1 MỞ ĐẦU Trong chương trình Toán trường THPT nội dung “phương trình vô tỉ” chiếm vị trí vô quan trọng Kiến thức thức Học sinh làm quen lớp chưa nhiều thật sâu sắc Kiến thức thức học sinh trừu tượng khó hiểu bước lớp 10 học sinh lại phải tiếp cận với kiến thức Phương trình vô tỉ Trong chương trình Toán lớp 10 học sinh cung cấp kiến thức để giải loại phương trình vô tỉ đơn giản Trong toàn chương trình Toán lại bậc THPT Học sinh không cung cấp thêm kiến thức để giải phương trình vô tỉ nửa, việc giải phương trình vô tỉ Học sinh thường xuyên gặp nội dung khác chương trình Toán Mặt khác giải phương trình vô tỉ nội dung lớn thường xuyên có đề thi THPT quốc gia Do việc rèn luyện cho học sinh kỷ giải phương trình vô tỉ việc làm cấp thiết Người giáo viên không cung cấp kiến thức Sách giáo khoa mà quan trọng phải biết tìm tòi, vận dụng kiến thức có nghĩ cách giải hiệu Phương trình vô tỉ để cung cấp cho Học sinh giúp học sinh không nắm vững kiến thức mà giải tốt phương trình vô tỉ gặp Để giúp học sinh giải tốt phương trình vô tỉ thân đưa đề tài “Hướng dẫn Học sinh lớp 10 sử dụng nhân liên hợp để giải phương trình vô tỉ ” Sáng kiến kinh nghiệm hướng tới giải số vấn đề sau học sinh: - Bổ sung, hoàn thiện cách giải phương trình vô tỉ việc phát sử dụng biểu thức liên hợp - Phân loại dạng tập thường gặp để sử dụng phương pháp - Rèn luyện kỹ phát nghiệm phương trình liên hệ nghiệm phát với cách giải - Rèn luyện kỹ vận dụng phương pháp giải thông qua hệ thống tập có hướng dẫn lớp tập tự rèn luyện nhà Sáng kiến kinh nghiệm nhằm trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp tài liệu tham khảo học sinh để góp phần nâng cao hiệu dạy học toán trường THPT Như Xuân nói riêng trường THPT nói chung Để thực Sáng kiến kinh nghiệm sử dụng hai lớp 10 trường THPT Như Xuân Đây hai lớp tương đương học lực môn toán tất học sinh có học lực khá, giỏi môn toán lớp 10C3 lớp 10C4 Lớp 10C3 thực dạy thực nghiệm, lớp 10C4 lớp đối chứng sau kiểm tra, đánh giá so sánh kết Thời gian thực sáng kiến kinh nghiệm từ tháng 12/2015 đến tháng 03/2016 Sau nội dung cụ thể Sáng kiến kinh nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f ( x) = g ( x) (1) f ( x) g ( x) biểu thức x Ta gọi f ( x ) vế trái, g ( x) vế phải phương trình (1) Nếu có số thực x0 cho f ( x0 ) = g ( x0 ) mệnh đề x0 gọi nghiệm phương trình (1) Giải phương trình (1) tìm tất nghiệm (nghĩa tìm tập nghiệm) Nếu phương trình nghiệm ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm rỗng) Kiến thức đẳng thức học sinh biết từ sớm, từ năm học cấp Học sinh cung cấp đẳng thức đáng nhớ: 1) ( a + b ) = a + 2ab + b 2) ( a − b ) = a − 2ab + b 3) ( a − b )( a + b ) = a − b 4) ( a + b ) = a + 3a b + 3ab + b 5) ( a − b ) = a − 3a b + 3ab − b 6) a − b = ( a − b ) ( a + ab + b ) 7) a + b = ( a + b ) ( a − ab + b ) Những đẳng thức học sinh học cần khéo léo biến đổi vận dụng ta có: a −b (a, b ≥ 0, a + b ≠ 0) 1) a − b = a+ b a−b (a, b ≥ 0, a ≠ b) a− b a −b 3 ( a2 + b2 ≠ ) 3) a − b = 3 a + ab + b a+b 3 a + b2 ≠ 4) a + b = 3 a − ab + b 2) a + b = ( ) Những phép biến đổi phương trình vô tỉ mà Học sinh học chương trình Đại Số 10 1) 2)  f ( x) ≥ f ( x) = g ( x) ⇔   f ( x) = g ( x)  g ( x) ≥ f ( x) = g ( x ) ⇔   f ( x) = g ( x) Phương pháp giải phương trình dạng tích biểu thức:  f ( x) = f ( x).g ( x) = ⇔   g ( x) = Ngày với việc sử dụng loại máy tính cầm tay Casio fx-570VN PLUS, Casio fx-570ES, Casio fx-570ES PLUS, Casio fx-570MS nhiều toán học sinh dễ dàng phát nghiệm trước giải phương trình Kiến thức đồng hai biểu thức: f ( x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 g ( x) = bn x n + bn−1 x n −1 + + b1 x + b0  an = bn a = b  n−1 n−1 f ( x) ≡ g(x) ⇔  a = b  1  a0 = b0 2.2 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Qua trình dạy học sinh giải phương trình phát học sinh thường vướng mắc số vấn đề sau: - Nhận dạng toán sử dụng phương pháp chưa nhanh nhạy - Rất nhiều phương trình học sinh phát nghiệm không liên hệ cách giải - Chưa có thói quen tự nghiên cứu, kiểm tra lời giải - Chưa biết hệ thống phân loại dạng tập để rèn luyện kỹ - Chưa biết sử dụng, khai thác máy tính cầm tay việc giải phương trình vô tỉ Từ thực trạng ôn thi cho học sinh lớp 10C3, khắc phục cách: - Trang bị cho học sinh sở lý thuyết đầy đủ cụ thể - Rèn luyện kỹ sử dụng máy tính cầm tay để giải nghiệm phương trình - Trang bị cho học sinh nội dung phương pháp thông qua dạng phương trình sau giúp học sinh nắm vững phương pháp thông qua hệ thống ví dụ chọn lọc cẩn thận, điển hình - Giúp học sinh rèn luyện kỹ thông qua hệ thống tập nhà sau có kiểm tra, hướng dẫn, sửa chữa Sau giải pháp tiến hành cụ thể 2.3 CÁC GIẢI PHÁP SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1 NỘI DUNG HƯỚNG DẪN HỌC SINH Để hướng dẫn học sinh sử dụng nhân liên hợp vào giải phương trình vô tỉ thân tiến hành phân loại dạng tập dùng nhân liên hợp, đặc trưng loại hướng dẫn cụ thể cách dùng liên hợp để giải tương ứng với loại, đồng thời tập nhà cho Học sinh cố Loại 1: Nhân liên hợp từ liên hệ biểu thức phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình: 10 x + + x − = x + + x − Ta có ( 10 x + 1) − ( x + ) = x − , ( x − ) − ( x − ) = x − từ đặc điểm chung đưa hướng giải: 10 x + ≥ 3x − ≥  ⇔x≥ ĐK:  9 x + ≥  x − ≥ 10 x + + 3x − = x + + x − ⇔ 10 x + − x + + x − − x − = ⇔ ( 10 x + − x + )( 10 x + + x + ) +( 3x − − x − 10 x + + x + x −3 x −3 ⇔ + =0 10 x + + x + 3x − + x − 1   ⇔ ( x − 3)  + ÷= 3x − + x −   10 x + + x + ⇔ x−3= ⇔ x = (t.m) KL: x = )( 3x − + x − 3x − + x − ) =0 Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x − x + + x − 3x + = 3x − x − + x − 2 Ta có: ( x − x + 3) − ( x − x − 1) = −2 x + = −2 ( x − ) (x − x + ) − ( x − ) = − x + = −3 ( x − ) 3 x − x + ≥ x ≤ −   x − 3x + ≥  ⇔ ĐK:  + 15 3 x − x − ≥  x ≥ x − ≥  3x − x + + x − x + = 3x − x − + x − ⇔ 3x − x + − 3x − x − + x − 3x + − x − = −2 x + −3 x + ⇔ + =0 3x − x + + x − x − x − 3x + + x −   −2 −3 ⇔ ( x − 2)  + ÷= 2 2 x − x + + x − x − x − x + + x −   ⇔ x = (t.m) KL: x = Ví dụ 3: Giải phương trình: ( Ta có: 32 − ) + 2x (3 − 2x ) −( + 2x = −2 x suy  32  = x + 21 ) 2 + x ÷ = x ta thấy  giống mẫu tử vế trái phương trình  9 + x ≥ x ≥ − ⇔ ĐK:  − + x ≠   x ≠ x2 = x + 21 − + 2x ( ⇔ ) ( 2x2 + + 2x 4x ( ) 2 ⇔ + + 2x ) = x + 21 = x + 42 ⇔ + 2x = (t.m) KL: x = ⇔ x= ( Ví dụ 4: Giải phương trình: ( x + 1) = ( x + 10 ) − + x Ta có: 12 − ( + 2x ĐK: + x ≥ ⇔ x ≥ − ( ) ( = −2 ( x + 1) suy 12 − ( x + 1) = ( x + 10 ) − + x ) ( + 2x 2 ) = ( x + 1) 2 ( ) ( ) ( ⇔ ( x + 1) ( + + x ) = ( x + 10 ) ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ( + x + + x ) = ( x + 10 ) ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ( + x − ) = ⇔ ( x + 1) + + x ) 2 ) = ( x + 10 ) − + x + + x ) 2 2  ( x + 1) = ⇔  + x − =  x = −1 (t.m) ⇔  x = (t.m) KL: Phương trình có hai nghiệm x=-1, x=3 * Nhận xét: Trong giải phương trình phương pháp biến đổi phương trình dạng tích số phương pháp có hiệu cao Cùng với việc sử dụng nhân liên hợp chuyển nhiều toán phương trình vô tỉ dạng tích, thông qua thay giải phương trình phức tạp ta giải nhiều phương trình đơn giản Loại 2: Phương trình có nghiệm đơn Ví dụ 5: Giải phương trình: 3x + − − x + x − 14 x − = Kiểm tra giá trị x ( −1 ≤ x ≤ ) ta thấy x=5 nghiệm phương trình ta tìm cách đưa phương trình dạng ( x − 5) f ( x) , định lý BơZu f(x) đa thức Do để làm xuất (x-5) vế trái phương trình ta dùng cách thêm bớt số nhân liên hợp Ta có: 3.5 + = , − = , -4 giá trị thêm vào 3.x + -1 giá trị thêm vào − x 3x + ≥ −1 ⇔ ≤x≤6 6 − x ≥ ĐK:  3x + − − x + 3x − 14 x − = ⇔ ( ) ( ) x + − + − − x + x − 14 x − = x − 15 x −5 + + ( x − ) ( x + 1) = 3x + + + − x   ⇔ ( x − 5)  + + 3x + 1÷ =  3x + + + − x  ⇔ TH1: x − = ⇔ x = (t.m) + + 3x + = TH2: 3x + + + − x 3 −1 ≤ ≤ ≤ x ≤ ta có: Với điều kiện 19 + 3x + + 4 ≤ ≤1 1+ − x 19 ≤ 3x + ≤ 19 1+ + + 3x + > 3x + + + − x + + x + = vô nghiệm Phương trình 3x + + + − x KL: x = Ví dụ 6: Giải phương trình: x − + − x + x − = x − x Suy Ta có x=3 nghiệm phương trình − = , − = , 2.3 − = -1 giá trị thêm vào x − , -1 giá trị thêm vào − x , -1 giá trị thêm vào x − x − ≥  ĐK: 4 − x ≥ ⇔ ≤ x ≤ 2 x − ≥  x − + − x + x − = x − 5x ⇔ x − −1 + − x −1 + 2x − − = x2 − x − x−3 3− x 2x − ⇔ + + = ( x − 3) ( x + 1) x − +1 − x +1 2x − + 1 −1   ⇔ ( x − 3)  + + − ( x + 1) ÷ = − x +1 2x − +1  x − +1  TH1: x − = ⇔ x = (t.m) −1 + + − ( x + 1) = TH2: x − +1 − x +1 2x − +1 1 ≤ ≤ Với điều kiện ≤ x ≤ ta có: + x − +1 +1 2 1 ≤ ≤1 − x +1 +1 2 ≤ ≤2 +1 2x − +1 ≤ 2x + ≤ −1 + + − ( x + 1) < x − +1 − x +1 2x − + 1 −1 + + − ( x + 1) = vô nghiệm Phương trình x − +1 − x +1 2x − + Suy KL: x = Ví dụ 7: Giải phương trình: x + + x = − x − Ta có x= nghiệm phương trình + = , − = -2 giá trị thêm vào x + , -1 giá trị thêm vào x −1 ĐK: x − ≥ ⇔ x ≥ x + + x2 = − x −1 ⇔ x + − + x2 − = − x − ⇔ ⇔ ( x+6 −2 ( ( x+6 ) )(( x+6 x+6 ) ) + x + + 22 + x + + 22 x−2 + x + + 22 ) + ( x − 4) = ( − + ( x − 2) ( x + 2) = )( x −1 1+ x −1 ) 1+ x −1 2− x 1+ x −1   1  ÷= ⇔ ( x − 2) + ( x + 2) +  1+ x −1 ÷  x + + x + + 22 ÷   ⇔ x−2=0 ⇔ x = (t.m) KL: x = ( ) * Nhận xét: Sau liên hợp tách riêng nghiệm phương trình với điều kiện để phương trình có nghĩa cần đánh giá biểu thức lại luôn âm luôn dương qua phương trình lại vô nghiệm nghiệm tách Loại 3: Phương trình có hai nghiệm đơn Ví dụ 8: Giải phương trình: x + + x + = x − x + Ta phát phương trình có hai nghiệm x = x = 1, với cách thêm bớt số ta không làm xuất đồng thời hai nghiệm Hai nghiệm thường gắn liền với phương trình bậc hai ta thêm bớt biểu thức bậc để nhân liên hợp làm xuất phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Cách phát biểu thức thêm bớt  3.0 + = a.0 + b a = ⇔ x + = ax + b ta có hệ  b =  3.1 + = a.1 + b  5.0 + = m.0 + n m = ⇔ x + = mx + n ta có hệ  n =  5.1 + = m.1 + n Vậy –(x+1) biểu thức thêm vào vào x + 3x + , –(x+2) biểu thức thêm 3 x + ≥ ⇔x≥− 5 x + ≥ ĐK:  3x + + x + = 3x − x + ⇔ x + − ( x + 1) + x + − ( x + ) = 3x − x ⇔ ⇔ ( x + − ( x + 1) )( x + + ( x + 1) x + + ( x + 1) ) +( 5x + − ( x + ) )( 5x + − ( x + 2) 5x + + ( x + ) ) = 3x − 3x − x2 + x − x2 + x + − (3 x − x) = 3x + + ( x + 1) 5x + + ( x + 2)   1 ⇔ ( − x2 + x )  + + ÷=  x + + ( x + 1) ÷ 5x + + ( x + 2)   ⇔ −x + x = x = ⇔ (t.m) x = KL: Phương trình có hai nghiệm x=0, x=1 Ví dụ 9: Giải phương trình: x − x + + x + x − + x − = Phương trình có nghiệm x= x=2  3.12 + 7.1 − = a.1 + b a = 2 ⇔ ta có hệ   x + x − = ax + b  3.22 + 7.2 − = a.2 + b b =  3.1 − = m.1 + n m = ⇔ x − = mx + n ta có hệ   3.2 − = m.2 + n  n = Vậy − ( x + 1) biểu thức thêm vào x + x − , –(x) biểu thức thêm vào 3x − 3x + x − ≥ ⇔ x≥ 3x − ≥ ĐK:  x − x + + 3x + x −1 + 3x − = ⇔ x − x + + 3x + x − − ( x + 1) + 3x − − x = − x + 3x − ⇔ 2x − 6x + + + =0 3x − + x x + x − + ( x + 1) − x + 3x −   −1 −1  ÷= ⇔ ( x − 3x + ) + +  3x − + x ÷ 3x + x − + ( x + 1)   TH1: x − x + = x = ⇔ (t.m) x = −1 −1 + =0 TH2: + x − + x 3x + x − + ( x + 1) −1 −3 ≥ Với điều kiện x ≥ ta có 3x − + x 2 −1 3x + x − + ( x + 1) −1 Suy + + ≥ −1 >0 3x − + x −1 5+ 3 x + x − + ( x + 1) −1 −1 + = vô nghiệm Vậy phương trình + x − + x 3x + x − + ( x + 1) KL: Phương trình có hai nghiệm x = 1, x = Ví dụ 10: Giải phương trình: ( − x ) x + + 2 x + = x + Phương trình có nghiệm x= -1 x=3   −1 + = a ( −1) + b  a = ⇔ x + = ax + b ta có hệ   + = a.3 + b b =   2 ( −1) + = m ( −1) + n m = ⇔ 2 x + = mx + n ta có hệ  n =  2.3 + = m.3 + n 1 1 Vậy −  x + ÷là biểu thức thêm vào 2 2 x + , –(x+3) biểu thức thêm vào 2 x + Với phương trình học sinh cần ý nghiệm x=-1 nằm vị trí biên 1 1 điều kiện −  x + ÷ x + x=-1 ta không 2 2 liên hợp mà cần xử lý trường hợp trước x +1 ≥ ⇔ x ≥ −1 2 x + ≥ ĐK:  TH1: Xét x=-1 Ta có x=-1 nghiệm phương trình TH2: Xét x > −1 ( − x) x + + 2 x + = 3x + 1 1 1 1 ⇔ ( − x ) x + − ( − x )  x + ÷+ 2 x + − ( x + 3) = x + − ( − x )  x + ÷− ( x + ) 2 2 2 2 1 ( − x )  − x + x + ÷ − x2 + 2x + 3 4  ⇔ + = x2 − x − 1 1 2 x + + ( x + 3) x +1 +  x + ÷ 2 2 10   − x) (  1÷ ⇔ ( − x + x + 3)  + + ÷=  x + +  x +  2 x + + ( x + 3) ÷  ÷  ÷ 2 2    x+4 ⇔ ( − x + x + 3)  +  x + + x + 2 x + + ( x + 3)   ÷= ÷  ⇔ −x2 + 2x + =  x = −1 (k t m) ⇔  x = (t.m) KL: Phương trình có hai nghiệm x = 3, x = -1 * Nhận xét: Sau liên hợp tách riêng hai nghiệm phương trình với điều kiện để phương trình có nghĩa dễ dàng nhận thấy biểu thức lại luôn âm luôn dương qua phương trình lại vô nghiệm Loại 4: Phương trình có nghiệm kép Ví dụ 11: Giải phương trình x + = x + x − Ta phát phương trình có nghiệm x=1 2x + = x + 2x −1 ⇔ x − + 2x − − = x − 2x − 2x − ⇔ + = 2x − x +1 2x −1 +1   ⇔ ( 2x − 2)  + − 1÷ = 2x −1 +1   x +1 Ta nhận thấy phương trình 1 + − = có nghiệm x=1 x +1 2x −1 +1 Vậy phương trình x + = x + x − có nghiệm kép x=1, ta thực thêm bớt thức với biểu thức bậc nhằm xuất nghiệm kép x=1, cách phát biểu thức bậc thêm bớt   = a + b a = ⇔ x = ax + b ta có hệ  2 ( ax + b ) − x ≡ a ( x − 1) b =   2.1 − = m.1 + n m = ⇔ x − = mx + n ta có hệ   2 n = ( mx + n ) − ( x − 1) ≡ m ( x − 1) 11 Vậy (x+1) biểu thức thêm vào −2 x , x biểu thức thêm vào − x − x ≥ ⇔ x≥ 2 x − ≥ ĐK:  2x + = x + 2x −1 ⇔ x + 1− x + x − 2x − = x + x + − x x − (2 x − 1) + =0 x +1+ x x + 2x −1 1   ⇔ ( x − x + 1)  + ÷=  x + 1+ x x + 2x −1  ⇔ ⇔ x2 − 2x + = ⇔ x = (t.m) KL: x = Ví dụ 12: Giải phương trình x − x + 14 = x x − + − x Ta có phương trình có nghiệm kép x=1   5.1 − = a + b  a = ⇔ x − = ax + b ta có hệ  2 ax + b − x − ≡ a x − ( ) ( ) ( ) b =   −5   − 5.1 = m.1 + n  m = ⇔ − 5x = mx + n ta có hệ  2 mx + n − − x ≡ m x − ) ( ) ( )  n = 13 (  Vậy x(5x+3) biểu thức thêm vào −4 x x − , (-5x+13) biểu thức thêm vào −4 − 5x 5 x − ≥ ⇔ ≤x≤ ĐK:  5 9 − x ≥ x − x + 14 = x x − + − x ⇔ x − x + 14 − x x − − − x = ⇔ x − x + + x ( x + 3) − x x − + ( −5 x + 13) − − x = ( x + 3) − 16 ( 5x − 1) + ( −5 x + 13) − 16 ( − x ) − 2x + 1+ x ( x + 3) + x − ( −5 x + 13) + − x ⇔x ⇔ x − 2x + 1+ x 2 25 ( x − x + 1) ( x + 3) + 5x −1 + 25 ( x − x + 1) ( −5 x + 13) + − 5x =0 =0   25 x 25 ⇔ ( x − x + 1)  + + ÷=  ( x + 3) + x − ( −5 x + 13) + − x ÷   ⇔ x − 2x + = 12 ⇔ x = (t.m) KL: x = * Nhận xét: Sau liên hợp tách riêng nghiệm kép phương trình với điều kiện để phương trình có nghĩa dễ dàng nhận thấy biểu thức lại luôn âm luôn dương qua phương trình lại vô nghiệm Loại 5: Phương trình có nghiệm chứa Ví dụ 13: Giải phương trình x + x − = ( x + ) x − x + Bằng cách dùng máy tính cầm tay ta giải hai nghiệm gần phương trình x1 ≈ −1,828427125, x2 ≈ 3,828427125 x1 + x2 ≈ 2, x1.x2 ≈ −7 suy x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − x − = Ta thực thêm bớt thức với biểu thức bậc để tách riêng phương trình x − x − = giải nghiệm, cách phát biểu thức thêm bớt ax + b ≥ ∀x ∈ ¡ a = ⇔ x − x + = ax + b ta có hệ  2 b = ( ax + b ) − ( x − x + ) ≡ (a − 1) ( x − x − ) Vậy 3(x+2) biểu thức thêm vào −( x + 2) x − x + ĐK: x − x + ≥ ⇔ ∀x ∈ ¡ x2 + x − = ( x + 2) x2 − 2x + ⇔ x2 + x − − ( x + 2) x2 − x + = ⇔ x2 − x − + ( x + 2) − ( x + 2) x2 − x + = ( ) ⇔ x2 − 2x − + ( x + 2) − x2 − 2x + =  − x2 + 2x +  ⇔ x2 − 2x − + ( x + 2)  ÷= + x − x +     x+2 ⇔ ( x − x − ) 1 − ÷=  + x − 2x +   ( x − 1) + − ( x − 1)  ÷= ⇔ ( x − 2x − 7)   + x2 − x + ÷   ⇔ x − 2x − = x = 1+ 2 ⇔ (t.m)  x = − 2 KL: Phương trình có hai nghiệm x = − 2, x = + 2 Ví dụ 14: Giải phương trình x + x + = ( x + 1) x + + x + 13 Bằng cách dùng máy tính cầm tay ta giải hai nghiệm gần phương trình x1 ≈ −0, 236067977, x2 ≈ 4, 236067977 x1 + x2 ≈ 4, x1.x2 ≈ −1 suy x1 , x2 hai nghiệm phương trình x − x − =     ax + b ≥ ∀x ∈  − ; +∞ ÷ a =   ⇔ x + = ax + b ta có hệ  b = ( ax + b ) − ( x + 5) ≡ a x − x − ( )     mx + n ≥ ∀x ∈  − ; +∞ ÷ a =   ⇔ x + = mx + n ta có hệ  b = ( mx + n ) − ( x + ) ≡ m x − x − ( )  Vậy (x+1)(x+2) biểu thức thêm vào −( x + 1) x + , (x+1) biểu thức thêm vào − x + 8 x + ≥ ⇔ x≥− ĐK:  6 x + ≥ x + x + = ( x + 1) x + + x + ⇔ x + x + − ( x + 1) x + − x + = ⇔ x + 3x + − ( x + 1) x + + x + − x + = ( ) ( ) ⇔ ( x + 1) x + − x + + x + − x + =  x2 − 4x −   x2 − 4x −  ⇔ ( x + 1)  ÷+  ÷=  x + + 8x +   x + + x +  x +1   ⇔ ( x − x − 1)  + ÷=  x + + 8x + x + + x +  ⇔ x2 − x − = x = + ⇔ (t.m)  x = − KL: Phương trình có hai nghiệm x = + 5, x = − * Nhận xét: Sau liên hợp tách riêng phương trình bậc hai có hai nghiệm phương trình với điều kiện để phương trình có nghĩa dễ dàng nhận thấy biểu thức lại luôn âm luôn dương qua phương trình lại vô nghiệm 2.3.2 BÀI TẬP CỦNG CỐ Bài 1: Giải phương trình: a) ( 9x ) + 3x − b) x − = (1 + = 2x + x2 1+ x ) 14 Bài 2: Giải phương trình: a) b) x − + x − 3x − = x + x + + x − x + x − 3x + + x − x + = x − x + c) 2 + x − = x + x + ( ( ) ) d) x + − x − = x + Bài 3: Giải phương trình: a) b) Bài 4: Giải phương trình: a) b) c) Bài 5: Giải phương trình: a) 21 + x + 21 − x = 21 x 21 + x − 21 − x 7− x −3 x−5 =6−x 7− x +3 x−5 x − − − x − x + x + 35 = x − + − x = x − 5x − x + − − x + x + 3x − = x − x − = ( x − 1) x + b) + x + − x + − x = x + x − Bài 6: Giải phương trình: a) x + + − x = x + x − x − b) x − x + + x + x − + 3x − = c) x − x + = x + + x + 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG Để đánh giá hiệu sáng kiến kinh nghiệm thân tiến hành thực nghiệm lớp dạy học cụ thể Quá trình thực nghiệm tiến hành lớp 10C3 lớp đối chứng 10C4 hai lớp có trình độ tương đương trường THPT Như Xuân Đối với lớp đối chứng, giáo viên dạy học bình thường Việc dạy học thực nghiệm đối chứng tiến hành song song theo lịch trình giảng dạy nhà trường Việc thực nghiệm thực sau tiến hành kiểm tra đánh giá kết Đề kiểm tra: Bài (4 điểm): Giải phương trình a) 3x − x + = x − b) x − x + − − x = Bài (4 điểm): Giải phương trình a) x + − − x = x − b) x − − 3x − − x − = Bài (2 điểm): Giải phương trình a) x + + x + + x + x + = 15 b) 3x + + x + = x + x + 13 Kết kiểm tra: Điểm 10 Số Lớp Lớp 10C3 0 10 10 41 Lớp 10C4 0 9 0 39 + Lớp thực nghiệm đạt 95,1% trung bình trở lên 65,9% đạt giỏi + Lớp thực nghiệm đạt 87,2% trung bình trở lên 43,6% đạt học sinh đạt điểm giỏi Qua trình dạy thực nghiêm lớp 10C3 nhận thấy học sinh lớp 10C3 có hiệu tích cực là: Khả biến đổi, tính toán để giải phương trình học sinh linh hoạt, nhạy bén Học sinh nắm vững loại tập vận dụng thành thạo phương pháp giải vào giải phương trình Học sinh mạnh dạn, chủ động nhận xét làm bạn, tìm sai lầm sửa chữa để có lời giải Từ hình thành cho học sinh thói quen nghiên cứu lời giải, kiểm tra lại kết để phòng tránh, phát sửa chữa sai lầm Việc thực nghiệm dạy học giải phương trình vô tỉ cách sử dụng nhân biểu thức liên hợp tạo cho học sinh hứng thú học tập, tạo môi trường cho học sinh học tập cách độc lập, tích cực, sáng tạo Thông qua dạy học giải phương trình vô tỉ cách sử dụng nhân biểu thức liên hợp Học sinh nắm vững kiến thức chương trình, phát huy tính linh hoạt, sáng tạo hình thành liên tưởng vận dụng kiến thức sách giáo khoa Đồng thời giúp học sinh có kỹ cần thiết giải tập Học sinh không giải phương trình vô tỉ mà liên hệ vận dụng vào giải bất phương trình vô tỉ Đối với thân, sử dụng Sáng kiến kinh nghiệm thấy hiệu tiết dạy tốt hơn, tạo tự tin hứng thú giảng Giúp truyền đạt cách cô đọng đầy đủ, xác trọn vẹn nội dung cần giảng dạy khoảng thời gian ngắn Ngoài ra, Sáng kiến kinh nghiệm tổ chuyên đánh giá tốt, thiết thực đồng ý triển khai vận dụng cho năm học tới toàn trường nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học toán Nhà trường nói riêng địa phương nói chung Đồng thời, Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên học sinh ôn thi đại học học sinh giỏi Nó hệ thống tương đối hoàn chỉnh nội dung phương pháp nhân liên hợp giải phương trình vô tỉ, bất phương trình vô tỉ 16 Như vậy, Sáng kiến kinh nghiệm mang lại hiệu tích cực thiết thực cho người học người dạy Đáp ứng đường đổi phương pháp dạy học, nâng cao hiệu giáo dục giai đoạn Do vậy, mục đích thực nghiệm sư phạm đạt giả thiết khoa học nêu kiểm nghiệm 17 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN Qua việc nghiên cứu, triển khai vận dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, rút số học kinh nghiệm sau: - Trong giảng dạy cần phải thường xuyên tìm tòi, đúc rút kinh nghiệm để đưa giải pháp nâng cao hiệu dạy học Đặc biệt vấn đề khó, dễ nhầm lẫn học sinh - Nội dung giảng dạy giáo viên cần viết dạng Sáng kiến kinh nghiệm tập hợp thành tài liệu cung cấp cho học sinh Qua đó, phát huy khả tự học học sinh - Những nội dung truyền tải cho học sinh, giáo viên cần phải nghiên cứu kỹ lưỡng, tìm phương pháp giảng dạy hợp lý, đảm bảo xúc tích, ngắn gọn đầy đủ, xác Những cách làm giúp tiết dạy đạt hiệu cao, người dạy người học hứng thú, tiết kiệm thời gian phát huy tính chủ động, sáng tạo, khả tự học học sinh Đó điều rút từ Sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để ôn thi cho học sinh lớp 10 12, đặc biệt với đối tượng học sinh ôn thi đại học, học sinh giỏi cho năm học trường THPT Như Xuân nói riêng trường THPT nói chung Có thể mở rộng, phát triển thêm nội dung Sáng kiến kinh nghiệm để trở thành tài liệu để dạy kiến thức giải bất phương trình vô tỉ 3.2 KIẾN NGHỊ Đối với tổ chuyên môn đồng nghiệp: Đề nghị Tổ chuyên môn Toán triển khai ứng dụng Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy Nhà trường năm học tới Đối với Sở GD&ĐT: Đề nghị Sở GD&ĐT đóng góp ý kiến tạo điều kiện để tiếp tục phát triển Sáng kiến kinh nghiệm tìm tòi Sáng kiến XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 30 tháng năm 2016 THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Đình Quân 18 ... tra, hướng dẫn, sửa chữa Sau giải pháp tiến hành cụ thể 2.3 CÁC GIẢI PHÁP SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1 NỘI DUNG HƯỚNG DẪN HỌC SINH Để hướng dẫn học sinh sử dụng nhân liên hợp vào giải phương. .. kết để phòng tránh, phát sửa chữa sai lầm Việc thực nghiệm dạy học giải phương trình vô tỉ cách sử dụng nhân biểu thức liên hợp tạo cho học sinh hứng thú học tập, tạo môi trường cho học sinh học. .. giáo khoa Đồng thời giúp học sinh có kỹ cần thiết giải tập Học sinh không giải phương trình vô tỉ mà liên hệ vận dụng vào giải bất phương trình vô tỉ Đối với thân, sử dụng Sáng kiến kinh nghiệm