'AI = ∆O'CK ⇒ O'A = O'C Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang 10 Trửụứng THPT Bổm Sụn Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Chứng minh tương tự ta có kết quả: O'A = O'B = O'C = O'D ⇒ O' ≡ O trọng tâm tứ diện ABCD Vậy trọng tâm tứ diện điểm thỏa mãn toán ■ * Qua việc xem xét tốn góc độ trên, giúp cho học sinh tìm lời giải tổng qt tốn khơng nhờ vào phát tính chất đặc biệt trọng tâm tứ diện Đồng thời, tác giả nhấn mạnh thêm cho học sinh kết sau: - Gọi R khoảng cách từ trọng tâm O đến cạnh tứ diện ABCD mặt cầu S(O; R) tiếp xúc với tất cạnh tứ diện * Sau hồn thành tốn, tác giả cho học sinh thực giải toán tương tự sau: Bài tốn 2.2: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Xác định tâm tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện Giải: Gọi O trọng tâm, R khoảng cách từ O đến cạnh tứ diện Theo Bài toán 2.1, mặt cầu tâm S(O; R) thỏa mãn toán Gọi M, N trung điểm AB, CD O trung điểm MN MN ⊥ AB Lại có: AN = a (đường cao ∆ACD cạnh a) Từ đó: MN = AN − AM = 2 = AN − AB2 = 3a − a = a 4 Vậy, bán kính mặt cầu nói là: R = OM = a ■ ( ) * Đặt vấn đề cho học sinh: Nếu từ diện ABCD tứ diện có mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh hay khơng ? Giáo viên hướng dẫn Học sinh hiểu Phân tích Giả sử mặt cầu S(O; R) Các tiếp tuyến Tính cht tip tuyn vi Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang 11 Trửụứng THPT Bổm Sụn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương tiếp xúc với tất mặt cầu cạnh tứ diện ABCD Xét tiếp tuyến xuất phát từ đỉnh Từ kết so sánh Tổng cặp cạnh đối Kết gần giống với tứ cạnh; so sánh giác ngoại tiếp đường tổng cạnh trịn hình học phẳng Cụ thể hóa, ta định lý sau: b/ Định lý 2: Điều kiện cần đủ để tồn mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD là: AB + CD = AC + BD = AD + BC (1) Chứng minh: - Điều kiện cần: Giả sử tồn mặt cầu (S) tâm O tiếp xúc với AB, BC, CD, DA, AC, BD M, N, P, Q, R, S Khi đó: AM = AR = AQ; BM = BS = BN; CP = CR = CN; DP = DS = DQ Cộng đẳng thức ta được: AB + CD = AC + BD = AD + BC - Điều kiện đủ: Giả sử (1) thỏa mãn Gọi (O1; R1), (O2; R2) đường tròn nội tiếp tam giác BCD, ACD P, P' tương ứng tiếp điểm đường trịn với cạnh CD Khi ta có: CP = (AC + CD − AD) = (AC − AD + CD) 2 1 CP′ = (BC + CD − BD) = (BC − BD + CD) 2 Mà AC + BD = AD + BC nên: AC – AD = BC – BD Do đó: CP' = CP, hay P' ≡ P Gọi PO đường kính đường trịn ngoại tiếp ∆O1PO2 · P = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ⇔ OO1 ⊥ O1P Khi đó: OO Mà CD ⊥ (PO1O2) ⇒ CD ⊥ OO1 Do OO1 ⊥ (BCD) ⇒ OO1 trục đường tròn nội tiếp ∆BCD Tương tự: OO2 trục đường trịn nội tiếp ∆ACD S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang 12 Trửụứng THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Hai trục OO1 OO2 cắt O Chứng minh tương tự có trục đường trịn nội tiếp mặt tứ diện ABCD đơi cắt Hiển nhiên khơng có trục đồng phẳng nên chúng đồng quy O Như O điểm cách tất cạnh tứ diện ABCD nên O tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ■ * Để rèn luyện củng cố thêm kết đạt được, cho học sinh có điều kiện thể đạt được, tác giả cho học sinh tự giải toán sau (và kết hầu hết học sinh tự làm được): Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b, AC = AD = BC = BD Gọi I, J trung điểm AB CD Biết IJ = k Tìm hệ thức liên hệ a, b, k để tồn mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện cho Giải: Từ giả thiết suy ra: IJ ⊥ AB, IJ ⊥ CD Theo định lý 2, tồn mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện khi: AB + CD = AC + BD = AD + BC (*) Do AC = BD nên: (*) ⇔ AB + CD = 2AC ⇔ ⇔ (AB + CD)2 = 4AC2 2 ⇔ (a + b) = a + k + k ⇔ ab = 2k2 ■ 4 ( ) * Để xét mặt cầu tiếp xúc với khối đa diện khác, mà trực tiếp khối lăng trụ, tác giả nêu cho học sinh giúp học sinh giải vấn đề: - Cho hai đường trịn (O1; R1), (O2; R2) có chung dây cung AB nằm hai mặt phẳng (P), (Q) khác Có hay khơng mặt cầu qua hai đường trịn (Gọi H trung điểm AB ⇒ O1H ⊥ AB, O2H ⊥ AB ⇒ mp(O1O2H) ⊥ AB; Gọi d1, d2 trục đường trịn (O1) (O2) d1 ∩ d2 = O: Là tâm mặt cầu) - Khi hai đường trịn có điểm chung H Tìm điều kiện để có mặt cầu (Bài tốn thỏa mãn (P) ∩ (Q) = ∆ tiếp tuyến chung hai đường trịn) S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang 13 Trửụứng THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương * Mở rộng nội dung vấn đề trên, đến mệnh đề sau: c/ Mệnh đề 2: Cho (D1) (D2) hai đa giác ngoại tiếp, nằm hai mặt phẳng khác có chung cạnh Điều kiện cần đủ để tồn mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh (D 1) (D2) tiếp điểm hai đường tròn nội tiếp (D1) (D2) với cạnh chung chúng trùng Chứng minh: Gọi (P), (Q) mặt phẳng chứa đa giác (D 1), (D2) AB cạnh chung hai đa giác * Điều kiện cần: Nếu có mặt cầu (S) tiếp xúc với tất cạnh (D 1) (D2) (S) tiếp xúc với AB E Hơn nữa, (P) (Q) cắt (S) theo giao tuyến đường tròn (T1), (T2) nội tiếp (D1), (D2) Hiển nhiên AB tiếp xúc với (T1), (T2) A * Điều kiện đủ: Giả sử đường trịn (T1), (T2) có tâm O1, O2 nội tiếp (D1), (D2) E tiếp điểm cạnh chung AB với hai đường trịn Khi đó: O1E ⊥ AB, O2E ⊥ AB Gọi d1, d2 trục (T1) (T2) ⇒ O1 ∈ d1, O2 ∈ d2, d1 ⊥ (P), d2 ⊥ (Q) ⇒ mp(O1E; d1) ⊥ AB, mp(O2E; d2) ⊥ AB ⇒ mp(O1E; d1) mp(O2E; d2) trùng Vì mp(P) ∩ mp(Q) = AB nên d1 d2 phân biệt ⇒ d1 ∩ d2 = O Đây điểm cách tất cạnh hai đa giác (D1), (D2) Vậy tồn mặt cầu tâm O tiếp xúc với tất cạnh (D1) (D2) * Áp dụng mệnh đề 2, tác giả hướng dẫn học sinh chứng minh mệnh đề sau: d/ Mệnh đề 3: Nếu khối đa diện (H) có mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh tất mặt (H) đa giác ngoại tiếp tâm O mặt cầu nằm trục đường tròn nội tiếp mặt đa diện (H) Chứng minh: Xét đa giác (X) mặt bên (H) gọi (P) mặt phẳng chứa a giỏc ú Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang 14 Trửụứng THPT Bổm Sụn Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Do mặt cầu tâm (O) tiếp xúc với tất cạnh (H) nên mặt cầu (O) tiếp xúc với cạnh đa giác (X) Do đó, (X) đa giác ngoại tiếp đường tròn (T) giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt cầu (O) Hơn nữa, tâm O mặt cầu cách tất cạnh đa giác (X) nên O thuộc trục đường tròn nội tiếp đa giác (X) Vì (X) mặt bên nên kết với mặt bên đa diện (H) Vậy, ta có điều phải chứng minh ■ III- Một số phương pháp xác định tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh khối đa diện Phương pháp 1: Chỉ điểm cách tất cạnh khối đa diện Ví dụ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a xác định tâm tính bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh hình lập phương Giải: Gọi O tâm hình lập phương ABCD.A'B'C'D', tức O giao điểm đường chéo hình lập phương Gọi H trung điểm cạnh AA' Khi đó: OH ⊥ AA' Do ta có: d(O;AA′) = OH = AC = a 2 Tương tự tính khoảng cách từ O đến cạnh hình lập phương a Vậy, mặt cầu tâm O, bán kính R = a tiếp xúc với tất cạnh hình lập phương cho ■ Phương pháp 2: Dựng hai trục hai đường tròn nội tiếp hai mặt, chứng minh hai trục cắt O O cách tất cạnh đa diện Ví dụ: Cho OABC tứ diện vng O, cạnh OA = a, OB = b, OC = c Tìm điều kiện a, b, c để tồn mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện OABC cho Xác định tâm tính bán kính mặt cầu S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang 15 Trửụứng THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Giải: Tồn mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện OABC ⇔ ⇔ OA + BC = OB + AC = OC + AB ⇔ ⇔ a + b2 + c2 = b + a + c2 = c + a + b ⇔ ⇔ a = b = c Khi O.ABC hình chóp Gọi H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) ⇒ OH trục đường tròn nội tiếp ∆ABC Gọi D tâm đường tròn nội tiếp ∆OAB, OD cắt AB M Vì OA = OB nên AM = MB OM ⊥ AB ⇒ CM qua H Hơn nữa, a = b = c nên ∆ABC ⇒ CM ⊥ AB Gọi I giao điểm đường thẳng OH với trục đường tròn nội tiếp ∆OAB Vì I thuộc trục đường trịn nội tiếp ∆OAB ∆ABC nên I cách đường thẳng BC, CA, AB, BO, OA Kẻ IE ⊥ OA, IK ⊥ OC Mặt khác ∆OIE = ∆OIK ⇒ IE = IK ⇒ I cách OA OC Như I cách cạnh tứ diện OABC nên I tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện Ta có: ∆IOE # ∆AOH ⇒ IE = OE ⇒ IE = OE AH AH OH OH Trong đó: AH = a , OE = OA − AE = OA − AM = a − a ⇒ OH = OA − AH = a ⇒ IE = a ( − 1) Vậy bán kính mặt cầu R = IE = a ( − 1) ■ IV- Vận dụng kiến thức mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh khối đa diện để giải toán Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang 16 Trửụứng THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương hình chóp, tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA trung điểm cạnh Chứng minh hình chóp S.ABC hình chóp Giải: Giả sử O, R tâm bán kính mặt cầu gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA Gọi I, J, K tiếp điểm mặt cầu với SA, SB, SC Theo tính chất tiếp tuyến ta có: AI = AM, BJ = BM Vì M trung điểm AB nên AM = MB Do đó: AI = BJ Vì SI = SJ (tính chất tiếp tuyến) nên: SI + AI = SJ + BJ Từ (1) (2) suy ra: SA = SB Tương tự chứng minh được: SB = SC Như vậy: SA = SB = SC Mặt khác theo tính chất tiếp tuyến cách gọi ta có: AB = 2BM = 2BN = BC = 2CN = 2CP = CA Nghĩa là: AB = BC = CA, hay ∆ABC Do hình chóp S.ABC hình chóp ■ S¸ng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 (1) (2) Trang 17 Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương Phần III: KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Tác giả sử dụng nội dung Sáng kiến để dạy cho học sinh lớp 12A1 12A6 số tiết học Tự chọn số buổi học bồi dưỡng (ngồi học khóa) Sau thực xong nội dung giáo án học sinh học số nội dung khác, tác giả khảo sát lại chất lượng hai lớp với thời lượng 60 phút đề kiểm tra sau: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC Biết có mặt cầu bán kính R tiếp xúc với tất cạnh hình chóp tâm I mặt cầu nằm đường cao SH hình chóp 1/ Chứng minh S.ABC hình chóp 2/ Biết IS = R Tính thể tích khối chóp S.ABC (Tham khảo Bài tập 10, trang 55, SGK Hình học 12 (nâng cao)) Bài 2: Cho ABCD tứ diện có cạnh a mặt cầu (S) tiếp xúc với tất cạnh tứ diện Tính thể tích khối tứ diện MNPQ nội tiếp hình cầu (S) Giải: * Bài 1: 1/ Vì cạnh hình chóp tiếp xúc với mặt cầu nên: SA + BC = SB + AC = SC + AB (1) Mặt khác tâm I mặt cầu thuộc đường cao SH hình chóp nên ta có: · · = ISC · ⇔ HSB · · · ⇒ SA = SB = SC (2) ISA = ISB = HSA = HSC Từ (1) (2) suy AB = BC = CA Vậy hình chóp S.ABC hình chóp 2/ Đặt SH = h Gọi M trung điểm BC mp(SAM) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn tiếp xúc với SA A1, qua điểm M cắt AM M1 Dễ thấy AM1 = M1H = HM AI AH ⇔ R = Vì ∆SA1I # ∆SHA ⇒ SI1 = AH SA R h + AH Từ AH = 2M1H suy ra: AH = 4M1H = ( IM12 − IH ) =  R − ( h − R )  Từ đó: = R2 − ( h − R 3) 2 h +  R − ( h − R )  2 4R ⇔ 9h − 16Rh + 16R = ⇔ h = (do h > IS > R) Gọi K tiếp điểm mặt cầu với SA Ta có: ∆SIK # ∆SAH ⇒ SI = SK SA SH Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm häc 2015-2016 Trang 18 Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương R 4R = 2R ⇒ SA = SI.SH = SI.SH = 2 SK SI − IK 3R − R 2 2 2 2R Suy ra: AH = SA − SH = 8R − 16R = 3 ⇒ AB = 2AH = 4R 3 2 AB 8R = 32R 1 4R = Do đó: VS.ABC = SH.SABC = h 3 3 27 * Bài 2: Theo kết tâm O mặt cầu (S) trọng tâm tứ diện ABCD mặt cầu (S) tiếp xúc với cạnh tứ diện trung điểm cạnh Tứ diện có chiều cao: h = a (theo kết Ví dụ 2, trang 25, SGK Hình học 12 (nâng cao)) Theo tính chất tâm tứ diện: OA = h = a 4 Gọi I trung điểm AB bán kính mặt cầu (S): 2 R = OI = OA − AI = OA − AB = 6a − a = a 16 4 Lại có tứ diện nội tiếp mặt cầu tâm mặt cầu trọng tâm tứ diện Hơn nữa, bán kính mặt cầu khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh tứ diện Do gọi b cạnh tứ diện MNPQ b = R = a ( ) a 3 ■ Vậy thể tích tứ diện MNPQ là: V=b = = a 12 12 192 Kết thu sau : Không Chỉ Lớp Số làm câu câu 12A1 48 (4,16%) (12,50%) 12A6 49 (6,12%) Làm câu Làm câu 14 (29,17%) (18,37%) 26 (54,17%) 37 (75,51%) S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 im cao nht 8,75 9,25 Trang 19 Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá Phần IV: giáo viên: Vũ Quý Phương KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trên số kinh nghiệm suy nghĩ cá nhân tơi q trình giảng dạy công tác năm học vừa qua Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy với kinh nghiệm trên, học sinh bước đầu khắc phục tâm lý “sợ” hình học khơng gian, thực giải tốn hình học khơng gian với tư mạch lạc Đồng thời phát huy tính tích cực, sáng tạo học tập học sinh Thông qua vấn đề đặt số tốn tơi muốn hình thành cho học sinh tư lơgic, q trình tập dượt sáng tạo tốn học Điều góp phần nâng cao chất lượng dạy học Tuy nhiên, ý kiến chưa phù hợp với tất đối tượng học sinh, đặc biệt học sinh giỏi Việc áp dụng nội dung sáng kiến vào giảng dạy cần bố trí hợp lý mặt thời gian Nếu trường khơng bố trí học tự chọn học sinh khơng học bồi dương thêm trường khó khăn mặt thời gian để áp dụng Hơn nữa, cần đến kiên trì giáo viên đối tượng học sinh áp dụng sáng kiến học sinh rỗng kiến thức, có tố chất, tư tốn học chưa tốt, ngại học tốn, đặc biệt hình học khơng gian Với kết thu được, mạnh dạn nêu lên nội dung sáng kiến mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để nội dung hoàn thiện lần chỉnh sửa sau XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 27 tháng năm 2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Vũ Quý Phương S¸ng kiÕn - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang 20 Trường THPT Bỉm Sơn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương TÀI LI ỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Mộng Hy (chủ biên) – Bài tập Hình học 12 - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam - 2008 [2] Văn Như Cương (chủ biên) – Bài tập Hình học 12 nâng cao - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam - 2011 [3] Phan Huy Khải (chủ biên) – Bài tập Hình học 12 - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam - 2011 [4] Phan Huy Khải (chủ biên) – Bài tập Hình học 12 nâng cao - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam - 2011 [5] SGK Hình học 11, Hình học 11 nâng cao, Hình học 12, Hình học 12 nâng cao - Bộ Giáo dục Đào tạo [6] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ [7] Nguyễn Hải Châu, Nguyễn Thế Thạch (đồng chủ biên) - Kiểm tra đánh giá thường xuyên định kỳ mơn Tốn lớp 10 - Nhà xuất Giỏo dc - 2008 Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm học 2015-2016 Trang 21 Trửụứng THPT Bổm Sụn – Thanh Hoá giáo viên: Vũ Quý Phương MỤC LỤC Nội dung Trang Phần I: MỞ ĐẦU I- Lý lựa chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Thời gian, địa điểm nghiên cứu Phần II: NỘI DUNG I- Trục đường tròn II- Hướng dẫn học sinh tiếp cận giải số toán mặt cầu tiếp xúc với cạnh khối đa diện Giúp học sinh nắm kiến thức tiếp tuyến mặt cầu Mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh khối đa diện III- Một số phương pháp xác định tâm mặt cầu tiếp xúc với tất 13 cạnh khối đa diện Phương pháp 13 Phương pháp 14 IV- Vận dụng kiến thức mặt cầu tiếp xúc với tất cạnh 15 khối đa diện để giải toán Phần III: KẾT QUẢ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 17 Phần IV: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUT 19 Sáng kiến - Kinh nghiệm dạy học, năm häc 2015-2016 Trang 22 ... học, có kĩ giải tập Hình học khơng gian, tơi mạnh dạn lựa chọn nghiên cứu vấn đề: ? ?Rèn luyện cho học sinh kỹ giải tốn hình học khơng gian qua nghiên cứu mặt cầu tiếp xúc với cạnh khối đa diện. ” II... thi tuyển sinh vào Đại học - Cao đẳng, kỳ thi THPT Quốc gia xuất số toán mặt cầu: Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện, mặt cầu nội tiếp khối đa diện, mặt cầu tiếp xúc với cạnh khối đa diện S¸ng... điểm nghiên cứu Phần II: NỘI DUNG I- Trục đường tròn II- Hướng dẫn học sinh tiếp cận giải số toán mặt cầu tiếp xúc với cạnh khối đa diện Giúp học sinh nắm kiến thức tiếp tuyến mặt cầu Mặt cầu tiếp